Tiểu luận Lý luận dạy học toán nâng cao và đánh giá trong dạy học Toán - Chủ đề: Nguyên hàm – Tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐẠI HỌC HUẾ KHOA TOÁN Hoàng Nguyễn Mỹ Anh CÁCH VIẾT CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Chủ đề : Nguyên hàm – Tích phân Học phần : Lý luận dạy học toán nâng cao và đánh giá trong dạy học toán. GVHD : Nguyễn Đăng Minh Phúc. Huế, 4/2017 Mục đích của chủ đề này nhằm giúp người soạn câu hỏi trắc nghiệm khách quan đặt ra nhiệm vụ xây dựng các câu hỏi trắc nghiệm khách quan phù hợp, và trình bày một số điểm cần tránh khi soạn câu hỏi. Giả sử một giáo viên phải soạn những câu hỏi trắc nghiệm khách quan cho một phần nội dung nào đó của chương trình và giáo viên đó biết ở mức độ khả năng nào để đặt những câu hỏi của mình. Đòi hỏi sau này đặt ra 2 điều phải cân nhắc cho người viết câu hỏi, thứ nhất là những câu hỏi phải đúng mức độ khó và thứ 2 là chũng phải bao quát được các mức độ tư duy đòi hỏi: kiến thức, hiểu, áp dụng hay những khả năng cao nhất. Sau đây là một ví dụ về chủ đề nguyên hàm – tích phân mà từ câu hỏi truyền thống chúng ta có thể xây dựng câu hỏi trắc nghiệm khách quan phù hợp. I. Câu hỏi truyền thống Giả sử chúng ta đang cần viết một hay nhiều câu hỏi để đánh giá khả năng toán của học sinh trong một tình huống cụ thể là sử dụng công thức và các phương pháp khác nhau để tính nguyên hàm của một hàm số. Trong kì thi thông thường, điều này có thể được làm tốt bằng cách dùng công cụ câu hỏi sau: Bài toán: Tìm nguyên hàm của hàm số: 2 1 2 . 4 x dxI x ³ Nhiệm vụ đầu tiên của học sinh là sử dụng các kiến thức về nguyên hàm đã được học để có thể giải quyết bài toán. Bước này liên quan đến khả năng hệ thống các kiến thức của học sinh, khả năng áp dụng lý thuyết, công thức vào một bài toán tính nguyên hàm cụ thể. Ở bài toán này học sinh thấy rằng mẫu số là căn bậc 2 và phương pháp giải quyết thích hợp là đổi biến số để đơn giản hóa bài toán. Và khi gặp dạng căn bậc 2 có chứa 2 2a x thì một trong các công cụ hữu hiệu mà các em có là phương pháp đổi biến lượng giác hóa. Nếu hàm f(x) có chứa 2 2a x thì đặt:   2 2 2 2 2 2 tan costan tan cos adtdx d a t tx a t ax a a t a t ­ °° o ® °   °¯ Nhìn vào hàm số có dạng 2 2a x , học sinh đặt tanx a t với 2a và tiếp theo học sinh sẽ thu được tích phân mới đơn giản hơn tích phân ban đầu, từ đó tiếp tục áp dụng các phép biến đổi thích hợp để có thể đưa ra đáp số. 2 2 ; 2 4 x dxI a x ³ Đặt    22 2 2 22tan 2 1 tan cos2tan 4 4tan 4 dtdx d t t dttx t x t ­ ° o® °  ¯ 2 2 2 2 2 2 2 2 23 4 2 4 tan .2 1 tan 4 tan 1 tan 2 1 tan sin sin .cos sin . (sin )4 4 cos cos 1 sin t t dt I t t dt t t t t t d tdt dtt t t  o    ³ ³ ³ ³ ³ Đặt sinu t 222 2 22 2 2 2 2 2 1 11( ) 4 4 1 2 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 (1 ) (1 ) 1 1 1 1 1 1 (1 ) (1 ) u uu uI d u du duu u uu du duduu u u u u u u u du du duduu u u u u u d u d u u u d u u § ·  § ·o ¨ ¸¨ ¸  © ¹ © ¹ § ·        ¨ ¸       © ¹ § ·   ¨ ¸     © ¹           ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³    1 1 u u u ³ 3 1 1 1 1 1ln 1 ln 1 ln 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 sin 1ln ln 1 1 1 sin 1 sin 1 sin 1 uu u C Cu u u u u u tI C Cu u u t t t                 o            Từ giả thiết 2tanx t 2 2 2 2 2 2 2 2 2 32 2 2 2 1 4tan 1 tan 1 cos sin 2 cos 4 4 4 1 1 1 4sin ln 4 1 1 1 4 4 4 x x xt t t tt x x x x xt I Cx x xx x x x œ o   œ o    œ o           Khi phân tích theo cách này, ta thấy bài toán đang cố gắng để làm nhiều thứ cùng một lúc. Nếu các em thất bại ngay ở bước đầu, không biết cách đổi biến số sao cho phù hợp thì bài toán tự luận này không cho ta biết điều gì về khả năng của học sinh về các khía cạnh khác của câu hỏi, ví dụ như: ¾ Đổi biến số theo phương pháp lượng giác hóa. ¾ Xử lí khi gặp tích phân chứa hàm lượng giác. Bởi vì, khi đặt ẩn phụ, học sinh thu được tích phân hàm lượng giác. Qua đó, kiến thức về nguyên hàm của các hàm lượng giác cơ bản, các công thức của hàm lượng giác như công thức nhân đôi, công thức nhân 3, hạ bậc,sẽ được thể hiện. ¾ Đổi biến số và cách xử lí hàm hữu tỉ. Nếu tích phân lượng giác thu được khá phức tạp, học sinh không thể áp dụng các nguyên hàm lượng giác cơ bản để tính được thì khía cạnh cụ thể được thể hiện trong bài toán tự luận trên là khả năng đổi biến, đưa hàm lượng giác về hàm hữu tỉ để xác định nguyên hàm. Trắc nghiệm khách quan cho chúng ta cơ hội để tìm ra những phần nào của bài toán thì học sinh có thể trả lời được. II. Những câu hỏi trắc nghiệm khách quan tương đương Khía cạnh 1: Đầu tiên chúng ta sẽ kiểm tra phương pháp đổi biến theo phương pháp lượng giác hóa. Với cách đổi biến như ở ví dụ trên, một số câu hỏi phù hợp để kiểm tra kiến thức này như sau: Ví dụ 1: Đổi biến 3tanx t thì tích phân 2 9I x ³ trở thành: 3 9. . cos cos . . cos cos2 dt dtA Bt t dtC D tdtt ³ ³ ³ ³ Đặt   2 2 2 33tan cos3tan 39 9tan 9 cos dtdx d t tx t x t t ­ °° o ® °   °¯ 23 3 cos.cos cos dt dtI ttt o ³ ³ Đáp án B. Phương án gây nhiễu: B, C, D gây nhầm lẫn cho học sinh trong quá trình biến đổi tương đương, nhẫm lẫn khi chia cho phân số, rút gọn cos t. Ví dụ 2: Nếu đặt tanx a t thì    22 20 ; 0 a dxI a x a ! ³ sẽ trở thành tích phân nào? /4 /4 3 3 0 0 /4 3 3 0 0 1 1. 1 cos . 1 cos2 2 2 1 1. 1 cos2 . 1 cos2 2 2 a A I t dt B I t dta a C I t dt D I t dta a S S S     ³ ³ ³ ³ Ở bài toán này với   2tan tan cos adtx a t dx d a t t Ÿ Đổi cận: 0 0 / 4 x t x a t S Ÿ ­ ® Ÿ ¯ /4 /4 2 2 32 2 2 2 20 0 4 /4 /4 2 3 3 0 0 1 1cos . tan cos . cos 1 1cos 1 cos2 2 adt dtI at a a t t t tdt t dta a S S S S   ³ ³ ³ ³ Đáp án B. Ở câu trắc nghiệm này đã có sẵn hướng đi, việc các em cần làm là biến đổi tương đương. Phương án gây nhiễu: Phương án A, C kiểm tra xem học sinh có nắm chắc công thức hạ bậc không. Khi học sinh đã ra kết quả, phương án D sẽ đánh bẫy đối với các học sinh quên đổi cận. Ví dụ 3: Nếu đổi biến 3 tanx t thì   3 2 3 ; 0 3 dxI ax !³ sẽ tương đương với tích phân nào? /3 /3 /4 /4 /4 /3 /3 /4 . 3 . 3 3 3. . 3 3 dtA I dt B I t C I dt D I dt S S S S S S S S ³ ³ ³ ³ Ở bài toán này với   233 tan 3 tan cos dtx t dx d t t Ÿ Đổi cận: 3 / 4 3 / 3 x t x t S S ­ Ÿ °® Ÿ °¯ /3/3 /3 2 2 /4 /4 /4 3 3 3 3 3cos .3 1 tan dtI dt t t t SS S S S S ³ ³ Đáp án D. Câu trắc nghiệm này yêu cầu học sinh phải tính toán cẩn thận, đổi cận chính xác. Phương án gây nhiễu: A,B kiểm tra xem học sinh có mắc sai lầm gì trong tính toán hay không. Phương án C sẽ làm các em nhầm lẫn khi không chú ý vị trí của cận / 4S và / 3S . Ví dụ 4: Đặt 2 2 0 4 dxI x ³ và 2tanx t . Khẳng định nào sai?    2 2 2 /4 0 . 4 4 tan 1 . 2 tan 1 1 3. . 2 4 A x t B dx t dt C I dt D I S S    ³ Ở bài toán này với    2222tan 2tan 2 1 tancos dtx t dx d t tt Ÿ  Đổi cận: 0 0 2 / 4 x t x t S Ÿ ­ ® Ÿ ¯ /4/4 /3 2 2 00 /4 2 1 1 2 2 8cos .4 1 tan dtI dt t t t SS S S S ³ ³ Đáp án D. Ở các câu trắc nghiệm trên theo như bài toán gốc, hàm f(x) có chứa 2 2a x thì đặt:   2 2 2 2 2 2 tan costan tan cos adtdx d a t tx a t ax a a t a t ­ °° o ® °   °¯ Tương tự; đối với các bài toán khác nếu hàm f(x) có chứa 2 2a x , 2 2x a ta chọn cách đổi biến như sau: Dấu hiệu Cách chọn 2 2a x > @ sin ; 2 2 cos 0; x a t t x a t t S S S ª ª º  « « »¬ ¼« « ¬ 2 2x a ^ ` > @ ; \ 0 sin 2 2 0; \ cos 2 ax tt ax tt S S SS ª ª º  « « »¬ ¼« « ­ ½ « ® ¾¯ ¿¬ Ví dụ như ta có thể biến đổi: Nếu hàm f(x) có chứa 2 2a x thì đặt: 2 2 2 2 2 sin cos sin ; 2 2 sin cos dx d a t a tdt x a t t a x a a t a t S S ­ § · °ª º   o®¨ ¸« »¬ ¼© ¹   °¯ Nếu hàm f(x) có chứa 2 2x a thì đặt: ^ ` 2 2 2 2 2 2 cos sin sin ; \ 0 sin 2 2 sin cot a a tdtdx d t tax tt aax a at t S S ­ § · ¨ ¸° © ¹§ · °ª º   o ®¨ ¸« »¬ ¼© ¹ °   °¯ Từ các dấu hiệu đó, ta có thể xậy các câu trắc nghiệm tương tự như các ví dụ trên. Khía cạnh 2: Sau khi đổi biến theo phương pháp lượng giác hóa, chúng ta sẽ thu được tích phân dạng lượng giác. Ở đây, ta có thể viết các câu hỏi trắc nghiệm khách quan liên quan đến bước tiếp theo của bài toán gốc là biết vận dụng các công thức lượng giác thường gặp (CT nhân đôi, CT hạ bậc, CT góc nhân 3, CT đổi tích thành tổng), các mẫu nguyên hàm lượng giác hay gặp của từ đó suy ra cách đổi biến số thích hợp. Ví dụ 5: Phát biểu nào sau đây là đúng? 2 2 2 2 1 1. tan . tan cos cos 1 1. cot . cot cos cos A dx x C B dx x Cx x C dx x C D dx x Cx x           ³ ³ ³ ³ Ta có: 2 1 tan cos I dx x Cx   ³ Đáp án A. Theo bảng nguyên hàm cơ bản của tích phân lượng giác ta có: 2 1 tan cos dx x Cx ³ . Đáp án gây nhiễu B, C, D kiểm tra xem học sinh có nắm được chắc chắn về dấu của nguyên hàm cơ bản này hay không. Ví dụ 6: Cho  F x là một nguyên hàm của hàm số   2tanf x x và 1 4 F S§ · ¨ ¸© ¹ . Khi đó ta có  F x là: 2 2 2 2 . tan tan . tan tan 4 . tan tan . tan tan 4 4 A xdx x x B xdx x x C xdx x x D xdx x x S S S        ³ ³ ³ ³ Ta có: 2 2 1tan 1 tan cos I xdx dx x x Cx § ·   ¨ ¸© ¹³ ³ 1 1 1 4 4 4 F C CS S S§ · œ   Ÿ ¨ ¸© ¹ Đáp án A. Phương án gây nhiễu: Phương án B học sinh dễ nhầm vì quên hằng số C khi tính nguyên hàm. Phương án C, D gây nhầm lẫn về dấu của hằng số C khi ta chuyển vế hoặc sai khi nhớ nhầm dấu nguyên hàm của tích phân. Ví dụ 7: Nguyên hàm của tích phân cos dxI x ³ bằng: 1 sin 1 1 sin 1. ln . ln 2 sin 1 2 sin 1 1 sin 1 1 sin 1. ln . ln 2 sin 1 2 sin 1 x xA Bx x x xC Dx x          Ta có: 2 2 cos cos cos cos 1 sin dx xdx xdxI x x x ³ ³ ³ Đặt sin cosu x du xdx Ÿ   2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 sin 1ln ln 2 1 2 sin 1 du du du duI u u u u u u x u x § ·Ÿ   ¨ ¸    © ¹      ³ ³ ³ Đáp án C. Ở ví dụ này học sinh phải có kỹ năng xử lí hàm số lương giác, thêm 1 lượng để từ đó có thể đặt được ẩn. Phương án gây nhiễu: A, B, D đánh bẫy học sinh khi các em chỉ cần biến đổi tương đương sai một lỗi về dấu thì đáp số sẽ ra 1 trong 3 phương án sai đó. Ví dụ 8: Cho   5/4 2 0 1 tan ; cos x a aI dxx b b S  ³ nguyên dương và ab tối giản. Tìm khẳng định đúng? 2 2 . . 1 . 10 1 . 1 A a b B ab C a b D a b    Ta có: /46/4 5 0 0 211 tan 1 211 tan 1 tan 64 1 26 6 2 axI x d x b SS  ­    Ÿ ® ¯³ 10 1a bŸ  Đáp án C. Ở câu trắc nghiệm này giúp học sinh phát hiện cách đổi biến nhanh khi gặp hàm số lượng giác cơ bản, đơn giản hóa biểu thức và tính toán. Ví dụ 9: Biết /4 2 2 0 tan . cos tan 2 xI dx a b x x S  ³ (với a, b là 2 số tự nhiên.) Tìm đáp án đúng? 2 2 2 2 . . 6 . 12 . 1 A a b B ab C a b D a b    Đặt 2 2 2 2 tantan 2 tan 2 cos xt x t x tdt dxx  Ÿ  Ÿ 3 3 2 2 3 3 2 2 atdtI dt bt ­  Ÿ ® ¯³ ³ 6abŸ Đáp án B. Phương án gây nhiễu: Phương án D gây nhầm sai sót khi học sinh tính ra 3 2I  sau đó các em nhầm lẫn cho 3; 2a b . Phương án A, C kiểm tra xem học sinh biến đổi tương đương và ra kết quả có đúng hay không. Khía cạnh 3: Nếu tích phân lượng giác thu được khá phức tạp, học sinh không thể áp dụng các nguyên hàm lượng giác cơ bản để tính được học sinh phải có khả năng đơn giản hóa bài toán, cụ thể là đưa hàm lượng giác về hàm hữu tỉ , từ đó xử lí hàm hữu tỉ để xác định nguyên hàm. Ví dụ 10: Giá trị của tích phân   3 2 2 1 dxI x x ³ bằng: 1 4 1. ln . 2 3 2 1 4 1 3 4. ln . ln ln 2 3 2 2 3 A B C D      Ta có:         2 11 1 1 1 1 1 1 11 x x x x x x x x xx x        1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 x x x x x x x x x x x x      § ·    ¨ ¸     © ¹ 33 3 3 2 23 3 3 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 ln 1 2 1 2 1 2 1 8 3 1 8 1 3 1 3 1 8 2 1 3ln ln ln ln ln ln . ln 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 1 3 4ln ln 2 2 3 x x x dx dx dxI xx x x    Ÿ     § · § ·    ¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹   ³ ³ ³ Đáp án D. Ở câu trắc nghiệm này chúng ta cần sử dụng thuật phân tích tử số có chứa nghiệm mẫu số. Từ đó giản ước và có thể suy ra các tích phân có dạng cơ bản để tính toán. Phương án gây nhiễu: Phương án A, B, C gây nhầm lẫn khi học sinh phân chia và tính toán các số theo hàm ln. Ví dụ 11: Biết   3 2 2 ln 2 ln3 ln5; , , .dxI a b c a b cx x   ³ Tổng a b c  bằng: . 6 . 2 . 2 . 0 A B C D Ta có: 44 4 4 33 3 3 1 4 3ln ln ln 1 1 1 5 4 ln 4 ln5 ln3 ln 4 4ln 2 ln3 ln5 4 1 1 2 x x dx dx xI dxx x x x x a b c            Ÿ     ³ ³ ³ Đáp án B. Ví dụ 12: Biết   1 3 4 2 0 ln ln , , . 3 2 x dxI a b c a b cx x   ³ Khẳng định nào đúng? 5 1 3. . 2 2 . 2 2 2 1 . cA a b c B a b C b c c a a b D a c b      ! ! ! Ta có: > @ 2 11 1 1 2 0 00 0 2 ; 0;1 1. 1 12 . ln 2 ln 1 3 2 2 1 2 2 1 3ln3 ln 2 ln 2 ln3 ln 2 2 2 3 1 2 2 t x dt xdx t t dt tdtI t tt t t t a b a c b c Ÿ           ­ °°Ÿ  Ÿ ! !® ° °¯ ³ ³ Đáp án D. Ở ví dụ 11, 12 này, học sinh không thể bấm máy mà phải giải bằng tay để có thể tìm ra các số a, b, c. Nắm rõ công thức của hàm ln để chuyển về dạng mà đề đã cho.