Sử dụng phép vị tự tìm ảnh của đường tròn Euler

Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ TÌM ẢNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN EULER Lường Văn Hưng Trường THPT Hoằng Hóa 4, Thanh Hóa Tóm tắt nội dung Nghiên cứu phép vị tự, đồng thời khai thác các ứng dụng của nó giúp cho người giáo viên hiểu sâu về vai trò của phép vị tự trong dạy học toán ở trường THPT đồng thời giúp cho các em học sinh có thêm kiến thức cũng như kỷ năng giải toán. Trong chương trình Hình Học lớp 10, khi gặp bài toán về lập phương trình đường tròn trong mặt phẳng tọa độ các em có nhiều hướng giải khác nhau, tuy nhiên các em chưa được học phép vị tự nên còn gặp nhiều khó khăn khi giải quyết một số bài toán liên quan đến kiến thức về đường tròn “Euler”. Bài viết này sẻ giúp cho các em học sinh có cách nhìn về mối liên hệ giữa kiến thức ở lớp 10 và lớp 11, đồng thời các em có thêm một phương pháp giải toán về lập phương trình đường tròn bằng kiến thức phép vị tự. 1 Kiến thức cơ bản Định nghĩa 1.1 (Định nghĩa phép vị tự). Trong mặt phẳng cho trước một điểm O và số thực k khác 0, phép biến hình biến mọi điểm M thành M′ sao cho −−→ OM′ = k −−→ OM được gọi là phép vị tự tâmO tỉ số kt - Kí hiệu: VkO hay V (O, k). Điểm O gọi là tâm vị tự, số k gọi là tỉ số vị tự. Ta xét một số tính chất của phép vị tự. Tính chất 1.1. Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M và N lần lượt thành hai điểm M′ và N′ thì −−−→ M′N′ = k −−→ MN và M′N′ = |k|MN. Tính chất 1.2. Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó. Tính chất 1.3. Phép vị tự biến một đường tròn thành một đường tròn. Tính chất 1.4 (Đường tròn Euler). Trongmột tam giác bất kì, 9 điểm gồm: chân ba đường cao, ba trung điểm của ba cạnh, ba trung điểm các đoạn nối trực tâm với các đỉnh đều thuộc một đường tròn 1 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 2 Ví dụ áp dung Ví dụ 2.1. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(1;2). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Biết đường tròn đi qua ba trung điểm của ba đoạn thẳng HA, HB, HC có phương trình là:. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Lời giải. Gọi trung điểm của HA, HB, HC, BC, CA, AB lần lượt là: I, J, K, M, N, P Đường tròn đi qua 3 điểm I, J,K chính là đường tròn Euler nên cũng là đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP. +. Dễ thấy: ∆ABC là ảnh của ∆MNP qua phép vị tự tâm G tỷ số k = −2 ⇒ đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là ảnh của đường tròn ngoại tiếp ∆MNP Ta có đường tròn ngoại tiếp ∆MNP có phương trình: x2 + y2 − 2x + 4y + 4 = 0 có tâm K(1;-2), R =1. Gọi K1, R1 là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC thì:−−→ GK1 = −2−→GK , R1 = 2R⇒ K1(1; 10),R1 = 2 ⇒ Phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là: (x− 1)2 + (y− 10)2 = 4 Ví dụ 2.2. Trongmặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(2; 1) và phương trình đường tròn đi qua chân các đường cao của tam giác ABC có phương trình (C) : x2 + y2 − 4x− 4y+ 1 = 0. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Lời giải. Ta có (C) có tâm I(2; 2), bán kính R = √ 7. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Phép vị tự tâm G tỷ số k = −2 biến tam giác MNP thành tam giác ABC và biến đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP thành đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Biến tâm I thành tâm I′ được xác định −→ GI′ = −2−→GI ; R′ = 2R = 2√7. 2 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 Mặt khác theo tính chất của đường thẳng Euler: −→ GH = −2−→GI′ = 4−→GI ⇒ G(2; 73 ) Suy ra I′(2; 3). Đường tròn đi qua ba chân đường cao đồng thời là đường tròn đi qua trung điểm các cạnh nên trùng với đường tròn (MNP) ngoại tiếp tam giác MNP. Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là (x− 2)2 + (y− 3)2 = 28 Ví dụ 2.3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(2; 3). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP có phương trình là (C) : (x− 1)2 + (y− 1)2 = 10. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Lời giải. Đường tròn (C) có tâm I(1; 1), bán kính R = √ 10. Phép vị tự tâm G tỷ số k = −2 biến M thành A, biến N thành B, biến P thành C. Biến tam giác MNP thành tam giác ABC. Biến tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP thành tâm I′ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có { −→ GI′ = −2−→GI R′ = 2R ⇒ { I′(4; 7) R′ = 2 √ 10 Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: (C′) : (x− 4)2 + (y− 7)2 = 40 Ví dụ 2.4. Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn đi qua trung điểm của các cạnh tam giác ABC có phương trình x2 + y2 − x− y− 2 = 0. Trực tâm H(0; 1).Tìm tọa độ điểm A, biết A thuộc đường thẳng (d) : 3x+ y+ 7 = 0 Lời giải. Đường tròn (T) đi qua trung điểm các cạnh của tam giác ABC là đường tròn Euler (Đường tròn đi qua 9 điểm gồm 3 trung điểm của 3 cạnh, 3 chân đường cao và 3 trung điểm của các đoạn nối trực tâm với các đỉnh của tam giác). Từ đó đường tròn (T’) ngoại tiếp tam giác ABC là ảnh của (T) qua phép vị tự tâm G tỉ số k = −2 Đường tròn (T) có tâm I( 12 ; 12 ); R = √ 10 2 3 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 Ta có: −→ GH = −2−→GI′ = 4−→GI ⇒ G( 23 ; 13 ). Do đó V(G;−2) : I → I′ thì{ I′(1; 0) R′ = 2R = √ 10 Suy ra phương trình của (T’) là: (x− 1)2 + y2 = 10. Điểm A là giao của (T’) và đường thẳng d nên tọa độ của A là: A(−2;−1). 3 Bài tập tương tự Bài 3.1. Trong mặt phẳng với tọa độ Oxy, cho tam giác ABC trọng tâm G(1;2). Phương trình đường tròn đi qua trung điểm của hai cạnh AB, AC và chân đường cao hạ từ đỉnh A đến cạnh BC là (C) : (x− 3)2 + (y+ 2)2 = 25. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài 3.2. Trongmặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâmH(2;1) và đường tròn đi qua trung điểm các cạnh của tam giác có phương trình là (C) : (x− 2)2 + (y− 2)2 = 16. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài 3.3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) : (x− 2)2 + (y+ 3)2 = 25. Biết điểm A(5; 1), trọng tâm G nằm trên đường thẳng (d) : x+ 3y+ 4 = 0 và độ dài cạnh BC = 8. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. 4