Ôn thi tốt nghiệp 2012 – Phần giải tích

PHẦN GIẢI TÍCH Chủ đề 1: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ. Giả sử hàm số liên tục trên khoảng và . A- Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị : Nếu có đạo hàm trên khoảng và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại thì . B- Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị : 1. ĐL 1 : a) là điểm CĐ của b) là điểm CT của 2. ĐL 2 : a) là điểm cực tiểu của b) là điểm cực đại của Ví dụ : Tìm cực trị của các hàm số sau : a) b) c) d) Giải : a) TXĐ : D = R; (Lập bảng biến thiên) Từ bảng biến thiên suy ra là điểm cực tiểu của hàm số Bài tập : 1- Tìm cực trị của các hàm số sau : a) b) c) d) e) 2- CMR hàm số không có đạo hàm tại nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó. 3- CMR với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. 4- Xác định m để hàm số có cực trị tại . Khi đó hàm số đạt cực tiểu hay cực đại ? Tính cực trị tương ứng. 5- Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại Luyện tập : 1- Tìm cực trị của các hàm số sau : a) b) c) e) 2- Cho hàm số . Xác định m sao cho : a) Hàm số có cực trị. b) Hàm số có hai cực trị và hai cực trị trái dấu nhau. 3- Tìm các số thực m và n sao cho hàm số đạt cực đại tại điểm . 4- Tìm các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm 5- Cho hàm số . Xác định m để hàm số (1) có một cực đại và một cực tiểu. Trong trường hợp này, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. 6- Cho hàm số a) Xác định m để hàm số có cực trị. b) Xác định m để hàm số có hai cực trị nằm về hai phía của trục tung. Chủ đề 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ. 1- Định nghĩa : Cho hàm số xác định trên tập D Số nếu và tồn tại sao cho Số nếu và tồn tại sao cho 2- Cách tìm GTLN, GTNN trên đoạn : liên tục trên Tìm mà tại đó có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. Tính Tìm : GTLN = ; GTNN = 3- Cách tìm GTLN, GTNN trên khoảng : liên tục trên a b a b - + + - GTNN GTLN Trong đó hoặc không xác định tại Ví dụ : Tính GTLN và GTNN của hàm số : a) trên đoạn [-3; 3] b) trên đoạn [2; 5] c) trên đoạn [-4; 4] d) trên đoạn Bài tập : 1- Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau : a) trên đoạn [-4; 3] b) trên đoạn [-3; -2] c) trên khoảng d) trên khoảng 2- Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi 16 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. 3- Tìm hai số có hiệu bằng 13 sao cho tích của chúng là bé nhất. 4- Tính GTLN của các hàm số : a) b) 5- Tính GTNN của các hàm số : a) b) Luyện tập : 1- Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau : a) trên đoạn [- 3; 1] b) trên khoảng c) d) . e) trên đoạn f) trên đoạn [1 ; e2 ] 2- Trong các tam giác vuông mà cạnh huyền có độ dài bằng 10, hãy xác định tam giác có diện tích lớn nhất. Chủ đề 3 : KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I- Sơ đồ khảo sát hàm số : 1- Tìm TXĐ 2- Sự biến thiên : a- Chiều biến thiên Tính Tìm các nghiệm của phương trình và các điểm tại đó không xác định Xét dấu và suy ra chiều biến thiên của hàm số. b- Tìm cực trị c- Tìm các giới hạn vô cực : các giới hạn tại +¥, -¥ và tại các điểm mà hàm số không xác định. Tìm các tiệm cận đứng và ngang (nếu có) d- Lập bảng biến thiên 3- Đồ thị : Vẽ đồ thị hàm số, xác định giao điểm của thồ thị với trục hoành và trục tung (nếu có) II- Khảo sát một số hàm đa thức và phân thức : 1- Hàm số : Ví dụ 1 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Giải : 1) TXĐ : D = R 2) Sự biến thiên : Chiều biến thiên : ; , Suy ra, hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-¥; 0) và (1; +¥) và nghịch biến trên khoảng (0; 1) Cực trị : Hàm số đạt cực đại tại và yCĐ = - 2. Hàm số đạt cực tiểu tại và yCT = - 3 Các giới hạn tại vô cực : Bảng biến thiên : x -¥ 0 1 +¥ y’ + 0 - 0 + y -2 +¥ -¥ -3 3) Đồ thị : 2- Hàm số : Ví dụ 2 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số TXĐ : D = R 3- Hàm số Ví dụ 3 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số TXĐ : D = R \ {1} không xác định khi Tiệm cận : Do đó, đt là tiệm cận đứng Vậy đt là tiệm cận ngang III – Sự tương giao của các đồ thị : 1- Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị : Giả sử : là đồ thị của hàm số và là đồ thị của hàm số . Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của và , tọa độ giao điểm là nghiệm của PT . 2- Viết phương trình tiếp tuyến : Giả sử hàm số có đồ thị là và ; có đạo hàm tại . Phương trình tiếp tuyến của tại M là : 3- Sự tiếp xúc của hai đường cong : Hai đường cong và tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình : có nghiệm. Nghiệm của hệ trên là hoành độ của tiếp điểm. Ví dụ : Cho hàm số : a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Viết PTTT của (C) tại các giao điểm của nó với trục Ox. c) Biện luận theo k số giao điểm của (C) với đồ thị (P) của hàm số : Giải : a) TXĐ : D = R; , b) (C) cắt trục Ox tại x = -3 và x = 3 Ta có : P.trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = -3 và x = 3 lần lượt là : và c) Từ đó ta có : (C) và (P) có một điểm chung là (C) và (P) có hai giao điểm; (C) và (P) không cắt nhau Bài tập : 1 - Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau : a) b) c) d) e) f) 2- a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình theo tham số m. 3- Cho hàm số a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ . 4- Cho hàm số có đồ thị là a) Xác định m để hàm số có điểm cực đại là b) Xác định m để cắt trục hoành tại 5- Cho hàm số a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng . BÀI TẬP TỔNG HỢP : 1- Cho hàm số a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. 2- Cho hàm số . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng . 3- Cho hàm số . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng . 4- Cho hàm số y = a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(1; 0). 5- Cho hàm số a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm và có hệ số góc bằng k. Tìm các giá trị của k để d là tiếp tuyến của (C). 6- Cho hàm số a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Xác định m để phương trình : có 4 nghiệm thực phân biệt. 7- Cho hàm số a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi b) Xác định m để đồ thị của hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt. 8- Cho hàm số . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Tìm m để đường thẳng cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng ( O là gốc tọa độ). 9- Cho hàm số a) Tìm các điểm mà đồ thị của hàm số đi qua với mọi giá trị của m b) CMR với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số luôn luôn có cực trị. c) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi . d) Xác định k để (C) cắt đường thẳng tại ba điểm phân biệt. 10- Cho hàm số a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để tổng đạt giá trị lớn nhất. Chủ đề 4 : PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT I- PHƯƠNG TRÌNH MŨ : 1. Phương trình cơ bản : Nếu PT vô nghiệm Nếu PT có nghiệm duy nhất 2. Phương trình mũ đơn giản : a) Phương trình có thể đưa về phương trình cơ bản bằng cách áp dụng các phương pháp : đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, lấy lôgarit hai vế (lôgarit hoá) b) Phương trình có thể giải bằng phương pháp đồ thị. c) Phương trình có thể giải bằng cách áp dụng tính chất của hàm số mũ. II – PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT : 1. Phương trình cơ bản : Điều kiện của PT : , PT luôn có nghiệm duy nhất 2. Phương trình mũ đơn giản : a) Phương trình có thể đưa về phương trình cơ bản bằng cách áp dụng các phương pháp : đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, mũ hoá hai vế. b) Phương trình có thể giải bằng phương pháp đồ thị. Các ví dụ : 1. Giải các phương trình mũ sau : a) b) 2. Giải các phương trình mũ sau : a) b) c) . Đặt , PT trở thành : 3. Giải các phương trình lôgarit sau : a) , ĐK : . PT (loại) b) , ĐK : . PT c) ; ĐK : PT 4. Giải các phương trình lôgarit sau : a) ; ĐK : PT b) ; ĐK : PT Bài tập : 1. Giải các phương trình mũ sau : a) b) c) d) e) f) g) h) i) (chia cho ) 2. Giải các phương trình lôgarit sau : a) b) c) d) e) 3. CMR các phương trình sau chỉ có một nghiệm : a) b) c) Chủ đề 5 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT I. Bất phương trình mũ : 1) BPT mũ cơ bản : (hoặc với . Xét BPT : Nếu , tập nghiệm của BPT là Nếu và : (BPT ) + nghiệm của BPT là : + nghiệm của BPT là : 2) BPT mũ đơn giản : Ta biến đổi về BPT mũ cơ bản hoặc BPT đại số. II. Bất phương trình lôgarit : 1) BPT lôgarit cơ bản : (hoặc với . Xét BPT : + + 2) BPT lôgarit đơn giản : Ta biến đổi về BPT lôgarit cơ bản hoặc BPT đại số. Các ví dụ : 1. Giải các BPT mũ sau : a) b) c) 2. Giải các BPT lôgarit sau : a) b) c) Bài tập : 1. Giải các BPT mũ sau : a) b) c) d) 2. Giải các BPT lôgarit sau : a) b) c) d) 3. Cho , với . a) CMR : , nếu b) CMR : , nếu HD : Sử dụng tính chất của hàm số mũ : , khi hàm số luôn đồng biến, hàm số luôn nghịch biến. a) Ta có : Do : . Suy ra : nếu thì và Suy ra : (đpcm) BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT Bài 1 : Rút gọn : 1/ 2/ 3/ 4/ Bài 2 : Giải các phương trình sau : 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ Bài 3 : Tính 1/ 2/ 3/ 4/ Bài 4 : Thực hiện phép biến đổi : 1/ Cho . Tính theo 2/ Cho . Tính theo Bài 5 : Tính đạo hàm các hàm số sau : 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ Bài 6 : Giải các phương trình mũ sau (đưa về cùng cơ số) : 1/ 2/ Bài 7 : Giải các phương trình mũ sau (logarit hóa) : 1/ 2/ 3/ 4/ Bài 8 : Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn phụ) : 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ Bài 9 : Giải các phương trình mũ sau (đưa về tích số) : 1/ 2/ Bài 10 : Giải các phương trình logarit sau (đưa về cùng cơ số) : 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ Bài 11 : Giải các phương trình logarit sau (đặt ẩn phụ) : 1/ 2/ 3/ Bài 12 : Giải các bất phương trình sau : 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ Chủ đề 6 : NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG I- Nguyên hàm : 1. Phương pháp đổi biến số : 2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần : II- Tích phân : 1. Phương pháp đổi biến số : VÀ 2. Phương pháp tích phân từng phần : III. Diện tích hình phẳng : 1. Giới hạn bởi 1 đường cong và trục hoành : 2. Giới hạn bởi hai đường cong : Nếu trên [a; b] biểu thức f1(x) – f2(x) không đổi dấu thì: IV. Thể tích khối tròn xoay : BÀI TẬP : NGUYÊN HÀM 1- Tìm nguyên hàm của các hàm số sau : a) b) c) d) e) 2- Tìm : a) b) c) d) e) 3- Dùng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của : a) b) c) d) 4- Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, tìm nguyên hàm của : a) b) c) d) Bài tập tổng hợp : Tìm nguyên hàm của các hàm số sau : 1- a) b) c) d) 2- a) b) c) d) 3- a) b) c) d) 4- Tìm : a) b) c) d) e) f) g) h) TÍCH PHÂN 1- Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số : (x=sint) 2- Tích phân từng phần : 3- Tính các tích phân sau : 4- Tính : 5- Tính các tích phân: 6. Tính: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau : a) b) c) d) e) f) 2- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi , tiếp tuyến với nó tại điểm và trục Oy 3- Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau : a) và b) và hai trục tọa độ. 4- Tính hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) và b) và trục THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY 1- Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây khi nó quay xung quanh trục Ox : a) b) c) 2- Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi hình elip (E) : , khi nó quay xung quanh trục Ox. 3- Tính thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng xác định bởi : a) quanh trục Ox b) quanh trục Ox 4- Xét hình phẳng giới hạn bởi a) Tính diện tích hình phẳng. b) Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng quanh trục Ox. Chủ đề 7 : SỐ PHỨC 1- Tìm các số thực x, y thoả : a) b) c) 2- Đặt dưới dạng các số phức sau : a) b) c) d) e) f) g) h) 3- Tính môđun của các số phức a) b) c) 4- Tìm số phức z thoả điều kiện và phần thực bằng hai lần phần ảo 5- Tìm các số phức sao cho a) b) c) d) 6- Giải các phương trình sau : a) b) c) 7- Giải các phương trình sau : a) b) c) d) 8- Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thoả mãn điều kiền : a) b) c) d) e) f)