Tổng quát một bài toán thi vô địch Nga năm 2005

TỔNG QUÁT MỘT BÀI TOÁN THI VÔ ĐỊCHNGA NĂM 2005 Trần Quang Hùng – Phan Anh Quân TÓM TẮT Bài viết tổng quát hóa một bài toán từ cuộc thi vô địch Nga năm 2005 bằng công cụ điểm đẳng giác cùng với các lời giải thuần túy hình học. Bài toán sau được đề nghị bởi tác giả Andrey Badzyan trong kỳ thi vô địch toàn Nga năm 2005 vòng thi tỉnh dành cho lớp 9 Bài toán 1. Cho tam giác ABC với đường tròn ngoại tiếp .O/ và đường tròn nội tiếp là .I /. M là trung điểm của AC và N là trung điểm của cung dAC chứa B . Chứng minh rằng ∠IMA D ∠INB . A B C O I M N E Lời giải. Gọi BI cắt .O/ tại E khác B . Từ kết quả quen thuộc E là tâm ngoại tiếp tam giác IBC . Từ đó kết hợp hệ thức lượng trong tam giác vuông thì EI 2 D EA2 D EM:EN . Từ đó hai tam giácEMI vàEIN đồng dạng. Suy ra ∠IMA D ∠EIN IME90ı D ∠EIN 90ı D ∠INB . Ta có điều phải chứng minh. Nhận xét. Bài toán trên là một kết quả đẹp và có nhiều ý nghĩa trong việc ứng dụng và phát triển. Chúng tôi xin giới thiệt một bài toán trong các bài toán ứng dụng kết quả này như sau Bài toán 2. Cho dây BC cố định của đường tròn .O/. A di chuyển trên .O/, I là tâm nội tiếp tam giác ABC . IA cắt .O/ tại D khác A. M là trung điểm BC . N thuộc .O/ sao cho DN k IM . P thuộc .O/ sao cho NP k AD. Chứng minh rằng PI luôn đi qua điểm cố định khi A di chuyển. 81 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 D A B C O I M K S T P N Lời giải. Gọi tia IM cắt .O/ tại T , tiaMI cắt .O/ tại S ,MD cắt .O/ tại K cố định. Ta thấy ID2 D BA2 D DM:DK suy ra tam giác4DMI  4DIK suy ra ∠MID D ∠IKM .1/. Ta lại có DN k ST suy ra dDT D dNS . Từ PN k AD suy ra dNA D dPD. Từ đây suy radPD D cSACdDT suy ra ∠PKD D ∠DIT .2/. Vậy từ .1/; .2/ suy ra P; I;K thẳng hàng hay PI đi qua K cố định. Nhận xét. Điểm P chính là tiếp điểm của đường tròn mixtilinear nội với đường tròn .O/. Bài toán 1 lần đầu tiên được mở rộng trong [2] bởi tác giả Trần Quang Hùng như sau Bài toán 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn .O/ và P;Q đẳng giác trong tam giác ABC AP cắt .O/ tạiD khác A.DN là đường kính của .O/. ON cắt BC tạiM . Chứng minh rằng ∠PMB D ∠ANQ. Sau đó nhờ lời giải của tác giả Phan Anh Quân, bài toán được mở rộng thêm lần nữa như sau Bài toán 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn .O/ và P;Q đẳng giác trong tam giác ABC AP cắt .O/ tại D khác A. M là điểm thuộc đoạn BC . DM cắt .O/ tại N khác D. Chứng minh rằng ∠PMB D ∠ANQ. Để giải bài toán này chúng tôi sử dụng bổ đề sau, tham khảo [3]. Lời giải của bổ đề này được đề nghị bởi nhiều tác giả trong [3] xong lời giải sau của tác giả Phan Anh Quân được coi là ngắn gọn và đẹp nhất Bổ đề 1. Cho tam giác ABC nội tiếp .O/. P;Q đẳng giác trong tam giác ABC . AP cắt .O/ tạiM khác A.MQ cắt BC tại E. Thì PE k AQ. 82 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 A B C O P Q M E N G H Chứng minh bổ đề. Gọi AQ cắt .O/ tại N khác A và cắt BC tại H . Do P;Q đẳng giác, ta dễ thấy các tam giác đồng dạng 4CHN  4ACM và 4CPM  4QCN (g.g) suy ra HN:AM D CM:CN D QN:PM suy ra MP MA D NH NQ D ME MQ vậy PE k AQ. Trở lại bài toán A B C O P Q D R M N T Lời giải của Phan Anh Quân. Gọi DQ cắt BC tại R theo bổ đề đã biết thì PR k AQ. Lấy T thuộc DN sao cho PT k AN . Theo định lý Thales suy ra DR DQ D DP DQ D DT DN suy ra 83 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 RT k QN . Vậy hai tam giác AQN và PRT đồng dạng vì có các cạnh tương ứng song song. Từ đó ∠BMD D ∠MCD C ∠MDC D ∠BAD C ∠CAN D ∠QAC C ∠CAN D ∠QAN D ∠RPT . Từ đó tứ giác PTMR nội tiếp. Suy ra ∠PMB D ∠PTR D ∠ANQ. Bài toán mở rộng có khá nhiều ứng dụng hay, được tác giả Trần Quang Hùng đề nghị trong [2] Bài toán 5. Cho tam giác ABC với P;Q là hai điểm đẳng giác trên phân giác góc ∠BAC và M là trung điểm của BC . Chứng minh rằng tâm ngoại tiếp tam giác PQM luôn thuộc một đường thẳng cố định khi P thay đổi. A B C O M N P Q H Lời giải. LấyH trên BC sao cho PH ? BC . Gọi N là trung điểm dBC chứa A. Do P;Q đẳng giác áp dụng bài toán tổng quát ta có ∠QNA D ∠PMB suy ra ∠AQN D ∠HPM D ∠PMN (chú ý ∠NAD D 90ı), vậy tứ giácQPMN nội tiếp. Vì thế tâm ngoại tiếp tam giác PQM nằm trên trung trực củaMN cố định. Các bạn hãy làm các bài toán sau để luyện tập Bài toán 6. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn .O/ và P;Q đẳng giác trong tam giác ABC AP cắt .O/ tạiD khác A.DN là đường kính của .O/. ON cắt BC tạiM . Gọi PM cắt AQ tại T . a) Chứng minh rằngQ;M;N; T cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh rằng PM k AQ khi và chỉ khiQ thuộc OM . Bài toán 7. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn .O/. Đường thẳng ` đi qua O cắt BC tại M .Q là một điểm thuộc ` và P là đẳng giác củaQ trong tam giác ABC . Chứng minh rằng AP và ` cắt nhau trên đường tròn .O/ khi và chỉ khi PM k AQ. Tài liệu tham khảo [1] Đề thi vô địch toàn Nga năm 2005 từ AoPS forum [2] Tran Quang Hung and Pham Huy Hoang, Generalization of a problem with isogonal conjugate points. [3] Topic Isogonal points and parallelism 84