Tài liệu môn học Giải tích II - Phạm Thanh Tùng

BÁCH KHOA-ĐẠI CƯƠNG MÔN PHÁI TÀI LIỆU MÔN HỌC GIẢI TÍCH II ______________________________________________ Người biên soạn: Phạm Thanh Tùng (Tự Động Hóa – ĐHBKHN) Hà Nội, Tháng 6 nĕm 2021 1 MỤC LỤC CHƯƠNG I: HÀM NHIỀU BIẾN SỐ ..................................................................7 I. Bài toán tìm giới hạn của hàm nhiều biến số: .............................................7 II. Bài toán khảo sát tính liên tục của hàm nhiều biến số: ...........................14 III. Các bài toán về đạo hàm riêng: ...............................................................16 1. Tính đạo hàm riêng của hàm bị gãy khúc: ............................................18 2. Tính đạo hàm riêng của hàm số hợp: .....................................................19 3. Đạo hàm riêng cấp hai: ............................................................................20 4. Tính đạo hàm riêng của hàm số hợp gián tiếp qua hàm tích phân:.....21 5. Tính đạo hàm riêng của hàm ẩn: ............................................................23 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong tại một điểm cho bởi hàm ẩn rút ra từ 𝑭(𝒙, 𝒚) = 𝟎 .........................................................................24 7. Tìm điểm kì dị của đường cong: .............................................................25 8. Một số bài tập tổng hợp: ..........................................................................26 IV. Khảo sát tính liên tục của đạo hàm riêng: .............................................27 V. Bài toán sử dụng vi phân tính gần đúng: ..................................................28 VI. Bài toán tính vi phân toàn phần: ............................................................29 VII. Bài toán tìm cực trị của hàm nhiều biến (không có điều kiện): ...........31 VII. Bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc giữa 𝐱 và 𝐲: ............................35 VIII. Bài toán khai triển Taylor tại một điểm của hàm nhiều biến số: ........38 IX. Bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất: ........................................................39 1. Bài toán: ....................................................................................................39 2. Cách làm tổng quát: .................................................................................39 CHƯƠNG I: CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN .......................44 I. Trong hình học phẳng (Oxy) ......................................................................44 II. Trong hình học không gian (Oxyz): ...........................................................47 III. Bài toán liên quan đến đường cong cho dưới dạng giao tuyến của 2 mặt cong:.............................................................................................................50 IV. Bài toán tìm hình bao của họ đường cong phụ thuộc vào tham số: .....51 2 1. Định nghĩa: ................................................................................................51 2. Các bước tìm hình bao: ............................................................................52 V. Hàm vecto:....................................................................................................54 CHƯƠNG II: TÍCH PHÂN BỘI .........................................................................56 §2.1: TÍCH PHÂN KÉP ....................................................................................56 I. Các công thức tính cơ bản: .........................................................................56 1. Dạng 1: Miền 𝐃 là miền hình chữ nhật: .................................................56 2. Dạng 2: Miền D là miền có dạng hình thang cong: ...............................58 3. Dạng 3: Miền 𝐃 có dạng hình thang cong: ............................................62 II. Bài toán đổi thứ tự lấy tích phân: ..............................................................64 1. Bài toán: ....................................................................................................64 2. Phương pháp:............................................................................................65 III. Các phép đổi biến số trong tích phân kép: ............................................71 1. Phép đổi biến trong tọa độ Đề-các: .........................................................71 2. Phép đổi biến số trong tọa độ cực: ..........................................................73 3. Phép đổi biến số trong tọa độ cực suy rộng: ..........................................84 IV. Tích phân kép có miền lấy tích phân đối xứng: ....................................87 V. Tích phân kép có dấu giá trị tuyệt đối: .....................................................89 VI. Dạng bài kết hợp các phương pháp đổi biến số: ...................................93 VII. Dạng bài sử dụng tọa độ cực để giải tích phân có miền 𝐃 đặc biệt: ....93 VIII. Bài tập tự luyện: .......................................................................................97 §2.2: TÍCH PHÂN BỘI BA...............................................................................98 I. Sơ lược về tích phân bội ba: .......................................................................98 II. Một số dạng cơ bản: ..................................................................................102 1. Dạng 1:.....................................................................................................102 2. Dạng 2:.....................................................................................................102 3. Dạng 3: ....................................................................................................103 4. Dạng 4:.....................................................................................................104 III. Đổi biến số trong tích phân bội ba: .......................................................110 3 1. Phép đổi biến số trong tọa độ trụ: ........................................................110 2. Phép đổi biến số trong tọa độ trụ suy rộng ..........................................115 3. Phép đổi biến số trong tọa độ cầu: ........................................................116 4. Phép đổi biến số trong tọa độ cầu suy rộng: ........................................122 5. Phép đổi biến số trong tọa độ Đề-các: ..................................................130 IV. Tích phân có miền đối xứng: .................................................................132 V. Một số dạng bài đặc biệt: ..........................................................................135 1. Tọa độ trụ có sử dụng hình chiếu của miền 𝐕 lên 𝐎𝐱𝐳 hoặc 𝐎𝐲𝐳: .....135 2. Đổi thứ tự lấy tích phân: ........................................................................136 3. Đổi vai trò của 𝐱, 𝐲, 𝐳 ...............................................................................137 4. Dạng tổng hợp: .......................................................................................139 5. Sử dụng đổi biến số trong tọa độ cầu để tính các tích phân bội ba có miền phức tạp: ..............................................................................................140 VI. Bài tập tự luyện: .....................................................................................142 §2.3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI ..................................................143 I. Tính diện tích hình phẳng .........................................................................143 II. Tính diện tích mặt cong: ...........................................................................148 III. Tính thể tích vật thể: ..............................................................................150 CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ .................................156 §3.1: Tích phân xác định phụ thuộc tham số ................................................156 I. Khái niệm: ..................................................................................................156 II. Các tính chất của tích phân xác định phụ thuộc tham số: ....................156 1. Tính liên tục: ...........................................................................................156 2. Tính khả vi: .............................................................................................158 3. Tính khả tích:..........................................................................................162 III. Tích phân phụ thuộc tham số với cận biến đổi: ..................................163 1. Tính liên tục: ...........................................................................................163 2. Tính khả vi: .............................................................................................165 3. Tính khả tích:..........................................................................................166 4 §3.2: TÍCH PHÂN SUY RỘNG PHỤ THUỘC THAM SỐ ........................167 I. Khái niệm: ..................................................................................................167 II. Các tính chất: .............................................................................................168 1. Tính liên tục: ...........................................................................................168 2. Tính khả vi: .............................................................................................169 3. Tính khả vi: .............................................................................................173 III. Một số tích phân quan trọng: ................................................................177 §3.3: TÍCH PHÂN EULER .............................................................................178 I. Hàm Gamma:.............................................................................................178 II. Hàm Beta:...................................................................................................180 CHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG ..............................................................183 §4.1: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I .............................................................183 I. Công thức tính: ..........................................................................................183 1. Dạng 1:.....................................................................................................184 2. Dạng 2:.....................................................................................................184 3. Dạng 3:.....................................................................................................184 4. Dạng 4:.....................................................................................................184 II. Ứng dụng của tích phân đường loại I: .....................................................192 III. Tích phân đường loại I trong không gian 𝐎𝐱𝐲𝐳: .................................194 §𝟒. 𝟐: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI II ...........................................................197 I. Công thức tính: ..........................................................................................197 1. Dạng 1: ....................................................................................................197 2. Dạng 2:.....................................................................................................197 3. Dạng 3:.....................................................................................................198 II. Công thức Green: ......................................................................................201 III. Điều kiện để tích phân không phụ thuộc vào đường đi: .....................208 1. Định lí 4 mệnh đề tương đương: ...........................................................208 2. Bài toán tích phân không phụ thuộc vào đường đi: ............................209 IV. Ứng dụng của tích phân đường loại II: ................................................215 5 1. Tính diện tích hình phẳng: ....................................................................215 2. Tính công của một lực thay đổi làm dịch chuyển chất điểm từ vị trí A đến vị trí B: ....................................................................................................215 CHƯƠNG V: TÍCH PHÂN MẶT .....................................................................217 §5.1: TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I ...................................................................217 I. Công thức tính: ..........................................................................................217 II. Ứng dụng của tích phân mặt loại I: .........................................................223 §5.2: TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II ..................................................................226 I.Tích phân mặt loại II: ...................................................................................226 II.Công thức Ostrogradsky: ............................................................................231 III.Công thức Stoke: ........................................................................................239 IV.Công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại I và tích phân mặt loại II: ...240 CHƯƠNG VI: LÝ THUYẾT TRƯỜNG ..........................................................243 §6.1: TRƯỜNG VÔ HƯỚNG .........................................................................243 I. Định nghĩa: .................................................................................................243 II. Đạo hàm theo hướng: ................................................................................243 1. Công thức tính: .......................................................................................243 2. Tính chất: ................................................................................................243 III. Gradient: .................................................................................................244 §6.2: TRƯỜNG VECTO .................................................................................247 I. Định nghĩa: .................................................................................................247 II. Dive, trường ống: .......................................................................................247 III. Trường thế, hàm thế vị: .........................................................................247 1. Vecto xoáy (𝐫𝐨𝐭𝐅): ..................................................................................247 2. Trường thế, hàm thế vị: .........................................................................247 IV. Thông lượng:...........................................................................................249 1. Công thức tính: .......................................................................................249 2. Các ví dụ minh họa: ...............................................................................249 V. Lưu số (Hoàn lưu): ....................................................................................255 6 1. Công thức tính: .......................................................................................255 2. Các dạng chính: ......................................................................................255 TÀI LIỆU THAM KHẢO:.................................................................................260 7 CHƯƠNG I: HÀM NHIỀU BIẾN SỐ TỔNG HỢP CÁC DẠNG BÀI TRONG HÀM NHIỀU BIẾN I. Bài toán tìm giới hạn của hàm nhiều biến số: − Tính chất cơ bản của giới hạn: + lim(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) 𝑘𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘 lim(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) 𝑓(𝑥, 𝑦)+ lim(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)[𝑓(𝑥, 𝑦) ± 𝑔(𝑥, 𝑦)] = lim(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) 𝑓(𝑥, 𝑦) ± lim(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) 𝑔(𝑥, 𝑦) Tính chất thứ hai chỉ áp dụng được khi lim(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) 𝑓(𝑥, 𝑦) và lim(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) 𝑔(𝑥, 𝑦) hữu hạn. Nếu hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục tại điểm (𝑥0; 𝑦0) thì: lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥0, 𝑦0) − Dạng 1: Sử dụng định lí kẹp (với những bài có giới hạn bằng 0). Định lí kẹp: {𝑔(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ ℎ(𝑥, 𝑦)lim(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑐lim(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑐 ⇒ lim(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐 ❖ Trong các bài tập, khi phán đoán được giới hạn lim(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) 𝑓(𝑥, 𝑦) tiến đến 0, chúng ta sẽ sử dụng định lí kẹp như sau: Có: 0 ≤ |𝑓(𝑥, 𝑦)| ≤ |𝑔(𝑥, 𝑦)|. Vế trái của của |𝑓(𝑥, 𝑦)| đã được kẹp bởi số 0, nhiệm vụ sẽ là tìm được hàm 𝑔(𝑥, 𝑦) thỏa mãn lim(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0. Để làm được việc này chúng ta sẽ đánh giá, tác động lên hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) bằng cách bớt tử, mẫu hay sử dụng bất đẳng thức Cauchy, sử dụng |sin 𝑥|, |cos 𝑥| ≤ 1. . Sau khi tìm được hàm 𝑔(𝑥, 𝑦) phù hợp, sử dụng định lí kẹp ⇒ lim(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)|𝑓(𝑥, 𝑦)| = 0 ⇒ lim(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0 VD1: Tính lim(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥2 sin 𝑦𝑥2 + 𝑦2 Giải: 8 Sử dụng máy tính nhập hàm 𝑥2 sin 𝑦𝑥2 + 𝑦2 , do (𝑥, 𝑦) → (0,0), ta CALC 𝑥 = 10−6, 𝑦 = 10−6thu được kết quả gần bằng 0 ⇒ dự đoán lim(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥2 sin 𝑦𝑥2 + 𝑦2 = 0 ⇒ Sử dụng định lý kẹp.Ta có: 0 ≤ |𝑥2 sin 𝑦𝑥2 + 𝑦2| ≤ |𝑥2 sin 𝑦𝑥2 | = |sin 𝑦|Mà lim(𝑥,𝑦)→(0,0)|sin 𝑦| = |sin 0| = 0 ⇒ lim(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥2 sin 𝑦𝑥2 + 𝑦2 = 0 (định lý kẹp) VD2: Tìm lim(𝑥,𝑦)→(0,1) 2𝑥3 ln 𝑦𝑥2 + (𝑦 − 1)2 Giải: Nhập hàm 2𝑥3 ln 𝑦𝑥2 + (𝑦 − 1)2 nhập 𝑥 = 10−6 tiến sát 0, nhập 𝑦 = 1 + 10−6 tiến sát 1thu được kết quả là một số rất nhỏ tiến đến 0 ⇒ dự đoán được lim(𝑥,𝑦)→(0,0) 2𝑥3 ln 𝑦𝑥2 + (𝑦 − 1)2 = 0⇒ dùng định lí kẹpTa có: 0 ≤ | 2𝑥3 ln 𝑦𝑥2 + (𝑦 − 1)2| ≤ |2𝑥3 ln 𝑦𝑥2 | = |2𝑥. ln 𝑦|Mà lim(𝑥,𝑦)→(0,1)|2𝑥. ln 𝑦| = |2.0. ln 1| = 0 ⇒ lim(𝑥,𝑦)→(0,0) 2𝑥3 ln 𝑦𝑥2 + (𝑦 − 1)2 = 0 (Định lý kẹp) VD3: Tìm lim(𝑥,𝑦)→(0,0) (sin 𝑥)3(sin 𝑥)2 + (cos 𝑦)2 Giải: Dùng máy tính, dự đoán được lim(𝑥,𝑦)→(0,0) (sin 𝑥)3(sin 𝑥)2 + (cos 𝑦)2 = 0 ⇒ dùng định lí kẹpTa có: 0 ≤ | (sin 𝑥)3(sin 𝑥)2 + (cos 𝑦)2| ≤ |(sin 𝑥)3(sin 𝑥)2| = |sin 𝑥|Mà lim(𝑥,𝑦)→(0,0)|sin 𝑥| = |sin 0| = 0 ⇒ lim(𝑥,𝑦)→(0,0) (sin 𝑥)3(sin 𝑥)2 + (cos 𝑦)2 = 0 (Định lý kẹp) 9 VD4: Tìm lim(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥4 + 𝑦4𝑥2 + 2𝑦2 Giải: Dùng máy tính, dự đoán được lim(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥4 + 𝑦4𝑥2 + 2𝑦2 = 0 ⇒ dùng định lí kẹp Ở VD này nếu để nguyên và bớt ở mẫu số như 2 VD trước thì vẫn chưa thể sử dụng định lí kẹp, chúng ta sẽ chia lim(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥4 + 𝑦4𝑥2 + 2𝑦2 = lim(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥4𝑥2 + 2𝑦2 + lim(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑦4𝑥2 + 2𝑦2 Ta có: {0 ≤ | 𝑥4𝑥2 + 2𝑦2| ≤ |𝑥4𝑥2| = |𝑥2|lim(𝑥,𝑦)→(0,0)|𝑥2| = 0 ⇒ lim(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥4𝑥2 + 2𝑦2 = 0 (Định lý kẹp) Ta có: { 0 ≤ | 𝑦4𝑥2 + 2𝑦2| ≤ | 𝑦42𝑦2| = |𝑦22 |lim(𝑥,𝑦)→(0,0) |𝑦22 | = 0 ⇒ lim(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑦 4𝑥2 + 2𝑦2 = 0 (Định lý kẹp) ⇒ lim(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥4 + 𝑦4𝑥2 + 2𝑦2 = lim(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥4𝑥2 + 2𝑦2 + lim(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑦4𝑥2 + 2𝑦2 = 0 VD5: Tính lim(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥2𝑦 − 2𝑥𝑦2𝑥2 + 𝑦2 Giải: Dùng máy tính, dự đoán được lim(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥2𝑦 − 2𝑥𝑦2𝑥2 + 𝑦2 = 0 ⇒ dùng định lí kẹp Thấy rằng ở đây xuất hiện thừa số 𝑥𝑦, 𝑥2, 𝑦2 ⇒ liên tưởng đến bất đẳng thức Cauchy. Ta có: |𝑥2 + 𝑦2| ≥ |2𝑥𝑦| ⇒ 1|𝑥2 + 𝑦2| ≤ 1|2𝑥𝑦| ⇒ |𝑥2𝑦 − 2𝑥𝑦2𝑥2 + 𝑦2 | ≤ |𝑥2𝑦 − 2𝑥𝑦22𝑥𝑦 | = |𝑥2 − 2𝑦|⇒ 0 ≤ |𝑥2𝑦 − 2𝑥𝑦2𝑥2 + 𝑦2 | ≤ |𝑥2𝑦 − 2𝑥𝑦22𝑥𝑦 | = |𝑥2 − 2𝑦|Mà lim(𝑥,𝑦)→(0,0) |𝑥2 − 2𝑦| = |02 − 2.0| = 0 ⇒ lim(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥2𝑦 − 2𝑥𝑦2𝑥2 + 𝑦2 = 0 10 VD6: Tính lim(𝑥,𝑦)→(+∞,+∞) 𝑥2𝑥4 + 𝑦4 Giải: (𝑥, 𝑦) → (+∞,+∞), nhập 𝑥 = 106, 𝑦 = 106, thu được kết quả gần đến 0⇒ dùng định lí kẹp Ta có: 0 ≤ | 𝑥2𝑥4 + 𝑦4| ≤ |𝑥2𝑥4| = | 1𝑥2|Mà lim(𝑥,𝑦)→(+∞,+∞) | 1𝑥2| = 0 ⇒ lim(𝑥,𝑦)→(+∞,+∞) 𝑥2𝑥4 + 𝑦4 = 0 − Dạng 2: Sử dụng cách đặt 𝑦 = 𝑘𝑥 để chứng minh sự không tồn tại của giới hạn. Theo định nghĩa, để tìm ra sự tồn tại hữu hạn của giới hạn lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0) 𝑓(𝑥, 𝑦) ta phải chỉ ra với mọi dãy số {𝑥𝑛 → 𝑥0}, {𝑦𝑛 → 𝑦0} thì lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿 (𝐿 hữu hạn). Vì vậy với những bài toán không tồn tại giới hạn, ta sẽ chỉ ra có ha