Toán học - Hệ phương trình

HỆ PHƯƠNG TRÌNH Nguyễn Văn Phong Toán cao cấp - MS: MAT1006 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 1 / 14 Nội dung 1 KHÁI NIỆM CHUNG 2 HỆ CRAMER 3 HỆ TỔNG QUÁT 4 HỆ THUẦN NHẤT Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 1 / 14 Hệ phương trình Định nghĩa Hệ phương trình tuyến tính là một hệ thống gồm m phương trình và n ẩn số có dạng tổng quát là a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm (1) Trong đó, x1, x2, . . . , xn là các ẩn; aij ∈ R là hệ số; và bi ∈ R là hệ số tự do. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 2 / 14 Hệ phương trình Hệ (1) được viết dưới dạng AX = B , với A =  a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · · · · · · · am1 am2 · · · amn  ;X =  x1 x2 ... xn  ;B =  b1 b2 ... bm  và A = (A |B ) =  a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... ... ... ... am1 am2 ... amn ∣∣∣∣∣∣∣∣ b1 b2 ... bm  trong đó, ta gọi A = (A |B ) là ma trận hệ số mở rộng. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 3 / 14 Hệ phương trình Định nghĩa i) Ta gọi bộ n số (c1, c2, . . . , cn) ∈ Rn là một nghiệm của (1) nếu ta thay x1 = c1, x2 = c2, . . . ,xn = cn vào (1) thì tất cả các đẳng thức trong (1) đều thoả. ii) Hai hệ phương trình tuyến tính được gọi là tương đương khi chúng có chung tập hợp nghiệm, nghĩa là nghiệm của hệ này cũng là nghiệm của hệ kia và ngược lại. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 4 / 14 Hệ Cramer Định nghĩa Hệ Cramer là hệ thoã mãn i) Số phương trình bằng số ẩn ii) Định thức của ma trận hệ số khác 0. Ví dụ. Hệ phương trình −x1 + 2x2 = −23x1 + x2 + x3 = 6−2x1 − x2 = 1 Có số phương trình bằng số ẩn, và detA = −5 6= 0. Nên nó là hệ Cramer. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 5 / 14 Phương pháp giải hệ Cramer i) Phương pháp ma trận nghịch đảo A−1 AX = B ⇔ X = A−1B ii) Phương pháp Gauss A = (A|B) Phép biến đổi sơ cấp−−−−−−−−−−−→ A′ = (A′|B ′) Sao cho A′ là ma trận bậc thang. iii) Phương pháp Cramer Ta có xi = detAj detA , j = 1, 2, . . . , n Trong đó, Aj là ma trận nhận được bằng cách thay cột j của A bởi cột hệ số tự do. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 6 / 14 Ví dụ Xét hệ x1 + 3x2 + 7x3 = 12x1 + x2 + 2x3 = 0−7x1 + x2 + 4x3 = 1 có A =  1 3 72 1 2 −7 1 4  i) Phương pháp A−1 X = A−1B =  −2 5 122 −53 −12 9 22 5  10 1  =  −110 4  Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 7 / 14 Ví dụ ii) Phương pháp Gauss A =  1 3 72 1 2 −7 1 4 ∣∣∣∣∣∣ 1 0 1  →  1 3 70 −5 −12 0 22 53 ∣∣∣∣∣∣ 1 −2 8  →  1 3 70 −5 −12 0 0 1/5 ∣∣∣∣∣∣ 1 −2 −4/5  Khi đó ta có hệ tương đương x1 + 3x2 + 7x3 = 1−5x2 − 12x3 = −21 5x3 = −4 5 ⇔  x1 = −1x2 = 10 x3 = −4 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 8 / 14 Ví dụ iii) Phương pháp Cramer Ta có detA = −1; detA1 = 1; detA2 = −10; detA3 = 4 Vậy nghiệm của hệ là x1 = detA1 detA = −1; x2 = detA2 detA = 10; x3 = detA3 detA = −4. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 9 / 14 Hệ tổng quát Định nghĩa Là hệ có số phương trình không bằng số ẩn hay số phương trình bằng số ẩn nhưng định thức của ma trận hệ số bằng 0. Đối với hệ tổng quát ta có thể giải bằng phương pháp Gauss A = (A|B) Phép biến đổi sơ cấp−−−−−−−−−−−→ A′ = (A′|B ′) Sao cho A′ là ma trận bậc thang. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 10 / 14 Hệ tổng quát Với hệ gồm m phương trình, n ẩn số, AX = B và A = (A|B), ta có Định lý (Kronecker-Capelli) i) Nếu r (A) < r ( A ) thì hệ vô nghiệm ii) Nếu r (A) = r ( A ) = n thì hệ có nghiệm duy nhất iii) Nếu r (A) = r ( A ) < n thì hệ có vô số nghiệm Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 11 / 14 Ví dụ Giải các hệ sau 1)  x1 − 3x2 + 2x3 − x4 = 24x1 + x2 + 3x3 − 2x4 = 1 2x1 + 7x2 − x3 = −1 2)  x1 + x2 + 2x4 = 5 2x1 + 4x2 − x3 + 5x4 = −1 x1 + 3x2 + 5x4 = −3 3x1 + 7x2 − 3x3 + 9x4 = −14 2x1 + 8x2 − 4x3 + 2x4 = −22 3)  3x1 − x2 − x3 + 2x4 = 1 x1 − x2 − 2x3 + 4x4 = 5 x1 + x2 + 3x3 − 6x4 = −9 12x1 − 2x2 + x3 − 2x4 = −10 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 12 / 14 Hệ thuần nhất Định nghĩa Là hệ mà tất cả các hệ số tự do đều bằng 0. Nghĩa là hệ có dạng a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0 Lưu ý: Đối với hệ thuần nhất ta luôn có r (A) = r ( A ) . Nghĩa là hệ luôn có nghiệm (hoặc có nghiệm tầm thường (nghiệm toán số 0), hoặc có vô số nghiệm) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 13 / 14 Ví dụ Giải hệ sau x1 + 2x2 + 4x3 − 3x4 = 0 3x1 + 5x2 + 6x3 − 4x4 = 0 4x1 + 5x2 − 2x3 + 3x4 = 0 3x1 + 8x2 + 24x3 − 19x4 = 0 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 14 / 14