Toán học - Phép tính vi tích phân hàm nhiều biến

PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Nguyễn Văn Phong Toán cao cấp - MS: MAT1006 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 1 / 30 NỘI DUNG 1 HÀM NHIỀU BIẾN 2 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 3 ĐẠO HÀM RIÊNG - GRADIENT 4 VI PHÂN 5 CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN 6 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 1 / 30 Hàm nhiều biến Định nghĩa Một hàm nhiều biến f là một quy tắc f : D ⊂ Rn → R (x1, x2, . . . , xn) 7→ z = f (x1, x2, . . . , xn) Ví dụ về hàm hai biến Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 2 / 30 Đồ thị Định nghĩa Nếu f là hàm hai biến xác định trên miền D thì đồ thị của f được định nghĩa là tập hợp các điểm (x , y , z) trong R3 sao cho z = f (x , y) và (x , y) ∈ D Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 3 / 30 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 4 / 30 Giới hạn hàm hai biến Định nghĩa Cho hàm f xác định trên D ⊂ R2, và (a, b) ∈ D. Khi đó, ta nói giới hạn của f (x , y) khi (x , y) tiến về (a, b) là L, ta viết lim (x ,y)→(a,b) f (x , y) = L nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho, nếu (x , y) ∈ D và 0 < √ (x − a)2 + (y − b)2 < δ, thì |f (x , y)− L| < ε Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 5 / 30 Chú ý Với x = (x , y), a = (a, b), thì lim x→a f (x) = L. |f (x , y)− L| là khoảng cách từ f (x , y) tới số L√ (x − a)2 + (y − b)2 là khoảng cách từ x tới a Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 6 / 30 Hàm liên tục Định nghĩa Hàm hai biến f được gọi là liên tục tại điểm (a, b) nếu lim (x ,y)→(a,b) f (x , y) = f (a, b) Ta nói, f liên tục trên D, nếu nó liên tục tại mọi (a, b) thuộc D Ví dụ. Xét sự liên tục của hàm số f (x , y) =  3x 2y x2 + y 2 , (x , y) 6= (0, 0) 0, (x , y) = (0, 0) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 7 / 30 Giới hạn và liên tục hàm nhiều biến Với, x = (x1, x2, . . . , xn), a = (a1, a2, . . . , an), ta có Định nghĩa Hàm f xác định trên D ⊂ Rn. Khi đó i) Ta nói giới hạn của f , khi x tiến về a là L, nếu ∀ε > 0,∃δ > 0 : (∀x ∈ D) ∧ (0 < |x− a| < δ) thì |f (x)− L| < ε ii) Hàm f được gọi là liên tục tại a nếu lim x→a f (x) = f (a) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 8 / 30 Đạo hàm riêng - Gradient Định nghĩa Cho f là hàm hai biến, các đạo hàm riêng của f là các hàm hai biến fx và fy được định nghĩa như sau: fx(x , y) = lim ∆x→0 f (x + ∆x , y)− f (x , y) ∆x fy(x , y) = lim ∆y→0 f (x , y + ∆y)− f (x , y) ∆y Nếu cả hai đạo hàm riêng đều tồn tại thì gradient của f là hàm vector ∇f (hoặc gradf ) được định nghĩa: gradf (x , y) = ∇f (x , y) = (fx(x , y), fy(x , y)) = fx i + fy j Với i = (1, 0) và j = (0, 1) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 9 / 30 Một vài ký hiệu Đạo hàm riêng của z = f (x , y) có thể ký hiệu: fx(x , y) = fx = ∂f ∂x = ∂ ∂x f (x , y) = ∂z ∂x = Dx f fy(x , y) = fy = ∂f ∂y = ∂ ∂y f (x , y) = ∂z ∂y = Dy f Để tìm fx , xem y là hằng số và lấy đạo hàm theo x Để tìm fy , xem x là hằng số và lấy đạo hàm theo y Ví dụ. 1. f (x , y) = x3− sin(x + y 2) + xy 5. Tìm fx(pi, 0), fy(pi, 0) 2. f (x , y) = x sin x 1 + y 2 + y x . Tìm ∇f (pi, 1). Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 10 / 30 Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 11 / 30 Ví dụ Với f (x , y) = 4− x2 − 2y 2 thì fx = −2x , fy = −4y và fx(1, 1) = −2, fy(1, 1) = −4. Các đường cong và tiếp tuyến tương ứng như hình vẽ Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 12 / 30 Mặt phẳng tiếp xúc Mặt phẳng tiếp xúc với mặt z = f (x , y) tại điểm (a, b, f (a, b)) là: z − f (a, b) = fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b) Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt z = 2x2 + y 2 tại điểm (1, 1, 3) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 13 / 30 Đạo hàm riêng hàm nhiều biến Cho hàm f (x1, x2, . . . , xn). Khi đó, đạo hàm riêng của f theo biến thứ i , được định nghĩa là: ∂f ∂xi = lim ∆xi→0 f (x1, . . . , xi + ∆xi , . . . , xn)− f (x1, . . . , xi , . . . , xn) ∆xi Đạo hàm riêng theo biến thứ i cũng được ký hiệu là: ∂f ∂xi = fxi = Dxi f Vector Gradient Nếu mọi fxi tồn tại thì ∇f = (fx1, fx2, . . . , fxn) Ví dụ. Cho f (x , y , z) = ex sin y ln(x2 + z). Tìm ∇f (x , y , z) và ∇f (1, 0, 0) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 14 / 30 Đạo hàm riêng cấp cao Cho hàm hai biến f (x , y), giả sử các đạo hàm riêng cấp một fx và fy khả vi. Khi đó, các đạo hàm riêng cấp hai của f được định nghĩa bởi ∂2f ∂x2 = ∂ ∂x ( ∂f ∂x ) = lim ∆x→0 fx (x + ∆x , y)− fx (x , y) ∆x ∂2f ∂y 2 = ∂ ∂y ( ∂f ∂y ) = lim ∆y→0 fy (x + ∆x , y)− fy (x , y) ∆y ∂2f ∂x∂y = ∂ ∂x ( ∂f ∂y ) = lim ∆x→0 fy (x + ∆x , y)− fy (x , y) ∆x ∂2f ∂y∂x = ∂ ∂y ( ∂f ∂x ) = lim ∆y→0 fx (x + ∆x , y)− fx (x , y) ∆y Ví dụ. Tìm fxx , fyy , fxy , fyx của f (x , y) = x3 + x2y 3 − 2y 2 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 15 / 30 Một số kết quả Định lý (Clairaut’s - Young’s) Giả sử f xác định trên D chứa điểm (a, b). Nếu các hàm số fxy và fyx đều liên tục trên D, thì fxy(a, b) = fyx(a, b) Phản ví dụ. Cho f (x , y) =  x3y − xy 3 x2 + y 2 nếu (x , y) 6= (0, 0) 0 nếu (x , y) = (0, 0) CMR fxy(0, 0) 6= fyx(0, 0) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 16 / 30 Tính khả vi Định nghĩa Hàm z = f (x , y) gọi là khả vi tại (a, b) nếu ∆z = f (a + ∆x , b + ∆y)− f (a, b) có thể viết dưới dạng ∆z = fx(a, b)∆x + fy(a, b)∆y + ε √ (∆x)2 + (∆y)2 Trong đó ε→ 0 khi (∆x ,∆y)→ (0, 0) Để kiểm tra tính khả vi, ta dùng định lý sau: Định lý Nếu các đạo hàm riêng fx và fy tồn tại quanh điểm (a, b) và liên tục tại (a, b) thì f khả vi tại (a, b) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 17 / 30 Tính khả vi Tính chất hàm khả vi Nếu f khả vi tại (a, b) thì f liên tục tại (a, b) Xấp xỉ tuyến tính (tiếp diện) Xấp xỉ tuyến tính của f tại (a, b) là hàm L(x , y) = f (a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b) Ví dụ. Cho f (x , y) = xexy . Tìm xấp xỉ tuyến tính của f tại điểm (1, 0). Tính xấp xỉ f (0.95, 0.1) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 18 / 30 Vi phân Định nghĩa 1) Vi phân toàn phần cấp 1 của f (x , y) là df = fx(x , y)dx + fy(x , y)dy 2) Vi phân toàn phần cấp 2 của f (x , y) là d 2f = fxx(x , y)(dx) 2+2fxy(x , y)dxdy+fyy(x , y)(dy) 2 Trong đó, df (x , y) = f (x + ∆x , y + ∆y)− f (x , y) Ví dụ. Cho f (x , y) = ex sin(2x + 3y). a) Tìm df (0, 1) và d 2f (0, 1) b) Tính xấp xỉ f (−0.01, 0.98) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 19 / 30 Cực trị hàm hai biến Định nghĩa Cho f xác định trên một lân cận của (a, b), N(a,b). Khi đó 1) Nếu ∀(x , y) ∈ N(a,b) : f (x , y) > f (a, b) thì (a, b) được gọi là cực tiểu địa phương của f . 2) Nếu ∀(x , y) ∈ N(a,b) : f (x , y) 6 f (a, b) thì (a, b) được gọi là cực đại địa phương của f . Điểm (a, b) còn được gọi là cực trị địa phương của f Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 20 / 30 Cực trị hàm hai biến Cực trị toàn cục (Max, Min) Nếu f (x , y) đạt cực trị trên D, với D là miền xác định, thì (a, b) được gọi là cực trị toàn cục của f hay f đạt giá trị lớn nhất, (nhỏ nhất) tại (a, b) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 21 / 30 Điều kiện cần Định lý Nếu f đạt cực trị địa phương tại (a, b) và các đạo hàm riêng cấp một của f tồn tại, thì fx(a, b) = 0 và fy(a, b) = 0 Nhân xét. Điểm (a, b) được gọi là điểm dừng của f . Chiều ngược lại của định lý không đúng. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 22 / 30 Ví dụ Ví dụ 1. Cho f (x , y) = x2 + y 2 − 2x − 6y + 14 Ta có { fx = 2x − 2 = 0 fy = 2y − 6 = 0 ⇒ { x = 1 y = 3 Nên f có một điểm dừng là (1, 3) Do f (x , y) = 4 + (x − 1)2 + (y − 3)2 ≥ 4 = f (1, 3) với mọi x , y , nên f đạt cực tiểu tại (1, 3) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 23 / 30 Ví dụ Ví dụ 2. Cho f (x , y) = y 2 − x2 Ta có fx = −2x ; fy = 2y nên f có một điểm dừng là (0, 0). Mặt khác f (x , 0) = −x2 0, y 6= 0. Trên N(0,0), theo phương Ox hàm f cực đại, theo phương Oy hàm f cực tiểu. Do đó điểm (0, 0) không là cực trị của f . Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 24 / 30 Điều kiện đủ Định lý Nếu các đạo hàm riêng cấp hai của f (x , y) tồn tại trên N(a,b) và fx(a, b) = 0, fy(a, b) = 0. Ta đặt ∆ = fxx(a, b)fyy(a, b)− [fxy(a, b)]2 = ∣∣∣∣ fxx fxyfyx fyy ∣∣∣∣ a. Nếu ∆ > 0 và fxx(a, b) > 0 thì (a, b) là cực tiểu b. Nếu ∆ > 0 và fxx(a, b) < 0 thì (a, b) là cực đại c. Nếu ∆ < 0 thì (a, b) là điểm yên ngựa Chú ý. Trong trường hợp ∆ = 0 thì (a, b) có thể là cực đại, có thể là cực tiểu, cũng có thể là điểm yên ngựa. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 25 / 30 Ví dụ Tìm các cực trị (địa phương) của hàm số: 1. f (x , y) = x4 + y 4 − 4xy + 1 2. f (x , y) = x3 + y 3 + 3x2y − 15y + 1 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 26 / 30 Cực trị có điều kiện Bài toán Tìm cực trị của hàm f (x , y) thoả mãn g (x , y) = 0 Phương pháp tìm CT có điều kiện Phương pháp 1. (Chuyển về bài toán một biến) Bước 1. Từ ràng buộc g(x , y) = 0, ta tìm x = ϕ (y) hay y = ψ (x). Bước 2. Thay x = ϕ (y) hay y = ψ (x) vào hàm f , ta được hàm một biến theo y (hay theo x). Ví dụ. Khảo sát cực trị của f (x , y) = 2x2− 6y 2 với ràng buộc x + 2y = 6 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 27 / 30 Cực trị có điều kiện Phương pháp tìm CT có điều kiện Phương pháp 2. (Nhân tử Lagrange) Bước 1. Lập hàm Lagrange L(x , y , λ) = f (x , y) + λg(x , y) Bước 2. Tìm các điểm dừng Lx (x , y , λ) = 0 Ly (x , y , λ) = 0 Lλ (x , y , λ) = 0 ⇒ (x0, y0, λ) Bước 3. Tính dg(x0, y0) = gx(x0, y0)dx + gy(x0, y0)dx và cho dg(x0, y0) = 0. Ta tìm được biểu thức liên hệ giữa dx và dy Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 28 / 30 Cực trị có điều kiện Phương pháp tìm CT có điều kiện Phương pháp 2. (Nhân tử Lagrange) Bước 4. Kiểm tra điều kiện cực trị Tính d 2L(x0, y0) vi phân toàn phần cấp hai của L Nếu d 2L(x0, y0) > 0 thì (x0, y0) là cực tiểu Nếu d 2L(x0, y0) < 0 thì (x0, y0) là cực đại Trường hợp d 2L(x0, y0) = 0 thì (x0, y0) có thể là cực tiểu, cực đại Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 29 / 30 Ví dụ. Tìm cực trị của f (x , y) = x2 + 2y 2 1. Trên đường tròn x2 + y 2 = 1 2. Trên hình tròn x2 + y 2 ≤ 1 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 30 / 30