Một số phương pháp tính giới hạn của dãy lặp

Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY LẶP Trịnh Văn Hoa Trường THPT Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa 1 Phương pháp tìm số hạng tổng quát 1.1 Các bước thực hiện - Xác định một vài số hạng đầu tiên - Tìm ra quy luật chung để dự đoán số hạng tổng quát - Chứng minh số hạng tổng quát đó là đúng (thường là dùng phương pháp quy nạp toán học) - Tính giới hạn dựa vào số hạng tổng quát. Ví dụ 1.1. Cho dãy số (un) xác định bởi { u1 = √ 2 un+1 = √ un + 2, n ≥ 1 . Tìm limn→+∞ un Lời giải. Ta có: u1 = √ 2 = 2 cos pi 22 . u2 = √ 2+ u1 ⇔ u22 = 2+ u1 = 2 ( 1+ cos pi 4 ) = 4cos2 pi 8 ⇒ u2 = 2 cos pi23 Dự đoán un = 2 cos pi 2n+1 Dễ dàng dùng phương pháp quy nạp toán học chứng minh được un = 2 cos pi 2n+1 . Suy ra lim n→+∞ un = 2. Nhận xét 1.1. Bài này còn có thể giải theo cách khác được thể hiện trong ví dụ ở phần sau. Đôi khi việc dự đoán số hạng tổng quát khó khăn, ta có thể biến đổi biểu thức phức tạp xn+1 = f (xn) thành biểu thức đơn giản hơn thông qua phép đăt yn = g(xn). Sau đó tìm yn và quay lại tìm xn. Ta sẽ thực hiện điều này qua ví dụ sau: Ví dụ 1.2 (Dựa vào đề thi HSG Hà Nội 2012 - 2013). Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 un+1 = u2n 2un − 1, n ≥ 1, n ∈N . Chứngminh rằng dãy số (un) có giới hạn hữu hạn, 1 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 tìm giới hạn đó. Lời giải. Từ un+1 = u2n 2un − 1 ⇒ 1 un+1 = 2 un − 1 u2n ⇒ 1 un+1 − 1 = − ( 1 u2n − 2 un + 1 ) ⇒ 1 un+1 − 1 = − ( 1 un − 1 )2 Đặt vn = 1 un − 1 ⇒ v1 = 12 − 1 = − 1 2 và vn+1 = −v2n. Suy ra v1 = −2−1, v2 = −2−2, v3 = −2−4, v4 = −2−8 Giả sử vn = −2−2n−1 , n ≥ 4 (giả thiết quy nạp)⇒ vn+1 = − ( 2−2n−1 )2 = −2−2n . Do đó vn = −2−2n−1 , ∀n. Mà vn = 1 un − 1 ⇒ un = 11+ vn = 1 1− 2−2n−1 = 22 n−1 22n−1 − 1 nên un = 22 n−1 22n−1 − 1 Ta có lim n→+∞ un = limn→+∞ 22 n−1 22n−1 − 1 = limn→+∞ 1 1− 1 22n−1 = 1. Vậy dãy số đã cho có giới hạn là 1. Nhận xét 1.2. Bài này còn có thể giải theo cách khác được thể hiện trong Ví dụ ở phần sau. 1.2 Bài tập tương tự Bài 1.1. Cho dãy số (xn) xác định bởi: { x1 = 2 cos pi 9 xn+1 = 3xn − 1 . Tìm lim n→+∞ xn. Cách giải. Đặt vn = xn − 12 Bài 1.2. Cho dãy số (un) xác định bởi công thức: { u1 = 2 un = 5un−1 + 6; n ≥ 2 . Tìm lim n→+∞ un. Cách giải. Đặt vn = un + 3 2 . Bài 1.3 (IMO 2014). Cho hai dãy số dương (xn), (yn) xác định bởi x1 = 1, y1 = √ 3 và{ xn+1yn+1 − xn = 0 x2n+1 + yn = 2 với mọi n = 1, 2, . . . Chứng minh rằng hai dãy số trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng. Cách giải. Số hạng tổng quát liên quan đến lượng giác. 2 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 2 Phương pháp sử dụng định lý Weierstrass 2.1 Kiến thức liên quan - Dãy đơn điệu và bị chặn thì hội tụ (Định lý Veierstrass). - Mọi dãy hội tụ đều có giới hạn duy nhất. - Khi f liên tục trên I (I là khoảng đóng của R ), nếu limxn = L, thì L ∈ I, chuyển qua giới hạn trong biểu thức xn+1 = f (xn) ta được L = f(L) - Cho dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn L; nếu ∃N0 ∈ N sao cho ∀n > N0, ta có a ≤ xn ≤ b⇒ a ≤ L ≤ b. (Định lí chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức) Các bước thực hiện - Chứng minh dãy số có giới hạn bằng cách chứng minh dãy số đơn điệu và bị chặn. Thường là dùng phương pháp quy nạp toán học hoặc phương pháp hàm số để chứng minh. Nếu chứng minh được dãy đơn điệu tăng chỉ cần chứng minh nó bị chặn trên. Nếu chứng minh được dãy đơn điệu giảm chỉ cần chứng minh nó bị chặn dưới. - Giải phương trình L = f(L) để tìm giới hạn L của dãy số đã cho. Ví dụ 2.1 (Dựa vào đề thi HSG Hà Nội 2012 - 2013). Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 un+1 = u2n 2un − 1, n ≥ 1, n ∈N . Chứngminh rằng dãy số (un) có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó. Lời giải. Ta có u1 = 2, u2 = 4 4− 1 = 4 3 ⇒ u2 > 1. Giả sử uk > 1, k ≥ 2 (giả thiết quy nạp) Ta sẽ chứng minh uk+1 > 1 (*). Ta có (*) ⇔ u2k 2uk − 1 > 1 ⇔ u 2 k > 2uk − 1 (vì 2uk − 1 > 0 ) ⇔ u2k − 2uk + 1 > 0 ⇔ (uk − 1)2 > 0 đúng (vì uk > 1 ). Vậy un > 1, ∀n ∈ N∗ suy ra (un) bị chặn dưới +) Xét hiệu un+1− un = u 2 n 2un − 1 − un = −u2n + un 2un − 1 = un (1− un) 2un − 1 1 ) ⇒ (un) giảm⇒ 2 = u1 > u2 > u3 > · · · > . . . ⇒ (un) bị chặn trên Dãy số (un) giảm và bị chặn nên có giới hạn, gọi giới hạn đó là L 1 ≤ L ). Từ un+1 = u2n 2un − 1 , chuyển qua giới hạn ta có L = L2 2L− 1 ⇒ L = 1. Vậy dãy số đã cho 3 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 có giới hạn là 1. Ví dụ 2.2. Cho dãy số (un) xác định bởi { u1 = √ a un+1 = √ un + a, n ≥ 1 với a > 0. Hãy tìm lim un Lời giải. Theo đề bài u1 = √ a, u2 = √ a+ √ a⇒ u2 > u1 Giả sử uk+1 > uk, k ≥ 1 (giả thiết quy nạp). Ta sẽ chứng minh uk+2 > uk+1 (*) Theo đề bài (*) ⇔ √uk+1 + a > √ uk + a ⇔ uk+1 > uk đúng (theo giả thiết quy nạp). Vậy dãy số (un) tăng và un > 0, ∀n. Vì (un) tăng ⇒ un+1 > un ⇒ √ un + a > un ⇔ un + a > u2n ⇔ u2n − un − a < 0 ⇔ 1−√1+ 4a 2 < un < 1+ √ 1+ 4a 2 . Mà un > 0, ∀n ⇒ 0 < un < 1+ √ 1+ 4a 2 Do đó dãy số (un) tăng và bị chặng trên⇒ ∃ lim un. Đặt lim un = x ⇒ x ≥ 0 và lim un+1 = x Mà un+1 = √ un + a⇒ lim un+1 = lim √ un + a⇒ x = √ x+ a ⇔ x2 = x+ a⇔ x = 1+ √ 1+ 4a 2 (vì x ≥ 0 ). Vậy lim un = 1+ √ 1+ 4a 2 Đôi khi chỉ sử dụng công cụ đại số để đánh giá, ước lượng các số hạng cũng như chỉ các tính chất của dãy số xn+1=f(xn) gặp khó khăn, ta có thể khảo sát hàm f để chứng minh dãy số đơn điệu và bị chặn. Chú ý rằng: - Nếu dãy {xn} bị chặn trên đoạn [a; b] và f là hàm số tăng trên đoạn [a; b] thì dãy {xn} đơn điệu và bị chặn, nên hội tụ đến L là nghiệm của phương trình f (x) = x. - Nếu f là hàm số nghịch biến thì các dãy con {x2n} và {x2n+1} của dãy {xn} ngược chiều biến thiên. - Nếu dãy {x2n} hội tụ đến L; dãy {x2n+1} hội tụ đến K: Với L 6= K thì dãy {xn} không có giới hạn. Với L = K thì dãy {xn} có giới hạn L. Ví dụ 2.3. Cho dãy (xn) xác định bởi x0 = √ 2 và xn+1 = (√ 2 )xn với n = 0,1,2,. . . Chứng minh rằng (xn) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. 4 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 Lời giải. Đặt f (x) = (√ 2 )x thì dãy số có dạng x0 = √ 2 và xn+1 = f (xn). Ta thấy f(x) là hàm số tăng và x1 = (√ 2 )√2 > √ 2 = x0. Do f(x) là hàm số tăng nên x2 = f (x1) > f (x0) = x1, x3 = f (x2) > f (x1) = x2, . . . suy ra (xn) tăng. Ta chứng minh bằng quy nạp xn < 2 ∀n ∈N. Với n = 0, √ 2 = x0 < 2 đúng. Giả sử xn < 2 đúng với n = k ∈N hay ta có xk < 2, khi đó: xk+1 = (√ 2 )xk < (√ 2 )2 = 2⇒đpcm. Dãy (xn) tăng và bị chặn trên bởi 2 nên có giới hạn hữu hạn. Đặt lim xn = a, ta có xn+1 = (√ 2 )xn nên a = 2 a 2 (a ≤ 2). Giải phương trình a = 2 a 2 ta được a = 2 thỏa mãn điều kiện a ≤ 2. Vậy lim xn = 2. Ví dụ 2.4. Cho dãy số: u1 = 1; un = 1 2 (un−1 + 2 un−1 ); n ≥ 2. Tìm giới hạn của dãy số. Lời giải. Ta có un > 0 với mọi n nguyên dương. Theo bất đẳng thức Cauchy được un ≥ √ 2; ∀n ≥ 2. Vậy trừ u1 còn lại các số hạng của dãy thuộc đoạn [√ 2;+∞ ) Xét hàm số: f (x) = 1 2 (x+ 2 x ) ta có f ′(x) = x 2 − 2 2x2 ≥ 0; ∀x ∈ [2;+∞) Nên f(x) tăng trên đoạn [√ 2;+∞ ) ; mà u2 = 3 2 ; u3 = 17 12 ⇒ u3 < u2 Nên nếu loại bỏ u1 thì dãy {un}là dãy giảm, bị chặn dưới nên tồn tại giới hạn L là nghiệm của phương trình f (x) = x hay x = √ 2. Vậy lim n→∞ un = √ 2 Ví dụ 2.5. Cho dãy số: u1 = 1; un = 1+ 1 un−1 ; n ≥ 2. Tìm giới hạn của dãy số. Lời giải. Ta có 1 ≤ un ≤ 2; ∀n ≥ 1. Xét hàm số f (x) = 1+ 1x ; có f ′(x) = −1 x < 0; ∀x ∈ [1; 2] Nên f (x) là hàm số nghịch biến trên đoạn [1; 2] nên dãy số được chia ra làm hai dãy ngược chiều biến thiên {u2n};{u2n+1} . Ta có u4 − u2 = −13 âm nên {u2n} là dãy giảm. 5 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 Lại có u3 − u1 = 12 dương nên {u2n+1} là dãy tăng. Các dãy con đơn điệu và bị chặn nên các dãy này hội tụ lim n→∞ u2n = a; limn→∞ u2n+1 = b; a = b nên a = 1+ √ 5 2 . 2.2 Bài toán tương tự Bài 2.1. Xét dãy số thực xác định bởi { x1 = a (a ∈ R) xn+1 = 2x3n − 5x2n + 4xn (∀n ≥ 1) Tìm tất cả các giá trị a để dãy (xn) có giới hạn hữu hạn. Hãy tìm giới hạn của dãy (xn) trong các trường hợp đó. Bài 2.2. Xét tính hội tụ của dãy sau tùy ý theo giá trị của a: x1 = a 6= −1 xn+1 = 3 √ 2x2n + 2− 2 2xn + √ 2x2n + 2 , n = 1, 2, 3, . . . Cách giải. Xét dấu của f (x)− x trên từng khoảng (−∞;−7) , (1;+∞), Bài 2.3 (THTT số 236). Cho (an) xác định bởi :  a1 = a an+1 = 2an3 − 2an2 − 2 3an2 − 4an − 1 Chứng minh rằng nếu |a| ≥ 2 thì dãy số (an) hội tụ. Tìm giới hạn của dãy trong trường hợp đó. Bài 2.4 (VMO 1998 bảng A). Cho a ≥ 1. Xét dãy số (xn): x1 = a xn+1 = 1+ ln ( x2n 1+ ln xn ) với n=1,2,. . . Chứng minh rằng (xn) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Bài 2.5 (Olympic SV 2000). Cho a, b là hai số cho trước. Dãy số (xn):{ x1 = b xn+1 = x2n + (1− 2a) xn + a2 . Với điều kiện gì của các hằng số a, b thì dãy (xn) giới hạn hữu hạn? Bài 2.6 (VMO 2005). Cho dãy số xn xác định bởi x1 = a, xn+1 = 3xn3 - 7xn2 + 5xn. (n ≥ 1) Tìm tất cả các giá trị a để dãy xn có giới hạn hữu hạn. Cách giải. Xét sự tương giao của đồ thị HS y = f(x) = 3x3 - 7x2 + 5x với ĐT hàm số y=x. 6 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 3 Phương pháp sử dụng ánh xạ co 3.1 Kiến thức liên quan - Cho I là một khoảng đóng. Hàm số f : I → I được gọi là một hàm số co trên I nếu tồn tại số thực q, 0 < q < 1 sao cho | f (x)− f (y)| ≤ q. |x− y| ∀x, y ∈ I. - Cho I là một khoảng đóng bị chặn. Nếu f (x) là một hàm số co trên I thì dãy số (xn) xác định bởi x0 = a ∈ I, xn+1 = f (xn) hội tụ. Giới hạn của dãy số là nghiệm duy nhất trên I của phương trình x = f (x). - Nếu f (x) có đạo hàm bậc nhất trên (x ; y), liên tục trên [x ; y] thì tồn tại z ∈ (x; y) sao cho f (x)− f (y) = f ′ (z) . (x− y) (Định lí Lagrange ) - Nếu hàm số f : D = [a; b] → D, có đạo hàm trên (a;b) và f’(x)<q, với 0<q<1 thì f là hàm số co trên D (theo Định lí Lagrange ) 3.2 Các bước thực hiện - Xét hàm số f(x) xác định trên khoảng đóng I - Chứng minh tồn tại số thực q, 0 < q < 1 sao cho | f (x)− f (y)| ≤ q. |x− y| ∀x, y ∈ I (thường là sử dụng Định lí Lagrange ) để suy ra f (x) là một hàm số co trên I - Kết luận dãy xn+1 = f (xn) hội tụ. - Giải phương trình L = f(L) để tìm nghiệm L và kết luận limxn = L Ví dụ 3.1 (Dự bị VMO 2008). Cho số thực a và dãy (xn) xác định bởi: x1 = a, xn+1 = ln (3+ cos xn + sin xn)− 2008 ∀n = 0, 1, 2, . . . Chứng minh rằng dãy (xn) có giới hạn hữu hạn. Lời giải. Đặt f (x) = ln (3+ cos x+ sin x) − 2008, có f ′ (x) = cos x− sin x 3+ cos x+ sin x ≤ √ 2 3−√2 = q < 1. Áp dụng định lí Lagrange cho f (x) có đạo hàm trên R, do f (x) liên tục trên R nên tồn tại z ∈ (x; y) ⊂ R sao cho f (x)− f (y) = f ′ (z) . (x− y) ⇒ | f (x)− f (y)| ≤ q |x− y|∀x, y ∈ R⇒ f (x) là một hàm số co trên Rnên dãy (xn) hội tụ. 7 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 Ví dụ 3.2. Cho dãy số thực (xn) xác định bởi: { x1 = 2007 xn+1 = √ 3+ xn√ x2n − 1 , ∀n ∈ N∗ . Tìm lim n→+∞ xn Lời giải. Ta có xn > √ 3, ∀n ∈ N∗. Xét f(x) = √ 3+ x√ x2 − 1 , ta có: f ′(x) = − 1√ (x2 − 1)3 ⇒ | f ′(x)| < 1 2 √ 2 , ∀x ∈ ( √ 3;+∞). Nếu (xn) có giới hạn thì giới hạn đó là nghiệm lớn hơn √ 3 của phương trình f (x) = x. Ta có: f (x) = x ⇔ x = √3 + x√ x2 − 1 ⇔ (x− √ 3) 2 = x2 x2 − 1 ⇔ (x2 −√3x)2 − 2(x2 −√3x)− 3 = 0⇔ [ x2 −√3x = −1 x2 −√3x = 3 ⇔ x = √ 3+ √ 15 2 . Đặt a = √ 3+ √ 15 2 , theo định lý Lagrange, luôn tồn tại cn ∈ (xn; a) hoặc (a; xn) thỏa mãn: | f (xn)− f (a)| = | f ′(cn)| |xn − a| . ⇒ |xn+1 − a| = | f (xn)− f (a)| = | f ′(cn)| |xn − a| < 1 2 √ 2 |xn − a| < · · · < ( 1 2 √ 2 ) n |x1 − a| Mà lim ( 1 2 √ 2 ) n |x1 − a| = 0, do đó limxn = a = √ 3+ √ 15 2 . Ví dụ 3.3 (VMO 2000). Cho dãy số {xn} xác định bởi x0 = 0, xn+1 = √ c−√c+ xn. Tìm tất cả các giá trị của c để mọi giá trị x0 ∈ (0; c) để dãy số {xn} được xác định với mọi n và tồn tại giới hạn hữu hạn lim x→∞ xn. Lời giải. Để x1 tồn tại thì c− √ c− x0 ≥ 0 với mọi x0 ∈ (0; c) suy ra c(c− 1) ≥ 0, suy ra c ≥ 2. Với c ≥ 2 thì 0 < x1 < √ c. Nếu 0 < xn < √ c thì c−√c− xn > c− 2 √ c suy ra xn+1 tồn tại và cũng có 0 < xn+1 < √ c. Vậy theo nguyên lý quy nạp 0 < xn <√ c, ∀ n ≥ 0. Đặt f (x) = √ c−√c+ x ⇒ f ′(x) = −1 4 √ x+ c √ c−√c+ x Với mọi x ∈ (0;√c) thì (c + x)(c − √c+ x) > c(c − √c+√c) ≥ 2(2 −√ 2+ √ 2) > 1 4 8 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 Từ đó | f ′(x)| ≤ q < 1 với mọi x ∈ (0;√c), tức là f (x)là hàm co trên (0;√c), do vậy dãy số hội tụ. Vậy tất cả các giá trị của c cần tìm là c ≥ 2. Nhận xét 3.1. Ta có phương pháp để giải dạng toán trên như sau: Bài toán trên có dạng tổng quát: Cho dãy (xn): { x1 = a xn+1 = f (xn), ∀n ∈ N∗ . Chứng minh rằng: a) Nếu f (x) là hàm số có đạo hàm trên khoảngD chứa a và | f ′(x)| < b < 1, ∀x ∈ D thì (xn) có giới hạn hữu hạn khi n tiến dần đến dương vô cùng. b) Nếu f (x) là hàm số có đạo hàm trên khoảng D chứa a, f (a) 6= 0 và | f ′(x)| > b > 1, ∀x ∈ D thì |xn| tiến dần đến +∞ khi n tiến dần đến +∞. Thật vậy: a) Nếu phương trình f (x) = x giải được (tìm được nghiệm) thì ta giải quyết bài toán tổng quát tương tự các bài toán trên và khi đó ta tìm được giới hạn của dãy số khi +∞. Nếu phương trình f (x) = x khó giải thì ta giải quyết bài toán tổng quát bằng cách sử dụng tiêu chuẩn Cauchy. b) Khi ∃a0 ∈ D : a0 6= a, f (a0) = a0 luôn tồn tại cn ∈ (xn; a0) hoặc (a0; xn) thỏa mãn: | f (xn)− f (a0)| = | f ′(cn)| |xn − a0| ⇒ |xn+1|+ |a| ≥ |xn+1 − a| = | f (xn)− f (a0)| > b |xn − a0| > · · · > bn |a− a0| ⇒ lim |xn| = +∞ Khi phương trình f(x) = x vô nghiệm, ta có f (x)− x > 0, ∀x ∈ D hoặc f (x)− x < 0, ∀x ∈ D. Suy ra dãy (xn) tăng hoặc giảm. Nếu (xn) có giới hạn thì giới hạn đó là nghiệm của phương trình f(x) = x, nhưng của phương trình f(x) = x vô nghiệm, do đó lim x→+∞ |xn| = +∞. 3.3 Bài toán tương tự Bài 3.1. Cho dãy số (xn) : x1 = −12, xn+1 = x2n − 1 2 , ∀n = 1, 2, . . . Tìm giới hạn của dãy số (xn). Bài 3.2. Cho dãy số {xn}: x1 = a > 1, xn+1 = 1+ ln( x 2 n 1+ ln xn ). Tìm lim xn. 9 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 Bài 3.3. Cho dãy số {un}: u3n+1 = un+ 15 64 . Tìm u1 để dãy số {un} có gới hạn hữu hạn. Bài 3.4. Cho hai dãy: (an), (bn) : a1 = 3, b1 = 2, an+1 = an + 2bn, bn+1 = an + bn. Tính giới hạn lim an bn . Cách giải. Đặt cn = an bn , n ≥ 1 thì cn+1 = cn + 2cn + 1 ; Chứng minh cn > 1 ∀n ≥ 1; Đánh giá |cn+1 − √ 2| Bài 3.5. Tìm giới hạn (nếu có) của dãy (un) : u0 > 0, un+1 = u2n + 3 2(un + 1) , n ≥ 0. 10