Một số tính chất cơ bản của hàm dẫn xuất

TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 114 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ ẢN CỦA HÀM DẪN XUẤT Nguyễn Mạnh Hùng1 TÓM TẮT Bài báo đưa ra chứng minh cho một số định lý cơ bản về hàm dẫn xuất của đại lượng ngẫu nhiên nhận các giá trị nguyên, không âm. Từ khóa: Hàm dẫn uất, đại lượng ngẫu nhiên nguyên, không âm. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Chúng ta đều biết: mỗi phân phối xác suất đều đƣợc xác định một cách duy nhất bởi một hàm đặc trƣng    itXt E e  . Tuy nhiên việc nghiên cứu các hàm đặc trƣng nói chung phức tạp và đòi hỏi vận dụng lý thuyết hàm biến phức. Đối với các đại lƣợng ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên, không âm có một cách khác đơn giản hơn để nghiên cứu phân phối xác suất, đó là nghiên cứu thông qua những hàm biến thực dạng đa thức hoặc chuỗi, gọi là các hàm dẫn xuất. Trong bài báo này chúng tôi chứng minh các tính chất cơ bản của hàm dẫn xuất mà trong tài liệu [1] không trình bày hoặc trình bày chƣa cụ thể. 2. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Định nghĩa 2.1. [1] Cho đại lƣợng ngẫu nhiên X nhận các giá trị nguyên, không âm với ( ) , ( 0,1,2, ...)iP X i p i   . Hàm số 0 ( ) X ii i f s Es p s     đƣợc gọi là hàm dẫn xuất của đại lƣợng ngẫu nhiên .X Nhận xét 2.1. Nếu ( )f s là hdx của đại lƣợng ngẫu nhiên X thì ( )itf e là hàm đặc trƣng của nó. Ví dụ 2.1. Cho đại lƣợng ngẫu nhiên X có phân bố xác suất nhƣ sau: X 0 1 2 3 4 5 P 0,1 0,15 0,25 0,2 0,1 0,2 Theo định nghĩa 1.1, hàm dẫn xuất của X là 2 3 4 50,1 0,15 0,25 0,2 0,1 ) ,2( 0X s ss sf E s ss       . Ví dụ 2.2. [2] Cho đại lƣợng ngẫu nhiên X có phân phối xác suất nhị thức với tham số  ,n p . Theo định nghĩa 1.1, hàm dẫn xuất của X là   0 0 ( ) n n ii i n i i i n iX n n i i f s Es C p q s C ps q       . 1 Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 115 Biểu thức cuối cùng chính là khai triển nhị thức Newton   n ps q . Vậy hàm dẫn xuất của đại lƣợng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức với tham số  ,n p là     n f s ps q  . Ví dụ 2.3. Cho đại lƣợng ngẫu nhiên X có phân phối xác suất Poisson với tham số 0  . Theo định nghĩa 1.1, hàm dẫn xuất của X là    1 0 0 ) ! ( . ! i i i i X ss i s f s E ee s e e e i i s              . Vậy hàm dẫn xuất của đại lƣợng ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số 0  là:    1sf s e  . Định nghĩa 2.2. ([1]) Cho đại lƣợng ngẫu nhiên X nhận các giá trị nguyên không âm với ( ) , ( 0,1,2,...).iP X i q i   Hàm số 0 ( ) ii i g s q s    đƣợc gọi là hàm dẫn xuất phụ của đại lƣợng ngẫu nhiên X . Ví dụ 2.4. Cho đại lƣợng ngẫu nhiên X có phân bố xác suất nhƣ sau: X 0 1 2 X 0 1 2 P 0,1 0,5 0,4 Q 0,9 0,4 0 Theo định nghĩa 1.2, hàm dẫn xuất của X là: 0,9 ( ) 0,4 g ss  . Ví dụ 2.5. Cho đại lƣợng ngẫu nhiên X có phân phối xác suất Poisson với tham số 0  . Theo Định nghĩa 1.2, hàm dẫn xuất của X là  1 0 1 ( ! ) 1 1 sk i i k i e e s k g s s                 . Hàm dẫn xuất phụ của đại lƣợng ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số 0  là    1 1 1 s e g s s      . Nhận xét 2.2. a) Hàm dẫn uất  f s ác định ít nhất trên đoạn  1;1 . b) Hàm dẫn uất phụ  g s ác định ít nhất trên đoạn  1;1 . c) Chuỗi hàm 0 . ii i p s    hội tụ đều trên đoạn    ; 1;1    về hàm  f s , do đó ta có thể lấy đạo hàm 2 vế    1 0 . . i i i f s i p s      . Thay 1s  vào công thức trên ta được   0 1 . i i f i p     . Suy ra  1EX f  . Vậy  f s ác định tại 1s  khi và chỉ khi EX tồn tại. TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 116 Định lí 2.1. [1] Cho    ,f s g s lần lượt là hàm dẫn uất và hàm dẫn uất phụ của đại lượng ngẫu nhiên .X Khi đó nếu 1s  thì    1 . 1 f s g s s    Chứng minh. Ta có 0 ( ) ii i g s q s    0 1 i i i k i p s               . Do đó:       20 0 1 0 1 2( ) 1 1 1 g s p p p s p p p s                 2 2 2 20 1 21 1 s s p s s p s s p s              2 0 1 2 1 1 1 1 1 1 s s p p p s s s s                               20 1 2 1 1 1 p p s p s s           0 1 1 1 i i i p s s               1 1 f s s    . Định lý đƣợc chứng minh. Định lí 2.2. [1] Cho X là đại lượng ngẫu nhiên nhận các giá trị nguyên không âm. Nếu EX tồn tại thì  g s ác định tại 1s  và  1 .EX g Chứng minh. Nếu EX tồn tại, dễ thấy Do đó         1 1 1 1 1 1 lim lim lim 1 1 1s s s f s f f s f s EX s s s            Từ định lý 2.1 suy ra:     1 lim 1 s EX g s g    . Định lý đƣợc chứng minh. Định lí 2.3. [1]) Cho X là đại lượng ngẫu nhiên nhận các giá trị nguyên không âm. Nếu DX tồn tại thì    ,f s g s  ác định tại 1s  và               2 2 1 1 1 2 1 1 1 .DX f f f g g g         Chứng minh. Ta có         2 22 22 2 . EX EX E X DX E X EX EX EX EX        (Xem [1])    22 0 . 1i i i p f     (xem Định lý 2.2) TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 117      2 0 0 1 . . 1i i i i i i p i p f                 2 1 1 1f f f     . (Do DX tồn tại nên  1f  tồn tại hay  f s xác định tại 1s  ). Tiếp theo, từ Định lý 2.1 ta có    1 . 1 f s g s s    Suy ra:      1 .f s g s s g s          .f s g s g s s g s             2 .f s g s g s s g s       . Do  f s xác định tại 1s  nên    1 2 1f g  , do đó  g s xác định tại 1s  và ta có:               2 2 1 1 1 2 1 1 1 . f fD f g g X g         Vậy               2 2 1 1 1 2 1 1 1 .DX f f f g g g         Định lý đƣợc chứng minh. Định lí 2.4. [1] Cho ,X Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập nhận các giá trị nguyên không âm với   iP X i p  và   iP Y i q  . Đặt Z X Y  thì hàm dẫn uất của đại lượng ngẫu nhiên Z là      .Z X Yf s f s f s , (với    ,X Yf s f s lần lượt là hai hàm dẫn uất của hai đại lượng ngẫu nhiên ,X Y ). Chứng minh Ta có      Z X Y X Y f s f s Es    . Suy ra    .XZ YE sf s s . Nên      .XZ YE sf s E s (vì ,X Y là hai đại lƣợng ngẫu nhiên độc lập, xem [2]) Do đó      .Z X Yf s f s f s . Định lý đƣợc chứng minh. Định lí 2.5. [1] Nếu 1 2, , , nX X X là n đại lượng ngẫu nhiên độc lập nhận các giá trị nguyên không âm và 1 n i i X X   thì hàm dẫn uất của đại lượng ngẫu nhiên TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 118 X là     1 i n X X i f s f s   , (với  iXf s là hàm dẫn uất của hai đại lượng ngẫu nhiên , 1,iX i n ). Định lý 2.5 là mở rộng đơn giản Định lý 2.4, do đó việc chứng minh Định lý 2.5 hoàn toàn dựa trên chứng minh của Định lý 2.4. Vậy hàm dẫn xuất của tổng các đại lƣợng ngẫu nhiên độc lập bằng tích các hàm dẫn xuất của từng đại lƣợng ngẫu nhiên thành phần. Hệ quả 2.1. Nếu 1 2, ,..., nX X X là n đại lượng ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối ác suất thì hàm dẫn uất của 1 n i i X X   (tổng các đại lượng ngẫu nhiên đó) là      n Xf s f s , với  f s là hàm dẫn uất chung của các đại lượng ngẫu nhiên 1 2, , , nX X X . TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Feller W. (1957), An Introduction to Variational the probability theory and its applications, V. I. 2nd ed. John Wiley and Sons, Inc., New York; Chapman and Hall, Ltd., London. [2] Phạm Văn Kiều (2000), Xác suất thống kê, Nxb. Giáo dục, Hà Nội. [3] Kagan A. M., Linnik Yu. V., Rao R. (1972), Các bài toán đặc trưng của thống kê toán học (Tiếng Nga), Moskva, “Nauka”. SOME BASIC PROPETIES FOR GENERATING FUNCTION Nguyen Manh Hung ABSTRACT In this paper, we present proofs of some basic results for generating function of random variables receiving integer and non-negative values. Keywords: Generating function, random variable receiving integer, non- negative values. * Ngày nộp bài: 15/10/2019; Ngày gửi phản biện: 25/11/2019; Ngày duyệt đăng: 28/10/2020