Sử dụng kỹ thuật 1 - Thời điểm dừng mở rộng sự hội tụ của dãy các quá trình ngẫu nhiên một chỉ số cho dãy các quá trình ngẫu nhiên hai chỉ số trong không gian Balan

Nghiên cứu này được thực hiện dựa trên kết quả về sự hội tụ theo luật và hội tụ căn bản theo luật của dãy các quá trình ngẫu nhiên một chỉ số mở rộng cho dãy các quá trình ngẫu nhiên hai chỉ số bằng sử dụng kỹ thuật 1 - thời điểm dừng. Các kết quả đạt được là trong không gian Balan, sự hội tụ theo luật tương đương với hội tụ căn bản theo luật và chỉ ra mối liên hệ giữa sự hội tụ căn bản theo luật và hội tụ hầu chắc chắn của dãy các quá trình ngẫu nhiên hai chỉ số

pdf6 trang | Chia sẻ: thuyduongbt11 | Ngày: 10/06/2022 | Lượt xem: 236 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Sử dụng kỹ thuật 1 - Thời điểm dừng mở rộng sự hội tụ của dãy các quá trình ngẫu nhiên một chỉ số cho dãy các quá trình ngẫu nhiên hai chỉ số trong không gian Balan, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TOÁN SỬ DỤNG KỸ THUẬT 1 - THỜI ĐIỂM DỪNG MỞ RỘNG SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN MỘT CHỈ SỐ CHO DÃY CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN HAI CHỈ SỐ TRONG KHÔNG GIAN BALAN 86( O) T(CHNI48( O) 6TOPPIN* TI0( )O5 TH( (;T(N6ION O) TH( CON9(5*(NC( O) TH( ON(PA5A0(T(5 6TOCHA6TIC P5OC(66(6 TO TH( T:OPA5A0(T(5 6TOCHA6TIC P5OC(66(6 IN TH( PO/I6H 6PAC(6 ThS. Phạm Viết Thanh Tùng Trường Đại học Tài chính - Kế toán TÓM TẮT ABSTRACT NJj\ QKұQ EjL   NJj\ QKұQ NӃW TXҧ SKҧQ ELӋQ   NJj\ GX\ӋW ÿăQJ   84 USE F E QUE F 1-S G ME F R E EX E S F E VERGE E F E E- R ME ER S S R ESSES E W - R ME ER S S R ESSES E L S S ES Nghiên cứu này được thực hiện dựa trên kết quả về sự hội tụ theo luật và hội tụ căn bản theo luật của dãy các quá trình ngẫu nhiên một chỉ số mở rộng cho dãy các quá trình ngẫu nhiên hai chỉ số bằng sử dụng kỹ thuật 1 - thời điểm dừng. Các kết quả đạt được là trong không gian Balan, sự hội tụ theo luật tương đương với hội tụ căn bản theo luật và chỉ ra mối liên hệ giữa sự hội tụ căn bản theo luật và hội tụ hầu chắc chắn của dãy các quá trình ngẫu nhiên hai chỉ số. Từ khóa: Sự hội tụ, 1 - thời điểm dừng, dãy các quá trình ngẫu nhiên hai chỉ số. This study is based on the results on the convergence in law and the essential convergence in law of a sequence of one-parameter stochastic processes in order to extend to the convergence of two-parameter stochastic processes by using the technique of one-stopping time. The results are obtained in the Polish spaces where the convergence in law is equivalent to the essential convergence in law. Moreover, the relation between the essential convergence in law and the almost sure convergence for the sequence of two-parameter stochastic processes is also given. Keywords: convergence, 1-stopping time, sequence of two-parameter stochastic processes. 1. Đặt vấn đề Lý thuyết quá trình ngẫu nhiên là một ngành toán học hiện đại và có rất nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học khác nhau như trong điều khiển, dự báo quân sự, kinh tế,Một trong những hướng nghiên cứu cơ bản của lý thuyết quá trình ngẫu nhiên là nghiên cứu về sự hội tụ, hướng nghiên cứu này đã thu được nhiều kết quả sâu sắc đối với các quá trình một chỉ số, các quá trình đa chỉ số có các kết quả chưa nhiều. Bài viết này nghiên cứu về sự hội tụ của quá trình ngẫu nhiên 2 chỉ số trong không gian Balan. 2. Một số kết quả hội tụ của dãy các quá trình ngẫu nhiên một chỉ số 2.1. Định nghĩa - Không gian Balan: Không gian tôpô E được gọi là không gian Balan nếu E đồng phôi và không gian mêtric khả ly đầy đủ. - Phần tử ngẫu nhiên: Giả sử (E, ρ) là không gian Balan và B là σ-trường sinh bởi các tập mở của E. Một ánh xạ X: Ω → E thỏa mãn điều kiện X-1(B) A được gọi là phần tử ngẫu nhiên A- đo được. Đặc biệt E =  hoặc kE =  thì X được gọi là đại lượng ngẫu nhiên hay vectơ ngẫu nhiên tương ứng. Ký hiệu L0(E,A) là không gian gồm tất cả các phần tử ngẫu nhiên A-đo được, xác định trên Ω và nhận giá trị trong không gian Balan E, [1]. gà y nhậ n bà i : 09/3/2021 gà y nhậ n kế t quả phả n biệ n : 16/9/2021 gà y duyệ t đ ng : 25/9/2021 ĈẠI HỌC TÀI CHÍNH  KẾ TOÁN 85 Đ - - Dãy n(X ,n )∈ trong L0(E,A) được gọi là hội tụ theo luật tới X∈L0(E,A) khi n → ∞ nếu dãy hàm phân phối tương ứng nX P của nX hội tụ yếu tới hàm phân phối XP của X khi n → ∞, kí hiệu là DnX X,n→ → ∞ ,[2]. - Tập A là X - liên tục nếu A ∈ B với nX P ( A) 0∂ = , trong đó A∂ là biên của tập A và PX(B) = P[X ∈B], B∈B. Dãy n(X ,n )∈ được gọi là hội tụ căn bản theo luật tới X nếu với mọi X - liên tục A, ta có [ ] [ ] nX m mn n m n m n lim P X A P(X A) lim P X A →∞ →∞ ≥ ≥    ∈ = ∈ = ∈       ∪ ∩ . Kí hiệu là: EDnX X,n→ → ∞ ,[2]. 2.2. Đặc trưng của hội tụ theo luật Trong [4], Billisgley đã chỉ ra nhiều đặc trưng khác nhau của dạng hội tụ theo luật. Bài viết này sử dụng một trong các đặc trưng đó là: Dãy n(X ,n )∈ hội tụ theo luật tới X nếu và chỉ nếu với mọi tập A là X - liên tục, ta có: nX X P (A) P (A),n→ → ∞ . 2.3. Các dạng hội tụ của dãy các quá trình ngẫu nhiên một chỉ số Định lý 1. Dãy n(X ,n )∈ các phần tử ngẫu nhiên hội tụ căn bản theo luật tới X khi n → ∞ nếu và chỉ nếu Xτ hội tụ theo luật tới X với τ∈Τ , T là tập các thời điểm dừng, [7]. Định lý 2. Dãy n(X ,n )∈ các phần tử ngẫu nhiên hội tụ căn bản theo luật tới X khi n → ∞ nếu và chỉ nếu tồn tại một phần tử ngẫu nhiên X’ sao cho Xn hội tụ hầu chắc chắn tới X’ và PX = PX’,[7]. Định lý 3. Giả sử (Xn, n ≥ 1) là dãy các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Balan E, hội tụ hầu chăc chắn đến phần tử ngẫu nhiên X nhận giá trị trong E. Khi đó, dãy (Xn, n ≥ 1) hội tụ căn bản theo luật đến X,[7]. Từ các kết quả trên, sau đây bài viết sử dụng kỹ thuật 1- thời điểm dừng để mở rộng cho dãy các quá trình ngẫu nhiên hai chỉ số. 3. Sự hội tụ theo luật và hội tụ căn bản theo luật của dãy các quá trình ngẫu nhiên hai chỉ số 3.1. Một số ký hiệu Giả sử (Ω,A,P) là không gian xác suất đầy đủ. Tập các chỉ số được xét là ×  và ký hiệu là I, { }I (i, j) : i, j= ∈ . Khi đó, I là tập định hướng với thứ tự bộ phận như sau: t (i, j) t ' (i ', j ')= ≤ = nếu và chỉ nếu i ≤ i’, j ≤ j’. Giả sử (At,t∈I) một họ tăng các σ-trường con đầy đủ của A,với A = nAn , ở đó n (n,n), n= ∈ [5]. 3.2. 1- thời điểm dừng Một hàm : Iτ Ω → được gọi là 1- thời điểm dừng nếu τ nhận giá trị hữu hạn và [ ](i, j)τ = ∈A1i, (i, j)∈ I; trong đó A1i = j 1≥∪Aij,i ∈ . Ký hiệu tập các 1-thời điểm dừng là T1. Khi đó, T1 cũng là một tập định hướng với thứ tự bộ phận được xác định bởi 'τ ≤ τ nếu ( ) '( ),τ ω ≤ τ ω (h.c.c), [5]. Dãy (Xt, t ∈I) trong L 0(E,A) được gọi là tương thích với họ (At,t ∈I) nếu Xt ∈ L 0(E,At) với mọi t ∈ I. Với dãy (Xt,t∈I) trong L 0(E,A) và 1τ∈Τ đã cho, ta xác định:X : E,τ Ω → ( )( )X ( ) X ( ) h.c.cτ τ ωω = ω và A τ= {A ∈ A: A [ (i, j)]∩ τ = ∈A1i,(i, j)∈I}. Khi đó, A τA và (A τ , τ ∈T1) là một họ tăng các σ-trường con đầy đủ của A. Hơn nữa,Xτ cũng là các phần tử ngẫu nhiên A τ -đo được, τ ∈T1. 3.3. Mối liên hệ giữa sự hội tụ theo luật và hội tụ căn bản theo luật của dãy các quá trình ngẫu nhiên hai chỉ số 3.3.1. Định nghĩa TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TOÁN 86 - Dãy t(X , t I)∈ trong L0(E,A) được gọi là hội tụ theo luật tới X nếu dãy hàm phân phối tương ứng tX P của tX hội tụ yếu tới hàm phân phối XP của X, kí hiệu là D tX X, t I→ ∈ ,[5]. Sự hội tụ theo luật có thể mêtric hóa được tính chất như sau: Giả sử dãy (Xt,t∈I) trong L 0(E,A). Khi đó, D 1X X, Tτ → τ∈ nếu và chỉ nếu với mọi dãy 1 n n( ), Tτ τ ∈ với n n, nτ ≥ ∈ thì n DX X,nτ → → ∞ - Dãy t(X , t I)∈ trong L0(E,A) được gọi là hội tụ căn bản theo luật tới X, kí hiệu là ED tX X, t I→ ∈ nếu với mọi tập B là X - liên tục, B ∈ B, ta có: [ ] [ ]t tn n t n t n lim P X B P(X B) lim P X B →∞ →∞ ≥ ≥     ∈ = ∈ = ∈      ∪ ∩ 3.3.2. Mối liên hệ giữa sự hội tụ theo luật và sự hội tụ căn bản theo luật của dãy các quá trình ngẫu nhiên hai chỉ số Bổ đề. Nếu EDtX X, t I→ ∈ thì D tX X, t I→ ∈ Thật vậy, với mọi tập B là X - liên tục, B∈B và t∈I sao cho t n, n≥ ∈ thì [ ] [ ]t t t t n t n P X B P[X B] P[X B] P[X B] P X B P[X B] ≥ ≥     ∈ − ∈ ≤ ∈ − ∈ ≤ ∈ − ∈      ∩ ∪ Vì EDtX X, t I→ ∈ nên [ ]tP X B P[X B],n∈ → ∈ → ∞ .Theo đặc trưng của hội tụ theo luật suy ra DtX X, t I→ ∈ . Chiều ngược lại nói chung không đúng. Đối với các biến ngẫu nhiên (một chỉ số) độc lập cùng phân phối và không suy biến trong L0( , A) thì sự hội tụ theo luật của dãy này không suy ra sự hội tụ căn bản theo luật. Thật vậy, giả sử (Xn, n ≥ 1) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối và không suy biến. Rõ ràng, dãy (Xn, n ≥ 1) hội tụ theo luật đến biến ngẫu nhiên X, với biến ngẫu nhiên X có cùng phân phối với biến ngẫu nhiên Xn, n ≥ 1. Giả sử A là tập X - liên tục sao cho 0 < PX(A) = P[X ∈ A] = a < 1. Khi đó, [ ]kn k n lim P X A 0 P[X A] a 0 →∞ ≥   ∈ = ≠ ∈ = >  ∩ . Suy ra, Xn không hội tụ căn bản theo luật đến X, n → ∞ . Như vậy, khi nào có chiều ngược lại. Định lý sau giải quyết vấn đề này nhờ sử dụng kỹ thuật 1 - thời điểm dừng. Định lý. Giả sử dãy (Xt,t∈I) và X thuộc L 0(E,A). Khi đó, các điều kiện sau là tương đương: i. EDtX X, t I→ ∈ ii. Với mọi dãy n n( ), n, nτ τ ≥ ∈ thì n EDX X,nτ → → ∞ iii. D 1X X, Tτ → τ∈ Chứng minh. Chứng minh định lý theo lược đồ sau: i. ii.  iii.  i. i.  ii.) Giả sử EDtX X, t I→ ∈ và 1 n n( ), Tτ τ ∈ sao cho n n, nτ ≥ ∈ . Khi đó, với mọi tập B ∈ B là X - liên tục và n∈ , ta có [ ] [ ] k kt t k n k nt n t n X B X B X B X Bτ τ ≥ ≥≥ ≥    ∈ ⊃ ∈ ⊃ ∈ ⊃ ∈        ∪ ∪ ∩ ∩ [ ] [ ] k kt t k n k nt n t n P X B P X B P X B P X Bτ τ ≥ ≥≥ ≥          ⇒ ∈ ≥ ∈ ≥ ∈ ≥ ∈               ∪ ∪ ∩ ∩ Vì EDtX X, t I→ ∈ nên theo định nghĩa hội tụ căn bản theo luật, ta có [ ] ( ) [ ]t tn n t n t n lim P X B P X B lim P X B →∞ →∞ ≥ ≥     ∈ = ∈ = ∈      ∪ ∩ ĈẠI HỌC TÀI CHÍNH  KẾ TOÁNTẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TOÁN 86 - Dãy t(X , t I)∈ trong L0(E,A) được gọi là hội tụ theo luật tới X nếu dãy hàm phân phối tương ứng tX P của tX hội tụ yếu tới hàm phân phối XP của X, kí hiệu là D tX X, t I→ ∈ ,[5]. Sự hội tụ theo luật có thể mêtric hóa được tính chất như sau: Giả sử dãy (Xt,t∈I) trong L 0(E,A). Khi đó, D 1X X, Tτ → τ∈ nếu và chỉ nếu với mọi dãy 1 n n( ), Tτ τ ∈ với n n, nτ ≥ ∈ thì n DX X,nτ → → ∞ - Dãy t(X , t I)∈ trong L0(E,A) được gọi là hội tụ căn bản theo luật tới X, kí hiệu là ED tX X, t I→ ∈ nếu với mọi tập B là X - liên tục, B ∈ B, ta có: [ ] [ ]t tn n t n t n lim P X B P(X B) lim P X B →∞ →∞ ≥ ≥     ∈ = ∈ = ∈      ∪ ∩ 3.3.2. Mối liên hệ giữa sự hội tụ theo luật và sự hội tụ căn bản theo luật của dãy các quá trình ngẫu nhiên hai chỉ số Bổ đề. Nếu EDtX X, t I→ ∈ thì D tX X, t I→ ∈ Thật vậy, với mọi tập B là X - liên tục, B∈B và t∈I sao cho t n, n≥ ∈ thì [ ] [ ]t t t t n t n P X B P[X B] P[X B] P[X B] P X B P[X B] ≥ ≥     ∈ − ∈ ≤ ∈ − ∈ ≤ ∈ − ∈      ∩ ∪ Vì EDtX X, t I→ ∈ nên [ ]tP X B P[X B],n∈ → ∈ → ∞ .Theo đặc trưng của hội tụ theo luật suy ra DtX X, t I→ ∈ . Chiều ngược lại nói chung không đúng. Đối với các biến ngẫu nhiên (một chỉ số) độc lập cùng phân phối và không suy biến trong L0( , A) thì sự hội tụ theo luật của dãy này không suy ra sự hội tụ căn bản theo luật. Thật vậy, giả sử (Xn, n ≥ 1) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối và không suy biến. Rõ ràng, dãy (Xn, n ≥ 1) hội tụ theo luật đến biến ngẫu nhiên X, với biến ngẫu nhiên X có cùng phân phối với biến ngẫu nhiên Xn, n ≥ 1. Giả sử A là tập X - liên tục sao cho 0 < PX(A) = P[X ∈ A] = a < 1. Khi đó, [ ]kn k n lim P X A 0 P[X A] a 0 →∞ ≥   ∈ = ≠ ∈ = >  ∩ . Suy ra, Xn không hội tụ căn bản theo luật đến X, n → ∞ . Như vậy, khi nào có chiều ngược lại. Định lý sau giải quyết vấn đề này nhờ sử dụng kỹ thuật 1 - thời điểm dừng. Định lý. Giả sử dãy (Xt,t∈I) và X thuộc L 0(E,A). Khi đó, các điều kiện sau là tương đương: i. EDtX X, t I→ ∈ ii. Với mọi dãy n n( ), n, nτ τ ≥ ∈ thì n EDX X,nτ → → ∞ iii. D 1X X, Tτ → τ∈ Chứng minh. Chứng minh định lý theo lược đồ sau: i. ii.  iii.  i. i.  ii.) Giả sử EDtX X, t I→ ∈ và 1 n n( ), Tτ τ ∈ sao cho n n, nτ ≥ ∈ . Khi đó, với mọi tập B ∈ B là X - liên tục và n∈ , ta có [ ] [ ] k kt t k n k nt n t n X B X B X B X Bτ τ ≥ ≥≥ ≥    ∈ ⊃ ∈ ⊃ ∈ ⊃ ∈        ∪ ∪ ∩ ∩ [ ] [ ] k kt t k n k nt n t n P X B P X B P X B P X Bτ τ ≥ ≥≥ ≥          ⇒ ∈ ≥ ∈ ≥ ∈ ≥ ∈               ∪ ∪ ∩ ∩ Vì EDtX X, t I→ ∈ nên theo định nghĩa hội tụ căn bản theo luật, ta có [ ] ( ) [ ]t tn n t n t n lim P X B P X B lim P X B →∞ →∞ ≥ ≥     ∈ = ∈ = ∈      ∪ ∩ 87 Đ - Theo định nghĩa hội tụ căn bản theo luật, suy ra n EDX X,nτ → → ∞ . ii.  iii.) Giả sử dãy (Xt, t ∈ I) thỏa mãn ii. và Xτ không hội tụ theo luật đến 1X, Tτ∈ . Khi đó, tồn tại dãy 1n n( ), Tτ τ ∈ với n n, nτ ≥ ∈ sao cho nXτ không hội tụ theo luật đến X,n → ∞ . Theo kết quả trên, suy ra n Xτ không hội tụ căn bản theo luật đến X,n → ∞ . Điều này mâu thuẫn với ii. Vậy phải có D 1X X, Tτ → τ∈ , nghĩa là ii. được thỏa mãn. iii.  i.) Giả sử dãy (Xt, t ∈ I) thỏa mãn iii. Ta chứng minh dãy này thỏa mãn định nghĩa hội tụ căn bản theo luật. Bằng cách xây dựng một dãy thời điểm dừng 1n n( ), Tτ τ ∈ với n n, nτ ≥ ∈ sao cho [ ] ( ) ( )ntn n t n lim P X B lim P X B P X Bτ →∞ →∞ ≥   ∈ = ∈ = ∈  ∪ với mọi tâp B ∈ B là X - liên tục. Với mọi n ∈  : [ ] [ ]t tn m n t m t n lim P X B P X B ≤ →∞ ≤ ≤ ≥     ∈ = ∈      ∪ ∪ . Do đó, với mọi n ∈  đều tồn tại mn ≥ n sao cho [ ] [ ] [ ] n t t t t n n t m t n 1P X B P X B P X B (1.1) n≥ ≤ ≤ ≥      ∈ ≥ ∈ ≥ ∈ −        ∪ ∪ ∪ Bây giờ xác định dãy n( )τ như sau: n : Iτ Ω → với [ ] [ ] n t n t m n t n t m m khi X B ( ) (i, j) khi X B ≤ ≤ ≤ ≤  ω∈ ∉ τ ω =  ω∈ ∈ ∩ ∪ trong đó, n n s, j n j m i inf s : n s m , X B ≤ ≤    = ≤ ≤ ω∈ ∈    ∪ và { }n i,lj inf l : n l m , X B = ≤ ≤ ω∈ ∈  Bằng cách xác định dãy n( )τ như trên, ta có 1 n nT , n,nτ ∈ τ ≥ ∈ và [ ] n n t n t m X B X B ,n (1.2)τ ≤ ≤  ∈ = ∈ ∈  ∪ Theo iii., D 1X X, Tτ → τ∈ . Theo bổ đề (2.3.2), với mọi dãy 1 n n( ) T , nτ ⊂ τ ≥ thì n DX X,nτ → ∈ hay ( ) ( )nnlim P X B P X Bτ→∞ ∈ = ∈ (1.3) Từ (1.1), (1.2) và (1.3) suy ra: [ ] ( )tn t n lim P X B P X B →∞ ≥   ∈ = ∈  ∪ Tương tự, ta có [ ] ( )tn t n lim P X B P X B →∞ ≥   ∈ = ∈  ∩ Như vậy, với mọi tập B ∈ B là X-liên tục thì [ ] ( ) [ ]t tn n t n t n lim P X B P X B lim P X B →∞ →∞ ≥ ≥       ∈ = ∈ = ∈      ∪ ∩ Theo định nghĩa hội tụ theo luật của dãy các quá trình ngẫu nhiên hai chỉ số thì EDtX X, t I→ ∈ . 4. Sự hội tụ căn bản theo luật và hội tụ hầu chắc chắn của dãy các quá trình ngẫu nhiên hai chỉ số 4.1. Định nghĩa hội tụ hầu chắc chắn của dãy các quá trình ngẫu nghiên hai chỉ số Dãy (Xt, t ∈ I) được gọi là hội tụ hầu chắc chắn tới phần tử X, kí hiệu là hcc tX X, t I→ ∈ nếu ( )tn t nP[ lim sup X ,X 0] 1→∞ ≥ ρ = = ,[8]. 4.2. Sự hội tụ hầu chắc chắn của dãy Xt và dãy nXτ D.Szynal và W.Zieba đã chứng minh rằng: Dãy Xn hội tụ hcc tương đương với sự hội tụ hcc của dãy n Xτ với n( )τ là dãy thời điểm dừng hội tụ hcc tới ∞ ,[8]. Mở rộng của kết quả trên cho dãy các quá trình ngẫu nhiên hai chỉ số như sau: ( ) k kn n k n k n lim P X B P X B lim P X Bτ τ →∞ →∞ ≥ ≥       ⇒ ∈ = ∈ = ∈         ∪ ∩ TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TOÁN 88 Định lý. Dãy (Xt, t ∈I) hội tụ hầu chắc chắn tới X nếu và chỉ nếu với mọi dãy 1 n n( ), Tτ τ ∈ với n n, nτ ≥ ∈ thì nXτ hội tụ hầu chắc chắn tới X khi n → ∞ Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử hcctX X, t I→ ∈ và 1 n n( ), Tτ τ ∈ với n n, nτ ≥ ∈ . Khi đó, ( ) ( )k t k n t n sup X ,X sup X ,X (hcc)τ ≥ ≥ ρ ≤ ρ Suy ra, ( ) ( )ktn n k nt nP[ lim sup X ,X 0] P[ lim sup X ,X 0]τ→∞ →∞ ≥≥ ρ = ≤ ρ = . Theo (3.1), ta có ( ) ( )k tn nk n t n1 P[ lim sup X ,X 0] P[ lim sup X ,X 0] 1τ→∞ →∞≥ ≥≥ ρ = ≥ ρ = = Suy ra, n hccX X, nτ → → ∞ Điều kiện đủ: Giả sử Xt không hội tụ hcc đến X, t ∈ I. Ta xây dựng dãy các thời điểm dừng n( )τ sao cho n Xτ không hội tụ hcc đến X, n → ∞ . Đặt ( )n t t n S sup X ,X ,n ≥ = ρ ∈ . Khi đó, ( )nS ,n∈ là dãy giảm. Vì Xt không hội tụ hcc đến X, t ∈ I nên ∃ε ≥ 0 sao cho n∀ ∈ , ta có: P[Sn ≥ ε] ≥ ε. Hơn nữa, vì X ∈ L0(E,A) nên tồn tại dãy các phần tử ngẫu nhiên n(Y ,n )∈ sao cho Yn ∈L 0(E,A n ,n )∈ và n(Y ,n )∈ hội tụ theo xác suất đến X. Do đó, có thể tìm được n( )ε ∈ sao cho n n( )∀ ≥ ε thì nP[ (Y ,X) ]ρ ≥ ε ≤ ε . (1.4) Nhưng n∀ ∈ , ta có ( )t nn m n t mlim sup X ,X S (hcc)≤ →∞ ≤ ≤ ρ = . Suy ra, với n ∈  đều tồn tại mn ≥ n sao cho t n t m P[ sup (X ,X) 4 ] 4 ≤ ≤ ρ ≥ ε ≥ ε (1.5) Bây giờ xây dựng dãy 1 - thời điểm dừng n( )τ : n : Iτ Ω → được xác định như sau: n t n n t m n t n n t m m khi [ sup (X ,Y ) 2 ] ( ) (i, j) khi [ sup (X ,Y ) 2 ] ≤ ≤ ≤ ≤  ω∈ ρ < ε τ ω =  ω∈ ρ ≥ ε trong đó, n n s, j n n j m i inf s : n s m , (X ,Y ) 2 ≤ ≤    = ≤ ≤ ω∈ ρ ≥ ε    ∪ và { }n i,l nj inf l : n l m , (X ,Y ) 2 = ≤ ≤ ω∈ ρ ≥ ε  Bằng cách xây dựng dãy nτ như trên, ta có 1 n Tτ ∈ với n n, nτ ≥ ∈ Hơn nữa, nt n n n t m [ sup (X ,Y ) 2 ] (X ,Y ) 2τ ≤ ≤ ρ ≥ ε = ρ ≥ ε Lại có, t n t n t n n t m n t m P[ sup (X ,Y ) 4 ] P[ sup (X ,Y ) 2 ]+P[ (X ,Y ) 2 ] ≤ ≤ ≤ ≤ ρ ≥ ε ≤ ρ ≥ ε ρ ≥ ε n n nP[ (X ,Y ) 2 ]+P[ (X ,X) ], nτ≤ ρ ≥ ε ρ ≥ ε ∈ Từ (1.4) và (1.5) , suy ra: n n P[ (X ,Y ) 2 ] , n n( )τρ ≥ ε ≥ ε ≥ ε (1.6) Ta có n nn n P[ (X ,Y ) 2 ] P[ (X ,X) ]+P[ (Y ,X) ]τ τρ ≥ ε ≤ ρ ≥ ε ρ ≥ ε . Theo (1.4) và (1.6), suy ra n P[ (X ,X) ] 2 , n n( )τρ ≥ ε ≥ ε ≥ ε . Điều này chứng tỏ rằng nXτ hội tụ hầu chắc chắn tới X khi n → ∞ . Vậy hcctX X, t I→ ∈ . 4.3. Mối liên hệ giữa sự hội tụ theo luật và sự hội tụ hầu chắc chắn của dãy các quá trình ngẫu nhiên hai chỉ số Định lý. Dãy (Xt, t ∈ I) hội tụ căn bản theo luật tới X nếu và chỉ nếu X’ ∈ L 0(E,A) để dãy hội tụ hầu chắc chắn tới X’ sao cho PX’ = PX. 89 ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH - KẾ TOÁN Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử EDtX X, t I→ ∈ . Khi đó, theo định lý (2.3.2) với mọi dãy 1 n n( ), Tτ τ ∈ với n nτ ≥ , n∈ thì n EDX X,nτ → → ∞ .Theo định lý 3 (1.3.2) đối với dãy n(X ,n )τ ∈ ta có n hcc ''X X ,nτ → → ∞ với X’’ ∈ L0(E,A) và PX’’ = PX. Xác định dãy (σn) các 1 - thời điểm dừng như sau: n n n khi n 2k,k 1 khi n 2k 1,k 1  = ≥ σ =  τ = + ≥ Khi đó, (σn) ∈ T 1 và n n, nσ ≥ ∈ ta có n hcc 'X X ,nσ → → ∞ và n hcc ''X X ,nσ → → ∞ . Suy ra, X’’ = X (hcc) và n hcc 'X X ,nτ → → ∞ . Vì n( )τ tùy ý trong T1 nên theo 3.2, ta có hcc ' tX X , t I→ ∈ và PX’ = PX Điều kiện đủ: Giả sử hcc 'tX X , t I→ ∈ và PX’ = PX. Khi đó, theo 3.2, ta có với mọi dãy 1 n n( ), Tτ τ ∈ với n n, nτ ≥ ∈ thì n hcc 'X X ,nτ → → ∞ Áp dụng định lý 3. (1.3.2) cho dãy n (X ,n )τ ∈ , ta có n ED 'X X ,nτ → → ∞ Do n( )τ tùy ý trong T1 nên ED ' tX X , t I→ ∈ và do PX’ = PX nên ED tX X, t I.→ ∈ 5. Kết luận Bài viết trên, nghiên cứu về sự hội tụ của dãy các quá trình ngẫu nhiên 2 chỉ số trong không gian Balan. Từ kết quả về mối liên hệ sự hội tụ theo luật, hội tụ căn bản theo luật và hội tụ hầu chắc chắn của dãy các quá trình ngẫu nhiên một chỉ số; nếu không sử dụng kỹ thuật 1- thời điểm dừng thì khó có thể mở rộng các kết quả trên cho dãy các quá trình ngẫu nhiên 2 chỉ số. Qua việc chứng minh các định lý trên cho thấy việc sử dụng kỹ thuật 1–thời điểm dừng đã chỉ ra mối quan hệ tương đương về sự hội tụ theo luật, hội tụ căn bản theo luật và sự hội tụ hầu chắc chắn của dãy các quá trình ngẫu nhiên 2 chỉ số trong không gian Balan. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Phạm Xuân Hà, Về sự hội tụ của martingale tiệm cận hai chỉ số trong không gian Balan, (2005) 2. Đinh Quang Luu, Nguyen Hac Hai (1992), One the essential convergence in law of two-parameter radom processes, Bull. Pol. Ac.: Math 40 , 197-2024. 3. Đinh Quang Luu, Nguyen Hac Hai (1992), Pointwise convergence in law of two-parameter radom processes in terms of conditional 1-Amarts, Bull. Pol. Ac.: Math 40 , 204-215. 4. P. Billingsley (1968), Convergence of probability measures, New York Academic Press. 5. G.A. Edgar, L. Sucheston (1992), Stopping Times and Directed Processes, Cambridge Univ, Press, . 6. D. Partyka, D. Szynal (1985), On some properties of the essential convergence in law and their applications, Bull. Pol. Ac. Math, 32 , 211-217. 7. D.Szynal, W.Zieba, Some type of convergence in law, ibid, 11(1974),1143-1149. 8. D.Szynal, W.Zieba, On some characterization of almost sure convergence, ibid, 34 (1986) 9. Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2000), Lý thuyết xác
Tài liệu liên quan