Một số phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng

Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Lê Thanh Bình Trường THPT Tĩnh Gia 1, Thanh Hóa Tóm tắt nội dung Nội dung của bài viết này là nhằm trình bày một số phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau 1 Phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng Định nghĩa 1.1. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Chú ý: Trong bài viết này có sử dụng ký hiệu góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là ̂((P); (Q)). Xét phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q). 1.1 Sử dụng định nghĩa Tìm (dựng) hai đường thẳng a và b sao cho a⊥ (P) và b⊥ (Q). Khi đó ̂((P); (Q)) = (̂a; b). Nhận xét 1.1. Với cách làm này, ta cần phải tìm đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P). Do đó phải tìm được mặt phẳng (α)vuông góc với (P). Khi đó alà đường thẳng nằm trong (α) và vuông góc với giao tuyến của (α) và (P). 1 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 Ví dụ 1.1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA⊥(ABCD). Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SC cắt hình chóp theo thiết diện có diện tích a2 √ 3 6 . Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD). Lời giải. Gọi B’, C’, D’ lần lượt là hình chiếu của A trên các cạnh SB, SC, SD. Khi đó chứng minh được AB′⊥ (SBC) và AD′⊥ (SCD). Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) là góc giữa hai đường thẳng AB′ và AD′. Từ đó ta cũng có AB′⊥SC, AC′⊥SC, AD′⊥SC. Do đó A, B’, C’, D’ cùng thuộc (P). Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác AB’C’D’. Đặt SA = h. Khi đó ta có SB′ SB = SB′.SB SB2 = SA2 SB2 = h2 a2 + h2 = SD′ SD Suy ra B′D′//BD ⇒ B′D′⊥ (SAC)⇒ B′D′⊥AC′. Cũng từ đó suy ra B′D′ BD = SB′ SB = h2 a2 + h2 ⇒ B′D′ = h 2 a2 + h2 .BD = h2.a √ 2 a2 + h2 . Ta có AC′ = SA.AC SC = h.a √ 2√ 2a2 + h2 . Do đó diện tích thiết diện là: Std = 1 2 B′D′.AC′ = h3a2 (a2 + h2) √ 2a2 + h2 . Vì diện tích thiết diện bằng a2 √ 3 6 nên h3a2 (a2 + h2) √ 2a2 + h2 = a2 √ 3 6 ⇔ 1[( a h )2 + 1 ]√ 2 ( a h )2 + 1 = √ 3 6 ⇔ [( a h )2 + 1 ]2 [ 2 ( a h )2 + 1 ] = 12 Đặt t = ( a h )2 ta được (t+ 1)2 (2t+ 1) = 12 ⇔ 2t3 + 5t2 + 4t− 11 = 0 ⇔ t = 1. Do đó h = a. Khi đó tam giác AB′D′ đều cạnh bằng a √ 2 2 . Suy ra ̂(AB′, AD′) = 600. Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng 600. 1.2 Sử dụng mặt phẳng vuông góc với giao tuyến Xác định giao tuyến của (P) và (Q). Giả sử đường thẳng ∆ = (P) ∩ (Q). - Tìm mặt phẳng (R) thích hợp sao cho (R)⊥∆. 2 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 - Xác định a = (P) ∩ (R) và b = (Q) ∩ (R). - Khi đó ̂((P); (Q)) = (̂a; b). Nhận xét 1.2. Vì (R)⊥∆ nên ∀d ⊂ (R), ta có d⊥∆. Do đó, để dựng mặt phẳng (R) vuông góc với ∆, ta thường phải tìm một đường thẳng d⊥∆ thích hợp. Tìm giao điểm H = d ∩ (P) ,M = d ∩ (Q) Từ M kẻ đường thẳng MO⊥∆ tại O (hoặc từ H kẻ OH⊥∆ tại O). Khi đó mặt phẳng (R) là mặt phẳng (MOH). Nếu d⊥ (P)hoặc d⊥ (Q) thì càng thuận lợi hơn, ta có ngay góc giữa (P) và (Q) là góc M̂OH. Ví dụ 1.2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA⊥ (ABC), góc giữa SB và đáy bằng 450. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC). Lời giải. Ta có (SAC) ∩ (SBC) = SC. Gọi H là trung điểm của AC, suy ra BH⊥ (SAC). Do đó BH⊥SC. Kẻ HK⊥SC tại K. Suy ra (BHK)⊥SC. Do đó góc giữa (SAC) và (SBC) là góc giữa HK và BK, đó là góc B̂KH. Ta có góc giữa SB và đáy là góc ŜBA = 450. Suy ra SA = a, SC = a √ 2, HC = a 2 , HB = a √ 3 2 . Vì ∆HKC ∼ ∆SAC nên HK SA = HC SC ⇒ HK = HC.SA SC = a √ 2 4 . Suy ra tan B̂KH = HB HK = √ 6. Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC)bằng arctan √ 6. 3 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 1.3 Sử dụng khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, điểm đến mặt phẳng Về mặt tính toán thì với cách này ta đưa về tính góc trong một tam giác, đặc biệt là tam giác vuông, do đó chỉ cần tìm độ dài hai cạnh góc vuông, hoặc độ dài một cạnh góc vuông và cạnh huyền là xong. Như vậy ta đã “sử dụng khoảng cách để tính góc giữa hai mặt phẳng”. Cụ thể ta có công thức tính góc giữa hai mặt phẳng như sau: Gọi ∆ = (P) ∩ (Q) và A ∈ (Q) , A /∈ ∆. Ta có sin ϕ = AH AK = d (A, (P)) d (A, ∆) . Ví dụ 1.3. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. AB = SD = a, AD = SB = a √ 3, BC = a√ 3 (với a > 0), SB⊥AC. Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD). Tính sin ϕ. Lời giải. Gọi O = AC ∩ BD. Ta có tan ÂBO = AD AB = √ 3 = AB BC = cot B̂AO ⇒ AC⊥BDVì SB⊥AC nên AC⊥ (SBD). Do đó (SBD)⊥ (ABCD). Trong mp(SBD) kẻ SH⊥BD tại H. Khi đó SH⊥ (ABCD) nên SH là đường cao của hình chóp S.ABCD. Vì AB = SD = a, AD = SB = a √ 3 nên hai tam giác ABD và SDB là hai tam giác vuông bằng nhau. Ta có tan ÂBD = AD AB = √ 3⇒ ÂBD = 600. Gọi M là trung điểm của BD, khi đó các tam giác ABM và SDM là các tam giác đều cạnh a. 4 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 Suy ra O, H lần lượt là trung điểm của MB và MD. Hơn nữa SH = AO = √ 3 2 a. Kẻ HI⊥AB tại I, kẻ HK⊥SI tại K. Suy ra HK⊥ (SAB). Ta có IH AD = BH BD = 3 4 ⇒ IH = 3 4 AD = 3 √ 3 4 a. Suy ra HK = SH.IH√ SH2 + IH2 = 3 √ 39 26 a. Do đó d (D, (SAB)) = BD BH .d (H, (SAB)) = 4 3 HK = 2 √ 39 13 a. Lại có SA = √ SH2 + HI2 + IA2 = √ 10 2 a. Ta có cos ŜAD = SA2 + AD2 − SD2 2.SA.AD = 3 √ 30 20 ⇒ sin ŜAD = √ 130 20 Kẻ DJ⊥SA tại J. Ta có d (D, SA) = DJ = AD. sin ŜAD = √ 390 20 a. Vậy góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) thỏa mãn: sin ϕ = d (D, (SAB)) d (D, SA) = 2 √ 39 13 a √ 390 20 a = 4 √ 10 13 . 1.4 Sử dụng diện tích hình chiếu Cho hai mặt phẳng (P) và (Q), trên (P) cho một đa giác (H) có diện tích S. Hình chiếu vuông góc của (H) trên (Q) là đa giác (H′) có diện tích S′. Khi đó góc ϕ giữa (P) và (Q) thỏa mãn cos ϕ = S′ S . Ví dụ 1.4. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có AB = CB = 2, AC = 1. Mặt phẳng (P) cắt các đường thẳng AA′, BB′,CC′ lần lượt tại M,N, P sao cho tam giác MNP đều. Tính cosin góc tạo bởi (P) và (ABC). Lời giải. Từ C dựng CE song song với PM, E thuộc AA’, CF song song với PN, F thuộc BB’. Ta có (CEF) // (PMN) nên EF // MN và tam giác CEF là một tam giác đều. Đặt AE = x, BF= y, CE = CF = EF = a. Ta có hệ  x2 + 1 = a2(1) y2 + 4 = a2(2) (x− y)2 + 4 = a2(3) 5 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 Từ (1) và (2) suy ra :x2 + y2 = 2a2 − 5. Kết hợp (3) suy ra xy = a 2 − 1 2 Từ (1) và (2) suy ra: x2y2 = (a2 − 1)(a2 − 4). Do đó ( a2 − 1 2 ) 2 = (a2 − 1)(a2 − 4) Giải được : [ a2 = 1 (lo1i) a2 = 5 . Suy ra S∆CEF = 5 √ 3 4 . S∆ABC =√ p(p− a)(p− b)(p− c) = √ 15 4 Gọi ϕ là góc cần tìm. Theo định lí hình chiếu ta có cos ϕ = S∆ABC S∆CEF = √ 15/4 5 √ 3/4 = √ 5 5 . Vậy góc của (P) và (ABC) là arccos( √ 5 5 ) Nhận xét 1.3. Ta cũng có thể làm như sau. Kẻ NE//BA, NF//BC như hình vẽ. Ta có (NEF) // (ABC) và ∆NEF = ∆BAC. Ta có NM = NP = MP và NE = NF nên EM = FP. Suy ra MP//EF hoặc MP và EF cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường. Trường hợp 1. MP//EF ⇒ MP = 1 < 2 = NE < NM (không thỏa mãn) Trường hợp 2. MP và EF cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường. Khi đó NI⊥EF, NI⊥MP. Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (MNP) và (NEF) là góc M̂IE. Ta có NI = √ NE2 − EI2 = √ 15 2 . Do tam giác MNP đều nên IM = IN√ 3 = √ 5 2 . Lại có IE = 1 2 EF = 1 2 . Vậy góc giữa (MNP) và (ABC) là ϕ thỏa mãn cos ϕ = IE IM = 1√ 5 . 6 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 1.5 Phương pháp vector, phương pháp toạ độ Gọi −→nP, −→nQ lần lượt là các vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q). Khi đó−→nP, −→nQ cũng là vector chỉ phương của các đường thẳng a, b với a⊥ (P) , b⊥ (Q). Góc ϕ giữa (P) và (Q) cũng là góc giữa a và b nên ta có cos ϕ = cos (̂a, b) = ∣∣cos (−→ua ,−→ub )∣∣ =∣∣cos (−→nP,−→nQ)∣∣ = ∣∣−→nP.−→nQ∣∣∣∣−→nP∣∣ . ∣∣−→nQ∣∣ . Ví dụ 1.5. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh. Tam giác vuông tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đường thẳng tạo với mặt phẳng một góc. Tính góc giữa và. Lời giải. Từ S dựng SH⊥BC tại H, suy ra SH⊥ (ABCD). Chọn hệ trục tọa độ Hxyz, sao cho B thuộc tia Hx, tia cùng hướng với −→ CD, S thuộc tia Hz. Ta có { DC⊥BC DC⊥SH ⇒ DC⊥ (SBC) ⇒ ̂(SD, (SBC)) = D̂SC = 600 và DC⊥SC. ⇒ SC = CD tan 600 = a⇒ SH = SB.SC BC = a √ 6 3 ⇒ BH = √SB2 − SH2 = 2a √ 3 3 . Khi đó ta có H (0; 0; 0) , S ( 0; 0; a √ 2√ 3 ) , B ( 2a√ 3 ; 0; 0 ) , D ( − a√ 3 ; a √ 3; 0 ) . Ta có [−→ SB, −→ SD ] = ( a2 √ 2; a2 √ 2; 2a2 ) ⇒ −→n1 = ( 1; 1; √ 2 ) là một vectơ pháp tuyến của (SBD).[−→ HB, −→ HD ] = ( 0; 0; 2a2 )⇒ −→n2 = (0; 0; 1) là một vectơ pháp tuyến của (ABCD). ⇒ cos ̂((SBD), (ABCD)) = ∣∣cos (−→n1 ,−→n2)∣∣ = ∣∣−→n1 .−→n2 ∣∣∣∣−→n1 ∣∣ . ∣∣−→n2 ∣∣ = √ 2 2 . Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng 450. 2 Một số bài tập áp dụng Bài 2.1. Cho hình lăng trụ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng trùng với trung điểm của cạnh. Biết góc giữa đường thẳng BC′ và mặt 7 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 bên (ABB′A′) bằng. Tính góc giữa hai mặt phẳng (BCC′B′) và (ABC). Bài 2.2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A,AB = AC = a, B̂AC = 120o, SA = SB = SC = 2a. Xác định góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) . Bài 2.3. Cho lăng trụ đứng tứ giác ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ÂBC = 600. Một mặt phẳng (α) cắt các đường thẳng AA′, BB′, CC′, DD′ lần lượt tại M, N, P, Q sao cho MNPQ là hình vuông. Tính góc giữa mặt phẳng (α) và mặt phẳng (ABCD). 8