Tài liệu ôn thi Văn bằng 2

Giới hạn 1. Giới hạn của hàm số tại một điểma) Giới hạn hữu hạnXét bài toán sau :Cho hàm số và một dãy bất kì những số thực khác 2 (tức là với mọi n) sao cho Hãy xác định dãy các giá trị tương ứng của hàm số và tìm .Vì nên với mọi n.Do đó .Từ (1) suy ra Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là 8 khi x dần đến 2.Một cách tổng quát,ta có ĐỊNH NGHĨA 1Giả sử (a;b) là một khoảng chứa điểm và f là một hàm số xác định trên tập hợp (a;b) \ {} (tức là và với mọi n) mà , ta đều có .Khi đó ta viếthoặc khi .Ví dụ 1. Tìm .Giải Xét hàm số . Với mọi dãy số mà với mọi n và ,ta có . Vì  và nên . Do đó  Tìm Nhận xét. Áp dụng định nghĩa 1,dễ dàng chứng minh được:a) Nếu với mọi ,trong đó c là một hằng số,thì với mọi ,.b) Nếu với mọi thì mọi .b) Giới hạn vô cựcGiới hạn vô cực của hàm số tại một điểm được định nghĩa tương tự như giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm. Chẳng hạn, có nghĩa là với mọi dãy trong tập hợp (a;b)\ {} mà , ta đều có .Ví dụ 2. Tìm Giải. Xét hàm số . Với mọi dãy số () mà   và  . Vì và với mọi n nên .Do đó  2. Giới hạn của hàm số tại vô cựcGiới hạn của hàm số tại vô cực (khi x dần đến hoặc ) được định nghĩa tương tự như giới hạn của hàm số tại một điểm.ĐỊNH NGHĨA 2Giả sử hàm số f xác định trên khoảng .Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực khi x dần đến nếu với mọi dãy số trong khoảng (tức là mà , ta đều có .Khi đó ta viết: hoặc khi .Các giới hạn,và được định nghĩa tương tự.Ví dụ 3a) , vì với mọi dãy số âm mà ,ta đều có b) Tương tự,ta có Nhận xétÁp dụng định nghĩa giới hạn của hàm số,có thể chứng minh được rằng :Với mọi sô nguyên dương k,ta cóa) b) c) d) .3. Một số định lí về giới hạn hữu hạnÁp dụng các định lí về giới hạn của dãy số,có thể chứng minh được các định lí sau đây về giới hạn của hàm số.ĐỊNH LÍ 1Giả sử và . Khi đóa) ;b) ;c) .  Đặc biệt,nếu c là một hằng số thì ;d) Nếu thì Để dễ nhớ,ta nóiGiới hạn của tổng,hiệu,tích,thương của hai hàm số tại một điểm bằng tổng,hiệu,tích,thương các giới hạn của chúng tại điểm đó (trong trường hợp thương,giới hạn của mẫu phải khác không).Định lí 1,vừa nêu và định lí 2 tiếp theo vẫn đúng khi thay bởi hoặc Nhận xétNếu k là một số nguyên dương và a là một hằng số thì với mọi ,ta có Ví dụ 4. Tìma) b)Với ,ta có .Do đó Tìm Ví dụ 5. Tìm .GiảiChia tử và mẫu của phân thức cho ( là lũy thừa bậc cao nhất của x trong tử và mẫu của phân thức),ta đượcvới mọi Vì và nên theo định lí 1.d),ta cóTìm ĐỊNH LÍ 2Giả sử .Khi đóa) ;b) ;c) Nếu với mọi giá trị {},trong đó J là một khoảng nào đó chứa , thì và Ví dụ 6.Tìm .GiảiVì nên Tìm và . Giới hạn một bên Trong định nghĩa ,ta giả thiết hàm số f xác định trên tập hợp (a;b)\{} , trong đó (a;b) là một khoảng chứa điểm . Như vậy,các giá trị được xét của x là các giá trị gần ,bao gồm cả các giá trị lớn hơn lẫn nhỏ hơn .Khái niệm giới hạn một bên xuất hiện khi ta chỉ xét các giá trị của hàm số với hoặc chỉ xét các giá trị của hàm số với 1. Giới hạn hữu hạnĐỊNH NGHĨA 1Giả sử hàm số f xác định trên khoảng . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên phải là số thực L khi x dần đến (hoặc tại điểm ) nếu mọi dãy số trong khoảng mà ,ta đều có Khi đó ta viếthoặc khi Định nghĩa giới hạn bên trái của hàm số được phát biểu tương tự.ĐỊNH NGHĨA 2Giả sử hàm số f xác định trên khoảng . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên trái là số thực L.Khi x dần đến (hoặc tại điểm ) nếu với mọi dãy số trong khoảng mà ,ta đều có .Khi đó ta viếthoặc khi Nhận xét1) Hiển nhiên nếu thì hàm số f có giới hạn bên phải và giới hạn bên trái tại điểm và 2) Ta thừa nhận điều ngược lại cũng đúng,nghĩa là Nếu thì hàm số f có giới hạn tại điểm và .3) Các định lí 1 và định lí 2 trong bài 4 vẫn đúng khi thay bởi hoặc .Ví dụ 1. Gọi d làm dấu  Tìm và (nếu có).Giải Với ,ta có .Do đó Tương tự ta có Vì nên không tồn tại Tìm giới hạn bên phải,giới hạn bên trái và giới hạn (nếu có) của hàm số  khi x dần đến -1.2. Giới hạn vô cực1) Các định nghĩa và được phát biểu tương tự như định nghĩa 1 và định nghĩa 2.2) Nhận xét 1 và nhận xét 2 vẫn đúng với giới hạn vô cực.Ví dụ 2a) Từ định nghĩa giới hạn bên trái và giới hạn bên phải của hàm số,ta cóvà .Vì nên không tồn tại b) Dễ dàng thấy rằng .Do đóvà Tìm Một vài quy tắc tìm giới hạn Các định lí trong bài trước chỉ đúng với các giới hạn hữu hạn, không áp dụng được cho các giới hạn vô cực. Trong mục này, ta sẽ giới thiệu một định lí liên quan đến giới hạn vô cực và hai quy tắc tìm giới hạn vô cực.Định lí và các quy tắc này được áp dụng cho mọi trường hợp :và Tuy nhiên,để cho gọn,ta chỉ áp dụng phát biểu cho trường hợp .ĐỊNH LÍNếu Dễ dàng suy ra định lí trên từ định nghĩa giới hạn của hàm số.Quy tắc 1Nếu và . Nếu và . Nếu và . Nếu và .Ví dụ 1.Tìma) ; b) Giải a) Ta có với mọi Vì và nên b) Vì nên Ví dụ 2. Tìm GiảiVới , ta có  .Vì và nên .Tìm Quy tắc 2Nếu và hoặc với mọi \{} , trong đó J là một khoảng nào đó chứa được cho như sau:Nếu Nếu Nếu Nếu Ví dụ 3.Tìm GiảiTa có và .Do đó Ví dụ 4. Tìm Tìm Ví dụ 5. Tìm GiảiChia tử và mẫu của phân thức cho ( là lũy thừa của x có bậc cao nhát trong tử và mẫu của phân thức),ta đượcvới mọi Vì và với nên . Các dạng vô định Khi giải bài toán về giới hạn,ta có thể gặp một số trường hợp sau đây:1)Tìm ,trong đó hoặc .2)Tìm ,trong đó .3)Tìm ,trong đó hoặc (khi hoặc .Khi đó không áp dụng được các định lí về giới hạn hữu hạn cũng như các quy tắc tìm giới hạn vô cực. Ta gọi đó là các dạng vô định và kí hiệu chúng,theo thứ tự là:1) ; 2) ; 3) Khi tìm giới hạn các dạng này,ta cần thực hiện một vài phép biến đổi đê có thể sử dụng các định lí và quy tắc đã biết. Làm như vậy gọi là khử dạng vô định. Sau đây là một ví dụ:1. Dạng và Ví dụ 1. Tìm GiảiTa có dạng vô định .Nhân tử và mẫu của phân thức với ,ta đượcvới Do đóH1.Tìm .Ví dụ 2. Tìm GiảiTa có dạng vô định .Với mọi ,ta có .Do đó Vì và với mọi nên .Tìm 2. Dạng Ví dụ 3. Tìm GiảiTa có dạng vô định ,với mọi ,ta cóDo đó.3. Dạng Ví dụ 4. Tìm .GiảiTa có dạng vô định .Nhân và chia biểu thức đã cho với biểu thức ,ta được.Do đó:.( được gọi là biểu thức liên hợp của biểu thức ). Hàm số liên tục Trong định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm,ta không giả thiết hàm số xác định tại điểm đó.Hơn nữa,nếu hàm số xác định tại điểm được xét thì giới hạn (nếu có) và giá trị của hàm số xác định tại điểm được xét thì giới hạn (nếu có) và giá trị của hàm số tại điểm đó không nhất thiết bằng nhau.Tuy nhiên với những hàm số thường gặp nhưu các hàm đa thức,các hàm phân thức hữu tỉ,các hàm số lượng giác,...,giới hạn và giá trị của hàm số tại mỗi điểm mà nó xác định là bằng nhau.Các hàm số có tính chất vừa nêu đóng vai trò quan trọng trong Giải tích và trong các nghành Toán học khác.Người ta gọi chúng là các hàm số liên tục.1. Hàm số liên tục tại một điểmĐỊNH NGHĨAGiả sử hàm số f xác định trên khoảng (a;b) và . Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm nếu:                        .Hàm số không liên tục tại điểm được gọi là hàm số gián đoạn tại điểm .Ví dụ 1a) Hàm số liên tục tại mọi điểm vì .b) Hàm số  gián đoạn tại điểm vì không tồn tại Xét tính liên tục của hàm số tại điểm Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số  tại điểm GiảiTa có  và .Vì nên hàm số f gián đoạn tại điểm Xét tính liên tục của hàm số  tại điểm x=1.2. Hàm số liên tục trên một khoảng,hàm số liên tục trên một đoạnĐỊNH NGHĨAa) Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp J,trong đó J là một khoảng hoặc hợp của nhiều khoảng. Ta nói rằng hàm số f liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc tập hợp đó.b) Hàm số f xác định trên đoạn [a;b] được gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng và .Ví dụ 3. Xét tính liên tục của hàm số trên đoạn [-1;1]GiảiHàm số đã cho xác định trên đoạn [-1;1]Vì với mọi ta có,nên hàm số f liên tục trên khoảng (-1;1).Ngoài ra,ta cóvà .Do đó hàm số đã cho liên tục trên đoạn [-1;1]CHÚ ÝTính liên tục của hàm số trên các nửa khoảng và được định nghĩa tương tự như tính liên tục của hàm số trên một đoạn.Chứng minh rằng hàm số liên tục trên nửa khoảng (tức là liên tục trên khoảng và .Qua các ví dụ đã xét,chẳng hạn ví dụ 3,ta thấy hàm số liên tục trên một khoảng hoặc trên một đoạn có đồ thị là một đường "liền nét". Trong ví dụ 2 hàm số f dán đoạn tại điểm ; đồ thị của nó không phải là một đường liền nét.Nhạn xét.Từ định lí 1 và nhận xét sau định lí 1 trong bài 4,dễ dàng suy ra 1. Tổng,hiệu,tích,thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó (trong trường hợp thương,giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0).2. Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng (tức là liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của chúng).Ta thừa nhận định lí sauĐỊNH LÍ 1Các hàm số lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng.3. Tính chất của hàm số liên tụcĐỊNH LÍ 2 (định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục)Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a;b]. Nếu thì với mỗi số thực M nằm giữa và ,tồn tại ít nhất một điểm sao cho Ý nghĩa hình học của định líNếu hàm số f liên tục trên đoạn và M là một số thực nằm giữa và thì đường thẳng cắt đồ thị của hàm số ít nhất tại một điểm có hoành độ HỆ QUẢ Nếu hàm số f liên tục trên đoạn và thì tồn tại ít nhất một điểm sao cho Ý nghĩa hình học của hệ quảNếu hàm số f liên tục trên đoạn và thì đồ thị của hàm số cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ Ví dụ 4. Cho hàm số Áp dụng hệ quả,chứng minh rằng phương trình có ít nhất một nghiệm dương nhỏ hơn 1.GiảiHàm số P liên tục trên đoạn và Vì nên theo hệ quả,tồn tại ít nhất một điểm sao cho chính là một nghiệm dương nhỏ hơn 1 của phương trình .Cho hàm số .Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một điểm sao cho .