Một số yếu tố bên ngoài tác động đến sự phát triển của toán học

MỘT SỐ YẾU TỐ BÊN NGOÀI TÁC ĐỘNG ĐẾN SỰ PHÁT TRIỂN CỦA TOÁN HỌC LÊ VĂN ĐOÁN (*) Tập trung phân tích sự tác động của thực tiễn xã hội, của các khoa học khác, của văn hoá và triết học đến sự phát triển của toán học, tác giả đã khẳng định: cũng như tất cả các khoa học khác, toán học không thể phát triển được nếu không dựa vào các yếu tố bên ngoài này, nhất là triết học duy vật biện chứng và đến lượt mình, sự phát triển của toán học đã dẫn đến sự hợp tác và tương tác ngày càng sâu rộng hơn của nó với thực tiễn xã hội, với các ngành khoa học khác, nhất là các ngành khoa học xã hội – những ngành mới đối với các ứng dụng toán học. Từ khi hình thành như một khoa học, toán học đã trải qua nhiều thời kỳ phát triển khác nhau. Mỗi thời kỳ lịch sử đó đều ghi đậm những dấu ấn quan trọng về vai trò của toán học đối với sự phát triển của các khoa học khác, đồng thời toán học cũng chịu sự tác động không nhỏ của các khoa học khác đến quá trình phát triển của mình. Việc tìm hiểu, nghiên cứu những yếu tố tác động đến sự phát triển của toán học không chỉ đơn thuần là để minh chứng cho tính khách quan của các tri thức toán học, mà quan trọng hơn, là để chỉ ra động lực phát triển của toán học. Trên cơ sở phân tích bản chất của các tri thức toán học và mối quan hệ qua lại của nó với các khoa học khác, chúng ta có thể phân chia tất cả những yếu tố quan trọng nhất có tác động đến sự phát triển của toán học thành các yếu tố bên ngoài và các yếu tố bên trong. Những yếu tố bên trong thể hiện lôgíc nội tại của sự phát triển toán học; chúng được thể hiện rõ nét từ thời điểm toán học được hình thành như một khoa học lý thuyết. Những yếu tố bên trong liên quan đến việc hệ thống hóa và chỉnh lý các tư liệu hiện thực đã được tích lũy, liên quan đến việc hoàn thiện và phát triển các phương pháp, khái niệm, lý thuyết cùng với những nghịch lý xuất hiện trong toán học. Đồng thời, tất cả các nhu cầu của sản xuất xã hội, của kinh tế, kỹ thuật, của khoa học xã hội – nhân văn và khoa học tự nhiên đều liên quan đến những yếu tố bên ngoài đối với sự phát triển của toán học. Trên thực tế, triết học, hệ tư tưởng thống trị và môi trường văn hóa của thời đại cũng có ảnh hưởng to lớn đến sự phát triển của khoa học nói chung, của toán học nói riêng. Trong phạm vi bài viết này, chúng tôi chỉ đề cập đến một số yếu tố bên ngoài có ảnh hưởng lớn đến sự phát triển của toán học. Trước hết, toán học cũng như tất cả các khoa học khác, sự xuất hiện của nó nhất thiết phải đáp ứng nhu cầu của sản xuất xã hội. Điều này được thể hiện rất rõ từ thời Ai Cập cổ đại, trong đó toán học mang tính thực dụng thuần túy, đa số các phương pháp toán học được sử dụng là để giải quyết các nhiệm vụ do nhu cầu thực tiễn của việc đo đạc đất đai, tính toán thể tích của các vật thể và xây dựng các công trình văn hóa, chẳng hạn như công trình nổi tiếng Kim tự tháp v.v.. Rõ ràng là, từ cội nguồn xuất phát đó, các phép đếm sơ đẳng và những cách đo đạc đã được sử dụng trong nhiều thế kỷ. Nhưng cùng với sự xuất hiện các nền văn minh, sự phát triển tiếp theo của toán học đã diễn ra trong sự tác động qua lại, gắn bó hữu cơ với tự nhiên học. Lịch sử toán học và văn hóa nói chung đã tích lũy được một khối tư liệu khổng lồ, trong đó chứng tỏ một cách chắn chắc rằng, những khái niệm xuất phát và những phương pháp của những ngành cổ xưa nhất của toán học có nguồn gốc từ thực tiễn, cụ thể như số học và hình học. Trên thực tế, những khách thể toán học trừu tượng, như các số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực, số ảo, các hình hình học, v.v. đã được hình thành dưới ảnh hưởng của các nhu cầu sản xuất xã hội, kinh tế, kỹ thuật, thương mại, quân sự, v.v., và hiện tại, đa số các nhà khoa học không phủ nhận điều đó. Trong lịch sử khoa học, đặc biệt trong triết học, đã có không ít các nhà tư tưởng xem xét sự xuất hiện của đối tượng toán học độc lập với bất cứ kinh nghiệm và thực tiễn nào. Những quan điểm về tính chất tiên nghiệm của đối tượng toán học đã được truyền bá rộng rãi trong triết học duy tâm, kể cả trong xã hội hiện đại. Về vấn đề này, có những nhà hoạt động khoa học đã có quan niệm sai lầm rằng, một khi những khách thể toán học mới được thiết lập cùng với việc giải quyết những vấn đề của khoa học - kỹ thuật và tự nhiên, thì điều đó dường như chứng tỏ toán học đã phát triển trên cơ sở những tài liệu của tự nhiên học và các khoa học cụ thể khác chứ không phải từ sản xuất, kinh tế, kỹ thuật, v.v.. Trên thực tế, các nhu cầu của sản xuất, kỹ thuật và kinh tế đã thường xuyên được phản ánh thông qua các nhu cầu của các khoa học gần gũi với sản xuất, nhưng chính điều đó lại hoàn toàn không phải là cơ sở để loại trừ sự tác động của thực tiễn đối với sự ra đời của các khách thể toán học mới. Đồng thời, nó cũng không chứng tỏ rằng, toán học được phát triển chỉ dựa trên cơ sở những tư liệu của tri thức thuần túy. Điều quan trọng nhất là chúng ta phải lý giải được sự cần thiết về việc tác động của các nhu cầu sản xuất, kỹ thuật và kinh tế đối với sự phát triển của toán học. Sự tác động đó đang trở nên gián tiếp và ngày càng phức tạp. Ở đây, phải nói rằng, toán học phát triển được là dựa trên cơ sở các khoa học tự nhiên, khoa học kỹ thuật và các khoa học khác, nhưng các khoa học này lại khai thác tư liệu và đưa ra các mục đích của mình từ thực tiễn. Chẳng hạn, sự xuất hiện của phép tính vi phân và tích phân là do sự tác động của các khoa học, như cơ học, vật lý học, thiên văn học, v.v.. Cho dù các khoa học đó có tính độc lập tương đối, có lôgíc nội tại của sự phát triển các khái niệm và lý thuyết của mình thì cũng không phải vì thế mà nghi ngờ mối quan hệ của chúng với sản xuất xã hội, với kỹ thuật và kinh tế bị giảm bớt. Trong tác phẩm nổi tiếng – Biện chứng của tự nhiên, Ph.Ăngghen đã viết: “Trước hết là thiên văn học, một ngành đã vì thời tiết mà tuyệt đối cần thiết cho những dân tộc chăn nuôi và làm ruộng. Thiên văn học chỉ có dựa vào toán học mới phát triển được. Do đó mà người ta phải nghiên cứu cả toán học. Sau đó, đến một giai đoạn phát triển nhất định của nông nghiệp và trong những khu vực nhất định (đưa nước lên để tưới ruộng ở Ai Cập), và nhất là cùng với sự xuất hiện những thành phố, những công trình xây dựng lớn, và cùng với sự phát triển của thủ công nghiệp thì cơ học cũng phát triển theo. Chẳng bao lâu, cơ học lại trở nên cần thiết cho cả hàng hải và chiến tranh. Cơ học cũng cần sự giúp đỡ của toán học và do đó thúc đẩy toán học phát triển. Như thế là ngay từ đầu, sự phát sinh và phát triển của các ngành khoa học đã do sản xuất quy định”(1). Mặt khác, do bản chất trừu tượng của toán học và việc tuân thủ nghiêm ngặt các quy luật lôgíc của các phép chứng minh toán học, sự tác động của các yếu tố bên trong đối với sự phát triển của toán học đã trở nên rất mạnh mẽ. Chính vì vậy, người ta thường vin vào tình tiết đó như một chứng cớ để khằng định rằng, sự phát triển của toán học diễn ra độc lập với thực tiễn. Từ lập trường duy vật biện chứng, chúng ta có đủ cơ sở để khằng định rằng, những biến đổi căn bản trong toán học, về nhiều mặt, đã được quyết định bởi nhu cầu của khoa học tự nhiên, kỹ thuật và qua đó, chúng được quyết định bởi nhu cầu của sản xuất xã hội. Chẳng hạn, trong toán học, việc đưa các đại lượng biến thiên vào đã dẫn đến sự ra đời của môn giải tích toán học mà cơ sở của nó là phép tính vi phân, tích phân. Điều căn bản là ở chỗ, sự chuyển biến này đã được quyết định trước hết bởi nhu cầu của cơ học, của thiên văn học và kỹ thuật. Cụ thể hơn, vấn đề nghiên cứu sự vận động và quá trình biến đổi của các sự vật, hiện tượng trong thế giới khách quan đã tạo ra sự phát triển đối với các khoa học nói trên, trong đó hệ thống tri thức toán học về các đại lượng biến thiên đã được thiết lập để phân tích chúng. Tiếp theo, nhu cầu của lực lượng sản xuất cũng như việc chuyển từ lao động chân tay sang lao động cơ khí trong xã hội tư bản đã kích thích cơ học và thiên văn học phát triển. Chính những điều đó đã nói lên cuộc cách mạng mới nhất trong toán học, trong đó phạm vi nghiên cứu của toán học đã được mở rộng. Toán học đã chuyển từ việc nghiên cứu tính phụ thuộc giữa các đại lượng sang việc nghiên cứu các cấu trúc trừu tượng của những hình dạng không gian và những quan hệ số lượng phức tạp nhất. Việc thành lập bộ môn kỹ thuật điện toán đã mở rộng một cách đáng kể khả năng áp dụng phương pháp toán học trong khoa học, trong kinh tế và kỹ thuật. Có thể nói, sự phát triển của toán học ở một trình độ cao hơn đã mang lại khả năng áp dụng các phương pháp toán học ngày càng rộng rãi và rốt cuộc, đã dẫn đến cuộc cách mạng khoa học và công nghệ hiện đại. Sự tác động của những yếu tố bên ngoài, như triết học và văn hóa tinh thần, nhìn chung được thể hiện ở các nguyên tắc lập luận của toán học, ở bản chất của những giá trị khoa học trong các lý thuyết toán học. Đặc biệt, sự tác động đó còn thể hiện ở việc giải thích những vấn đề cơ bản nhất của toán học, như mối quan hệ hữu cơ giữa vô hạn và hữu hạn, giữa biến thiên và bất biến, giữa tất nhiên và ngẫu nhiên, v.v.. Trên thực tế, những vấn đề nói trên thường là vũ đài của các cuộc tranh luận về các chương trình khác nhau của lập luận toán học. Chẳng hạn, trong việc giải quyết các nghịch lý xuất hiện ở lý thuyết tập hợp, bản thân triết học đã có vai trò rất lớn, nó đã chỉ rõ thực chất của các cuộc tranh luận giữa các trường phái khác nhau về bản chất của tập hợp và các trừu tượng toán học khác. Tiếp đó, trước sự phát minh ra hình học phi Ơcơlit thì triết học tiên nghiệm và kinh nghiệm đã thể hiện rõ thái độ tiêu cực; trái lại, chủ nghĩa duy vật biện chứng coi sự phát minh ra hình học phi Ơcơlit đã chứng tỏ tính đúng đắn về sức sáng tạo của tri thức lý luận, về con đường biện chứng của nhận thức qua những chân lý tương đối. Để chứng minh cho ảnh hưởng to lớn của triết học và văn hóa tinh thần đến sự phát triển của toán học, chúng ta hãy xem xét một vài thí dụ trong lịch sử khoa học. Trước hết là hoạt động của nhà khoa học vĩ đại Hy Lạp cổ đại – Đêmôcrít. Ông là nhà khoa học đầu tiên sử dụng có kết quả phép phân chia các vật thể thành những lớp mỏng để tính thể tích của chúng. Về thực chất, phương pháp này liên hệ chặt chẽ với học thuyết về cấu tạo nguyên tử của các vật thể mà Đêmôcrit đã phát triển sau Lơxip. Bằng phương pháp đó, Đêmôcrit đã chứng minh các định lý về tính thể tích của hình chóp, hình trụ, hình nón và hình cầu và nhờ đó, đã khắc phục được khó khăn mà trước đó, những đại diện của trường phái Pitago không thể vượt qua được. Nhà toán học Hy Lạp cổ đại nổi tiếng là Acsimet đã đánh giá đúng tác dụng của phương pháp Đêmôcrit, phát triển phương pháp đó và sử dụng nó để giải những bài toán tĩnh học và hình học phức tạp nhất. Nhưng trong thời đại của Đêmôcrit, chủ nghĩa duy tâm thần bí giữ vai trò hệ tư tưởng thống trị, vì vậy các công trình của ông đã không được phép xuất bản, thậm chí còn bị thủ tiêu một cách không thương tiếc. Rõ ràng, điều đó đã cản trở lớn đến sự truyền bá rộng rãi tư tưởng tiến bộ của Đêmôcrit, đặc biệt là những tư tưởng duy vật của ông về vô hạn toán học. Một sự thật lịch sử nữa là, vào thời kỳ phong kiến, đặc biệt là ở các nước Tây Âu, do sự thống trị của giáo hội, người ta đã ban hành các đạo luật trừng phạt rất nặng các nhà khoa học đi ngược lại với lý thuyết thần học. Dưới các đạo luật đó, không phải chỉ một mình nhà khoa học Bruno bị chết trong lửa thiêu. Cơ sở hiện thực của những sự kiện dã man đó là, trong thời kỳ phong kiến, ngoài những nhận thức về chính trị và lý luận khác nhau, những yêu cầu của sản xuất đối với toán học nói chung là rất nhỏ, không đáng kể. Để làm sáng tỏ thêm vấn đề này, chúng ta cần tìm hiểu thêm hoạt động của nhà toán học vĩ đại người Pháp – Cauchy, một tín đồ tôn giáo. Như chúng ta đã biết, vào nửa đầu thế kỷ XIX, trên cơ sở khái niệm “vô cùng bé”, lý thuyết giới hạn được thiết lập đã đánh dấu sự ra đời của bộ môn giải tích toán học. Khái niệm “vô hạn tiềm năng” đã trở thành cơ sở của giải tích học. Song, quan điểm của Cauchy về vô hạn đã không triệt để. Đầu tiên, ông chỉ ra rằng, nếu một tập hợp những vật thể là vô hạn hay mỗi vật có thể phân chia thành vô hạn thì đặc điểm số lượng của tập hợp tất cả những vật thể đó, cũng như tập hợp những phần của một vật thể không thể biểu diễn bằng bất cứ số tự nhiên nào. Đó là một quan điểm đúng và để mô tả cho nội dung của nó thì dứt khoát phải sử dụng số vô hạn, nhưng Cauchy lại khẳng định rằng, không thể có được ý kiến về số vô hạn những sự vật cùng tồn tại mà lại không rơi vào mâu thuẫn hiển nhiên. Theo Cauchy, mâu thuẫn của khái niệm tập hợp vô hạn là ở chỗ, nếu một tập hợp đối tượng là vô hạn thì ta có thể sắp đặt tất cả các đối tượng đó theo một dãy nào đó và có thể đánh số chúng sao cho những số hiệu của chúng lập thành một dãy số tự nhiên: 1, 2, 3,…, n,… và khi đó, phải giả thiết rằng dãy số này kéo dài đến vô hạn. Cauchy cho rằng, điều giả thiết này là vô lý. Ông đã lập luận như sau: nếu dãy số tự nhiên kéo dài đến vô hạn thì một mặt, có bao nhiêu số tự nhiên là có bấy nhiêu số tự nhiên chính phương, bởi với mỗi số tự nhiên n tương ứng với một số n2 và ngược lại. Mặt khác, nếu số tự nhiên n càng lớn thì tỷ số giữa các số chính phương từ 1 đến n càng trở nên nhỏ đi. Từ đó phải kết luận rằng, nếu dãy số tự nhiên có thể kéo dài đến vô hạn thì bình phương của dãy số đó chỉ là một bộ phận vô cùng nhỏ bé của nó. Theo Cauchy, chính giả thiết dãy số tự nhiên kéo dài đến vô hạn đã dẫn đến mâu thuẫn quá rõ ràng, cho nên cần phải bác bỏ giả thiết đó. Đó là lý do vì sao Cauchy không bao giờ nghiên cứu tính chất của tập hợp vô hạn. Đối với ông, vô hạn chỉ là vô hạn tiềm năng. Kết luận của Cauchy không đúng ở chỗ, đã xuất phát từ việc đồng nhất tính chất của những tập hợp vô hạn và tập hợp hữu hạn một cách không có căn cứ. Điều khẳng định của Cauchy không thể phủ nhận được tính khách quan của tập hợp vô hạn, mà chỉ chứng tỏ rằng, các tập hợp hữu hạn và vô hạn có nhiều tính chất khác nhau. Chẳng hạn, điều khẳng định “toàn thể lớn hơn mỗi bộ phận của nó” chỉ đúng với những tập hợp hữu hạn mà không đúng với những tập hợp vô hạn. Lịch sử phát triển của toán học đã ghi nhận công lao to lớn của Cauchy trong toán học giải tích. Nhưng vì sao Cauchy lại phản bác phương pháp luận khoa học về bản chất của tập hợp vô hạn? Điều này cũng dễ hiểu, bởi Cauchy là một tín đồ tôn giáo, mà theo lời dạy của tôn giáo về nguồn gốc của thế giới thì đã có một con người đầu tiên, một khoảnh khắc đầu tiên khi Trái đất xuất hiện trong không gian và bắt đầu tồn tại. Điều này hoàn toàn trái ngược với việc công nhận sự tồn tại của tập hợp vô hạn những đồ vật. Có thể nói, thần bí luận đã ngăn cản Cauchy nhìn thấy công cụ có hiệu quả của toán học giải tích trong khái niệm vô hạn thực tại. Thần bí luận không chỉ cản trở một mình Cauchy, mà còn ngăn cản nhà toán học Cantor hoàn thiện lý thuyết tổng quát về tập hợp. Công trình khoa học về lý thuyết tập hợp của Cantor đã liên tiếp bị công kích. Nhưng trong thời đại của Cantor, lý thuyết tập hợp đã trở nên rất cần thiết cho sự phát triển của toán học. Chính vì vậy, ông đã bất chấp mọi sự công kích của thần học để tiếp tục hoàn thiện công trình nghiên cứu của mình. Nhưng khi xuất hiện những nghịch lý của tập hợp thì những nhà thần học lại một lần nữa công kích kịch liệt khái niệm vô hạn thực tại. Tuy nhiên, cần thấy rằng, các tư tưởng thần học và hệ tư tưởng thống trị của các giai cấp bóc lột đã ảnh hưởng tiêu cực đến sự phát triển của khoa học nói chung, của toán học nói riêng, song điều đó không thể buộc khoa học đi ngược lại quy luật khách quan của nó. Điều này dễ nhận thấy trong xã hội tư bản công nghiệp. Khi nhu cầu sử dụng một cách tự giác nội dung khách quan của khoa học tự nhiên và toán học đã trở nên vô cùng cần thiết cho sự phát triển của sản xuất, thần học đã phải hạn chế tham vọng của mình. Một mặt, những nhà duy tâm thần học vẫn nắm lấy những lý luận mà theo họ, là khoa học để phủ định những chân lý toán học nhằm bảo vệ học thuyết của mình. Mặt khác, họ vẫn để cho các nhà tư bản có khả năng sử dụng toán học theo sự cần thiết thực tế. Điều đáng nói ở đây là, những chân lý của khoa học tự nhiên cũng như của toán học có tính chất khách quan và phải được thực tiễn kiểm nghiệm, nên chủ nghĩa duy vật luôn là cơ sở triết học của chúng. Những thành tựu rực rỡ nhất của khoa học tự nhiên và toán học gắn liền với một thực trạng là, trong thực tiễn hoạt động khoa học, các nhà bác học đã và đang được những quan điểm duy vật về đối tượng nghiên cứu của mình chỉ đạo. Tiếp đó, chúng ta nhận thấy rằng, trong bất cứ xã hội nào, đặc biệt là xã hội được xây dựng trên cơ sở áp bức và bóc lột quần chúng lao động, bao giờ cũng có những người tiến bộ so với thời đại của mình. Những người đó đã nhận thức rõ vai trò cao cả của khoa học trong sự nghiệp phục vụ nhân dân một cách vô tư và kiên quyết đấu tranh chống lại việc sử dụng khoa học vào mục đích có hại cho loài người, đồng thời phản đối lại sự xuyên tạc nội dung của khoa học. Toán học không bao giờ dừng chân tại chỗ, nó phát triển mạnh mẽ dưới ảnh hưởng của thực tiễn và của các khoa học khác, cũng như những nhu cầu phát triển nội tại. Sự phát triển của toán học, sự phát minh ra các công cụ toán học mới phù hợp với những ứng dụng trong các lĩnh vực mới của khoa học đã tạo khả năng cho toán học thâm nhập vào các ngành khoa học khác nhau. Trong bối cảnh toàn cầu hóa hiện nay, không ai có thể nghi ngờ về vai trò quan trọng của toán học trong đời sống xã hội cũng như trong sự phát triển của khoa học, của kinh tế và kỹ thuật, v.v.. Chính sự thâm nhập ngày càng sâu rộng của toán học vào hầu hết các lĩnh vực của khoa học hiện đại là bằng chứng sinh động nhất để khẳng định điều đó, đặc biệt là khi loài người đã bước sang thế kỷ XXI, kinh tế tri thức đã bắt đầu phát triển và có ảnh hưởng mạnh mẽ trong phạm vi quốc tế. Đặc điểm nổi bật của kinh tế tri thức là vai trò ngày càng to lớn của những đổi mới liên tục về công nghệ sản xuất và vị trí chủ đạo của thông tin và tri thức với tư cách nguồn lực cơ bản tạo nên sự tăng trưởng và năng lực cạnh tranh của nền kinh tế. Chúng ta không thể phủ nhận được một thực tế là, kinh tế tri thức đã thúc đẩy toán học phát triển lên một tầm cao mới. Sự phát triển đó là một đòi hỏi khách quan, bởi trong nền kinh tế hiện đại luôn xuất hiện các yếu tố phi tuyến, nghĩa là xuất hiện các mô hình không thể giải được nếu chỉ vận dụng các công cụ suy luận phân tích và tính toán định lượng của toán học truyền thống. Ở đây, để toán học phát huy được sức mạnh của mình trong việc giải quyết các nhiệm vụ kinh tế - xã hội hiện đại thì nhất thiết khi xây dựng các mô hình, toán học phải có sự kết hợp với các phương pháp khoa học khác, đặc biệt là coi trọng việc kết hợp với phương pháp tin học. Nếu thực hiện sự kết hợp này, thì những khó khăn nảy sinh do sự xuất hiện các yếu tố phi tuyến sẽ được khắc phục nhờ các phương pháp mô hình hóa và mô phỏng bằng đồ họa máy tính. Trong bối cảnh hiện nay, giữa toán học và khoa học máy tính có mối quan hệ hết sức bền chặt. Trên thực tế, lý thuyết automat và toán học rời rạc đã đi vào cơ sở lý thuyết của khoa học máy tính như một tất yếu. Khoa học máy tính đã thực sự trở thành một công cụ tính toán mạnh, việc sử dụng nó đã làm tăng năng suất và hiệu quả của các giải pháp toán học trong mọi lĩnh vực ứng dụng, từ đó góp phần phát triển ngành toán học tính toán, xây dựng các phương pháp số, các phương pháp xấp xỉ và gần đúng để giải nhiều loại bài toán khác nhau, hỗ trợ việc phát triển sâu rộng các ứng dụng toán học đối với khoa học nói chung. Theo nhận định của Giáo sư Phan Đình Diệu, “năng lực tính toán với khối lượng lớn, tốc độ cao của máy tính còn tạo ra