Tiểu luận Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng - Hoàng Lê Thu Hằng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA TOÁN -------- TỪ CÂU HỎI TRUYỀN THỐNG ĐẾN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN CHỦ ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Sinh viên: Hoàng Lê Thu Hằng Lớp: Toán 4T Mã sinh viên: 13S1011044 Giáo viên hướng dẫn: Thầy Nguyễn Đăng Minh Phúc Huế, tháng 4 năm 2017. Sinh viên: Hoàng Lê Thu Hằng Lớp: Toán 4T - 1 - Chủ đề: Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng Bài toán 1: Tính tích phân sau: 𝑰 = ∫ 𝒙 𝐥𝐧 𝒙 (𝒙𝟐 + 𝟏)𝟐 𝒅𝒙 𝟑 𝟏 . Bài giải: Đặt { 𝑢 = ln 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑥 (𝑥2 + 1)2 𝑑𝑥 ⇒ { 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑥 𝑣 = − 1 2(𝑥2 + 1) Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có: 𝐼 = − ln 𝑥 2(𝑥2 + 1) | 1 3 +∫ 1 2𝑥(𝑥2 + 1) 𝑑𝑥 3 1 = − ln 3 20 + 1 2 ∫ 1 𝑥(𝑥2 + 1) 𝑑𝑥 3 1 = − ln 3 20 + 1 2 ∫ ( 1 𝑥 − 𝑥 𝑥2 + 1 )𝑑𝑥 3 1 = − ln 3 20 + 1 2 (ln 𝑥 − 1 2 ln(𝑥2 + 1))| 1 3 = − ln 3 20 + 1 2 (ln 3 − 1 2 ln 10 + 1 2 ln 2) = 9 20 ln 3 − 1 4 ln 5 Vậy 𝐼 = 9 20 ln 3 − 1 4 ln 5. Phân tích: Để tính được tích phân này, học sinh cần phải hiểu được phương pháp tính tích phân từng phần, phương pháp đổi biến số để tìm được các nguyên hàm tương ứng, học sinh phải có đầy đủ các kiến thức cơ bản về phép tính đạo hàm của các hàm cơ bản, phép tính đạo hàm đối với hàm hợp. Ngay từ đầu, các em phải xác định được phương pháp tính tích phân nào sẽ được sử dụng trong bài toán này. Sau khi xác định được phương pháp làm (phương pháp tích phân từng phần), Sinh viên: Hoàng Lê Thu Hằng Lớp: Toán 4T - 2 - học sinh cần phải hiểu được lượng nào sẽ đặt làm 𝑢 và lượng nào đặt làm 𝑑𝑣 để tìm nguyên hàm. Sau đó, bằng những kỹ năng tính toán của bản thân, các em sẽ thu được kết quả. Câu hỏi trắc nghiệm: Câu 1: Tính 𝐼 = ∫ 𝑃(𝑥) ln 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 (𝑎, 𝑏 ∈ ℝ), trong đó 𝑃(𝑥) là đa thức, bằng phương pháp tích phân từng phần. A. Đặt { 𝑢 = 𝑃(𝑥) 𝑑𝑣 = ln 𝑥 𝑑𝑥 ⟹ { 𝑑𝑢 = 𝑃′(𝑥)𝑑𝑥 𝑣 = 1 𝑥 ⟹ 𝐼 = 𝑃(𝑥) 𝑥 | 𝑎 𝑏 −∫ 𝑃′(𝑥) 𝑥 𝑏 𝑎 𝑑𝑥. B. Đặt { 𝑢 = 𝑃(𝑥) 𝑑𝑣 = ln 𝑥 𝑑𝑥 ⟹ { 𝑑𝑢 = 𝑃′(𝑥)𝑑𝑥 𝑣 = 1 𝑥 ⟹ 𝐼 = 𝑃(𝑥) 𝑥 | 𝑃(𝑎) 𝑃(𝑏) −∫ 𝑃′(𝑥) 𝑥 𝑃(𝑏) 𝑃(𝑎) 𝑑𝑥. C. Đặt { 𝑢 = ln 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ⟹ { 𝑑𝑢 = 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = ∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑄(𝑥) ⟹ 𝐼 = ln 𝑥 . 𝑄(𝑥)|𝑎 𝑏 −∫ 𝑄(𝑥) 𝑥 𝑏 𝑎 𝑑𝑥. D. Đặt { 𝑢 = ln 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ⟹ { 𝑑𝑢 = 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = ∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑄(𝑥) ⟹ 𝐼 = ln 𝑥 . 𝑄(𝑥)|𝑒𝑎 𝑒𝑏 −∫ 𝑄(𝑥) 𝑥 𝑒𝑏 𝑒𝑎 𝑑𝑥. Đáp án: C. Học sinh thường gặp sai lầm khi làm các bài toán tích phân liên quan đến hàm 𝑦 = ln 𝑥, các em bị nhẫm lẫn giữa đạo hàm và nguyên hàm dẫn đến việc đặt sai các lượng 𝑢 và 𝑑𝑣 (phương án nhiễu A, B). Ngoài ra, một số học sinh mắc sai lầm trong việc chọn cận, các em nghĩ rằng ở phương pháp tích phân từng phần ta cũng phải đổi cận như ở phương pháp đổi biến số dẫn đến việc đưa ra kết quả sai (phương án nhiễu B, D). Câu 2: Tìm nguyên hàm 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑥 (𝑥2 + 1)2 𝑑𝑥. A. 𝐹(𝑥) = 1 𝑥2 + 1 + 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ. B. 𝐹(𝑥) = − 1 𝑥2 + 1 + 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ. C. 𝐹(𝑥) = 1 2(𝑥2 + 1) + 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ. D. 𝐹(𝑥) = − 1 2(𝑥2 + 1) + 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ. Sinh viên: Hoàng Lê Thu Hằng Lớp: Toán 4T - 3 - Đáp án: D. Để tìm nguyên hàm này, học sinh sẽ dử dụng phương pháp đổi biến số, đặt 𝑡 = 𝑥2 + 1. Và ở đây, học sinh thường mắc phải các sai lầm về kỹ năng đạo hàm, kỹ năng tìm nguyên hàm các hàm cơ bản dẫn đến sai sót (phương án nhiễu A, B, C). Câu 3: Khi tính tích phân 𝐼 = ∫ 1 𝑥(𝑥2 + 1) 𝑑𝑥 3 1 , một học sinh làm như sau: Bước 1: 1 𝑥(𝑥2 + 1) = 1 𝑥 − 𝑥 𝑥2 + 1 . Bước 2: 𝐼 = ∫ ( 1 𝑥 − 𝑥 𝑥2 + 1 )𝑑𝑥 3 1 = (ln 𝑥 − ln(𝑥2 + 1))|1 3 = ln 𝑥 𝑥2 + 1 | 1 3 . Bước 3: 𝐼 = ln 3 10 − ln 1 2 = ln 3 − ln 5. Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào? A. Sai từ Bước 1. B. Sai từ Bước 2. C. Sai từ Bước 3. D. Đúng. Đáp án: B Học sinh thường thiếu giá trị 1 2 khi tìm nguyên hàm của hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑥2 + 1 dẫn đến sai sót trong quá trình làm bài (phương án nhiễu D). Bài toán 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝒚 = |𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑| và đường thẳng 𝒅: 𝒚 = 𝒙 + 𝟑. Bài giải: Gọi 𝑆 là phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝑦 = |𝑥2 − 4𝑥 + 3| và đường thẳng 𝑑: 𝑦 = 𝑥 + 3. Gọi 𝑆1 và 𝑆2 lần lượt là phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 với đường thẳng 𝑑: 𝑦 = 𝑥 + 3 và trục hoành. Suy ra: 𝑆 = 𝑆1 − 2𝑆2. Ta có: Sinh viên: Hoàng Lê Thu Hằng Lớp: Toán 4T - 4 -  𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 𝑥 + 3 ⟺ 𝑥2 − 5𝑥 = 0 ⟺ [ 𝑥 = 0 𝑥 = 5 . Suy ra: 𝑆1 = ∫ |(𝑥 2 − 4𝑥 + 3) − (𝑥 + 3)|𝑑𝑥 5 0 = ∫ |𝑥2 − 5𝑥|𝑑𝑥 5 0 = ∫ (5𝑥 − 𝑥2)𝑑𝑥 5 0 = ( 5𝑥2 2 − 𝑥3 3 )| 0 5 = 125 6 .  𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0 ⇔ [ 𝑥 = 1 𝑥 = 3 . Suy ra: 𝑆2 = ∫ |𝑥 2 − 4𝑥 + 3|𝑑𝑥 3 1 = ∫ (−𝑥2 + 4𝑥 − 3) 3 1 𝑑𝑥 = (− 𝑥3 3 + 2𝑥2 − 3𝑥)| 1 3 = 0 − (− 4 3 ) = 4 3 . Vậy: 𝑆 = 𝑆1 − 2𝑆2 = 125 6 − 2. 4 3 = 109 6 (đvdt). Phân tích: Để tính được diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝑦 = |𝑥3 − 4𝑥 + 3| và đường thẳng 𝑑: 𝑦 = 𝑥 − 3, ta cần xác định được phần hình phẳng đó trên mặt phẳng tọa độ. Do đó, việc vẽ được đồ thị hai hàm số này đóng vai trò quan trọng trong việc định hướng giải quyết bài toán. Sau khi xác định được phần hình phẳng cần tính diện tích, học sinh cần phải có khả năng quan sát, tư duy, suy luận để tìm được cách tính sao cho hợp lý, dễ dàng và thuận tiện. Sinh viên: Hoàng Lê Thu Hằng Lớp: Toán 4T - 5 - Ngoài ra, học sinh cần phải hiểu được cách tính một tích phân có chứa giá trị tuyệt đối, biết xét dấu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối phục vụ cho việc tính toán được chính xác. Câu hỏi trắc nghiệm: Câu 1: Đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) được cho như hình vẽ: Trong các đồ thị sau, đâu là đồ thị của hàm số 𝑦 = |𝑓(𝑥)|? A. B. C. D. Sinh viên: Hoàng Lê Thu Hằng Lớp: Toán 4T - 6 - Đáp án: B. Nhiều học sinh còn nhầm lẫn về cách vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = |𝑓(𝑥)| và 𝑦 = 𝑓(|𝑥|) do chưa hiểu rõ bản chất của mỗi loại hàm số (phương án nhiễu A). Cũng vì chưa hiểu rõ bản chất của hàm số 𝑦 = |𝑓(𝑥)| mà học sinh có những cách vẽ hình không đúng (phương án nhiều C, D). Câu 2: Cho hai hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) và y= 𝑔(𝑥) liên tục trên đoạn [𝑎; 𝑏]. Gọi 𝐷 là phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đó và các đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 (𝑎 < 𝑏). Gọi 𝑆𝐷 là diện tích của hình phẳng 𝐷. Lúc đó, 𝑆𝐷 được biểu diễn theo công thức nào? A. 𝑆𝐷 = ∫ |𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)|𝑑𝑥 𝑏 𝑎 . B. 𝑆𝐷 = ∫ |𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)|𝑑𝑥 𝑏 𝑎 . C. 𝑆𝐷 = ∫ [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 𝑏 𝑎 . D. 𝑆𝐷 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 𝑏 𝑎 . Đáp án: B. Một vài học sinh chưa hiểu rõ bản chất của vấn đề nên việc học, nhớ công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số là máy móc, dẫn đến việc bị nhầm lẫn giữa hai phép tính cộng và trừ (thay vì tính 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥), học sinh lại tính 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) (phương án nhiễu A, C). Ngoài ra, một sai lầm rất nhiều học sinh mắc phải chính là quên đặt biểu thức 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) vào trong dấu giá trị tuyệt đối. Từ đó, học sinh đưa ra kết quả sai (phương án nhiễu C, D). Câu 3: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục trên đoạn [𝑎; 𝑏]. Gọi 𝐷 là phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥), trục hoành và hai đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 (như hình vẽ dưới đây). Gọi 𝑆𝐷 là diện tích của hình phẳng 𝐷. Khi đó, 𝑆𝐷 được tính bởi công thức nào? Sinh viên: Hoàng Lê Thu Hằng Lớp: Toán 4T - 7 - A. 𝑆𝐷 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑐 𝑎 −∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑐 . B. 𝑆𝐷 = −∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑐 𝑎 +∫ 𝑓(𝑑)𝑑𝑥 𝑏 𝑐 . C. 𝑆𝐷 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 0 𝑎 −∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 0 . D. 𝑆𝐷 = −∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 0 𝑎 +∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 0 . Đáp án: A. Học sinh thường gặp khó khăn trong việc xác định dấu của biểu thức 𝑓(𝑥) khi 𝑥 thuộc vào một khoảng giá trị nào đó dẫn đến việc nhẫm lẫn về dấu khi loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối của một biểu thức (phương án nhiều B). Học sinh chưa phân biệt được |𝐴|, với 𝐴 là một biểu thức đại số ẩn 𝑥, và |𝑥| nên khi xét dấu của biểu thức 𝐴 học sinh lại xét đến các trường hợp 𝑥 ≥ 0, 𝑥 < 0 thay vì phải tìm các giá trị 𝑥 để 𝐴 ≥ 0, 𝐴 < 0. Điều này dẫn đến việc học sinh chọn sai cận để tính tích phân (phương án nhiễu C, D). Bài toán 3: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝒚 = √𝟏 + 𝐜𝐨𝐬𝟒 𝒙 + 𝐬𝐢𝐧𝟒 𝒙 , trục hoành và hai đường thẳng 𝒙 = 𝝅 𝟐 , 𝒙 = 𝝅 quanh trục hoành. Bài giải: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục hoành là: 𝑉 = 𝜋∫ (1 + cos4 𝑥 + sin4 𝑥)𝑑𝑥 𝜋 𝜋 2 = 𝜋∫ (2 − 2 sin2 𝑥 cos2 𝑥)𝑑𝑥 𝜋 𝜋 2 = 𝜋∫ (2 − 2. 1 − cos 2𝑥 2 . 1 + cos 2𝑥 2 ) 𝑑𝑥 𝜋 𝜋 2 = 𝜋∫ [2 − 1 2 (1 − cos2 2𝑥)] 𝑑𝑥 𝜋 𝜋 2 = 𝜋∫ [2 − 1 2 (1 − 1 + cos 4𝑥 2 )] 𝑑𝑥 𝜋 𝜋 2 Sinh viên: Hoàng Lê Thu Hằng Lớp: Toán 4T - 8 - = 𝜋∫ ( 7 4 + 1 4 cos 4𝑥) 𝑑𝑥 𝜋 𝜋 2 = 𝜋 [( 7 4 𝑥 + 1 16 cos 4𝑥)| 𝜋 2 𝜋 ] = 𝜋 [( 7𝜋 4 + 1 16 ) − ( 7𝜋 8 + 1 16 )] = 7𝜋2 8 Vậy: 𝑉 = 7𝜋2 8 (đvtt). Phân tích: Để giải được bài tập này, đầu tiên học sinh phải hiểu và nhớ được công thức tính thể tích khối tròn xoay được tạo thanh khi quanh một phần hình phẳng quanh trục 𝑂𝑥. Nhận thấy rằng hàm số dưới dấu tích phân là một hàm lượng giác, nên học sinh cần phải có kỹ năng biến đổi và nhớ các công thức lượng giác, các tính chất cơ bản để đơn giản hóa phép tính tích phân. Ngoài ra, học sinh cần phải có đầy đủ các kiến thức cơ bản về nguyên hàm của các làm lượng giác cơ bản để tránh nhầm lẫn dẫn đến sai sót. Câu hỏi trắc nghiệm: Câu 1: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục trên đoạn [𝑎; 𝑏]. Gọi H là phần tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥), trục hoành và hai đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏. Khi xoay H quanh trục 𝑂𝑥 ta thu được một khối tròn xoay. Hãy tính thể tích 𝑉 của khối tròn xoay này. A. 𝑉 = ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 𝑏 𝑎 . B. 𝑉 = 𝜋∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 𝑏 𝑎 . C. 𝑉 = ∫ 𝑓2(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 . D. 𝑉 = 𝜋∫ 𝑓2(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 . Đáp án: D. Học sinh thường hay nhầm lẫn giữa hai công thức tính diện tích hình phẳng và tính thể tích khối tròn xoay bằng tích phân nên chọn sai công thức để làm bài (phương án nhiễu A, B). Đối Sinh viên: Hoàng Lê Thu Hằng Lớp: Toán 4T - 9 - với bài toán thể tích, một sai lầm học sinh hay gặp đó chính là quên nhân kết quả tích phân với số 𝜋 (phương án nhiễu A, C). Câu 2: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào sai? A. cos 2𝑥 = 2 cos2−1. B. cos 2𝑥 = 1 − 2 sin2 𝑥. C. cos 2𝑥 = sin2 𝑥 − cos2 𝑥. D. cos 2𝑥 = cos2 𝑥 − sin2 𝑥. Đáp án: C. Câu 3: Với 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ và 𝑎 ≠ 0, cho các biểu thức: (1) ∫ sin(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 = −cos(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ. (2) ∫ cos(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 = 1 𝑎 sin(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ. (3) ∫ 1 cos2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(tan2 𝑥 + 1)𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ. (4) ∫ 1 sin2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(cot2 𝑥 + 1)𝑑𝑥 = cot 𝑥 + 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ. Trong các biểu thức trên, có bao nhiêu biểu thức đúng? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Đáp án: C. (Hai biểu thức đúng là (2) và (3)). Khi tính nguyên hàm ∫ 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 , học sinh thường thiếu giá trị 1 𝑎 (phương án nhiễu (1)). Học sinh nhầm lẫn về dấu của các nguyên hàm chứa sin 𝑥 và cos 𝑥 (phương án nhiễu (4)). Câu 4: Khi tính tích phân 𝐼 = ∫ sin3 𝑥 𝜋 𝜋 2 cos2 𝑥 𝑑𝑥, một học sinh làm như sau: Bước 1: 𝐼 = ∫ sin3 𝑥 𝜋 𝜋 2 cos2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ cos2 𝑥 𝜋 𝜋 2 (1 − cos2 𝑥) sin 𝑥 𝑑𝑥 Bước 2: Đặt 𝑡 = cos 𝑥 ⟹ 𝐼 = ∫ 𝑡2(1 − 𝑡2)𝑑𝑡 −1 0 = ∫ (𝑡2 − 𝑡4)𝑑𝑡 −1 0 Sinh viên: Hoàng Lê Thu Hằng Lớp: Toán 4T - 10 - Bước 3: 𝐼 = ( 𝑡3 3 − 𝑡5 5 )| 0 −1 = − 2 15 . Bài làm của học sinh đó đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào? A. Đúng B. Sai từ Bước 1. C. Sai từ Bước 2. D. Sai từ Bước 3. Đáp án: C. Học sinh thường mắc sai lầm về đạo hàm của sin 𝑥 và cos 𝑥 dẫn đến việc làm bài, tính toán sai và đưa ra kết quả chưa chính xác (phương án nhiễu A).