Phương pháp hàm số trong giải toán

MỞ ĐẦU Định nghĩa hàm số và các khái niệm liên quan đến hàm số đã được trình bày ở chương trình sách giáo khoa lớp 10. Nhưng để hiểu rõ các tính chất và các ứng dụng của hàm số thì cần có kiến thức về giải tích mà cụ thể là đạo hàm của hàm số. Kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm được trình bày ở chương trình sách giáo khoa cuối lớp 11 và đầu lớp 12. Dùng đạo hàm của hàm số giúp chúng ta tìm được GTLN, GTNN , xét được khoảng đồng biến , nghich biến của hàm số và xét được tính lồi lõm của đồ thị hàm số. Từ các ứng dụng đạo hàm của hàm số giúp chúng ta giải được một số bài toán trong phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức, xét sự hội tụ của dãy số và chứng minh bất đẳng thức. Trong bài viết này chúng ta tìm hiểu một số ứng dụng của phương pháp hàm số vào trong giải toán. I- Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình. 1) Định lí 1: Nếu hàm số f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì số nghiệm của phương trình f(x) = k trên D không nhiều hơn một và f(x) = f(y) Û x = y với mọi x, y Î D. Chứng minh: a) Giả sử phương trình f(x) = k có nghiệm x = a tức là f(a) = k. Nếu x > a thì f(x) > f(a) = k suy ra phương trình vô nghiệm. Nếu x < a thì f(x) < f(a) = k suy ra phương trình vô nghiệm. b) Nếu x > y thì f(x) > f(y) suy ra phương trình f(x) = f(y) vô nghiệm. Nếu x < y thì f(x) < f(y) suy ra phương trình f(x) = f(y) vô nghiệm. 2) Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và hàm số y = g(x) luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) và liên tục trên D thì số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) không nhiều hơn một. Chứng minh: Giả sử phương trình f(x) = g(x) có nghiệm x = a tức là f(a) = g(a). Nếu x > a thì f(x) > f(a) = g(a) > g(x) suy ra phương trình vô nghiệm. Nếu x < a thì f(x) < f(a) = g(a) < g(x) suy ra phương trình vô nghiệm. 3) Định lí 3: Nếu đồ thị hàm số y = f(x) lồi (lõm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = 0 nếu có nghiệm thì có tối đa 2 nghiệm. Ví dụ 1: Giải phương trình 3x = 4 - x. Giải: Tập xác định D= R. Phương trình tương đương với 3x + x - 4 = 0. Xét hàm số f(x ) = 3x + x - 4 . Hàm số xác định và liên tục trên R f’(x) = 3x.ln3 + 1 > 0 " x ÎR. Vậy hàm số f(x) đồng biến trên R. Mặt khác phương trình có một nghiệm x =1. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. Bài tập 1: Giải phương trình: Bài tập 2: Giải phương trình: . Ví dụ 2: Giải phương trình : Giải: Tập xác định D = R. Phương trình đã cho tương đương với (*) Xét hàm số f(t) = .Hàm số xác định và liên tục trên khoảng(0;+ ¥) f’(t) = > 0 "t > 0. Vậy hàm số f(t) đồng biến trên khoảng(0;+ ¥) Phương trình (*) Û f(x2 +x + 3) = f(2x2 + 4x + 5) Û x2 +x + 3 = 2x2 + 4x + 5 Û x = - 1 v x = - 2. Bài tập 1: Giải hệ phương trình Bài tập 2: Giải hệ phương trình Bài tập 3: Giải hệ phương trình Bài tập 4 : Tìm m để hệ phương trình có nghiệm Ví dụ 3: Giải phương trình 3x = 2x + 1 Giải: Tập xác định D = R. Phương trình đã cho tương đương với 3x - 2x - 1 = 0. Xét hàm số f(x) = 3x -2x - 1, f’(x) = 3xln3 - 2, f’’(x) = 3x (ln3)2 > 0 "x Î R. Mặt khác phương trình co hai nghiệm x = 0 và x =1. Vậy phương trình có đúng hai nghiệm x = 0 và x = 1. Bài tập 1: Giải phương trình: 2009x + 2010x = 4017x + 2 Bài tập 2: Giải phương trình: Bài tập 3: Giải phương trình: Ví dụ 4: Giải hệ phương trình Giải: Xét hàm số f(t) = t3 + t2 + t - 2. f’(t) = 3t2 + 2t + 1 > 0 "tÎ R. Vậy hàm số f(t) đồng biến trên R. Giả sử x = max{x,y,z} hay x³ y và x ³ z suy ra x = f(y) ³ f( z) = y và x= f(y) ³ f(x) = z . Từ đó ta có y ³ z và y ³ x. Suy ra f(y) ³ f(z) hay z ³ x. Do đó x ³ y³ z³ x từ đó x = y = z = 1. Bài tập 1: Giải hệ phương trình Bài tập 2: Giải hệ phương trình Bài tập 3: Giải hệ phương trình Ví dụ 5: Giải bất phương trình Giải: Tập xác định D = [- 6; 7] . Xét hàm số f(x) = . Ta có f’(x) = " x Î (- 6; 7). Vậy hàm số f(x) đồng biến trên đoạn [- 6; 7] Mặt khác f(3) = 1. Do đó bất phương trình tương đương với f(x) ³ f(3) Û x ³ 3. Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [3; 7] Bài tập 1: Giải bất phương trình Bài tập 2: Giải bất phương trình II - Sử dụng GTLN,GTNN của hàm số để tìm giá trị tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm. Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b). 1) Định lý 1: Phương trình f(x) = m có nghiệm thuộc đoạn [a;b] Û 2) Định lý 2: Bất phương trình f(x) ³ m có nghiệm thuộc đoạn [a;b] Û 3) Định lý 3: Bất phương trình f(x) £ m có nghiệm thuộc đoạn [a;b] Û 4) Định lý 4: Bất phương trình f(x) ³ m nghiệm đúng với mọi x Î [a;b] Û 5) Định lý 5: Bất phương trình f(x) £ m nghiệm đúng với mọi x Î [a;b] Û Chú ý: Định lý 1,2,3,4,5 dùng để giải các bài toán về phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình, bất phương trình chứa tham số. Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau a) Có nghiệm. b) Có đúng 1 nghiệm. c) có 2 nghiệm phân biệt. Giải : Tập xác định D= [-7;3], Xét hàm số , ta có , f’(x) = 0 Û x= - 6 (Loại) v x = 2. Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x). x -7 2 3 f’(x) + 0 - f(x) 15 -30 10 a) Phương trình có nghiệm khi Û - 30 £ m £ 15 b) Phương trình có đúng 1 nghiệm khi - 30 £ m < 10 hoặc m = 15. c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 10 £ m < 15. Ví dụ 2: Tìm m để phương trình 4(sin4x + cos4x) + (5 - 2m)cos2x + 9 - 3m = 0 a) Có nghiệm. b) Có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn Giải : Đặt t = cos2x với - 1 £ t £ 1 . Phương trình trở thành . Xét hàm số f(t) = Ta có , f’(t) = 0 Û t = (Loại) v t = . Bảng biến thiên t -1 1/2 1 f’(t) - 0 + f(t) 8 18/5 7/2 a) Phương trình có nghiệm khi Û 7/2 £ m£ 8. b) Khi x Î thì 2x Î hay . Phương trình có hai nghiệm thuộc đoạn khi phương trình ẩn t có hai nghiệm t thuộc đoạn hay 7/2 < m £ 18/5 Bài tập 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực Bài tập 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm Bài tập 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm Bài tập 5: Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt: Bài tập 6: Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất thuộc đoạn . Bài tập 7: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn Bài tập 8: Tìm m để phương trình có nghiệm thực. Bài tập 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm Bài tập 10:Tìm m để phương trình sau có nghiệm Ví dụ 3: Tìm m để bất phương trình: nghiệm đúng "x ³ 1 Giải: BPT . Ta có " x ≠ 0. Suy ra đồng biến trên khoảng (1; + ¥) . YCBT Bài tập 1: Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị x Î Bài tập 2: Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng Bài tập 3: Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng Ví dụ 4: Tìm m để phương trình: có nghiệm. Giải: Chú ý: Nếu tính rồi xét dấu thì thao tác rất phức tạp, dễ nhầm lẫn. Thủ thuật: Đặt Suy ra: và tăng; > 0 và giảm hay và tăng tăng. Suy ra có nghiệm Bài tập 1: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: Bài tập 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm Ví dụ 5: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm Giải: Đặt ta có và Khi đó hệ trở thành Û là nghiệm của phương trình bậc hai Hệ có nghiệm có 2 nghiệm thỏa mãn . Lập Bảng biến thiên của hàm số với t – 2 2 5/2 + – – 0 + + 22 2 7/4 + Nhìn bảng biến thiên ta có hệ có nghiệm Bài tập 1: Chứng minh rằng " m > 0 hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất Bài tập 2: Tìm m để hệ: (m là tham số). có nghiệm thỏa mãn điều kiện III - Sử dụng tính đơn điệu, GTLN, GTNN của hàm số để chứng minh bất đẳng thức. 1) Định lý 1: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì f(a) < f(x) < f(b) với mọi x Î (a;b) 2) Định lý 2: Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) thì f(a) > f(x) > f(b) với mọi x Î (a;b) 3) Định lý 3: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì f(a) £ f(x) £ f(b) với mọi x Î [a;b] 4) Định lý 4: Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) thì f(a) ³ f(x) ³ f(b) với mọi x Î [a;b] Chú ý: Định lí 1,2,3,4 dùng để chứng minh bất đẳng thức bằng cách xét hàm số. Ví dụ 1: Chứng minh rằng với Giải: Xét hàm số f(x) = , với , " Do đó hàm số f(x) đồng biến trên khoảng . Từ đó f(x) > f(0) Û . đpcm Bài tập 1: Chứng minh rằng a) , với x ≠ 0. b) , với x > 0. c) , với x ≠ 0. d) , với x > 0. e) ex ³ 1 + x , " xÎ R. f) , với x > 0 và x ≠ e. g) , với x > 0 và x ≠ e. h) , với . Bài tập 2: Chứng minh rằng a) , với . b) , với . c) , với x > 0 d) , với . e) , với xÎ (0;1) Bài tập 3: Chứng minh rằng: a) , với x > 0 b) , với x > 0. c) , với x > 0.d) , với x > 0. Bài tập 4: Chứng minh rằng a) , với x > 0. b) , với x > 0. c) , với x > 0. d) với Bài tập 5: Chứng minh rằng: a) , với . b) , với . Ví dụ 2: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình . Tìm m để đạt GTNN, GTLN Giải : m m m m + + m m Bài tập 1:Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình . Tìm m để đạt GTNN Bài tập 2: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình . Tìm GTNN của Ví dụ 3: Tìm GTNN của , với x,y≠ 0. Giải: Bài tập 1: Tìm GTNN, GTLN của Bài tập 2: Tìm GTLN, GTNN của Bài tập 3: Tìm GTNN, GTLN của , với x,y≠ 0. Bài tập 4: Tìm GTLN,GTNN của Ví dụ 4: Cho x, y ≥ 0 thoả mãn x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: Nếu x = 0 thì từ giả thiết x2 + y2 = 1 ta có y = 1. Suy ra P = 1. Nếu x ¹ 0 thì đặt y = tx, t ≥ 0 . Từ giả thiết ta có x2 + y2 = 1 Û x2 + t2x2 = 1 Û . Ta có P = . Xét hàm số f(t) = , f ’(t) = , f ’(t) = 0 Û t = 0 v t = (Loại) Bảng biến thiên t 0 + ¥ f ’(t) + f(t) 1 -1 Từ bảng biến thiên ta có Min(P) = - 1 đạt được khi t = 0 Û x = 1; y = 0. Max(P) = 1 đạt được khi x = 0; y = 1. Bài tập 1: Cho hai số thực x,y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x2 + y2 = 1. Tìm GTNN, GTLN của . Bài tập 2: Cho hai số thực dương x, y thay đổi và thỏa mãn điều kiện xy £ y - 1. Tìm GTNN của biểu thức Ví dụ 5: Cho hai số thực x,y thỏa mãn x2 + xy + y2 = 1. Tìm GTLN,GTNN của A = x2 - xy + y2. Giải: Bài tập 1: Cho hai số thực x,y thỏa mãn x2 - xy + y2 = 1. Tìm GTLN,GTNN của A = x4 + y4 - x2y2. Ví dụ 6: Cho hai số thực x,y thỏa mãn x2 - xy + y2 = xy(x + y). Tìm GTLN của Giải: Bài tập 1: Cho x,y dương thỏa mãn x + y = 1. Tìm GTNN của Bài tập 2: Cho các số thực không âm x,y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức . Bài tập 3: Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức Ví dụ 7: Cho hai số x,y Î(0;1) thảo mãn x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức Giải: Ví dụ 8: Cho . Chứng minh rằng: . Giải: Đồ thị với là một đoạn thẳng với 2 giá trị đầu mút và Do đồ thị là một đoạn thẳng với và ; nên . Đẳng thức xảy ra Bài tập 1: Cho Chứng minh rằng: Bài tập 2: Chứng minh rằng: . Ví dụ 9: Cho x,y,z > 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Giải : Áp dụng trình tự các bước sau. +) , dấu bằng xảy ra khi x = y. +) Nếu cho A, B > 0, m ³ n > 0 và A < 2B thì . +) Nếu cho m ³ n > 0, . +) +) +) đặt . Xét hàm số Bài tập 1: Cho a,b,c>0 và .Chứng minh Ta đã biết tiếp tuyến của hàm số y=f(x) tại mọi điểm bất kì trên khoảng lồi luôn nằm phía trên đồ thị và tiếp tuyến tại mọi điểm trên khoảng lõm luôn nằm phía dưới đồ thị nên ta có nhận xét sau Nhận xét:Nếu y=ax+b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm ( A không phải là điểm uốn) , khi đó tồn tại một khoảng I chứa điểm x0 sao cho hoặc . Ví dụ 10: Cho và. Cmr : Giải: Bđt cần chứng minh với Ta thấy đẳng thức xảy ra khi. Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là: y=8x-16 Ta có: đpcm Bài tập 1: Cho a,b,c>0 .Cmr: Bài tập 2: Cho a,b,c>0. Cmr : Bài tập 3: Cho . Cmr: IV - Ứng dụng của định lí Lagrăng 1) Định lý Lagrăng: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm trên khoảng (a;b) thì tồn tại giá trị c Î (a;b) sao cho Chú ý: Định lý Lagrăng dùng để chứng minh bất đẳng thức và dùng để chứng minh một phương trình có nghiệm x Î (a;b). 2) Hệ quả: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp n. .Nếu pt có k nghiệm thì Pt có nhiều nhất (k+1) nghiệm . Ví dụ 1: Cho các số thực a,b,c và số nguyên n>0 thoả mãn: 5c(n+2)+6(a+b)=0. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm trên Giải: Ta có: (*) Xét hàm số trên ta thấy f(x) thoả mãn đk đ/l Lagrang trên . Mặt khác ta lại có: (do (*) ). Theo đ/l Lagrang thì pt f’(x) có nghiệm trên hay pt: (vì sinx, cosx >0 trên ) có nghiệm trên (đpcm) Ví dụ 2: Cho 0<a<b. Chứng minh rằng : Giải:Bđt đã cho Xét hàm số f(x)=lnx trên [a;b]. Ta thấy f(x) thỏa mãn đk đ/l Lagrang trên [a;b] nên tồn tại số c: a<c<b: . Vì Do đó ta có đpcm Ví dụ 3: Giải phương trình: Giải: Đặt t=cosx; khi đó pt trở thành: , ta thấy pt này có hai nghiệm t=0 và t=1 ta sẽ c/m đó là số nghiệm nhiều nhất mà pt có thể có: Xét hàm số: với ta có f’(x)=0 có nhiều nhất 1 nghiệm nên f(x) =0 có nhiều nhất hai nghiệm từ đó ta có đpcm Vậy pt có hai họ nghiệm: V - Sử dụng tính đơn diệu của hàm số để xét sự hội tụ của dãy số. Ví dụ 1: Cho a > 1, dãy số (xn) xác định bởi x1 = a, , "n Î N*. Hãy tìm điều kiện của a để dãy số (xn) hội tụ Giải: Ta có a > 1, suy ra dãy số (xn) tăng, vậy dãy số (xn) hội tụ khi và chỉ khi (xn) bị chặn. Điều kiện cần: Giải sử dãy số (xn) hội tụ và lim xn = x, vì (xn) là dãy số tăng nên ta có xn ³ x1 suy ra x ³ x1 = a > 1. . Đặt f(x) = . Từ bảng biến thiên ta có 0 < lna £ Điều kiện đủ: Khi 0 1 sao cho . Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh dãy số (xn) bị chặn trên bởi x. Vì x > 1 nên ta có Giả sử xk < x (với k ³ 1) suy ra "n Î N*. Kết luận: . Ví dụ 2: Cho dãy số (xn) được xác định bởi x1 = b, , nÎN*. Chứng minh rằng dãy số (xn) có giới hạn. Giải:Xét hàm số . Ta có f’(x) = . Do nên |f’(x)|£ , " xÎ R. Xét phương trình f(x) = x. Hay x - f(x) = 0. Đặt g(x) = x - f(x) Ta có g’(x) = 1 - f’(x) > 0 Hàm số g(x) đồng biến và liên tục trên R. Mặt khác g(0) > 0 và g(-20092 ) < 0 nên phương trình g(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = a Î(- 20092; 0) TH1: b = a suy ra xn = a. suy ra lim xn = a. TH2: b ≠ a. Áp dụng ĐL Lagrăng cho hàm số y = f(x) ta có 0 <|xn - a| £ Do nên limxn = a. Bài tập 1: Cho dãy số (xn) xác định bởi x1 = a ÎR, với n Î N*. Chứng minh dãy số (xn) hội tụ. Bài tập 2: Cho dãy số (xn) xác định bởi x1 = a ÎR, , với n Î N*. Tùy theo giá trị của a xét sự hội tụ của dãy số (xn) . Bài tập 3: Cho a> 0 và dãy số (xn) với x1 = a, . Tính limxn