Toán học - Phép tính tích phân hàm một biến

PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Nguyễn Văn Phong Toán cao cấp - MS: MAT1006 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 1 / 24 Nội dung 1 ĐỊNH NGHĨA - TÍNH CHẤT 2 ĐỊNH LÝ CĂN BẢN CỦA PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN 3 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 4 TÍCH PHÂN SUY RỘNG Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 1 / 24 Bài toán tìm diện tích Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 2 / 24 Tích phân xác định Phân hoạch Cho [a, b], các số thực x0, x1, . . . , xn, thỏa x0 = a < x1 < x2 < · · · < xn = b Khi đó, P = {x0, x1, x2, . . . , xn}, được gọi là một phân hoạch của [a, b]. Tổng Riemann Cho hàm f xác định trên [a, b] và P là một phân hoạch của [a, b], với x∗i ∈ [xi−1, xi ] và ∆xi = |xi − xi−1|. Ta gọi R(f ,P) = ∑ni=1 f (x∗i )∆xi là tổng Riemann của f ứng với phân hoạch P Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 3 / 24 Tích phân xác định Định nghĩa Cho hàm f xác định trên [a, b]. Ta định nghĩa tích phân xác định của hàm f trên [a, b] là∫ b a f (x) dx = lim n→∞ ∑n i=1 f (x∗i )∆xi nếu giới hạn bên phải tồn tại. Khi đó, ta còn nói f là khả tích Riemann trên [a, b]. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 4 / 24 Ví dụ Tìm diện tích của miền giới hạn bởi f (x) = x2, x = 0, x = 1 . Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 5 / 24 Ví dụ Để tính diện tích của S , trước tiên ta phân hoạch đoạn [0, 1] thành n đoạn có ∆x = 1 n và chọn x∗i lần lượt là 1/n, 2/n, . . . , n/n. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 6 / 24 Ví dụ Ta có tổng Riemain Rn = 1 n ( 1 n )2 + 1 n ( 2 n )2 + . . . + 1 n (n n )2 = 1 n . 1 n2 ( 12 + 22 + . . . + n2 ) = 1 n3 n (n + 1) (2n + 1) 6 Khi đó,∫ 1 0 x 2dx = lim n→∞Rn = limn→∞ 1 n3 n (n + 1) (2n + 1) 6 = 1 3 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 7 / 24 Các tính chất của tích phân Cho f , g khả tích trên [a, b], k ∈ R khi đó:∫ a b f (x)dx = − ∫ b a f (x)dx ; ∫ a a f (x)dx = 0∫ b a [f (x) + kg(x)]dx = ∫ b a f (x)dx + k ∫ b a g(x)dx Nếu c ∈ (a, b) thì f cũng khả tích trên các khoảng [a, c] và [c , b]. Và khi đó:∫ b a f (x)dx = ∫ c a f (x)dx + ∫ b c f (x)dx Nếu f (x) = c(const) thì ∫ b a f (x)dx = c(b − a) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 8 / 24 Các tính chất của tích phân Nếu f (x) ≥ 0,∀x ∈ [a, b] thì ∫ b a f (x)dx ≥ 0. Nếu f (x) ≥ g(x),∀x ∈ [a, b] thì∫ b a f (x)dx ≥ ∫ b a g(x)dx Hàm |f | khả tích và ∫ b a |f (x)|dx ≥ ∣∣∣∣∣ ∫ b a f (x)dx ∣∣∣∣∣ Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 9 / 24 Định lý cơ bản của vi tích phân Định lý Nếu f liên tục trên [a, b] thì hàm F xác định bởi F (x) = ∫ x a f (t)dt, a 6 x 6 b, là liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b), và F ′(x) = f (x). Ví dụ: Tìm F ′(x) biết F (x) = ∫ x 1 tsin tdt. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 10 / 24 Công thức Newton-Leibnitz Định lý Nếu f liên tục trên [a, b], thì∫ b a f (x)dx = F (x)|ba = F (b)− F (a) trong đó F là một nguyên hàm của f , nghĩa là F ′ = f Ví dụ: 1. Tính ∫ 2 1 exdx 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x2, y = 0, x = 1 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 11 / 24 Nguyên hàm Định nghĩa Hàm F (x) được gọi là một nguyên hàm của f (x) nếu F ′(x) = f (x) Khi đó, G (x) = F (x) + C cũng là một nguyên hàm của f (x) và được gọi là tích phân bất định của f , ký hiệu∫ f (x)dx Từ định nghĩa trên ta thấy, nguyên hàm và đạo hàm là hai hàm ngược của nhau,i.e.,(∫ f (x) dx )′ = f (x) và ∫ (f (x))′dx = f (x) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 12 / 24 Công thức đổi biến Định lý Giả sử hàm u = g(x) khả vi liên tục trên [a, b] và f là hàm liên tục trên miền ảnh của g. Khi đó:∫ b a f (g(x))g ′(x)dx = ∫ g(b) g(a) f (u)du Nhận xét: từ (f [g (x)])′ = f ′ [g (x)]× g ′ (x) lấy tích phân hai vế, ta có∫ f ′ [g (x)]× g ′ (x) dx = ∫ (f [g (x)])′dx = f (g (x)) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 13 / 24 Tích phân từng phần Công thức tích phân từng phần∫ b a f (x)g ′(x)dx = f (x)g(x)|ba − ∫ b a g(x)f ′(x)dx Hoặc viết gọn: ∫ b a udv = uv |ba − ∫ b a vdu Xuất phát từ (f (x) g (x))′ = f ′ (x) g (x) + f (x) g ′ (x) Ta nhận được công thức tích phân từng phần Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 14 / 24 Tích phân hàm chẵn, lẻ Giả sử f liên tục trên [−a, a] 1. Nếu f chẵn (nghĩa là f (−x) = f (x)) thì∫ a −a f (x)dx = 2 ∫ a 0 f (x)dx 2. Nếu f lẻ (nghĩa là f (−x) = −f (x)) thì∫ a −a f (x)dx = 0 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 15 / 24 Tích phân suy rộng 1. Loại I (miền không bị chặn) Định nghĩa 1. Nếu ∫ t a f (x) dx tồn tại với mọi t > a, thì∫ +∞ a f (x) dx = lim t→∞ ∫ t a f (x) dx Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 16 / 24 Tích phân suy rộng 1. Loại I (miền không bị chặn) Định nghĩa 2. Nếu ∫ b t f (x) dx tồn tại với mọi t 6 b, thì∫ b −∞ f (x) dx = lim t→−∞ ∫ b t f (x) dx 3. Nếu cả hai ∫ +∞ a f (x) dx và ∫ a −∞ f (x) dx tồn tại thì∫ +∞ −∞ f (x) dx = ∫ a −∞ f (x) dx + ∫ +∞ a f (x) dx Nhận xét: Nếu tích suy rộng tồn tại và hữu hạn, ta nói tích phân hội tụ, ngược lại ta nói phân kỳ. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 17 / 24 Ví dụ Tính các tích phân suy rộng sau, (nếu nó tồn tại). a) ∫ +∞ 1 1 x dx b) ∫ +∞ 0 e−xdx c) ∫ 0 −∞ xe−xdx d) ∫ 0 −∞ 1 (1− x)2dx e) ∫ +∞ 1 1√ x dx f) ∫ +∞ 1 1 xα dx g) ∫ +∞ −∞ 1 1 + x2 dx h) ∫ +∞ −∞ 1 x2 + 2x + 5 dx Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 18 / 24 Tích phân suy rộng 2. Loại II (hàm không bị chặn) Định nghĩa 1. Nếu hàm f liên tục trên [a, b) và không liên tục tại b, thì ∫ b a f (x) dx = lim t→b− ∫ t a f (x) dx 2. Nếu hàm f liên tục trên (a, b] và không liên tục tại a, thì ∫ b a f (x) dx = lim t→a+ ∫ b t f (x) dx Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 19 / 24 Tích phân suy rộng 2. Loại II (hàm không bị chặn) Định nghĩa 3. Nếu hàm f không liên tục tại c, với a < c < b, và cả hai ∫ c a f (x)dx và ∫ b c f (x)dx là hội tụ, thì∫ b a f (x)dx = ∫ c a f (x)dx + ∫ b c f (x)dx Nhận xét: Nếu tích suy rộng tồn tại và hữu hạn, ta nói tích phân hội tụ, ngược lại ta nói phân kỳ. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 20 / 24 Ví dụ Tính các tích phân suy rộng sau, (nếu nó tồn tại). a) ∫ 1 0 1√ x dx b) ∫ 1 0 ln (1− x)dx c) ∫ 2 −1 1 x2 dx d) ∫ 1 0 1 xα dx e) ∫ 5 2 1√ x − 2dx f) ∫ 3 0 1 x − 1dx g) ∫ 1 0 ln xdx Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 21 / 24 Các tiêu chuẩn hội tụ Tiêu chuẩn so sánh Giả sử f và g là các hàm liên tục, và f (x) ≥ g(x) ≥ 0, với x ≥ a. 1) Nếu ∫ +∞ a f (x)dx hội tụ, thì ∫ +∞ a g(x)dx hội tụ 2) Nếu ∫ +∞ a g(x)dx phân kỳ, thì ∫ +∞ a f (x)dx phân kỳ Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của ∫ +∞ 1 e−x 2 dx . HD: Đặt f (x) = e−x và g(x) = e−x 2 . Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 22 / 24 Các tiêu chuẩn hội tụ Tiêu chuẩn tỷ số Cho f , g là các hàm số dương. 1. Nếu lim x→+∞ f (x) g(x) = α ∈ (0,+∞), thì ∫ +∞ a f (x)dx và ∫ +∞ a g(x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ 2. Nếu lim x→b f (x) g(x) = α ∈ (0,+∞), thì ∫ b a f (x)dx và∫ b a g(x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 23 / 24 Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau: 1. ∫ +∞ 1 x2 + ln x + 1 x5 + 3x2 + 3 dx 2. ∫ +∞ 1 x3 + 2x − 1 x4 + x3 + √ x3 + 1 + 2 dx 3. ∫ 1 0 1 3 √ (x − 1)2(x + 2)dx 4. ∫ 1 0 sin x x √ x dx Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 24 / 24