Toán học - Chương 3: Các quy luật phân phối xác suất thông dụng

Chương 3 CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG §1. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC VÍ DỤ MỞ ĐẦU TUNG MỘT XÚC XẮC 4 LẦN TÍNH XÁC SUẤT ĐỂ MẶT 6 XUẤT HIỆN 3 LẦN DÃY PHÉP THỬ BERNOULLI Dãy n phép thử được gọi là dãy phép thử Bernoulli nếu thỏa mãn các điều kiện sau: • n phép thử độc lập • Mỗi phép thử có 2 kết cục A, • Xác suất để biến cố A xảy ra trong mỗi phép thử là như nhau và bằng p A DÃY PHÉP THỬ BERNOULLI Bài toán Gọi X là số lần biến cố A xảy ra trong n phép thử. Tính xác suất P(X = k) (k = 0, 1, 2, , n) Gọi Ai là biến cố “biến cố A xảy ra trong phép thử thứ i”  Để dễ hình dung vấn đề, ta xét trường hợp n = 3  Đặt q = 1 – p DÃY PHÉP THỬ BERNOULLI 1A A1 q A1 p p q p q p q p q p q p q 1A VÍ DỤ (Áp dụng công thức cộng cho các biến cố xung khắc từng đôi) (Áp dụng công thức nhân cho các biến cố độc lập)         1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 P(X 2) P A A A A A A A A A P A A A P A A A P A A A              1 2 3 1 2 3 1 2 3 P(A )P(A )P A P(A )P A P(A ) P A P(A )P(A )    PHÂN PHỐI NHỊ THỨC P(X=2) = 3p2 (1 – p) Tổng quát k k n k nP(X k) C p (1 p)    ĐỊNH NGHĨA Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối nhị thức với tham số n, p (0 < p < 1 , n là số nguyên dương) , ký hiệu là , nếu tập các giá trị có thể có của X là {0, 1, 2, , n} với xác suất tương ứng k = 0, 1, , n k k n k nP(X k) C p (1 p)    X B(n,p): PHÂN PHỐI NHỊ THỨC Định lý Nếu thì (a) E(X) = np (b) Var(X) = npq (q = 1 – p) (c) X B(n,p): (n 1)p 1 Mod(X) (n 1)p+ - £ £ + PHÂN PHỐI NHỊ THỨC Ví dụ 1 Một bài trắc nghiệm của một game show trên truyền hình có 6 câu hỏi, mỗi câu có 5 phương án trả lời trong đó chỉ có một phương án trả lời đúng. Một người làm bài trắc nghiệm này bằng cách chọn ngẫu nhiên 1 trong 5 phương án trả lời cho mọi câu hỏi. Tính xác suất để người này trả lời đúng ít nhất 3 câu. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC Ví dụ 2 Một cửa hàng có 5 lô sản phẩm. Mỗi lô có 10 sản phẩm trong đó có 9 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu. Một khách hàng chọn ngẫu nhiên từ mỗi lô ra 3 sản phẩm. Nếu lô hàng nào có 3 sản phẩm lấy ra đều là sản phẩm tốt thì mua lô hàng đó. Tính xác suất để có đúng 4 lô hàng được mua. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC Ví dụ 3 Một bài trắc nghiệm có 10 câu hỏi. Mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có một phương án trả lời đúng. Một sinh viên làm bài trắc nghiệm này bằng cách chọn ngẫu nhiên một trong 4 phương án trả lời cho mọi câu hỏi. Biết rằng mỗi câu trả lời đúng được 2 điểm, mỗi câu trả lời sai bị trừ 1 điểm. Tính xác suất để sinh viên này được 14 điểm. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC Ví dụ 4 Một phân xưởng có 50 máy hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để mỗi máy bị hỏng trong một ca sản xuất là 0,09 a) Tính xác suất để trong một ca sản xuất có trên 90% máy không bị hỏng. b) Tìm số máy bị hỏng trung bình và số máy bị hỏng tin chắc nhất trong một ca sản xuất. §2. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI Ví dụ mở đầu Một lô hàng có 10 sản phẩm trong đó có 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng này ra 3 sản phẩm. Tính xác suất để trong 3 sản phẩm được lấy ra có 2 sản phẩm tốt Định nghĩa Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối siêu bội với tham số N, M, n (N, M, n ∈ N và 0 < M < N , 0 < n < N) , ký hiệu là , nếu tập hợp các giá trị có thể có của X là các số tự nhiên k thỏa mãn với xác suất tương ứng X H(N,M,n): max{0;n (N M)} k min{n,M}- - £ £ k n k M N M n N C .C P(X k) C - -= = §2. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI Định lý Nếu thì  E(X) = np ( ; q = 1 – p)  X H(N,M,n): M p N = N n Var(X) npq N 1 - = - §2. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI Ví dụ Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 8 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ lô hàng này. Gọi X là số sản phẩm tốt trong 2 sản phẩm được lấy ra. §2. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI  Quy luật phân phối xác suất của X được biểu thị bởi bảng X 0 1 2 P 28 45 16 45 1 45 VÍ DỤ Var(X) = 0,28444 8 E(X) 2. 1,6 10 = = §2. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI Ví dụ Một lô hàng có 100 sản phẩm, trong đó có 90 sản phẩm tốt. Lấy ngẫu nhiên 15 sản phẩm từ lô hàng này. Tìm số sản phẩm tốt trung bình và phương sai của số sản phẩm tốt trong 15 sản phẩm được lấy ra. §2. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI ►Sử dụng hàm trong Excel Để tính P(X = x), ta dùng =HYPGEOMDIST(x,n,M,N) Ví dụ: =HYPGEOMDIST(1, 2, 8, 10) cho 0.355556 ; P(X = 1) 0,356 X H(N,M,n): X H(10,8,2): » §2. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI Ta có thể xấp xỉ phân phối H(N,M,n) bởi phân phối B(n,p) với khi khá nhỏ. Xấp xỉ khá tốt khi M p N = n N n 0,05 N < §2. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI Ví dụ Ta tính P(X=3) cho 0.419053 cho 0.4096 X H(100, 80, 4): = HYPGEOMDIST(3, 4, 80, 100) = BINOMDIST(3, 4, 0.8, 0) §3. PHÂN PHỐI POISSON Định lý (Giới hạn Poisson) Nếu sao cho và vẫn là hằng số thì với mọi số nguyên không âm k ta có: n ® ¥ p 0®   np k k k n k n n e limC p (1 p) k !       ĐỊNH NGHĨA Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson với tham số ( > 0), ký hiệu là nếu tập các giá trị có thể có của X là {0, 1, 2, } (tập các số tự nhiên N) với xác suất tương ứng k = 0, 1, 2,   X P: ( ) k P(X k) e k !    §3. PHÂN PHỐI POISSON Định lý Nếu thì (a) E(X) = (b) Var(X) = (c) X P: ( )       1 Mod(X) §3. PHÂN PHỐI POISSON Ví dụ Mỗi chuyến xe người ta chở được 1250 chai dược phẩm. Xác suất để một chai bị vỡ khi vận chuyển là 0,004. Tính xác suất để có ít nhất 2 chai bị vỡ khi vận chuyển. §3. PHÂN PHỐI POISSON Gọi X là số chai dược phẩm bị vỡ khi vận chuyển.  Ta xem  Vì n = 1250 khá lớn, p = 0,004 khá nhỏ, np = 5, ta có thể xấp xỉ  Xác suất cần tìm X B(1250; 0,004): X P(5): P(X 2) = 1- P(X < 2) = 0,959572 NHẬN XÉT ►Nếu dùng =BINOMDIST(1,1250,0.004,1) cho 0.040158 Khi đó P(X 2) 1 0,040158 = 0,959842    §3. PHÂN PHỐI POISSON Ví dụ Một công ty dịch vụ qua điện thoại (hoạt động thường trực) nhận được trung bình 300 lần gọi đến trong một giờ. a) Tìm xác suất để công ty đó nhận được đúng 1 lần gọi đến trong 1 phút cho trước. b) Tìm xác suất để công ty đó nhận được đúng 5 lần gọi trong 3 phút. c) Tìm xác suất để trong 3 phút liên tiếp, mỗi phút công ty đó nhận được ít nhất một lần gọi đến. §4. PHÂN PHỐI CHUẨN 1. ĐỊNH NGHĨA 2. ĐỊNH LÝ 3. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT ĐỂ ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN X CÓ PHÂN PHỐI CHUẨN NHẬN GIÁ TRỊ THUỘC KHOẢNG (a, b) NHẬN XÉT X B(60; 0,3): 1. ĐỊNH NGHĨA  Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối chuẩn với hai tham số và nếu hàm mật độ của X là trong đó là hằng số, là hằng số dương.  Ký hiệu: m 2σ 2 2 (x ) 2 1 f (x) e 2      m  2X N( , )m s: NHẬN XÉT (1/2) Trường hợp ta nói X có phân phối chuẩn chuẩn hóa.  Đồ thị y = f(x) nhận đường thẳng làm trục đối xứng, trục hoành là tiệm cận ngang.  Điểm cực đại của đồ thị là X N(0,1): x = m 1 , 2 æ ö ç ÷mç ÷ç ÷è øs p NHẬN XÉT (2/2)  Hoành độ của hai điểm uốn lần lượt là , m- s m+ s 2 2 (x ) 2 1 e dx 1 2         2. ĐỊNH LÝ Nếu thì (a) (b) (c) 2X N( , ): m s E(X) = m 2Var(X) = s Mod(X) = m 0 y xm- s m+ sm 3. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT  Giả sử  Theo tính chất của hàm mật độ  Đặt 2X N( , ): m s 2 2 (x )b 2 a 1 P(a X b) e dx 2         x t     3. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT  Áp dụng công thức đổi biến số ta được Trong đó b a P(a X b)                   2x t 2 0 1 (x) e dt 2      Các tính chất đơn giản   Khi x > 4 thì ( x) (x)    (x) (4) 0,5    PHÂN PHỐI CHUẨN Ví dụ Lợi nhuận của một nhà đầu tư là đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình = 500 và độ lệch chuẩn = 15 (đơn vị tính: triệu đồng). Tính xác suất để lợi nhuận của nhà đầu tư này ở trong khoảng (485; 530)   PHÂN PHỐI CHUẨN Ví dụ Trọng lượng của một loại trái cây là đại lượng ngẫu nhiên (đơn vị: g). Trái được xem là thuộc loại I nếu có trọng lượng lớn hơn 180g. Tính tỷ lệ trái loại I. 2X N(150,40 ):