Ôn thi cao học Hình học giải tích

Mở đầu Tiếp theo Giáo trình Không gian Tôpô - Độ đo - Tích phân, giáo trình Giải tích Hàm đ−ợc tác giả biên soạn trong ch−ơng trình xây dựng bộ giáo trình hoàn chỉnh cho sinh viên hệ Đại học s− phạm ngành Toán Tr−ờng Đại học Tây Bắc. Học phần Giải tích Hàm hiện nay đang đ−ợc giảng dạy tại Tr−ờng Đại học Tây Bắc trong năm đơn vị học trình. Điều kiện tiên quyết là sinh viên đã học xong các học phần Lý thuyết tập hợp và Lôgic Toán, Đại số tuyến tính, Phép tính vi phân - tích phân hàm một biến, Phép tính vi phân tích phân hàm nhiều biến, Hàm biến phức, Không gian tôpô - Độ đo - Tích phân. Khi biên soạn giáo trình này, chúng tôi đã chú ý nhiều đến yếu tố s− phạm để đảm bảo cho việc trình bày các vấn cơ bản vừa tinh giản, logic mạch lạc vừa đảm bảo đ−ợc hàm l−ợng kiến thức cần thiết nhất, đồng thời chúng tôi chú ý nhiều đến việc hình thành cho sinh viên những ph−ơng pháp và kĩ năng cần thiết của môn học thông qua kĩ thuật chứng minh các định lý, mệnh đề quan trọng và qua việc s−u tầm, phân loại một hệ thống bài tập phong phú kèm theo h−ớng dẫn giải và lời giải chi tiết. Ngoài ra, nội dung của giáo trình là một đơn vị kiến thức trọn vẹn, có mối liên hệ chặt chẽ với nhiều kiến thức toán học quen thuộc nên chúng tôi có thể tin t−ởng giáo trình sẽ trở thành tài liệu gần gũi, dễ hiểu đối với sinh viên trong quá trình học tập. Nhân dịp giáo trình đ−ợc đ−a vào sử dụng, tác giả xin bày tỏ sự biết ơn đối với những ng−ời thầy tôn kính đã dạy dỗ trực tiếp cũng nh− gián tiếp qua những tài liệu quý báu của họ mà tác giả đã sử dụng làm nguồn tài liệu tham khảo chính của giáo trình, qua đó tác giả đã đ−ợc trang bị những tri thức, ph−ơng pháp luận và sự tự tin sẵn sàng chia sẻ những kinh nghiệm và tri thức trong NCKH dẫn đến một trong các kết quả của sự dạy dỗ đó là chính là sự ra đời của giáo trình này. Tác giả xin cảm ơn các đồng nghiệp trong tổ Giải tích khoa Toán - Lý - Tin, tr−ờng Đại học Tây Bắc đã dạy thực nghiệm và đóng góp nhiều ý kiến bổ ích giúp 3 hoàn thiện giáo trình. Đặc biệt, tác giả xin cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Quản lý khoa học và Quan hệ quốc tế, các đồng nghiệp và sinh viên Khoa Toán - Lý - Tin tr−ờng Đại học Tây Bắc về sự giúp đỡ quý báu cũng nh− sự tạo điều kiện thuận lợi để giáo trình này đ−ợc đ−a và sử dụng. Do kinh nghiệm khoa học của tác giả còn nhiều hạn chế, chắc chắn tài liệu không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả mong muốn tiếp tục nhận đ−ợc nhiều góp ý để tác giả hoàn thiện giáo trình, góp phần tốt hơn trong việc nâng cao chất l−ợng giảng dạy và học tập của sinh viên Khoa Toán - Lý - Tin Tr−ờng Đại học Tây Bắc. Sơn La, tháng 12 năm 2007 Tác giả Phạm Minh Thông 4 Mục lục 1 Không gian định chuẩn và không gian Banach 9 1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1 Chuẩn trên không gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Không gian định chuẩn và không gian Banach . . . . . . . 11 1.3 Tập compact trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . 13 1.4 Một số ví dụ về không gian Banach . . . . . . . . . . . . . 14 2 Không gian các hàm khả tích bậc p  1 . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1 Bất đẳng thức Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Bất đẳng thức Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 Chuỗi trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.1 Chuỗi và sự hội tụ của chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 Chuỗi hội tụ tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4 ánh xạ tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.1 Định nghĩa và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.2 Không gian L(E; F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.3 Một số ví dụ về ánh xạ tuyến tính liên tục . . . . . . . . . 39 5 5 Không gian con và không gian th−ơng . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.1 Không gian con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.2 Tổng trực tiếp tô pô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.3 Siêu phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.4 Không gian th−ơng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . 52 6.1 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . 52 6.2 Không gian khả li . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 7 Bài tập ch−ơng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2 Ba nguyên lý cơ bản của giải tích hàm 64 1 Nguyên lý bị chặn đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 1.1 Nửa chuẩn liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2 Định lý ánh xạ mở và đồ thị đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.1 Định lý ánh xạ mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.2 Định lý đồ thị đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3 Định lý Hahn- Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.1 Định lý Hahn-Banach đối với không gian vector thực . . . 73 3.2 Định lý Hahn- Banach đối với không gian vector phức . . 76 3.3 Một số hệ quả quan trọng của định lý Hahn-Banach . . . . 79 4 Bài tập ch−ơng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3 Toán tử trong không gian Banach 84 6 1 Toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2 Toán tử compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3 Toán tử hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4 Phổ của toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.1 Một số khái niệm cần thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.2 Phổ của toán tử trong không gian Banach . . . . . . . . . . 96 4.3 Phổ của toán tử compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5 Bài tập ch−ơng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4 Không gian Hilbert và toán tử trong không gian Hilbert 116 1 Dạng hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 1.1 Định nghĩa và các tính chất đơn giản . . . . . . . . . . . . 116 1.2 Hai bất đẳng thức quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . 118 2 Tích vô h−ớng và không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3 Hệ trực giao, trực chuẩn và phép chiếu trực giao . . . . . . . . . . 124 3.1 Hệ trực giao và trực chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.2 Phép chiếu trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4 Phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert . . . . . . . 131 5 Cơ sở trực chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6 Toán tử liên hợp trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 138 7 Toán tử tự liên hợp và toán tử compact trong không gian Hilbert . 143 7.1 Toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert . . . . . . . . 143 7 7.2 Toán tử tự liên hợp compact- Định lý Hilbert-Schmidt . . . 148 8 Bài tập ch−ơng 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5 H−ớng dẫn giải bài tập 157 1 Ch−ơng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 2 Ch−ơng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 3 Ch−ơng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 4 Ch−ơng 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 8 Ch−ơng 1 Không gian định chuẩn và không gian Banach Trong suốt tài liệu này chúng ta kí hiệu K là tr−ờng số thực R hoặc tr−ờng số phức C và các không gian vector đ−ợc nói đến đều là không gian vector trên tr−ờng K. 1 Định nghĩa và ví dụ 1.1 Chuẩn trên không gian vector Định nghĩa 1.1. Hàm ρ xác định trên không gian vector E đ−ợc gọi là một chuẩn trên E nếu ρ thoả mãn các điều kiện sau: 1) ρ(x)  0 với mọi x ∈ E và ρ(x) = 0 ⇒ x = 0, 2) ρ(λx) = |λ|ρ(x) với mọi λ ∈ K và với mọi x ∈ E, 3) ρ(x + y)  ρ(x) + ρ(y) với mọi x, y ∈ E. Khi ρ thoả mãn các điều kiện 2) và 3), còn điều kiện 1) thay bởi điều kiện: 1’) ρ(x)  0 với mọi x ∈ E, thì ρ đ−ợc gọi là một nửa chuẩn trên E. 9 Mệnh đề 1.2. Giả sử ρ là một nửa chuẩn trên E. Khi đó, với mọi x, y ∈ E ta có: |ρ(x) − ρ(y)|  ρ(x − y) (3’) Chứng minh. Cho x, y ∈ E, từ điều kiện 3) ta có: ρ(x) = ρ(x − y + y)  ρ(x − y) + ρ(y) suy ra ρ(x) − ρ(y)  ρ(x − y) (∗) Thay đổi vai trò của x và y và kết hợp với điều kiện 2) ta nhận đ−ợc ρ(y) − ρ(x)  ρ(y − x) = ρ(x− y) (∗∗) Cuối cùng, từ (∗) và (∗∗) ta có |ρ(x) − ρ(y)|  ρ(x − y). Từ các tính chất của chuẩn và định nghĩa khoảng cách chúng ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.3. Nếu ρ là một chuẩn trên E thì công thức: d(x, y) := ρ(x − y), (x, y ∈ E) (1.1) xác định một khoảng cách trên E thoả mãn: ∀x, y, z ∈ E, ∀λ ∈ K, { d(x + z, y + z) = d(x, y), d(λx, λy) = |λ|d(x, y) (1.2) Khoảng cách d xác định bởi công thức (1.1) đ−ợc gọi là khoảng cách sinh bởi chuẩn ρ. Cho E là không gian véc tơ và a, b ∈ K. Ta gọi tập hợp sau đây là đoạn với các mút a, b: [a, b] := {x = ta + (1− t)b ∈ E : t ∈ R, 0  t  1} 10 Định nghĩa 1.4. Tập con X trong không gian vector E đ−ợc gọi là: a) Tập lồi nếu [a, b] ⊂ X với mọi a, b ∈ X. b) Tập cân nếu λx ∈ X với mọi x ∈ X và với mọi λ ∈ K mà |λ|  1. c) Tập hút nếu với mỗi x ∈ E đều tồn tại số ε > 0 sao cho λx ∈ X với mọi λ ∈ K mà |λ|  ε. Mệnh đề 1.5. Giả sử ρ là một nửa chuẩn trên E. Khi đó các tập hợp: B = {x ∈ E : ρ(x) < 1}, B = {x ∈ E : ρ(x)  1} là lồi, cân, hút. Chứng minh. Tr−ớc tiên ta chứng minh B là tập lồi, cân và hút: Cho a, b ∈ B và 0  t  1. Ta có: ρ(ta + (1− t)b)  ρ(ta) + ρ((1 − t)b) = tρ(a) + (1− t)ρ(b) < t + 1− t = 1 Mặt khác, ρ(λx) = |λ|ρ(x)  ρ(x) < 1. Suy ra B là lồi và cân. Cuối cùng, nếu x ∈ E thì do λx ∈ B, ∀λ : |λ| < 1 ρ(x) + 1 nên B là tập hút. Việc chứng minh B là lồi, cân và hút hoàn toàn t−ơng tự. 1.2 Không gian định chuẩn và không gian Banach Định nghĩa 1.6. Không gian vector E cùng với một chuẩn ρ xác định trên E đ−ợc gọi là một không gian tuyến tính định chuẩn. Một không gian tuyến tính định chuẩn th−ờng gọi ngắn gọn là không gian định chuẩn. Khi E là không gian định chuẩn với chuẩn ρ thì với mỗi x ∈ E ta viết ρ(x) = ‖x‖ và gọi số ‖x‖ là chuẩn của vector x. 11 Theo mệnh đề 1.3, không gian định chuẩn E là một không gian metric với khoảng cách d sinh bởi chuẩn xác định bởi công thức: d(x, y) := ‖x− y‖, x, y ∈ E. Nh− vậy, trong không gian định chuẩn, khi nói tới các khái niệm về giới hạn của dãy điểm, dãy Cauchy, về tập mở, tập đóng, về giới hạn của ánh xạ giữa các không gian định chuẩn và các khái niệm liên quan khác thì chúng ta hiểu đó chính là những khái niệm t−ơng ứng trong không gian metric với khoảng cách sinh bởi chuẩn của không gian. Định nghĩa 1.7. Không gian tuyến tính định chuẩn E đ−ợc gọi là không gian Banach nếu E cùng với metric sinh bởi chuẩn trên E là một không gian metric đầy. Mệnh đề 1.8. Nếu E là không gian định chuẩn thì hàm chuẩn x → ‖x‖ là liên tục đều trên E. Chứng minh. Tr−ớc hết ta chú ý rằng tính liên tục đều ở đây theo nghĩa của ánh xạ liên tục đều giữa các không gian metric. Cho ε > 0 bất kì, chọn δ = ε. Khi đó, theo mệnh đề 1.3, với mọi x, y ∈ E, nếu d(x, y) = ‖x − y‖ < δ thì |‖x‖ − ‖y‖|  ‖x− y‖ = d(x, y) = δ = ε. Chứng tỏ hàm ‖.‖ : E → R liên tục đều trên E. Mệnh đề 1.9. Nếu E là không gian định chuẩn thì các phép toán vec tơ trong E là liên tục: Chứng minh. Nhờ các đánh giá d−ới đây ‖(x + y) − (x0 + y0)‖  ‖x − x0‖ + ‖y − y0‖ ‖λx − λ0x0‖  |λ|‖x − x0‖ + |λ− λ0|‖x0‖ 12 với chú ý E ìE hay KìE đ−ợc xét nh− không gian metric tích của các không gian metric với khoảng cách trên E là khoảng cách sinh bởi chuẩn và khoảng cách trên K là khoảng cách Euclide thông th−ờng. 1.3 Tập compact trong không gian định chuẩn Định nghĩa 1.10. Tập con X trong không gian định chuẩn E đ−ợc gọi là: a) tập bị chặn nếu: sup{‖x‖ : x ∈ X} < +∞. b) tập hoàn toàn bị chặn nếu: Với mọi ε > 0 tồn tại tập hữu hạn A ⊂ E sao cho (∀x ∈ X)(∃y ∈ A) | ‖x − y‖ < ε ⇔ X ⊂ ⋃ y∈A B(y, ε) Tập con hữu hạn A ⊂ E thoả mãn b) gọi là một ε- l−ới hữu hạn của X. c) tập compact nếu: mọi dãy {xn} ⊂ X có một dãy con {xnk} hội tụ tới một phần tử x ∈ X. Nhận xét 1. Nếu X là tập hoàn toàn bị chặn trong E thì với mỗi ε > 0 đều có thể chọn cho X một ε - l−ới hữu hạn A gồm toàn các phần tử của X. Thật vậy, cho ε > 0 có thể chọn cho X một ε/2 l−ới hữu hạn A ⊂ E. Khi đó X = ( ⋃ y∈A B(y, ε 2 ) ) ∩ X = ⋃ y∈A′ ( B(y, ε 2 ) ∩X ) ở đây B ( y, ε 2 ) = {x ∈ E : ‖x − y‖ < ε 2 } , A′ = {y ∈ A : B(y, ε 2 ) ∩X = ∅} Với mỗi y ∈ A′, chọn zy ∈ B(y, ε2)∩X. Ta kiểm lại {zy : y ∈ A′} ⊂ X là ε- l−ới hữu hạn của X. Cho x ∈ X, chọn y ∈ A để ‖x−y‖ < ε 2 . Suy ra B(y, ε 2 )∩X = ∅ nên y ∈ A′ và ‖x − zy‖  ‖x − y‖+ ‖y − zy‖ < ε 2 + ε 2 = ε 13 Nhận xét 2. Mọi tập hoàn toàn bị chặn đều là tập bị chặn. Thật vậy, nếu X là tập hoàn toàn bị chặn thì với ε = 1 tồn tại x1, x2, . . . , xn là ε - l−ới hữu hạn của X. Giả sử x ∈ X tuỳ ý, chọn 1  k  n để ‖x − xk‖ < 1. Suy ra ‖x‖  ‖xk‖ + ‖x− xk‖  ‖xk‖ + 1  max 1kn ‖xk|‖ + 1 Do đó sup n∈X ‖x‖  max 1kn ‖xk‖ + 1 < +∞ Vậy X là tập bị chặn. Đối với không gian định chuẩn, đặc tr−ng Hausdorff của tập compact đ−ợc phát biểu bởi định lý sau đây: Định lý 1.11 (Hausdorff). Tập con X trong không gian Banach E là compact nếu và chỉ nếu X là đóng và hoàn toàn bị chặn. 1.4 Một số ví dụ về không gian Banach Ví dụ 1. Không gian Euclide n- chiều Với mỗi số tự nhiên n, ký hiệu Kn là tích Descartes của n lần tr−ờng vô h−ớng K: Kn := {x = (x1, x2, . . . , xn) : x1, x2, . . . , xn ∈ K} Với mỗi x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Kn, ta đặt: ‖x‖ = ( n∑ i=1 |xi|2 ) 1 2 . (1) Ta sẽ chứng tỏ công thức (1) xác định một chuẩn trên Kn, gọi là chuẩn Euclide. Thật vậy, hiển nhiên hàm x → ‖x‖ thoả mãn các tiên đề 1) và 2) trong định nghĩa chuẩn. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Bunhiakovski sau đây n∑ i=1 |aibi|  ( n∑ i=1 |ai|2 ) 1 2 . ( n∑ i=1 |bi|2 ) 1 2 14 chúng ta có thể chứng minh tiên hàm ‖.‖ thoả mãn điều kiện 3) trong định nghĩa chuẩn: Thật vậy, với mọi x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Kn ta có: n∑ i=1 |xi + yi|2  n∑ i=1 (|xi| + |yi|)2 = n∑ i=1 |x2i | + 2 n∑ i=1 |xi‖yi| + n∑ i=1 |y2i |  n∑ i=1 |x2i | + 2 ( n∑ i=1 |x2i | )1 2 . ( n∑ i=1 |x2i | )1 2 + n∑ i=1 |y2i | = ⎛ ⎝ √√√√ n∑ i=1 |x2i | + √√√√ n∑ i=1 |y2i | ⎞ ⎠2 chứng tỏ ‖x + y‖  ‖x‖+ ‖y‖ với mọi x, y ∈ Kn Nh− vậy, hàm ‖.‖ thoả mãn cả ba điều kiện trong định nghĩa chuẩn nên nó là một chuẩn trên Kn - gọi là chuẩn Euclide, đồng thời Kn với chuẩn Euclide là một không gian định chuẩn - gọi là không gian Euclide n chiều. Cuối cùng, với x = (x1, . . . , xn) ∈ Kn, y = (y1, . . . , yn) ∈ Kn ta có: max 1in |xi − yi|  ‖x − y‖  n. max 1in |xi − yi|. nên ‖x− y‖ → 0 ⇔ ∀i = 1, n, |xi − yi| → 0, suy ra, sự hội tụ trong Kn là sự hội tụ theo toạ độ và một dãy là dãy Cauchy trong Kn khi và chỉ khi tất cả các dãy toạ độ của nó đều là dãy Cauchy trong K. Lại do K là không gian metric đầy suy ra Kn là không gian đầy. Vậy Kn là không gian Banach. Ví dụ 2. Không gian các hàm liên tục Ký hiệu C [a; b] là không gian các hàm liên tục trên đoạn hữu hạn [a, b]. Đặt: ‖f‖ = sup{|f(x)| : x ∈ [a, b]}, f ∈ C [a; b] Dễ dàng thấy rằng hàm f → ‖f‖ xác định một chuẩn trên không gian C [a; b] và với chuẩn đó, C [a; b] trở thành một không gian định chuẩn. 15 Ta sẽ kiểm lại C [a; b] là một không gian Banach: Cho {fn} là một dãy Cauchy trong C [a; b], khi đó với mọi số ε > 0 cho tr−ớc, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho với mọi m, n ∈ N∗, m, n  n0 ta đều có: ‖fn − fm‖ = sup x∈[a;b] ‖fn(x) − fm(x)‖ < ε Suy ra (∀m, n  n0) |fn(x) − fm(x)|  ε với mọi x ∈ [a, b]. (1.3) Nh− vậy với mỗi x ∈ [a, b] cố định, dãy số {fn(x)} là một dãy Cauchy trong K. Do K là không gian metric đầy nên dãy đó hội tụ trong K. Đặt f(x) = lim n→∞ fn(x) ∈ K, x ∈ [a, b] ta đ−ợc hàm số f : [a; b] → K. Ta sẽ chỉ ra f ∈ C [a; b] và dãy {fn} hội tụ đến f trong C [a; b], nghĩa là ‖fn − f‖ → 0. Thật vậy, giả sử x0 ∈ [a; b] là điểm tuỳ ý, ta chứng minh f liên tục tại x0. Trong (1.3) bằng cách cố định x ∈ [a, b] và n  n0, cho m → ∞ ta đ−ợc |fn(x) − f(x)|  ε với mọi x ∈ [a, b] và n  n0 (1.4) Cho x0 ∈ [a; b], n = n0 ta có |fn0(x0) − f(x0)|  ε (1.5) Vì fn0 liên tục tại x0 nên tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ [a; b] |x − x0| < δ ⇒ |fn0(x) − fn0(x0)| < ε (1.6) Từ các bất đẳng thức (1.4), (1.5) và (1.6) ta suy ra: Với mọi x ∈ [a; b] thoả mãn |x− x0| < δ ta đều có: |f(x) − f(x0)|  |f(x) − fn0(x)| + |fn0(x)− fn0(x0)| + |fn0(x0) − f(x0)| < 3ε Chứng tỏ f liên tục tại x0. Vì x0 ∈ [a; b] là điểm tuỳ ý ta suy ra f liên tục trên đoạn [a; b], nghĩa là f ∈ C [a; b]. 16 Cũng từ (1.4) suy ra ‖fn − f‖ = sup x∈[a,b] |fn(x)− f(x)|  ε với mọi n  n0. Chứng tỏ lim n→∞ ‖fn − f‖ = 0, nghĩa là dãy {fn} hội tụ đến f trong C [a; b]. Ví dụ 3. Không gian các hàm bị chặn Giả sử S là tập tuỳ ý. Ký hiệu B(S) là không gian tất cả các hàm bị chặn trên S, tức là sup{|f(s)| : s ∈ S} < +∞. Đặt ‖f‖ := sup{|f(s)| : s ∈ S} < +∞, f ∈ B(S) (1.7) Có thể thấy công thức (1.7) xác định một chuẩn trên B(S), do đó B(S) là một không gian định chuẩn. Hơn nữa, có thể chỉ ra B(S) là không gian Banach. Ví dụ 4. Không gian các dãy khả tổng bậc p. Kí hiệu KN ∗ = {x = (x1, x2, . . . , xn, . . .) : xn ∈ K, n ∈ N∗} là tập hợp tất cả các dãy số của K. Với mỗi số thực p  1 tuỳ ý, ký hiệu lp là tập hợp tất cả các dãy số khả tổng bậc p: lp = {x = (xn) ⊂ KN∗ : ∞∑ n−1 |xn|p < +∞} Chúng ta sẽ chứng tỏ lp là một không gian Banach với chuẩn xác định bởi công thức: ‖x‖p := ( ∞∑ n=1 |xn|p ) 1 p , x = (x1, x2, . . . , xn, . . .) ∈ lp. (1.8) Để chứng minh lp là không gian vector và công thức (1.8) thực sự xác định một chuẩn trên lp, tr−ớc tiên, chúng ta cần chứng minh các bổ đề quan trọng sau đây: Bổ đề 1.12. Nếu p, q > 1 với 1 p + 1 q = 1 thì với mọi α, β ∈ R+ ta có: α.β  α p p + βq q (1.9) 17 Chứng minh. Tr−ớc hết, nếu α = 0 hoặc β = 0 thì bổ đề hiển nhiên đúng. Giả sử α > 0, β > 0. Xét hàm số f(t) = tp p + t−q q , (t > 0) Do f ′(t) = t−q−1(tp+q−1) = 0 ⇔ t = 1 và f ′(t) 0 trên khoảng (1; +∞) nên f có giá trị cực tiểu là f(1) = 1 p + 1 q = 1. Nh− vậy tp p + tq q  1 với mọi t > 0 Thay t = α 1 q .β −1 p vào bất đẳng thức trên ta đ−ợc α p q .β−1 p + β q p .α−1 q  1 Nhân hai vế của bất đẳng thức trên với αβ và l−u ý rằng p q + 1 = p, q p + 1 = q, ta đ−ợc αp p + βq q  α.β Bổ đề 1.13 (Bất đẳng thức Holder). Cho p, q ∈ R, p, q > 1, 1 p + 1 q = 1. Khi đó, nếu (xn) ∈ lp, (yn) ∈ lq thì: ∞∑ n=1 |xnyn|  ( ∞∑ n=1 |xn|p ) 1 p . ( ∞∑ n=1 |yn|q )1 q (1.10) Gọn hơn, bằng cách sử dụng ký hiệu trong công thức (1.8) ta có: ∞∑ n=1 |xnyn|  ‖x‖p.‖y‖p. (1.11) Chứng minh. Hiển nhiên bổ đề đúng nếu ‖x‖p = 0 hoặc ‖y‖q = 0. Vậy chỉ cần chứng minh tr−ờng hợp ‖x‖p > 0, ‖y‖q > 0. Với mỗi số tự nhiên n  1, áp dụng bổ đề 1.12 cho α = |xn|‖x‖p và β = |yn| ‖y‖q ta đ−ợc |xnyn| ‖x‖p‖y‖q  1 p |xn|p ‖x‖pp + 1 q |yn|q ‖y‖qq 18 Lấy tổng hai vế theo n ta đ−ợc ∞∑ n=1 |xnyn| ‖x‖p‖y‖q  1 p‖x‖p . ∞∑ n=1 |xn|p + 1 q‖y‖q . ∞∑ n=1 |yn|q = 1 p + 1 q = 1 Suy ra ∞∑ n=1 |xnyn|  ( ∞∑ n=1 |xn|p ) 1 p . ( ∞∑ n=1 |yn|q )1 q Bổ đề 1.14 (Bất đẳng thức Minkowski). Cho p ∈ R, p  1. Nếu x, y ∈ lp thì x + y ∈ lp và ‖x + y‖p  ‖x‖p + ‖y‖p Chứng minh. Từ bất đẳng thức |xn + yn|p  (|xn| + |yn|)p  2p max{|xn|p, |yn|p}  2p(|xn|p + |yn|p), ∀n  1 ta có ∞∑ n=1 |xn + yn|p  2p ( ∞∑ n=1 |xn|p + ∞∑ n=1 |yn|p ) < +∞ Suy ra x + y ∈ lp. Bất đẳng thức Minkowski hiển nhiên đúng với p = 1. Giả sử p > 1, chọn q > 1 để 1 p + 1 q = 1. Do q(p− 1) = p và do trên ta có ∞∑ n=1 |xn + yn|(p−1)q = ∞∑ n=1 |xn + yn|p < +∞ Nghĩa là (|xn + yn|p−1)∞n=1 ∈ lq. áp dụng bất đẳng thức Holder tới (xn) ∈ lp và (|xn + yn|p−1) ∈ lq với l−u ý thêm rằng 1q = p−1p ta đ−ợc ∞∑ n=1 |xn|.|xn + yn|p−1  ‖x‖p ( ∞∑ n=1 |xn + yn|(p−1)q )1 q = ‖x‖p ( ∞∑ n=1 |xn + yn|p ) p−1 p 19