Tài liệu Từ câu hỏi truyền thống đến trắc nghiệm khách quan - Chủ đề: Phương pháp tọa độ trong không gian

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA TOÁN ---------- HỒ THỊ ĐỨC THẢO TỪ CÂU HỎI TRUYỀN THỐNG ĐẾN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN CHỦ ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Huế, tháng 4 năm 2017 Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T 2016 – 2017 2 Bài toán 1:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm ( 4; 2;4)A   và đường thẳng 3 2 : 1 ( ) 1 4 x t d y t t z t               . Viết phương trình đường thẳng  đi qua A , cắt và vuông góc với đường thẳng d . Bài giải: Cách 1: Đường thẳng  cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng ( )P và ( )Q , trong đó ( )P là mặt phẳng đi qua A và chứa d , ( )Q là mặt phẳng đi qua Avà vuông góc với d . Đường thẳng d đi qua ( 3 ; 1 ; 1)B   và có vectơ chỉ phương (2 ; 1 ; 4)u   . Ta có: (1 ; 3 ; 5)AB   Mặt phẳng ( )P nhận u và AB làm vectơ chỉ phương, suy ra ( )P có một vectơ pháp tuyến là: 1 , (1 ; 2 ; 1) 7 n u AB       Mặt phẳng ( )P đi qua ( 4 ; 2 ; 4)A   và nhận (1 ; 2 ; 1)n    làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: 1( 4) 2( 2) 1( 4) 0x y z      hay 2 4 0x y z    Vì ( )Q d nên ( )Q nhận (2 ; 1 ; 4)u   làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng ( )Q là: 2( 4) 1( 2) 4( 4) 0x y z      hay 2 4 10 0x y z    ( ) ( )P Q   Vậy phương trình của  là: 2 4 0 2 4 10 0 x y z x y z          hay 1 3 2 3 x t y t z t          Cách 2: Vì  đi qua A và vuông góc với d nên  phải nằm trong mặt phẳng ( )P đi qua A và vuông góc với d . Mặt phẳng ( )P nhận vecto chỉ phương (2 ; 1 ; 4)u   của d làm vectơ pháp tuyến. Phương trình của mặt phẳng ( )P là: 2 4 10 0x y z    Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T 2016 – 2017 3 Gọi ( )M d P  thì ( 3 2 ;1 ; 1 4 )M t t t d      và M  ( ) 2( 3 2 ) (1 ) 4( 1 4 ) 10 0 1M P t t t t             Vậy ( 1;0;3)M  Khi đó: (3;2; 1)AM   Đường thẳng  qua Avà M có phương trình: 4 2 4 3 2 1 x y z      Cách 3: Gọi M là hình chiếu vuông góc của A trên d thì M d . Suy ra: ( 3 2 ;1 ; 1 4 )M t t t     Khi đó: (1 2 ;3 ; 5 4 )AM t t t     Đường thẳng d có vectơ chỉ phương (2 ; 1 ; 4)u   Ta có: . 0 2(1 2 ) 1(3 ) 4( 5 4 ) 0 1AM d AM u t t t t             Suy ra: (3;2; 1)AM   Đường thẳng  đi qua A và M nên có phương trình là 4 2 4 3 2 1 x y z      Phân tích: Bài toán này có nhiều cách giải, học sinh có thể viết phương trình đường thẳng  là giao tuyến của 2 mặt phẳng ( )P và ( )Q , trong đó mp ( )P chứa A và d , mp ( )Q chứa A và vuông góc với d (cách 1) hoặc xác định giao điểm M của  và d rồi lập phương trình  đi qua A và M (cách 2 và 3). Nếu học sinh thất bại ngay từ bước xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng d dựa trên phương trình tham số đề cho thì câu hỏi tự luận sẽ không thể cho ta biết điều gì về khả năng của học sinh về các khía cạnh khác của câu hỏi. Các cách giải khác nhau kiểm tra học sinh nhiều kiến thức và kỹ năng như cách xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng khi biết phương trình tham số, viết phương trình mặt phẳng khi biết tọa độ điểm đi qua và vectơ pháp tuyến hoặc hai vectơ chỉ phương, chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn khác nhau của phương trình đường thẳng. Những câu hỏi trắc nghiệm khách quan tương ứng: Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T 2016 – 2017 4 Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  : 1 2 1 2 3 5 x t y t z          Vectơ nào sau đây là vecto chỉ phương của đường thẳng  ? A. (1 ; 2 ;5)a   B. 1 1; ;5 3 a         C.  6; 1;0a   D. 1 2; ;5 3 a         Đáp án: C Phân tích: Để chọn được phương án đúng thì học sinh cần biết được cách tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng khi biết phương trình tham số và các vectơ chỉ phương của đường thẳng cùng phương với nhau, đây cũng là điểm mà học sinh có thể không chú ý. Khi nhìn vào phương trình đường thẳng  , học sinh sẽ dễ dàng tìm được ngay một vectơ chỉ phương của đường thẳng  là 1 2; ;0 3 u        .Tuy nhiên kết quả này lại không trùng với cả 4 phương án câu hỏi đưa ra, dẫn đến việc học sinh phải suy nghĩ đến các vectơ chỉ phương khác cùng phương với u , cụ thể ở đây là  6; 1;0a   (phương án C ) . Các phương án A, B, D gây nhiễu còn lại được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể nhầm lẫn tọa độ điểm mà đường thẳng đi qua (tương ứng với hệ số tự do) với tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng (tương ứng với hệ số của tham số t) Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua điểm (4 ; 3 ; 1)M và có vectơ pháp tuyến (2 ; 3 ; 4)n   là phương trình nào trong các phương trình sau đây? A.2 3 4 13 0x y z    B. 4 3 13 0x y z    C.2 3 4 13 0x y z    D. 2 3 4 9 0x y z    Đáp án: A Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T 2016 – 2017 5 Phân tích: Để chọn được phương án đúng học sinh cần nhớ được phương trình mặt phẳng đi qua điểm 0 0 0( ; ; )M x y z có vectơ pháp tuyến ( ; ; )n a b c là: 0 0 0( ) ( ) ( ) 0a x x b y y c z z      . Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể nhầm lẫn tọa độ điểm M với tọa độ vectơ pháp tuyến (phương án B), hay sai sót, bất cẩn trong quá trình tính toán (phương án C và D). Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua (0 ; 1 ; 1)A và vuông góc với đường thẳng 1 1 : 1 1 2 x y z d      . A. 2 1 0x y z    B. 2 1 0x y z    C. 2 1 0x y z    D. 2 3 0x y z    Đáp án: A Phân tích: Để làm được câu hỏi này, học sinh cần biết rằng khi một mặt phẳng ( ) vuông góc với đường thẳng d thì vecto chỉ phương của đường thẳng d sẽ là vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( ) . Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể sai sót trong quá trình tính toán. Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 1 3 : 2 3 x t d y t z t          . Phương trình nào sau đây không là phương trình của đường thẳng d ? A. 2 4 0 2 4 10 0 x y z x y z          B. 4 2 4 3 2 1 x y z      C. 1 6 4 3 2 x t y t z t          D. 2 3 1 2 4 1 x t y t z t          Đáp án: D Phân tích: Để chọn được phương án đúng, học sinh cần có sự chuyển đổi linh hoạt giữa các dạng biểu diễn khác nhau của phương trình đường thẳng. Các phương án gây nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh lúng túng khi đường thẳng được biểu diễn dưới dạng giao của 2 mặt phẳng (phương án A), dạng Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T 2016 – 2017 6 chính tắc của phương trình đường thẳng (phương án B ), dạng khác của phương trình tham số khi chọn điểm đi qua và vecto chỉ phương của đường thẳng khác với phương trình đề cho (phương án C) Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm (4 ; -3 ; 2)A và đường thẳng 2 2 : 3 2 1 x y z d      . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc M của A trên đường thẳng d ? A. ( 1 ; 0 ; 1)M  B. (1 ; 0 ; 1)M  C. ( 1 ; 0 ; 1)M   D. ( 1 ; 0 ; 2)M  Đáp án: B Phân tích: Để chọn được phương án đúng học sinh có thể làm theo hai cách: tìm giao điểm M của mặt phẳng đi qua A vuông góc với đường thẳng d và đường thẳng d hoặc tìm giao điểm M của đường thẳng AM và đường thẳng d dựa trên điều kiện AM d . Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể sai sót trong quá trình tính toán. Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 1 : 1 2 x t d y t z t         và mặt phẳng ( ) : 2 2 0P x y z    . Giao điểm M của d và (P) có tọa độ là gì? A. (3 ; 1 ; 5)M  B. (2 ; 1; 7)M  C. (4 ; 3 ; 5)M D. (1 ; 0 ; 0)M Đáp án: A Phân tích: Để chọn được phương án đúng học sinh cần biết được rằng khi điểm M d thì (1 ; ; 1 2 )M t t t   sau đó thế tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng (P) để tìm giá trị t. Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể nhầm lẫn trong quá trình tính toán. Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng song song với hai đường thẳng Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T 2016 – 2017 7 1 2 1 : 2 3 4 x y z d      và 2 2 : 3 2 1 x t d y t z t         có vectơ pháp tuyến là gì? A. ( 5;6; 7)n    B. (5; 6;7)n   C. ( 5; 6;7)n    D. ( 5;6;7)n   Đáp án:D Phân tích: Để chọn được phương án đúng, học sinh cần tìm được vecto chỉ phương của đường thẳng 1d và 2d được cho dưới dạng phương trình tham số hay chính tắc, sau đó tính được tích có hướng của 2 vectơ chỉ phương để tìm được vectơ pháp tuyến. Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể sai sót về dấu trong quá trình tính toán. Bài toán 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua (3;0;0), (0;0;1)A C và tạo với mp ( )Oxy một góc 60 . Bài giải: Mặt phẳng ( )P đi qua ,A C và tạo với mp ( )Oxy một góc 60 nên ( )P cắt Oy tại điểm (0; ;0)B b khác gốc O 0b  Phương trình của mp(P) là: 1 3 1 x y z b    hay 3 3 3 0bx y bz b    Suy ra: ( ;3;3 ) P n b b Mặt phẳng ( )Oxy có vecto pháp tuyến là (0;0;1)k  . Theo giả thiết, ta có: 0 2 2 2 2 3 1 cos( , ) cos60 29 9 9 3 6 10 9 26 26 p b n k b b b b b b              Vậy có hai mặt phẳng ( )P thỏa mãn yêu cầu của đề bài: 26 3 3 0 26 3 3 0 x y z x y z         Phân tích: Nếu từ giả thiết mặt phẳng ( )P đi qua điểm A Ox và tạo với mp ( )Oxy một góc 60 học sinh không suy ra được (P) sẽ cắt trục Oy tại một điểm Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T 2016 – 2017 8 khác với gốc tọa độ thì câu hỏi tự luận sẽ không cho ta biết được khả năng của học sinh về các khía cạnh khác của bài toán như viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, tính góc giữa hai mặt phẳng dựa trên góc giữa hai vectơ pháp tuyến. Những câu hỏi trắc nghiệm khách quan tương ứng Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi ( ) là mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm (0 ; 0 ; 3), (0 ; -1 ; 0), (4 ; 0 ; 0)A B C .Phương trình của ( ) là gì? A. ( ) : 0 3 1 4 x y z     B. ( ) : 1 4 1 3 x y z     C. ( ) : 0 4 1 3 x y z     D. ( ) : 1 3 1 4 x y z     Đáp án: B Phân tích: Để chọn được phương án đúng, học sinh cần nắm được phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua các điểm ( ; 0 ; 0)A a , ( ;0;0)B b , (0;0; )C c là 1 x y z a b c    . Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh nhớ sai vế phải của phương trình mặt phẳng theo đoan chắn bằng 0 (phương án A,C) hoặc là viết phương trình theo thứ tự các điểm đề cho (phương án A,D) Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng ( ) : 2 3 1 0P x y z    và ( ) : 5 0Q x y z    . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ( )P và ( )Q . Tính cos . A. 3 cos 14   B. 2 3 cos 14    C. 2 3 cos 14   D. 3 cos 14    Đáp án: C Phân tích: Để chọn được phương án đúng học sinh cần nắm được công thức . cos . P Q p Q n n n n   . Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T 2016 – 2017 9 Các phương án gây nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể làm thiếu dấu giá trị tuyệt đối ở tử số trong công thức trên, dẫn đến cos nhận giá trị âm (phương án B và D) hay sai sót trong quá trình tính toán (phương án A và D). Bài toán 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm ( 2 ; 1 ; 2), (0 ; 4 ; 1), (5 ; 1 ; 5) , ( 2 ; 8 ; 5)A B C D    a. Chứng minh: , , ,A B C D là bốn đỉnh của một tứ diện. b. Tính thể tích khối tứ diện ABCD Bài giải: a. Ta có: (2 ; 3 ; 1)AB  , (7 ; 0 ; 7)AC   Suy ra: 3 1 1 2 2 3 , ; ; ( 21 ; 7 ; 21) 0 7 7 7 7 0 AB AC               (0;7; 7)AD   nên , . 49 147 0AB AC AD      , , ,A B C D không đồng phẳng nên là các đỉnh của một tứ diện. b. 1 196 98 , . 6 6 3 ABCDV AB AC AD     Phân tích: Bài toán này yêu cầu học sinh vận dụng tích có hướng để kiểm tra tính đồng phẳng của các điểm trong không gian và tính thể tích tứ diện. Tuy nhiên nếu học sinh không biết điều kiện để các điểm không đồng phẳng là gì thì bài toán sẽ không thể cho ta biết những phần nào của câu hỏi học sinh có thể trả lời được. Những câu hỏi trắc nghiệm khách quan tương ứng: Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho (0 ; 2 ; 2), ( 3 ; 1 ; 1), (4 ; 3 ; 0)A B C   và (1 ; 2 ; )D m . Tìm m để bốn điểm , , ,A B C D đồng phẳng. Một học sinh giải như sau: Bước 1: ( 3 ; 1 ; 1)AB    ; (4 ; 1 ; 2)AC  ; (1 ; 0 ; 2)AD m  Bước 2: 1 1 1 3 3 1 , ; ; ( 3 ; 10 ; 1) 1 2 2 4 4 1 AB AC               Bước 3: , , ,A B C D đồng phẳng , . 0 5 0AB AC AD m       Đáp số: 5m   Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T 2016 – 2017 10 Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào? A. Đúng B. Sai ở bước 1 C. Sai ở bước 2 D. Sai ở bước 3 Đáp án: C Phân tích: Câu hỏi này kiểm tra kiến thức tổng hợp về tích vô hướng và điều kiện để các điểm trong không gian đồng phẳng, khả năng phân tích, theo dõi các bước giải để tìm ra lỗi sai. Câu 2 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho (2 ; 1 ; 1), (3 ; 0 ; 1),M N (2 ; 1 ; 3)P  , điểm Q nằm trên trục Oy và thể tích tứ diện MNPQ bằng 5. Tìm tọa độ của điểm Q . A. (0 ; 7 ; 0)Q  B. (0 ; 7 ; 0)Q  hoặc (0 ; 8 ; 0)Q C. (0 ; 8 ; 0)Q D. (0 ; 7 ; 0)Q hoặc (0 ; 8 ; 0)Q  Đáp án: B Phân tích: Để chọn được phương án đúng, học sinh cần nắm được công thức tính thể tích tứ diện MNPQ là 1 , . 6 MNPQV MN MP MQ    Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể xét thiếu trường hợp khi phá dấu giá trị tuyệt đối trong công thức tính thể tích (phương án A và C) hay tính sai dấu (phương án D). KẾT LUẬN Việc chuyển bài toán tự luận thành các câu hỏi trắc nghiệm khách quan kiểm tra các khía cạnh khác nhau của bài toán giúp chúng ta có thể đánh giá học sinh một cách chính xác hơn, Tuy nhiên, trắc nghiệm khách quan thường chỉ phù hợp với những bài toán ở mức độ nhận biết và thông hiểu, ở mức độ vận dụng cao thì loại hình câu hỏi này không thể hiện được các bước suy luận của học sinh để giải quyết bài toán.