Toán học - Chương 7: Ước lượng tham số

CHƯƠNG 7ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ1Khái niệm về ước lượng điểmVấn đề quan tâm: mức chi tiêu trung bình hàng tháng của sinh viên khóa 54 là???Chọn mẫu ngẫu nhiên 10 sinh viên. Giả sử ta có kết quả sau:2,3 2,5 3 2,7 1,94 3,2 4,3 2,9 3,7Nếu ta cần đưa ra một giá trị để đại diện cho mức chi tiêu trung bình của toàn trường thì nên chọn là bao nhiêu?2Khái niệm về ước lượng_ Tổng quátVấn đề quan tâm: mức chi tiêu trung bình hàng tháng của sinh viên khóa 54 là???Chọn mẫu ngẫu nhiên n sinh viên. Giả sử ta có kết quả sau:x1 x2 x3 x4 x5 xnNếu ta cần đưa ra một giá trị để đại diện cho mức chi tiêu trung bình của toàn trường thì nên chọn là bao nhiêu?Nhớ xi là các bnn có cùng ppxs?3Ước lượng khoảngVấn đề quan tâm: mức chi tiêu trung bình hàng tháng của sinh viên khóa 54 là???Chọn mẫu ngẫu nhiên 10 sinh viên. Giả sử ta có kết quả sau:2,3 2,5 3 2,7 1,94 3,2 4,3 2,9 3,7Nếu ta cần đưa ra tìm một khoảng để mức chi tiêu trung bình của toàn trường có nhiều khả năng thuộc vào đó thì nên chọn như thế nào?4Khái niệm về ước lượng_ Tổng quátVấn đề quan tâm: mức chi tiêu trung bình hàng tháng của sinh viên khóa 54 là???Chọn mẫu ngẫu nhiên n sinh viên. Giả sử ta có kết quả sau:x1 x2 x3 x4 x5 xnNếu ta cần đưa ra một giá trị để đại diện cho mức chi tiêu trung bình của toàn trường thì nên chọn là bao nhiêu Nếu ta cần đưa ra tìm một khoảng để mức chi tiêu trung bình của toàn trường có nhiều khả năng thuộc vào đó thì nên chọn như thế nào?Nhớ xi là các bnn có cùng ppxs?5Nhắc lại thống kê mẫuThống kê mẫu: hàm của các bnn thành phần trong mẫu.Cho mẫu ngẫu nhiên: W=(X1;X2;Xn), thống kê mẫu có dạng: T=f(X1;X2;;Xn)Thống kê T cũng là một bnn.6Các thống kê mẫu thường dùngTrung bình mẫuPhương sai mẫuTỷ lệ mẫu7Ước lượng (estimator)Một ước lượng là một giá trị được tính toán trên một mẫu được lấy ngẫu nhiên.Giả sử ta có mẫu ngẫu nhiên: W=(X1;X2;Xn)Thì một ước lượng sẽ là một giá trị tính toán dựa trên các bnn của mẫu. Hay ta có thể biểu diễn như sau: T=f(X1;X2;;Xn)Ngắn gọn: một ước lượng là một thống kê mẫu.8Ước lượngTổng thể có tham số  chưa biết.Ta muốn xác định tham số này.Lấy một mẫu nn cỡ n.Từ mẫu này tìm cách xác định gần đúng giá trị của tham số  của tổng thể.Ước lượng điểm: dùng một giá trị.Ước lượng khoảng: dùng một khoảng.9Ước lượng điểmTổng thể có tham số chưa biết. Giả sử Từ mẫu ngẫu nhiên cỡ n đã chọn Hãy dùng 1 thống kê mẫu T để ước lượng cho  10Ước lượng điểmDùng một giá trị để thay thế cho giá trị của tham số  chưa biết của tổng thể.Giá trị này là giá trị cụ thể của một thống kê T nào đó của mẫu ngẫu nhiên.Cùng với một mẫu ngẫu nhiên có thể xây dựng được rất nhiều thống kê mẫu để ước lượng cho tham số .Ta dựa vào các tiêu chuẩn sau: không chệch, hiệu quả, vững 11Ước lượng điểmƯớc lượng hợp lý cực đạiƯớc lượng không chệchƯớc lượng hiệu quả nhấtƯớc lượng vững12Ước lượng không chệch (ƯLKC)Thống kê T=f(X1;X2;;Xn) gọi là ước lượng không chệch của tham số  nếu:Nếu E(T) thì ước lượng T gọi là một ước lượng chệch (ƯLC) của tham số .Độ chệch của ước lượng:13Ví dụ 1Trong chương 6 ta có:Vậy:14Ước lượng KC tốt hơnCho X, Y là hai ULKC của tham số . Có nghĩa là:Nếu:Thì Y là ước lượng tốt hơn X (do phương sai nhỏ hơn nên mức độ tập trung xung quanh tham số  nhiều hơn).15Ví dụ 1.Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, , Xn).a) CMR: các thống kê sau:đều là các ước lượng không chệch của .b) Trong các ước lượng trên ước lượng nào là tốt hơn.16Ước lượng hiệu quảThống kê T=f(X1;X2;;Xn) gọi là ước lượng hiệu quả của tham số  nếu:T là ULKC của V(T) nhỏ nhất so với mọi ULKC khác xây dựng trên cùng mẫu ngẫu nhiên trên.Ta thường dùng bất đẳng thức Crammer-Rao để đánh giá.17BĐT Cramer-RaoCho tổng thể có dấu hiệu nghiên cứu X là bnn có hàm mật độ xác suất dạng f(x,θ) và thỏa mãn một số điều kiện nhất định.Cho T là một ƯLKC của θ. Ta có: 18Ví dụ 2.Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, , Xn) lấy từ tổng thể có kì vọng  và phương sai 2. Xét 2 thống kê:a) CMR: cả 2 thống kê trên đều là các ước lượng không chệch của .b) Trong hai ước lượng trên ước lượng nào là tốt hơn.19Ví dụ 3Cho tổng thể có phân phối chuẩn N(μ;σ2). CMR: là ước lượng hiệu quả nhất của tham số μ.Giải.Dễ thấy là ước lượng không chệch và: Hàm ppxs của tổng thể:20Ví dụ 3Ta có:Và:21Ví dụ 3Theo bất đẳng thức Cramer-Rao ta có:Vậy thống kê là ƯLKC có phương sai nhỏ nhất trong các ước lượng không chệch của tham số μ của tổng thể22Các ULHQTa chứng minh được:23Ước lượng vữngCho thống kê T=f(X1;X2;;Xn)Thống kê T gọi là ước lượng vững của tham số θ nếu:Khi này ta nói thống kê T hội tụ theo xác suất đến tham số θ khi cỡ mẫu tiến về vô cùng. Để đánh giá ước lượng vững ta dùng BĐT Chebyshev (Trê bư sép).24Các ước lượng vữngTừ kết quả Chương 5, ta chứng minh được:25Tóm lạiTa có thể xấp xỉ các tham số trên bằng các thống kê mẫu trong thực hành, tính toán khi cỡ mẫu khá lớn.26Ôn tậpMột thống kê mẫu là một hàm của các biến ngẫu nhiên thành phần của mẫu và do đó nó là một biến ngẫu nhiên?Trung bình mẫu là ước lượng vững và hiệu quả của kỳ vọng của biến ngẫu nhiên gốc?Tổng của hai ước lượng không chệch là một ước lượng không chệch?Phương sai mẫu là ước lượng không chệch, hiệu quả của phương sai của bnn gốc?27Ước lượng khoảngGiả sử tổng thể có tham số  chưa biết. Dựa vào mẫu ngẫu nhiên ta tìm khoảng (a; b) sao cho: P(a 30Khoảng tin cậyHai phía:Chú ý: 33Độ chính xác, độ tin cậy, cỡ mẫuTa có:34Ví dụ 1Một nghiên cứu được thực hiện nhằm ước lượng thị phần của sản phẩm bánh kẹo nội địa đối với các mặt hàng bánh kẹo. Kết quả điều tra mẫu ngẫu nhiên 100 khách hàng thấy có 34 người dùng sản phẩm bánh kẹo nội địa. Hãy ước lượng tỷ lệ khách hàng sử dụng bánh kẹo nội địa với độ tin cậy 95%?Đ/S: từ 24,72% đến 43,28%. 35Ví dụ 2Một ks muốn ước lượng tỷ lệ khách có nhu cầu nghỉ nhiều hơn 1 ngày. Họ muốn có độ tin cậy 96% và sai số không quá 5%. Hỏi cần lấy mẫu thích hợp là bao nhiêuA. Nếu chưa có thông tin gì về phép ước lượng này.B. Nếu dựa vào tài liệu trước đây cho biết tỷ lệ này là 25%.36Phân phối của trung bình mẫu37Tổng thểTrung bình mẫuKích thước mẫuTùy ýKhông chuẩnn>30Không chuẩn nhưng đối xứng.Có thể được với n nhỏ.Chuẩn hóa ppxs38Tổng thểTB mẫuChuẩn hóaChuẩn,đã biết n>30,đã biết  n>30,chưa biết Chuẩn, n<30chưa biết Ước lượng cho Ta thông qua thống kê Z (vì đã có ppxs xác định).Với cùng độ tin cậy, tìm khoảng ước lượng cho Z.Giải bpt tìm ngược lại khoảng ước lượng cho tham số .39Khoảng tin cậy_th 1,2Khoảng tin cậy hai phía của μ:Kết quả:Chú ý:40Nhớ các khoảng tin cậy_th 3Trường hợp 3 ta thay  bằng s. Nguyên nhân: S là ước lượng không chệch, hiệu quả, vững, của .Chú ý: pp Student xấp xỉ với N(0,1)41Nhớ các khoảng tin cậy_th 4Trường hợp 4: phân phối Student và chưa biết . Do đó ta dùng S và dò giá trị tới hạn trong bảng t. 42Ví dụ 1Trong kho hàng xí nghiệp A có rất nhiều sản phẩm. Lấy nn 100 sp cân lên ta thấya) Các sp từ 1050 gr trở lên là sp loại 1. Ước lượng trọng lượng trung bình của các sp loại 1 với độ tin cậy 98% (giả sử trọng lượng sp có pp chuẩn)43Xi (gr)800-850850-900900-950950-10001000-10501050-11001100-1150ni510203051020Ví dụ 1b) Nếu muốn ước lượng tỷ lệ sp loại 1 với độ tin cậy 98% và độ chính xác 3% thì cần điều tra thêm bao nhiêu sản phẩm nữa.c) Giả sử trong kho để nhầm 1000sp của xí nghiệp B và trong 100 sp lấy ra có 9 sp của xí nghiệp B. Hãy ước lượng số sp của xí nghiệp A trong kho với độ tin cậy 82%.44Cách làm bàiXác định bài toán dạng gì: ước lượng hay kiểm địnhƯớc lượng tham số nào: trung bình; phương sai hay tỷ lệ tổng thể.Xác định khoảng tin cậyTừ độ tin cậy xác định giá trị tới hạnTính độ chính xác Thay vào công thức và kết luận.Các dạng bài: tìm khoảng ước lượng; tìm cỡ mẫu; tìm độ tin cậy.45Ví dụ 2Một công ty muốn ước lượng số tài liệu (trang) được chuyển bằng fax trong một ngày. Kết quả thu thập được từ 15 ngày cho thấy trung bình một ngày có 267 trang tài liệu được chuyển bằng fax, và theo kinh nghiệm từ các văn phòng tương tự thì độ lệch chuẩn là 32 trang. Giả sử rằng số tài liệu chuyển bằng fax trong một ngày có phân phối chuẩn, với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng số trang tài liệu được chuyển đi trong một ngày.46Ví dụ 3.Công ty điện thoại thành phố muốn ước lượng thời gian trung bình của một cuộc điện thoại đường dài vào ngày cuối tuần với độ tin cậy 95%. Mẫu ngẫu nhiên 20 cuộc gọi đường dài vào cuối tuần cho thấy thời gian điện thoại trung bình là 14,8 phút; độ lệch chuẩn hiệu chỉnh 5,6 phút. Giả sử thời gian gọi có pp chuẩnĐáp số:47Ví dụ 4Biết lương tháng của công nhân (Đv: triệu đồng) trong một nhà máy có phân phối chuẩn. Chọn ngẫu nhiên16 công nhân khảo sát:Giả sử  = 0,63, hãy ước lượng mức lương trung bình hàng tháng của một công nhân với độ tin cậy 96%.Giả sử chưa biết . Hãy ước lượng với độ tin cậy 99% cho mức lương trung bình. Để có sai số  0,08 triệu đồng thì cần khảo sát tối thiểu bao nhiêu công nhân?48Lương tháng 0.8 1,0 1,2 1,3 1,5 1,7 2 2,3 2,5Số công nhân 1 1 2 2 2 3 2 2 1Ước lượng phương saiTổng thể có phân phối chuẩn.Phương sai tổng thể chưa biết.Lấy mẫu cỡ n. Tìm cách ước lượng phương sai với độ tin cậy (1-).Biết  hoặc chưa biết .Cách làm tương tự ước lượng trung bình và tỷ lệ.49Phân phối của hàm PS mẫu50Tổng thểPS mẫuHàm của PS mẫuChuẩn,đã biết Chuẩnchưa biết Nhớ các khoảng tin cậy_TH1Hai phía:Cách ghi khác: 51Nhớ các khoảng tin cậy_TH2Hai phía:Cách ghi khác: 52Ví dụ 1 Mức hao phí nhiên liệu cho một đơn vị sản phẩm là bnn có pp chuẩn. Xét trên 25 sản phẩm ta có kết quả sau:Hãy ước lượng phương sai với độ tin cậy 95% trong 2 trường hợp:Biết kỳ vọng là 20?Không biết kỳ vọng?53X19,52020,5ni5182Ví dụ 2 Năng suất lúa một vùng (tạ/ha) là bnn có phân phối chuẩn. Thu hoạch ngẫu nhiên 100 ha ta có số liệu sau:Ước lượng năng suất lúa trung bình của vùng với độ tin cậy 95%Tìm khoảng tin cậy với hệ số tin cậy 95% cho phương sai của năng suất.54ThêmTìm giá trị sau:55ThêmNghĩa là ta cần tìm giá trị t sao cho:Tương đương56Bài toánTìm t sao cho57Bài 1Lấy ngẫu nhiên 15 bao bột do một máy đóng bao sản xuất ta có:Giả thiết trọng lượng các bao bột là bnn có phân phối chuẩn. Hãy ước lượng trọng lượng trung bình  với độ tin cậy 95%.58Bài 2Điểm trung bình môn Toán của 100 sinh viên dự thi môn XSTK là 6 với độ lệch chuẩn mẫu đã hiệu chỉnh là 1,5.Ước lượng điểm trung bình môn XSTK của toàn thể sinh viên với độ tin cậy 95%?Với sai số 0,5 điểm. Hãy xác định độ tin cậy?59Bài 3Tuổi thọ của một loại bóng đèn được biết theo qui luật chuẩn với độ lệch chuẩn 100h.Chọn ngẫu nhiên 100 bóng để thử nghiệm thì thấy mỗi bóng tuổi thọ trung bình là 1000h. Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng đèn với độ tin cậy 95%?Với độ chính xác là 15h. Hãy xác định độ tin cậy?Với độ chính xác là 25h và định độ tin cậy là 95% thì cần thử nghiệm bao nhiêu bóng?60Bài 4Một lô hàng có 5000 sản phẩm. Chọn ngẫu nhiên 400 sản phẩm từ lô hàng thì thấy có 360 sản phẩm loại A.Hãy ước lượng số sản phẩm loại A trong lô hàng với độ tin cậy 96%?Tìm khoảng tin cậy bên phải của tỉ lệ sản phẩm loại A trong lô hàng ở độ tin cậy 97%?Nếu muốn ước lượng số sản phẩm loại A của lô hàng đạt độ chính xác 150 sản phẩm và độ tin cậy 99% thì phải kiểm tra bao nhiêu sản phẩm?61Bài 6Để ước lượng số cá trong hồ người ta đánh bắt 2000 con, đánh dấu rồi thả xuống hồ. Sau đó người ta đánh lên 400 con thì thấy có 40 con bị đánh dấu. Với độ tin cậy 95%, số cá trong hồ khoảng bao nhiêu con?62Bài 7Để ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu của một kho đồ hộp, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 100 hộp thấy có 11 hộp xấu.Ước lượng tỉ lệ sản phẩm xấu của kho đồ hộp với độ tin cậy 94%?Với sai số cho phép 3%, hãy xác định độ tin cậy?63Bài 8 Mức hao phí nhiên liệu cho một đơn vị sản phẩm là bnn có pp chuẩn. Xét trên 25 sản phẩm ta có kết quả sau:Hãy ước lượng phương sai với độ tin cậy 95% trong 2 trường hợp:Biết kỳ vọng là 20?Không biết kỳ vọng?64X19,52020,5ni5182Bài 9Điều tra về số lượt gửi xe máy trong 121 ngày ở FTU ta có bảng sau:Những ngày có từ 1000 lượt gửi trở lên là những ngày đông.65Số lượt700-800800-900900-10001000-11001100-12001200-13001300-14001400-1500Số ngày9183025141195Bài 9Ước lượng số lượt gửi xe trung bình một ngày ở FTU với độ tin cậy 99%.Khi ước lượng tỉ lệ những ngày đông với mẫu trên, nếu muốn độ tin cậy là 95% và độ chính xác tối đa 8% thì cần điều tra tối thiểu bao nhiêu ngày?Ước lượng độ lệch chuẩn của số lượt gửi một ngày với độ tin cậy 95% biếtSố lượt xe gửi trung bình là 1000 lượt/ngàyKhông biết số lượt gửi xe trung bình66Bài 10Trọng lượng các bao gạo được đóng gói tự động với trọng lượng qui định là 27,5 kg. Kiểm tra ngẫu nhiên 41 bao trong kho gồm 2000 bao gạo, ta thấy:Với mẫu trên, ước lượng trọng lượng trung bình một bao gạo với độ tin cậy 95%.Với mẫu trên, ước lượng số bao gạo từ 27 kg trở xuống trong kho với độ tin cậy 90%.67Trọng lượng bao (kg)2526272829Số bao8101085