Một số mô hình rủi ro trong bảo hiểm tài chính

102 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC Tóm tắt Các hoạt động kinh tế muốn thu được lợi nhuận cần phải tiến hành đầu tư tài chính, tuy nhiên, hoạt động đó có thể gặp rủi ro, dẫn đến thua lỗ hoặc phá sản. Các công ty bảo hiểm thành lập nhằm mục đích chịu trách nhiệm và chia sẻ một phần cho chủ thể gặp rủi ro, nhưng ngay chính hoạt động bảo hiểm cũng là một hoạt động đầu tư tài chính nên bản thân nó cũng chứa đựng sự rủi ro. Hiện nay, chủ đề này vẫn được các nhà toán học và bảo hiểm dành nhiều sự quan tâm với mô hình phù hợp thực tế. Bài viết giới thiệu một số mô hình rủi ro của bảo hiểm tài chính và một số hướng nghiên cứu mở của chủ đề này. Từ khóa: Mô hình rủi ro (Risk model), xác suất thiệt hại (Ruin probability), dãy biến ngẫu nhiên độc lập (Independent random variables), mô hình Cramer - Lundberg 1. Giới thiệu một số nội dung cơ bản về rủi ro trong bảo hiểm Trong những năm gần đây, ngành Bảo hiểm và Tài chính đã thực sự trở thành ngành kinh tế giữ vai trò trọng yếu, có tác dụng điều chỉnh và thúc đẩy mọi hoạt động của các ngành kinh tế khác, và đã trở thành nơi tập trung của các ý tưởng xuất phát từ lĩnh vực tri thức và ứng dụng thực tế khác nhau. Hiện nay, chúng ta đang được chứng kiến sự cộng tác chặt chẽ giữa các nhà toán học, các nhà kinh tế và các nhà tài chính trong việc ứng dụng các thành tựu toán học hiện đại vào việc nghiên cứu các mô hình kinh tế, phân tích và tìm hiểu các quy luật chi phối các hoạt động kinh tế, từ đó có các đề xuất và giải pháp phù hợp với quy luật. Đặc biệt trong mấy thập kỷ gần đây, các vấn đề của bảo hiểm, tài chính đã thu hút sự chú ý của các nhà toán học trong lĩnh vực Lý thuyết xác suất và thống kê toán học. Đầu tiên, bài viết giới thiệu một số kiến thức căn bản về rủi ro bảo hiểm tài chính và xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm. 1.1. Bài toán rủi ro đối với công ty bảo hiểm Giả sử một công ty bảo hiểm phát hành một loại chứng từ bảo hiểm về một dịch vụ tài chính. Khách hàng là những người mua chứng từ đó. Công ty bảo hiểm với số vốn ban đầu là * Bộ môn Toán - Thống kê, Khoa Kinh tế - Luật, Trường Đại học Tài chính - Marketing MỘT SỐ MÔ HÌNH RỦI RO TRONG BẢO HIỂM TÀI CHÍNH 13. TS. Nguyễn Huy Hoàng* 103 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC u 0> , thu được của khách hàng một số tiền mua bảo hiểm với phí suất c 0> . Tại mỗi thời điểm t, công ty phải trả một số tiền bảo hiểm tổng cộng là S(t) cho các khách hàng có nhu cầu đòi trả bảo hiểm. Quỹ vốn của công ty bảo hiểm được xác định bởi: U(t) u c.t S(t)= + − . (1) Quỹ vốn phải dương thì công ty mới có lãi, ngược lại nếu U(t) 0< thì xảy ra sự cố “rủi ro” hay “thiệt hại”. Thông thường, đối với mô hình bài toán rủi ro, người ta có các giả thiết sau đây: a. Các số tiền đòi trả bảo hiểm { }iX ,i 1≥ là dãy các biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối F với kỳ vọng hữu hạn là µ . b. Khoảng thời gian giữa hai lần đòi trả liên tiếp { }it , i 1≥ cũng là dãy các biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối G với kỳ vọng hữu hạn và độc lập với dãy { }iX ,i 1≥ . c. Số yêu cầu đòi trả bảo hiểm trong khoảng thời gian (0, t] , (quá trình đến của yêu cầu) được định nghĩa bởi: { }nN(t) sup n 1,T t , t 0= ≥ ≤ ≥ và n n i i 1 T t = = ∑ là thời điểm xảy ra yêu cầu đòi trả bảo hiểm, với quy ước: Sup 0∅ = . Khi đó: ( ) ( )N t i i 1 S t X = = ∑ (2) biểu diễn tổng số tiền đòi trả bảo hiểm cho đến thời điểm t. 1.2. Xác suất thiệt hại (Ruin probability) Trong mô hình (1), xác suất thiệt hại với thời gian hữu hạn hoặc vô hạn được định nghĩa như sau: a. Xác suất thiệt hại với thời gian hữu hạn ký hiệu là (u,T)ψ được định nghĩa bởi: ( ) {u,T P U(t) 0ψ = < với một t nào đó }T≤ , 0 T< < ∞ . Ở đây, u là số vốn ban đầu, T là một thời điểm hữu hạn định trước. b. Xác suất thiệt hại với thời gian vô hạn ký hiệu là (u)ψ được định nghĩa là: ( ) ( ) ( )Tu u, lim u,T→∞ψ = ψ ∞ = ψ (3) c. Thời điểm xảy ra thiệt hại (t)τ là một thời điểm dừng ngẫu nhiên được định nghĩa bởi: ( ) { }T inf t :0 t T,U(t) 0τ = ≤ ≤ < (4) với quy ước: inf ∅ = ∞ 1.3. Phân loại bảo hiểm Người ta quy ước phân loại các trường hợp bảo hiểm dẫn tới việc phải trả tiền bảo hiểm thành ba loại: (i) loại bình thường; (ii) loại đặc biệt; (iii) loại tai họa. 104 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC Ký hiệu: F F(x)= là hàm phân phối của số tiền đòi trả bảo hiểm và hàm F(x) 1 F(x)= − là đuôi của phân phối F. Để mô tả các biến cố thuộc loại bình thường, người ta dùng các phân phối có đuôi nhẹ, chẳng hạn một phân phối mũ: Người ta mô tả các biến cố bảo hiểm phải bồi thường lớn (loại đặc biệt và tai họa) bởi các phân phối với đuôi nặng, chẳng hạn: (các phân phối Pareto). 2. Một số mô hình rủi ro bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên độc lập 2.1. Mô hình rủi ro thời gian liên tục (Mô hình đổi mới và mô hình Cramer - Lundberg) Xét mô hình rủi ro (1) với các giả thiết: (i) Dãy biến ngẫu nhiên khoảng thời gian giữa hai lần đòi trả { }it , i 1≥ được giả thiết là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối với kỳ vọng chung hữu hạn. (ii) Dãy các số tiền đòi trả bảo hiểm { }iX ,i 1≥ là dãy các biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối với hàm phân phối xác suất là ( ) ( )1F x P X x= < sao cho F(0) 0= và kỳ vọng chung hữu hạn là µ (iii) Hai dãy biến ngẫu nhiên { }it , i 1≥ và { }iX ,i 1≥ là độc lập với nhau. Khi đó, mô hình (1) được gọi là mô hình đổi mới. Đối với mô hình này, chúng ta thu được kết quả: ( ) ( )EU t u c.t .EN t= + −µ . (5) Nếu trong giả thiết (i), dãy biến ngẫu nhiên khoảng thời gian giữa hai lần đòi trả { }it , i 1≥ được giả thiết là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối mũ với kỳ vọng chung hữu hạn 1 1 Et = λ , thì mô hình này được gọi là mô hình Cramer - Lundberg, và khi đó, chúng ta có: ( )EU t u c.t . .t= + − λ µ . (6) Đối với mô hình Cramer - Lundberg, chúng ta có kết quả nổi tiếng về ước lượng xác suất thiệt hại. Định lý Cramer - Lundberg Giả sử các giả thiết của mô hình Cramer - Lundberg đã cho. Khi đó, tồn tại số r R 0= > thỏa mãn phương trình: ( )( )rx 0 e 1 F x dx 1 c ∞λ − =∫ Xác suất thiệt hại thời gian hữu hạn cùng xác suất thiệt hại thời gian vô hạn được ước lượng như sau: 105 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ( ) Ruu,T e−ψ ≤ (7) và: ( ) ( ) RuTu lim u,T e − →∞ ψ = ψ ≤ (8) 2.2. Mô hình rủi ro với thời gian rời rạc Trong mô hình rủi ro với thời gian rời rạc, ở mỗi thời kỳ các số tiền thu bảo hiểm { }nX ,n 1≥ và đòi trả bảo hiểm { }nY ,n 1≥ được giả thiết là các dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập cùng phân phối và hai dãy biến ngẫu nhiên này là độc lập với nhau. Khi đó, tài sản của hãng bảo hiểm ở thời kỳ thứ n là biến ngẫu nhiên sau: ( )nn i i i 1 U u X Y = = + −∑ , (9) Trong đó: 0U u 0= > , u là số vốn ban đầu của hãng bảo hiểm. Ta ký hiệu: ( )nn i i i 1 S Y X , = = −∑ khi đó, xác suất thiệt hại đến thời kỳ thứ n được định nghĩa bởi: ( ) ( ) ( ) n n n k k k 1 k 1 u P U 0 P S u = =       Ψ =            và xác suất thiệt hại (với thời gian vô hạn) là: ( ) ( ) ( ) ( )n n n n n 1 n 1 u lim u P U 0 P S u . ∞ ∞ →∞ = =       Ψ = Ψ =            (10) Giả sử tồn tại số R 0> thoả mãn ( )1 1R Y XE e 1− = , khi đó, xác suất thiệt hại thỏa mãn bất đẳng thức Lundberg: ( ) R uu e−Ψ ≤ . Có thể xem chi tiết kết quả này trong tài liệu [30], Định lý (1.3). 2.3. Mô hình rủi ro với thời gian rời rạc có tác động của lãi suất Bây giờ chúng ta xét mô hình (9), với giả thiết các số tiền thu bảo hiểm { }nX ,n 1≥ và đòi trả bảo hiểm { }nY ,n 1≥ là các dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập cùng phân phối và hai dãy biến ngẫu nhiên này là độc lập với nhau. Ngoài ra, còn có tác động của yếu tố lãi suất. Gọi nU là thặng dư của công ty bảo hiểm tại thời điểm n , r 0≥ là lãi suất, ở đây, giả thiết r là lãi gộp và là hằng số. Ta có: ( ) ( ) ( )n nn n i 1 n in i i i 1 i 1 U u 1 r X 1 r Y 1 r − + − = = = + + + − +∑ ∑ (11) 106 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC Đối với mô hình này, xác suất thiệt hại được định nghĩa như sau: ( ) { } ( ) ( ) ( ) n n n n i n i 1 n i i i 1 i 1 u P U 0 P Y 1 r X 1 r u 1 r − − + = = ψ = <   = + − + > +  ∑ ∑ ( ) ( )n ni i 1i i i 1 i 1 P Y 1 r X 1 r u − − + = =   = + − + >  ∑ ∑ , với n nào đó (12) Định lý (xem [30]). Với các giả thiết của mô hình (11), giả sử tồn tại số R 0> thỏa mãn: { } { }1R[Y(1 r) ] RXE e E e 1,−+ − = (13) thì xác suất thiệt hại được ước lượng bởi: ( ) Ruu e−ψ ≤ (14) 3. Một số hướng nghiên cứu mở 3.1. Nghiên cứu các mô hình rủi ro với các biến cố bảo hiểm phải bồi thường lớn (loại đặc biệt và tai họa) Trong các kết quả cổ điển, chủ yếu nghiên cứu các trường hợp đền bù nhỏ, số tiền đòi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với các phân phối đuôi nhẹ như mũ, gamma Nhu cầu thực tế (như động đất, sóng thần, khô hạn) đòi hỏi phải nghiên cứu các biến cố bảo hiểm phải bồi thường lớn (loại đặc biệt và tai họa), số tiền đòi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với các phân phối đuôi nặng. Có thể tham khảo các tài liệu: [14] Kluppelberg, C. and Stadtmuller, U. (1998), Ruin Probabilities in the presence of heavy - tails and interest rates, Scandinavian Actuarial Journal, pp. 49 - 58. [26] Tang Q. (2004), The ruin probabilities of a discrete time risk model under constant interest rate with heavy tails, Scandinavian Actuarial Journal 2, pp. 229 - 240. 3.2. Nghiên cứu các mô hình rủi ro với các dãy biến ngẫu nhiên độc lập nhưng không cùng phân phối Thông thường, một hãng bảo hiểm có nhiều sản phẩm bảo hiểm khác nhau nên mô hình rủi ro với dãy biến ngẫu nhiên độc lập nhưng không cùng phân phối là nhu cầu nghiên cứu cần thiết và thực tế (xem Bùi Khởi Đàm, Nguyễn Huy Hoàng [1]). 3.3. Nghiên cứu các mô hình rủi ro với các dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Trong thực tế, do độ phức tạp ngày càng tăng của các sản phẩm bảo hiểm và tái bảo hiểm, cũng như số đối tượng tham gia bảo hiểm ngày càng lớn nên đòi hỏi các mô hình rủi ro có cấu 107 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC trúc phụ thuộc. Do đó, để phù hợp hơn một hướng nghiên cứu đã và đang dành được nhiều sự quan tâm của các nhà toán học, đó là các mô hình rủi ro với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc. Có thể kể ra các kết quả có giá trị của các nhà toán học, xét mô hình với giả thiết dãy số tiền thu, đòi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc, hoặc dãy lãi suất phụ thuộc theo nghĩa tự hồi quy cấp một, hoặc là xích Markov như: Albrecher, H. [1]; Cai, J. [9], [11]; Dickson, D. C M. [11]; Muller, A. [18]; Pfug, G. [18]; Valdez, E. A. [29]; Mo, K. [29]; Xu, L. [30]; Wang, R. [30]; Yang, H. [32]; Zhang, L. H. [32] hoặc các mô hình rủi ro trong bảo hiểm, thời gian liên tục hoặc rời rạc với các dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc, theo nghĩa m - phụ thuộc. Ngoài ra, các mô hình còn xét tới tác động của yếu tố lãi suất, với lãi suất là hằng số hoặc lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên (xem Bùi Khởi Đàm, Nguyễn Huy Hoàng [4], [5], [18]). 3.4. Ước lượng cận trên cho xác suất thiệt hại không phải dạng hàm mũ Thông thường, ước lượng cận trên cho xác suất thiệt hại thường có dạng hàm mũ, hướng mới đặt ra có thể sử dụng dạng hàm khác để ước lượng không? Nếu có thì sự khác biệt là gì? Có thể tham khảo tài liệu: [30] Yang, H. (1999), Non-exponetial bounds for ruin probability with interest effect included, Scandinavian Actuarial Journal 1, pp. 66 - 79. 3.5. Xây dựng các ví dụ số mô phỏng cho mô hình lý thuyết, hoặc tính chính xác, xác suất thiệt hại Để từng bước có thể đưa mô hình lý thuyết vào thực tế, chúng ta cần xây dựng các ví dụ số mô phỏng cho mô hình lý thuyết (xem Bùi Khởi Đàm, Nguyễn Huy Hoàng [5]; Nguyễn Thị Thúy Hồng [19]). Trong một số trường hợp cụ thể, chúng ta có thể tính chính xác, xác suất thiệt hại, việc này là hết sức bổ ích và mang tính thực tế (xem De Vylder, F. E [32]; Nguyễn Thị Thúy Hồng [19]; [20]). TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Albrecher, H. (1998), Dependent risks and Ruin Probabilities in Insurance. IIASA Interim Report, IR-98-072. 2. Asmussen, S. (2000), Ruin probabilities, World Scientific, Singapore. 3. Bui Khoi Dam and Nguyen Huy Hoang (2010), Ruin Probabilities for sequences of dependent random variables with interest (submitted to Insurance: Mathematics and Economics) 4. Bùi Khởi Đàm, Nguyễn Huy Hoàng (2008), “Đánh giá xác suất thiệt hại đối với quá trình rủi ro với gia số phụ thuộc”, Tạp chí Ứng dụng Toán học, Tập VI, số1, tr. 93 - 104. 5. Bùi Khởi Đàm, Nguyễn Huy Hoàng (2008), “Ước lượng xác suất thiệt hại trong một số mô hình rủi ro, thời gian rời rạc với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc”, Tạp chí Ứng dụng Toán học, Tập VI, số 2, tr. 49 - 64. 108 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC 6. Buhlman, H. (1970), Mathematical Methods in Risk Theory, Berlin - Heidelberg - New York Springer. 7. Cai, J. (2002), Discrete time risk models under rates of interest, Probability in the Engineering and Informational Sciences. 16, pp. 309 - 324. 8. Cai, J. (2002), Ruin Probabilities with Dependent Rates of Interest, Journal of Applied Probability, 39, N0 .2, pp. 312 - 323. 9. Cai, J. and Dickson, D. C M. (2003), Upper bounds for Ultimate Ruin Probabilities in the Sparre Andersen Model with Interest, Insurance: Mathematics and Economics 32, pp. 61 - 71. 10. Cai, J. and Dickson, D. C M. (2004), Ruin Probabilities with a Markov chain interest model, Insurance: Mathematics and Economics 35, pp. 513 - 525. 11. Cramér, H. (1930), On the Mathematical Theory of Risk, Skandia Jubilee Volume, Stockholm. 12. De Vylder, F. E.(1999), “Numerical finite - time ruin probabilities by the Picard - Lefevre formula”, Scandinavian Actuarial Journal 2, pp. 375 - 386. 13. Hipp, C. and Schmidli, H. (2004), “Asymptotics of ruin probabilities for controlled risk processes in the small claim case”, Scandinavian Actuarial Journal, pp. 321 - 335. 14. Kluppelberg, C. and Stadtmuller, U. (1998), “Ruin Probabilities in the presence of heavy - tails and interest rates”, Scandinavian Actuarial Journal, pp. 49 - 58. 15. Konstantinides, D. G., Tang, Q. H. and Tsitsiashvili, G. S. (2002), “Two - sided bounds for ruin probability under constant interest force”, Journal of Mathematical Sciences, Vol. 123, N0. 1, pp. 3824 - 3833. 16. Ma, J. and Sun, X. (2003), “Ruin probabilities for insurance models involving investments”, Scandinavian Actuarial Journal, pp. 217 - 237. 17. Muller, A. and Pfug, G. (2001), Asymptotic ruin probabilities for risk processes with dependent increments, Insurance: Mathematics and Economics, 728, pp. 1 - 12. 18. Nguyen Huy Hoang (2019), Ruin probabilities for risk models with constant interest, Укр. мат. журн., т. 71, № 10, pp.1430 - 1434. 19. Nguyễn Thị Thúy Hồng (2012), “Ứng dụng phương pháp Monte Carlo để tính xác suất phá sản trong bảo hiểm”, Tạp chí Ứng dụng Toán học, Tập X, số 1, năm 2012, tr. 35 - 52. 20. Nguyen Thi Thuy Hong (2013), “On finite - time ruin probabilities for general risk models”, East - West Journal of Mathematics, Vol.15, N0. 1, pp. 86 - 101. 21. Paulsel, J. (2002), On Cramer - like asymptotics for risk processes with stochastic return on investment, The Annals of Applied Probability, Vol.12, N0. 4, pp. 1247 - 1260. 109 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC 22. Promislow, S. D. (1991), “The Probability of ruin in a process with dependent increments”, Insurance: Mathematics and Economics 10, pp. 99 - 107. 23. Rolski, T., Schmidli, H., Schmidt, V., and Teugels, J.L. (1999), Stochastic Processes for Insurance and Finance, John Wiley, Chichester. 24. Schmidli, H. (2004), Asymptotics of ruin probabilities for risk processes under optimal reinsurance and investmen policies: The large claim case, Queueing Systems 46, pp. 149 - 157. 25. Sundt, B. and Teugels, J.L. (1995), “Ruin estimates under interest force”, Insurance: Mathematics and Economics 16, pp. 7 - 22. 26. Tang Q. (2004), “The ruin probabilities of a discrete time risk model under constant interest rate with heavy tails”, Scandinavian Actuarial Journal 2, pp. 229 - 240. 27. Trần Hùng Thao (2004), Nhập môn Toán học tài chính, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội. 28. Valdez, E. A. and Mo, K. (2002), Ruin probabilities with Dependent Claims, working paper, The University of New South Wales. 29. Xu, L. and Wang, R. (2006), “Upper bounds for ruin probabilities in an autoregressive risk model with Markov chain interest rate”, Journal of Industrial and Management optimization, Vol. 2 N0. 2, pp. 165 - 175. 30. Yang, H. (1999), “Non-exponetial bounds for ruin probability with interest effect included”, Scandinavian Actuarial Journal 1, pp. 66 - 79. 31. Yang, H. and Zhang, L. H. (2003), Martinganle method for ruin probability in an autoregressive model with constant interest rate, Probability in the Engineering and Informational Sciences 17, pp. 183 - 198. 32. Yang, H. and Zhang, L. H. (2006), “Ruin problems for a discrete time risk model with random interest rate”, Mathematical Method of Operations Research 63, pp. 287 - 299. 33. Yuen, K. C., Wang, G.(2005), “Some Ruin problems for a risk processes with stochastic interest”, North American Actuarial Journal, 9, pp. 129 - 142.