Sử dụng mô hình nhị phân xác định giá kỳ vọng của cổ phiếu

123 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC Tóm tắt Ngày nay, đổi mới phương pháp dạy học là cần thiết để đáp ứng yêu cầu đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục Việt Nam. Phương pháp dạy học tích cực nói chung và phương pháp dạy học theo dự án nói riêng đã và đang thể hiện thế mạnh trong dạy học ở bậc đại học, đặc biệt là việc dạy học môn Lý thuyết xác suất và thống kê ứng dụng. Bài viết bàn về vấn đề ứng dụng kỳ vọng của biến ngẫu nhiên trong xác suất - thống kê để xác định giá kỳ vọng của cổ phiếu thông qua mô hình nhị phân và trình bày cách ước lượng các tham số trong mô hình nhằm ứng dụng phương pháp học theo dự án trong giảng dạy tại Trường Đại học Tài chính - Marketing. Từ khóa: Biến ngẫu nhiên, kỳ vọng, mô hình nhị phân 1. Đặt vấn đề Nghị quyết số 29-NQ/TW của Ban Chấp hành Trung ương ban hành ngày 04/11/2013 đã nêu rõ nhiệm vụ của giáo dục Việt Nam nói chung là phải “tiếp tục đổi mới phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học”. Việc đổi mới phương pháp giảng dạy ở bậc đại học đã và đang được thực hiện trên phạm vi toàn quốc. Trong những năm vừa qua, đội ngũ giảng viên Bộ môn Toán - Thống kê của Trường Đại học Tài chính - Marketing không ngừng nỗ lực học tập nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ và đổi mới phương pháp giảng dạy tích cực vào việc giảng dạy môn Lý thuyết xác suất và thống kê ứng dụng. Bài viết giới thiệu về việc ứng dụng kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc để xác định kỳ vọng về giá cổ phiếu trong mô hình nhị phân qua đó, trình bày cách ước các tham số của mô hình nhị phân bằng phương pháp thực nghiệm. 2. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc Xét phép thử τ với không gian mẫu .Ω Giả sử, ứng với mỗi biến số sơ cấp w ,∈Ω ta liên kết với một số thực thì X được gọi là một biến số ngẫu nhiên. * Bộ môn Toán - Thống kê, Khoa Kinh tế - Luật, Trường Đại học Tài chính - Marketing SỬ DỤNG MÔ HÌNH NHỊ PHÂN XÁC ĐỊNH GIÁ KỲ VỌNG CỦA CỔ PHIẾU 15. ThS. Nguyễn Trung Đông* 124 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC Khi ( )X Ω là một tập hợp hữu hạn { }1 2 kx ,x ,..., x hay là một dãy { }1 2 nx ,x ,..., x ,... , ta nói X là một biến số ngẫu nhiên rời rạc. Xét biến số ngẫu nhiên rời rạc với ( ) { }1 2 nX x ,x ,..., x ,... .Ω = Giả sử 1 2 nx x x< < < <L L, ta lập bảng các giá trị tương ứng: X 1x 2x ... nx ... P 1p 2p ... np ... với ( )i ip P X x ,= = được gọi là bảng phân phối xác suất của X. Kỳ vọng của X được xác định là : ( ) i i i E X x p .=∑ Tính chất: (i) ( )E C C= với C là hằng số. (ii) ( ) ( ) ( )E aX bY aE X bE Y+ = + (với a,b∈ ¡ và X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên). 3. Mô hình cây nhị phân Mô hình cây nhị phân (Binomial Tree Model - BT) là mô hình đơn giản nhất mô tả động thái giá cổ phiếu. Năm 1979, J.C. Cox - Ross - M. Rubinstein trong bài báo “Option Pricing: A Simplified Approach” (Journal of Financial Economics 7 - 1979) đã đề xuất mô hình này với mục tiêu chính là sử dụng mô hình để định giá quyền chọn cổ phiếu. Mô hình còn có tên gọi là “mô hình Cox - Ross - Rubinstein” (mô hình CRR). Giả thiết mô hình Cho 0S là giá cổ phiếu tại thời điểm t 0= . Chu kỳ [0,T] được chia thành n khoảng thời gian với độ dài t∆ khá nhỏ. Ký hiệu: 1 2 nS , S ,..., S là giá cổ phiếu tại thời điểm t, 2 t,..., n t∆ ∆ ∆ . Giả thiết về quy luật diễn biến giá cổ phiếu: Tại các thời điểm tiếp theo có hai khả năng có thể xảy ra đối với giá cổ phiếu: +) Với xác suất p ( p 0> ), giá sẽ tăng theo hệ số u ( u 1> ). +) Với xác suất (1 p)− , giá sẽ giảm theo hệ số d (0 d 1< < ). Ta gọi quy luật trên là “quy luật nhị phân” với xác suất là p. Mô hình Với n 1, 2,...= ta có mô hình cây nhị phân của giá cổ phiếu n - giai đoạn tương ứng. 125 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC 3.1. Mô hình cây nhị phân một giai đoạn Với giá cổ phiếu đầu kỳ là 0S , ta có giá cổ phiếu giai đoạn 1: Bảng phân phối xác suất cho giá cổ phiếu 1 giai đoạn: 1S 0uS 0dS P p 1 p− Giá kỳ vọng cổ phiếu một giai đoạn: ( ) ( )1 0 0E S puS 1 p dS .= + − 3.2. Mô hình cây nhị phân hai giai đoạn Với giá cổ phiếu đầu kỳ là 0S , ta có giá cổ phiếu giai đoạn 1: Theo quy luật nhị phân lại, ta có giá cổ phiếu giai đoạn 2: Suy ra, động thái giá cổ phiếu theo mô hình cây nhị phân hai giai đoạn: Bảng phân phối xác suất cho giá cổ phiếu 2 giai đoạn: 2S 2 0u S 0udS 2 0d S P 2p ( )2p 1 p− ( )21 p− Giá kỳ vọng của cổ phiếu hai giai đoạn: ( ) ( ) ( )22 2 22 0 0 0E S p u S 2udp 1 p S 1 p d S .= + − + − 126 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC 3.3. Mô hình cây nhị phân n giai đoạn Một cách tổng quát, ta có mô hình cây nhị phân n giai đoạn đối với giá cổ phiếu sau: Phân phối xác suất của nS có dạng: ( )i n i i i n in 0 nP S u d S C p (1 p)− −= = − (1) với i = 0, 1, 2,..., n và in n! C i!(n i)! = − Mức giá i n i 0u d S − ứng với trường hợp: trong n giai đoạn, giá cổ phiếu có i giai đoạn tăng và (n i)− giai đoạn giảm. Có thể xem phân phối xác suất của nS tương ứng với n phép thử Bernoulli với hai khả năng: giá tăng, giá giảm do đó thuộc lớp phân bố nhị thức B(n;p) với các giá trị có thể là i n i 0u d S − , i = 0, 1, 2,..., n. Chú ý: Với cây nhị phân n giai đoạn quá trình giá cổ phiếu sẽ có n2 quỹ đạo, có thể chứng minh được các kết quả sau: +) Nếu n đủ lớn mô hình cây nhị phân sẽ xấp xỉ quá trình Random Walk (bước ngẫu nhiên). +) Nếu cho n →∞ thì mô hình cây nhị phân sẽ có giới hạn là chuyển động Brown. Ví dụ 1. Giá hiện tại của một cổ phiếu A là 100$ với khả năng giá tăng là 70%. Nếu sau một phiên giao dịch giá cổ phiếu A tăng lên 25% hoặc giảm xuống 20% so với giá hiện tại. Sử dụng mô hình nhị phân ba giai đoạn tính giá kỳ vọng của cổ phiếu A. Giải: Ta có: 0S 100$= ; u 1,25= ; d 0,8= ; p 0,7= Áp dụng công thức (1), ta có: i 3 i i i 3 i 3 0 3P(S u d S ) C p (1 p) − − = = − Hay: i 3 i i i 3 i 3 3P(S (1,25) (0,8) 100) C (0,7) (0,3) − − = = Bảng phân phối xác suất cho giá cổ phiếu 3 giai đoạn: 3S 51,2 80 125 195,3125 P 0,027 0,189 0,441 0,343 Giá kỳ vọng của cổ phiếu A qua 3 giai đoạn: ( ) 33 i 3,i i 0 E S p S 138,62$. = = =∑ 127 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC 3.4. Ước lượng các tham số của mô hình nhị phân Mô hình có 3 tham số: u, d và p. Để có thể mô phỏng quỹ đạo giá, ta cần ước lượng các tham số này. 3.4.1. Ước lượng đơn giản từ số liệu giá cổ phiếu trên thị trường Ta có thể ước lượng các tham số u, d và p của mô hình cây nhị phân theo cách đơn giản sau: Bước 1. Thu thập số liệu về giá đóng cửa mỗi phiên giao dịch của cổ phiếu trong một chu kỳ (thường lấy số liệu của một năm gần nhất). Bước 2. Chọn ngẫu nhiên một chu kỳ con trong chu kỳ trên. Bước 3. Tính số phiên giao dịch giá tăng và tính tỷ lệ số phiên này so với tổng số phiên trong chu kỳ con. Ước lượng p (xác suất giá cổ phiếu tăng sau mỗi phiên) bằng trung bình các tỷ lệ trên. Bước 4. Tính tỷ lệ tăng giá, tỷ lệ giảm giá trung bình ứng với các chu kỳ con: u dg , g và ước lượng: u du 1 g , d 1 g .= + = − 3.4.2. Ước lượng từ các tham số của lợi suất cổ phiếu Nếu ước lượng được lợi suất kỳ vọng (µ ) và phương sai 2( )σ của cổ phiếu, ta có thể sử dụng hai tham số này để ước lượng các tham số của mô hình cây nhị phân. Kỳ vọng của lợi suất cổ phiếu: ( )uE(r) npln n ln d d   = +   (2) Phương sai của lợi suất cổ phiếu: ( ) 2 u var r np(1 p) ln d    = −      Nếu ta ước lượng kỳ vọng ( )µ và phương sai 2( )σ của lợi suất cổ phiếu, ta có thể ước lượng các tham số u, d và p từ hệ phương trình: ( )unpln n ln d d   + = µ   2 2unp(1 p) ln d    − = σ     Cox - Ross - Rubinstein đưa ra lời giải xấp xỉ sau: tu e ,d 1/ uσ∆= = và r te d p u d ∆ − = − (r là lãi suất phi rủi ro) tu e ,d 1/ uσ∆= = và 1 1 1p 2 2 n µ = + σ 128 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC Ví dụ 2. Giá đóng cửa của cổ phiếu HAP (Công ty Cổ phần Tập đoàn Hapaco) ngày 13/12/2006 là 23.845 đồng. Nếu sau mỗi phiên giao dịch, giá HAP với khả năng 70% - 30% có thể tăng, giảm 5% so với giá tham chiếu lúc mở cửa. a) Sử dụng mô hình nhị phân 5 giai đoạn tính giá kỳ vọng của cổ phiếu HAP. b) Hãy sử dụng mô hình cây nhị phân để ước lượng giá (kỳ vọng) sau 5 phiên. Giải: a) Ta có: 0S 23845= đồng; u 1,05= ; d 0,95= ; p 0,7= Áp dụng công thức (1), ta có: i 5 i i i 5 i 5 0 5P(S u d S ) C p (1 p) − − = = − Hay: i 5 i i i 5 i 5 5P S (1,05) (0,95) 23845 C (0,7) (0,3) − − = =  Bảng phân phối xác suất cho giá cổ phiếu HAP: 3S 18450,80645 20392,99661 22539,62783 24912,22023 27534,5592 30432,93386 P 0,00243 0,02835 0,1323 0,3087 0,36015 0,16807 Giá kỳ vọng của cổ phiếu HAP: ( ) 55 i 5,i i 0 E S p S 26326,80675 = = =∑ đồng. b) Ta có 0S 23845= đồng. Theo mô hình nhị phân ta có: p 0,7; u 1,05; d 0,95= = = và n 5= Ta tính lợi suất kỳ vọng của cổ phiếu HAP sau 5 phiên giao dịch: Áp dụng công thức (2), ta có: HAP u 1,05 r npln n ln(d) 5 0,7 ln 5 ln(0,95) 0,09383 d 0,95    = + = ⋅ ⋅ + ⋅ ≈       Giá kỳ vọng sau 5 phiên giao dịch của cổ phiếu HAP: ( ) ( )5 0 HAPE S S 1 r 23845(1 0,09383) 26082,27= + = + ≈ đồng. Ngày 20/12/2006 (sau 5 phiên) cổ phiếu HAP có giá 25720 đồng, so sánh với giá ước lượng sai lệch là 1,44%. Như vậy, mô hình cây nhị phân mô tả tương đối chính xác (trong ngắn hạn) đối với giá cổ phiếu HAP. Ví dụ 3. Chuỗi giá cổ phiếu FPT từ ngày 04/01/2021 đến ngày 08/09/2021 có 167 phiên giao dịch (xem Phụ lục). Giá đóng cửa của cổ phiếu FPT ngày 04/01/2021 là 51,2682 nghìn đồng. Hãy ước lượng các tham số p, u, d và sử dụng mô hình cây nhị phân để ước lượng giá (kỳ vọng) sau 5 phiên. 129 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC Giải: Từ 167 quan sát về chuỗi giá FPT, ta tính được các số liệu: Mẫu Tỷ lệ phiên giá tăng Tỷ lệ tăng giá trung bình Tỷ lệ giảm giá trung bình 50 phiên đầu 0,54 2,315% 1,778% 100 phiên đầu 0,54 2,018% 1,447% Trung bình 0,54 2,167% 1,613% Với tỷ lệ trên, ta ước lượng: p 0,54; u 1 0,02167 1,02167; d 1 0,01613 0,9839≈ ≈ + = ≈ − = Áp dụng công thức (2), ta có: FPT u 1,02167 r npln n ln(d) 5 0,54 ln 5 ln(0,9839) 0,0206 d 0,9839    = + = ⋅ ⋅ + ⋅ ≈       Giá kỳ vọng sau 5 phiên giao dịch của cổ phiếu FPT: ( ) ( )5 0 FPTE S S 1 r 51,2682(1 0,0206) 52,3244= + = + = nghìn đồng. Ngày 11/01/2021 (sau 5 phiên), cổ phiếu FPT có giá 55,1006 nghìn đồng. So với thực tế sai lệch là 5,04%. 4. Kết luận Lý thuyết xác suất và thống kê ứng dụng là môn cơ bản có nhiều ứng dụng cho các chuyên ngành Kinh tế đặc biệt là chuyên ngành Tài chính - Ngân hàng. Để nâng cao hơn nữa hiệu quả của việc giảng dạy môn Lý thuyết xác suất và thống kê ứng dụng nói riêng và các môn khoa học cơ bản nói chung, bài viết đã trình bày một ứng dụng kỳ vọng của biến ngẫu nhiên có liên quan tới môn học nhằm tạo động lực cho sinh viên tích cực nghiên cứu học tập môn này trong chương trình đào tạo của trường và đáp ứng được chuẩn đầu ra. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Bùi Hữu Phước, Lê Thị Lanh, Phan Thị Hiếu (2014), Tài chính doanh nghiệp, NXB Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh. 2. David Blake (2000), Financial Market Analysis, John-Wiley & Sons Ltd. 3. Hoàng Đình Tuấn (2010), Mô hình phân tích và định giá tài sản tài chính, Tập 1 và Tập 2, NXB Khoa học và Kỹ thuật. 4. Jean - Paul Chavas (2004), Risk Analysis in Theory and Practice, Elsevier Academic Pres. 5. Nguyễn Bá Kim (2015), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại học Sư phạm. 6. Nguyễn Huy Hoàng, Nguyễn Trung Đông (2017), Bài giảng mô hình định giá tài sản tài chính 1. 130 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC PHỤ LỤC Giá đóng cửa cổ phiếu FPT từ ngày 04/01/2021 đến 08/9/2021 TG Giá TG Giá TG Giá TG Giá TG Giá TG Giá 08/9 93.1 28/7 91.035 18/6 82.921 11/5 72.559 29/3 66.0866 17/2 66.3421 07/9 93.5 27/7 92.2224 17/6 81.7336 10/5 73.07 26/3 64.8092 09/2 63.5317 06/9 94.9 26/7 92.7172 16/6 82.2284 07/5 70.6855 25/3 65.235 08/2 60.7214 01/9 92.4 23/7 89.5508 15/6 82.3273 06/5 70.43 24/3 65.5757 05/2 62.084 31/8 92.4 22/7 88.4623 14/6 82.921 05/5 70.6003 23/3 67.1086 04/2 61.7433 30/8 92.2 21/7 85.6917 11/6 82.6242 04/5 70.6003 22/3 67.0234 03/2 59.6142 27/8 92 20/7 85.8896 10/6 81.041 29/4 68.897 19/3 67.9602 02/2 56.2077 26/8 91.4 19/7 83.8116 09/6 80.8431 28/4 68.8119 18/3 68.9822 01/2 54.0786 25/8 91.9 16/7 85.8896 08/6 79.9525 27/4 68.7267 17/3 68.8119 29/1 53.3973 24/8 91.9 15/7 84.5043 07/6 81.8326 26/4 68.9822 16/3 68.9822 28/1 49.9056 23/8 91 14/7 84.3064 04/6 83.8116 23/4 70.6855 15/3 65.1498 27/1 53.6528 20/8 92.8 13/7 86.0875 03/6 84.3064 22/4 68.1306 12/3 65.1498 26/1 56.2077 19/8 94.5 12/7 85.1969 02/6 84.6032 20/4 70.6003 11/3 65.3202 25/1 57.0593 18/8 94 09/7 88.7592 01/6 86.1864 19/4 69.408 10/3 64.9795 22/1 56.9742 17/8 93.8 08/7 88.8581 31/5 83.3748 16/4 67.8751 09/3 63.8724 21/1 55.8671 16/8 94.6 07/7 89.5508 28/5 80.7347 15/4 68.1306 08/3 64.5537 20/1 53.9083 13/8 94.0036 06/7 86.0875 27/5 79.8831 14/4 68.9822 05/3 64.6389 19/1 52.8012 12/8 92.8161 05/7 91.7277 26/5 81.1605 13/4 68.7267 04/3 64.6389 18/1 56.4632 11/8 95.092 02/7 90.9361 25/5 79.8831 12/4 69.919 03/3 66.1718 15/1 56.7187 10/8 96.7742 01/7 87.9675 18/6 82.921 09/4 69.919 02/3 66.3421 14/1 56.5484 09/8 96.4773 30/6 87.077 24/5 79.6276 08/4 67.7899 01/3 66.3421 13/1 56.6335 06/8 95.5868 29/6 87.6707 21/5 79.8831 07/4 67.7899 26/2 64.8944 12/1 56.0374 05/8 95.5868 28/6 84.8011 20/5 81.3309 06/4 67.6196 25/2 64.8944 11/1 55.1006 04/8 94.5973 25/6 84.3064 19/5 77.3282 05/4 67.7899 24/2 64.2131 08/1 53.9083 03/8 94.7952 24/6 83.8116 18/5 74.092 02/4 67.9602 23/2 64.2982 07/1 53.227 02/8 94.5973 23/6 84.0095 17/5 72.9849 01/4 67.8751 22/2 65.4053 06/1 53.1418 30/7 93.0141 22/6 84.5043 14/5 72.2184 31/3 66.1718 19/2 65.235 05/1 53.3973 29/7 92.4203 21/6 84.7022 13/5 71.5371 30/3 65.6608 18/2 66.5976 04/1 51.2682