Tính liên tục của hàm gap cho bài toán bất đẳng thức tựa biến phân loại Minty

420 TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM GAP CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TỰA BIẾN PHÂN LOẠI MINTY SV. Ngô Thị Hoài An ThS. Nguyễn Văn Hưng ThS. Võ Minh Tâm Tóm tắt. Trong bài viết này, chúng tôi xét bài toán bất đẳng thức tựa biến phân véctơ yếu hỗn hợp phụ thuộc tham số loại Minty và xây dựng hàm gap tham số cho bài toán này. Sau đó, chúng tôi thiết lập các tính nửa liên tục dưới, nửa liên tục trên và liên tục cho hàm gap tham số này. Các kết quả của chúng tôi là cải thiện và mở rộng một số kết quả của Lalitha và Bhatia [J. Optim. Theory Appl. 148 (2011), 281-300]. 1. Mở đầu Lý thuyết tối ưu là một trong lĩnh vực kinh điển của Toán học có nhiều ảnh hưởng đến nhiều lĩnh vực khoa học công nghệ, kinh tế và xã hội. Trong những năm gần đây, lý thuyết tối ưu phát triển rất mạnh mẽ với rất nhiều công trình nghiên cứu về nhiều hướng khác nhau của nhiều tác giả trong và ngoài nước. Những hướng nghiên cứu trên các loại bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng được khai thác rất sâu sắc, chẳng hạn như tính đóng, tính compắc, tính ổn định bao gồm các loại nửa liên tục dưới, nửa liên tục trên, liên tục, sự tồn tại và các loại hội tụ cho tập nghiệm,... Bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ trong không gian Ơclít hữu hạn chiều đã được giới thiệu lần đầu tiên bởi Giannessi [6]. Về sau, có rất nhiều tác giả đã mở rộng và nghiên cứu cho bài toán này trong những không gian khác nhau. Tính ổn định nghiệm cho các loại bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ cũng rất được quan tâm với rất nhiều công trình nghiên cứu đã được công bố.Có rất nhiều công cụ nghiên cứu tính ổn định nghiệm, trong đó công cụ hàm gap tỏ ra khá hiệu quả. Khái niệm hàm gap được giới thiệu đầu tiên bởi Auslender (1976) và được sử dụng cho việc khảo sát sự tồn tại nghiệm cho bài toán tối ưu, xem [1]. Ngoài ra, hàm gap cũng được sử dụng rất hiệu quả để xét tính ổn định và đặt chỉnh của tập nghiệm hay tính toán biên sai (error bound) cho bài toán tối ưu tham số và sau đó được rất nhiều tác giả mở rộng đến các loại bài toán khác nhau về bất đẳng thức biến phân và cân bằng, xem [4,5,7,9-13,17] và các tài liệu có liên quan khác. Đặc biệt, trong [12] Lalitha và Bhatia đã sử dụng hàm gap để nghiên cứu tính ổn định cho bài toán bất đẳng thức tựa biến phân vô hướng phụ thuộc tham số loại Minty. Bởi những ứng dụng hiệu quả của hàm gap trong việc nghiên cứu tính ổn định của tập nghiệm cho các loại bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân và cân bằng trong những tài liệu giới thiệu trên và động lực nghiên cứu từ [12], trong bài viết này, chúng tôi sẽ xây dựng hàm gap tham số cho một loại bài toán bất đẳng thức tựa biến phân véctơ yếu hỗn hợp phụ thuộc tham số loại Minty (viết tắt, (MQVIP)). Đồng thời, các tính nửa liên tục và liên tục của hàm gap tham số cũng được khảo sát. Các kết quả của chúng tôi là cải thiện và mở rộng so với những kết quả nghiên cứu trong [12]. Trong mục tiếp theo, chúng tôi thiết lập bài toán (MQVIP) và trình bày một số kiến thức cơ bản liên quan đến những kết quả tiếp theo. Trong Mục 3, hàm gap tham số được xây dựng cho bài toán (MQVIP), các tính chất về nửa liên tục và liên tục của hàm gap tham số cũng được xem xét. Những nhận xét kết luận và các hướng nghiên cứu tiếp tục cho những kết quả trong bài viết này được trình bày trong Mục 4. 421 2. Giới thiệu bài toán và những kiến thức cơ bản Lấy X là một không gian véctơ tôpô Hausdorff và  là một không gian tôpô Hausdorff. Cho ( , )nL X R là không gian của tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào nR và ( , ): 2 , : 2 nX L XK X T X  R là các ánh xạ đa trị, :g X X X  và : nf X X  R là các ánh xạ đơn trị, liên tục. Ký hiệu ,z x  là giá trị của toán tử tuyến tính ( , )nz L X R tại x X , ta luôn giả sử rằng .,.  là liên tục. Với  , chúng ta xét bài toán bất đẳng thức tựa biến phân véctơ yếu hỗn hợp phụ thuộc tham số loại Minty sau: (MQVIP) Tìm ( , )x K x  sao cho , ( , , ) ( , , ) int , ( , ), ( , ). nz g y x f y x y K x z T y           R Trong đó chúng ta ký hiệu số không âm và phần trong của số không âm của nR bởi 1 2= { = ( , ,..., ) | 0, = 1,2,..., } n n n it t t t t i n    R R và 1 2int = { = ( , ,..., ) | > 0, = 1,2,..., } n n n it t t t t i n   R R ở đây  được ký hiệu là chuyển vị. Với mỗi   , chúng ta đặt ( ) :={ | ( , )}E x X x K x   và : 2X  là ánh xạ đa trị, sao cho ( ) là tập nghiệm của (MQVIP). Trong suốt bài viết này chúng tôi luôn giả sử rằng ( )  với mỗi  trong lân cận 0  . Tiếp theo trong mục này, chúng ta gọi lại một số định nghĩa và tính chất của chúng đã được trình bày trong [2, 3]. Trước hết, chúng ta sẽ nghiên cứu các khái niệm nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới theo nghĩa Berge. Giả sử X và Y là hai không gian tôpô Hausdorff. Ðịnh nghĩa 2.1 (a) Ánh xạ đa trị : 2YF X  được gọi là B -nửa liên tục dưới (gọi tắt là B -lsc) tại 0x nếu với mọi tập mở V Y thỏa 0( )F x V  tồn tại lân cận U của 0x sao cho ( )F U V  . (b) Ánh xạ đa trị : 2YF X  được gọi là B -nửa liên tục trên (gọi tắt là B -usc) tại 0x nếu với mọi lân cận V của 0( )F x tồn tại lân cận U của 0x sao cho ( )F U V . (c) Nếu (a) (tương ứng (b)) thỏa với mọi 0x domF thì ta nói rằng F là B -lsc (tương ứng B -usc). (d) F được gọi là B -liên tục nếu và chỉ nếu nó là B -lsc và là B -usc. Trong đó, domF kí hiệu cho miền hiệu quả của F và được xác định := { | ( ) }.domF x X F x  422 Mệnh đề 2.2 Cho ánh xạ đa trị : 2YF X  . Nếu F có giá trị compắc, thì F là usc tại 0x khi và chỉ khi, với mỗi lưới { }x X  hội tụ về 0x và với mỗi lưới { } ( )y F x  , tồn tại ( )y F x và một lưới con { }y của { }y sao cho .y y  Mệnh đề 2.3 Cho : 2YG X  là một ánh xạ đa trị và :W X Y R là một hàm giá trị thực. Nếu W là liên tục trên X Y và G là B -liên tục với giá trị compắctrên X thì ( ) ( ) := ( , )max y G x V x W x y  liên tục trên X . Ðịnh nghĩa 2.4 Một ánh xạ đơn trị :f X R được gọi là nửa liên tục dưới (tương ứng trên) nếu với mỗi r R tập mức { | ( ) }x X f x r  (tương ứng { | ( ) }x X f x r  ) là đóng. f được gọi là liên tục nếu và chỉ nếu nó là nửa liên tục dưới và là nửa liên tục trên. 3. Kết quả chính Trong mục này, chúng tôi xây dựng hàm gap tham số cho bài toán (MQVIP). Ðồng thời, các tính nửa liên tục và liên tục của hàm gap tham số cũng được khảo sát. Ðịnh nghĩa 3.1 Hàm số :h X R được gọi là hàm gap phụ thuộc tham số (hay hàm gap tham số) của bài toán (MQVIP) nếu nó thỏa mãn các tính chất sau: (a) ( , ) 0h x   với mọi ( )x E  , (b) 0 0( , ) = 0h x  khi và chỉ khi 0 0( )x  . Bây giờ chúng ta giả sử rằng ( , )K x  và ( , )T y  là các tập compắc với mọi ( , )x X  và ( , )y X   . Chúng ta định nghĩa hàm số :h X R như sau ( , ) ( , ) 1 ( , ) = { ( , ( , , ) ( , , )) }, ( ),max max max i z T y y K x i n h x z g y x f y x x E                (1) trong đó ( , ( , , ) ( , , ))iz g y x f y x    là thành phần thứ i của , ( , , ) ( , , )z g y x f y x    , = 1,2,..., .i n Vì ( , )K x  và ( , )T y  là các tập compắc, nên ( , )h x  xác định. Sau đây chúng tôi luôn giả sử rằng ( , , ) = ( , , ) = 0g x x f x x  , với mọi ( )x E  . Ðịnh lí 3.2 Hàm số ( , )h x  được định nghĩa bởi phương trình (1) là một hàm gap tham số của bài toán (MQVIP). Chứng minh. Chúng ta định nghĩa một hàm số : ( , )nh X L X R R như sau: ( , ) 1 ( , , ) = { ( , ( , , ) ( , , )) }, ( ), ( , ).max max i y K x i n h x z z g y x f y x x E z T y                (a) Ta dễ dàng thấy rằng ( , , ) 0h x z   , ( ), ( , ),x E z T y        . Cho 0  và giả sử ngược lại rằng tồn tại 0 0( )x E  , 0 0( , )z T y  sao cho 423 0 0 0( , , ) < 0h x z  , thì 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) 1 0 > ( , , ) = { ( , ( , , ) ( , , )) },max max i y K x i n h x z z g y x f y x            0 0 0 0 0 0 0 1 { ( , ( , , ) ( , , )) }, ( , ).max i i n z g y x f y x y K x            Điều này là không thể khi ta lấy 0=y x . Do đó, ( , ) 1 ( , , ) = { ( , ( , , ) ( , , )) } 0, ( ), ( , ).max max i y K x i n h x z z g y x f y x x E z T y                   Do đó, với bất kì ( , )z T y  , ta có ( , ) ( , ) 1 ( , ) = { ( , ( , , ) ( , , )) } 0.max max max i z T y y K x i n h x z g y x f y x               (b) Từ định nghĩa của hàm số (.,.)h , 0 0( , ) = 0h x  khi và chỉ khi với bất kỳ 0 0( , )y K x  và 0( , )z T y  , 0 0 0 0 1 ( , ( , , ) ( , , )) 0,max i i n z g y x f y x         hoặc 0 0 0 0 0 0 0 1 ( , ( , , ) ( , , )) 0, ( , ), ( , )max i i n z g y x f y x y K x z T y              do đó, tồn tại một chỉ số 01 i n  , 0 0 0 0 0 0 00 ( , ( , , ) ( , , )) 0, ( , ), ( , )iz g y x f y x y K x z T y           tương đương với 0 0 0 0 0 0 0, ( , , ) ( , , )) int , ( , ), ( , ). nz g y x f y x R y K x z T y            Điều này có nghĩa là, 0 0( )x  . W Ví dụ 3.3 Lấy 2 2, 1, = [1,2], ( , ) = [0, ], ( , ) = [1,1 ]X n K x T y y      R và ( , , ) = , ( , , ) = 0g y x y x f y x  . Bây giờ ta xét bài toán (MQVIP), tìm ( , )x K x  sao cho , ( , , ) ( , , ) = ( ) 0, ( , ), ( , ).z g y x f y x z y x y K x z T y            Tính toán ra ta được ( ) ={0} với mọi [1,2]  . Bây giờ ta chứng tỏ ( , )h x  là một hàm gap tham số của (MQVIP). Thật vậy, ta có ( , ) ( , ) 1 ( , ) = [ , ( , , ) ( , , )]max max max i z T y y K x i n h x z g y x f y x                   ( , ) ( , ) = { ( )}max max z T y y K x z x y     ( , ) = ( 0)max z T y z x   424 2 2[1,1 ] = max z y zx   2 2 0 khi = 0 ( ) = khi (0, ]. x x xy x        Do đó, ( , )h x  là một hàm gap tham số của bài toán (MQVIP). Ví dụ 3.4 Lấy = , = 2, = [0,1]X n R , ( , ) = [ ,0],K x   1 1 ( , ) = , 2 2 T y              và ( , , ) = , ( , , ) = 0g y x y x f y x  . Bây giờ ta xét bài toán (MQVIP), tìm ( , )x K x  sao cho 2 1 1 , ( , , ) ( , , ) = ( ), ( ) int , ( , ). 2 2 z g y x f y x y x y x y K x                      R Dễ dàng tính toán được ( ) ={ }   . Bây giờ ta chứng tỏ ( , )h x  là một hàm gap tham số của (MQVIP). Thật vậy, ta có ( , ) ( , ) 1 ( , ) = [ , ( , , ) ( , , )]max max max i z T y y K x i n h x z g y x f y x                   ( , ) 1 1 = max ( ), ( )max 2 2y K x y x y x                   [ ,0] 1 = ( )max 2y x y               0 khi = ( ) = 1 ( ) khi ( ,0]. 2 x x x                  Do đó, ( , )h x  là một hàm gap tham số của bài toán (MQVIP). Nhận xét 3.5 Nếu , ( , , ) = 0mX f y x  R , ( , , ) = , 1g y x y x n   , thì bài toán (MQVIP) dần về bài toán bất đẳng thức tựa biến phân vô hướng phụ thuộc tham số loại Minty (viết tắt, (MVI)) được xét trong [12] như sau: (MVI) Tìm ( , )x K x  sao cho , 0, ( , ), ( , ).z y x y K x z T y         Khi đó hàm gap tham số cho bài toán (MVI) trong [12] là một trường hợp đặc biệt của hàm gap ( , )h x  của chúng tôi. 425 Ðịnh lí 3.6 Xét bài toán (MQVIP). Nếu các điều kiện sau đây xác định: (i) (.,.)K là B - nửa liên tục dưới trên X  ; (ii) (.,.)T là B - nửa liên tục dưới trên X  . Thì (.,.)h là nửa liên tục dưới trên X  . Chứng minh. Cho r R và giả sử rằng {( , )}x X    thỏa mãn ( , ) ,h x r    và 0 0( , ) ( , ) khix x     , ta phải chứng tỏ rằng 0 0( , )h x r  . Thật vậy, từ ( , )h x r   ta có ( , ) ( , ) 1 ( , ( , , ) ( , , ))max max max i z T y y K x i n z g y x f y x r                         và do đó 1 ( , ( , , ) ( , , )) , ( , ), ( , ).max i i n z g y x f y x r y K x z T y                     (2) Vì (.,.)K là B -nửa liên tục dưới trên X  , nên với mọi 0 0 0( , )y K x  , tồn tại ( , )y K x   sao cho 0y y  khi   . Do (.,.)T là B - nửa liên tục dưới trên X  nên với mọi 0 0 0( , )z T y  , tồn tại ( , )z T y   sao cho 0z z  khi   . Vì ( , )y K x   và ( , )z T y   nên từ (2) suy ra 1 ( , ( , , ) ( , , )) .max i i n z g y x f y x r               (3) Do (.,.,.)f , (.,.,.)g và .,.  là liên tục, nên 1{ ( , ( , , ) ( , , )) }max i n iz g y x f y x      cũng liên tục. Do đó, ta có thể lấy giới hạn trong (3) và có được 0 0 0 0 0 0 0 1 ( , ( , , ) ( , , )) .max i i n z g y x f y x r         (4) Do 0 0 0( , )y K x  và 0 0 0( , )z T y  là tùy ý, nên từ (4) suy ra 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) 1 ( , ) = ( , ( , , ) ( , , )) .max max max i z T y y K x i n h x z g y x f y x r                    Ðiều này chứng tỏ rằng, với r R , thì tập mức {( , ) | ( , ) }x h x r   là đóng. Do đó, (.,.)h là nửa liên tục dưới trên X  . W Nhận xét 3.7 Trong trường hợp đặc biệt như Nhận xét 3.5. Bổ đề 4.1 trong [12] là trường hợp đặc biệt của Định lí 3.6. Tuy nhiên phương pháp chứng minh Định lí 3.6 của chúng tôi là khác phương pháp chứng minh Bổ đề 4.1 trong [12]. Ðịnh lí 3.8 Xét bài toán (MQVIP). Nếu các điều kiện sau đây xác định: (i) (.,.)K là B -liên tục với giá trị compắc trên X  ; (ii) (.,.)T là B -liên tục với giá trị compắc trên X  . Thì (.,.)h là liên tục trên X  . 426 Chứng minh. Từ kết quả của Ðịnh lí 3.6, (.,.)h là nửa liên tục dưới trên X  . Do đó, để chứng minh (.,.)h là liên tục trên X  , ta chỉ cần chứng minh rằng (.,.)h là nửa liên tục trên trên X  . Thật vậy, ta lấy .rR Giả sử rằng {( , )}x X    thỏa mãn ( , ) ,h x r    và 0 0( , ) ( , ) khix x     . Chúng ta sẽ chứng minh 0 0( , )h x r  . Vì ( , ) ,h x r    , ta có ( , ) ( , ) 1 ( , ( , , ) ( , , )) .max max max i z T y y K x i n z g y x f y x r                        Xét lại hàm ( , , )h x z  được định nghĩa như trong phần đầu chứng minh của Ðịnh lí 3.2 như sau ( , ) 1 ( , , ) = ( , ( , , ) ( , , )) , ( ), ( , ).max max i y K x i n h x z z g y x f y x x E z T y                     Vì (.,.,.)f , (.,.,.)g và .,.  là liên tục, ta có 1{ ( , ( , , ) ( , , )) }max i n iz g y x f y x      là liên tục, và cũng do (.,.)K là B -liên tục với giá trị compắc trên X  . Vì vậy, theo Mệnh đề 2.3, ta có thể suy ra rằng ( , , )h x z  là liên tục. Từ tính compắc của ( , )T y  , tồn tại ( , )z T y  sao cho ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ( , , ) ( , , ))max max max i z T y y K x i n h x z g y x f y x                           = ( , , )h x z   ( , ) 1 = ( , ( , , ) ( , , )) .max max i y K x i n z g y x f y x r                      Từ tính compắc của ( , )K x  , tồn tại ( , )y K x   sao cho 1 ( , ( , , ) ( , , )) .max i i n z g y x f y x r               (5) Vì (.,.)K là B -nửa liên tục trên với giá trị compắc trên X  , tồn tại 0 0 0( , )y K x  sao cho 0y y  (có thể lấy một lưới con { }y của { }y nếu cần thiết) khi   . Vì (.,.)T là B - nửa liên tục trên với giá trị compắc trên X  , tồn tại 0 0 0( , )z T y  sao cho 0z z  (có thể lấy một lưới con { }z của { }z nếu cần thiết) khi .  Do 1{ ( , ( , , ) ( , , )) }max i n iz g y x f y x      là liên tục. Lấy giới hạn trong (5), ta có 0 0 0 0 0 0 0 1 ( , ( , , ) ( , , )) .max i i n z g y x f y x r         427 Vì vậy, với bất kì 0 0( , )y K x  và 0( , )z T y  , ta có 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) 10 0 0 ( , ) = ( , ( , , ) ( , , )) .max max max i z T y y K x i n h x z g y x f y x r                    Ðiều này chứng tỏ rằng, với r R , tập mức {( , ) | ( , ) }x h x r   là đóng. Do đó, (.,.)h là nửa liên tục trên trên X  . W Nhận xét 3.9 Trong [12], Lalitha và Bhatia chỉ xét tính nửa liên tục dưới của hàm gap cho bài toán (MVI). Tuy nhiên các tác giả chưa xét tính nửa liên tục trên và tính liên tục cho hàm gap tham số. Vì vậy, Ðịnh lí 3.8 của chúng tôi là mới. 4. Kết luận Trong bài viết này, chúng tôi đã thiết lập được một hàm gap tham số cho bài toán (MQVIP) (xem Định lí 3.2). Đồng thời, các tính nửa liên tục và liên tục của hàm gap tham số cũng được xem xét (xem Định lí 3.6 và Định lí 3.8). Các kết quả của chúng tôi là cải thiện và mở rộng so với những kết quả về hàm gap trong [12]. Từ những kết quả trong bài viết này, trong thời gian tới chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu một số vấn đề còn đang mở, đó là: - Thiết lập các loại hàm gap tham số chính quy mới, từ đó xét các tính nửa liên tục và liên tục của chúng. Đồng thời, đi tìm biên sai dựa trên những hàm gap tham số chính quy đó trong thuật toán tìm nghiệm. - Khảo sát tính nửa liên tục dưới, tính nửa liên tục dưới Hausdorff, tính liên tục và tính liên tục Hausdorff của tập nghiệm bài toán (MQVIP). Tài liệu tham khảo [1]. A. Auslender, Optimization: Méthods Numériques, Masson, Paris, France (1976). [2]. J.P. Aubin, I. Ekeland, Applied Nonlinear Analysis, John Wiley and Sons, New York, (1984). [3]. C. Berge, Topological Spaces, Oliver and Boyd, London (1963). [4]. G.Y. Chen, C.J. Goh, X.Q. Yang, On Gap Functions for Vector Variational Inequalities, Non. Optim. Appl. 38 (2000), 55–72. [5]. C.R. Chen, S.J. Li, Z.M. Fang, On the solution semicontinuity to a parametric generalized vector quasivariational inequality, Comput. Math. Appl. 60 (2010), 2417–2425. [6]. F. Giannessi, Theorems of alternative, quadratic programmes and complementarity problems, in: R. W. Cottle, F. Giannessi, J. L. Lions (Eds.), Variational Inequalities and Complementarity Problems, Wiley, Chichester, (1980), 151-186. [7]. F. Giannessi, On some connections among variational inequalities, combinatorial and continuous optimization, Annals of Operations Research 58 (1995), 181–200. [8]. D.W. Hearn, The gap function of a convex program, Operations Research Letter 1(1982), 67–71. 428 [9]. N.V. Hung, Stability of a solution set for parametric generalized vector mixed quasivariational inequality problem, J. Inequal. Appl. 276 (2013), 1–13. [10]. N.V. Hung, L.H.M. Van, V.M. Tam, On the semicontinuity of solution sets for parametric vector quasi-variational inequality problems, J. Sci. Hue Univ. 96 (2014), 71–85. [11]. B.T. Kien, On the lower semicontinuity of optimal solution sets, Optimization, 54(2005), 123-130. [12]. C.S. Lalitha, G. Bhatia, Stability of parametric quasivariational inequality of the Minty type, J. Optim. Theory Appl. 148(2011), 281-300. [13]. J. Li, Z.Q. He, Gap functions and existence of solutions to generalized vector variational inequalities, Appl. Math. Lett. 18(2005), 989–1000. [14]. S.J. Li and C.R. Chen, Stability of weak vector variational inequality problems, Nonlinear Anal. TMA 70 (2009), 1528–1535. [15]. R.T. Rockafellar, R.J. Wets, Variational analysis, Springer, Berlin (1998). [16]. N. Ð. Yên, Giáo trình giải tích đa trị, NXB Khoa học tự nhiên và công nghệ (2007). [17]. J. Zhao, The lower semicontinuity of optimal solution sets, J. Math. Anal. Appl. 207(1997), 240-254.