Ứng dụng của định giá trị trung bình trong một số bài toán về giới hạn của dãy số

TP CH KHOA HC − S 18/2017 31 &NG D,NG C:A .;NH GI$ TR; TRUNG B<NH TRONG M7T S2 B-I TO$N V= GI1I H>N C:A D?Y S2 Nguyễn Văn Hào1, Nguyễn Thị Thanh Hà2, Vũ Thị Ngọc Diệu1 1 Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 2 Trường Đại học Công nghiệp Việt Trì Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi trình bày một số phương pháp xây dựng các bài toán về giới hạn của hàm số từ định lý giá trị trung bình bằng kỹ thuật tạo dựng các hàm phụ. Từ khóa: Định lý giá trị trung bình, giới hạn của dãy số, hàm số liên tục, hàm số khả vi. Nhận bài ngày 10.7.2017; gửi phản biện, chỉnh sửa và duyệt đăng ngày 10.9.2017 Liên hệ tác giả: Nguyen Văn Hào; Email: nguyenanhaoh hn!"gmail#com 1. MỞ ĐẦU Các định lý cơ bản về đạo hàm đóng vai trò quan trọng trong Toán học, cũng như nhiều lĩnh vực khoa học khác. Điều đó, người ta có thể kể đến một số vấn đề như: bài toán tồn tại nghiệm của các phương trình đại số, ước lượng khoảng chứa nghiệm của các phương trình và toán tử trong việc giải gần đúng của lý thuyết số, bài toán tìm cực trị của hàm số Khởi nguồn của các định lý giá trị trung bình là Định lý Rolle được phát biểu như sau: Định lý 1 (Định lý Rolle): Giả sử hàm ( )y f x= liên tục trên đoạn [ , ]a b , khả vi trên khoảng ( , )a b và thỏa mãn điều kiện ( ) ( )f a f b= . Khi đó, tồn tại ít nhất một số ( , )c a b∈ sao cho ( ) 0f c′ = . Theo một khía cạnh, nhìn lại cách chứng minh của định lý Lagrange và định lý Cauchy, chúng ta thấy hai định lý đó là hệ quả của định lý Rolle nhờ việc thiết lập hai hàm phụ cũng thỏa mãn các giả thiết của định Rolle tương ứng là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a x f x f a x a b a ϕ − = − − − − Và: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a x f x f a g x g a g b g a ϕ − = − − − − . 32 TRNG I HC TH  H NI Từ việc thiết lập các hàm phụ đó, ta nhận được hai định lý quan trọng sau: Định lý 2 (Định lý Lagrange): Giả sử hàm số ( )f x hàm liên tục trên đoạn [ , ]a b và khả vi trên khoảng ( , )a b . Khi đó tồn tại số ( , )c a b∈ sao cho: ( ) ( ) ( ) f b f a f c b a − ′ = − Hay: ( ) ( ) ( )( )f b f a f c b a′− = − Định lý 3 (Định lý Cauchy): Giả sử các hàm số ( )f x và ( )g x liên tục trên đoạn, khả vi trên khoảng ( , )a b và ngoài ra ( )g x′ khác 0 với mọi giá trị của x thuộc khoảng ( , ).a b Khi đó, tồn tại điểm ( , )c a b∈ sao cho: ( ) ( ) ( ) . ( ) f b f a f x b a g x ′− = ′− Các kết quả này chúng tôi không trình bày cách chứng minh ở đây, chi tiết có thể thao khảo trong tài liệu [1]. Một cách tổng quan, ta có thể nói rằng hai định lý Lagrange và định lý Cauchynhận được từ việc kết hợp từ hàm ( )f x (mà ở đây chúng ta gọi nó là “hàm gốc”) liên tục trên đoạn [ , ]a b và khả vi trên khoảng ( , )a b với những điều kiện phụ nào đó để được những kết quả mới. Theo ý tưởng đó, chúng tôi sử dụng một số giới hạn cơ bản một số hàm sơ cấp kết hợp với hàm gốc ( )f x để có được các bài toán mới về giới hạn của hàm số 2. MỘT SỐ CÁCH XÂY DỰNG BÀI TOÁN GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TỪ CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠO HÀM 2.1. Các giới hạn cơ bản của hàm số một biến số Để thuận lợi cho việc trình bày kết quả, chúng ta nhắc lại một số giới hạn cơ bản sau: 1. ( ) ( ) 0 1 lim 1 ( ) n n e n α α α→ − = . 2. ( ) ( ) 0 ln 1 ( ) lim 1 ( )n n nα α α→ + = 3. ( ) ( ) lim 1 ( ) n a n a e n α α α→∞   + =    . 4. ( ) 0 sin ( ) lim 1 ( )n n nα α α→ = 5. ( ) 0 tan ( ) lim 1 ( )n n nα α α→ = . TP CH KHOA HC − S 18/2017 33 2.2. Xây dựng một số bài toán qua việc kết hợp hàm gốc với các giới hạn cơ bản Trong phần này, chúng ta xây dựng một số bài toán về giới hạn của dãy số bằng cách thiết lập những dãy hàm số thoả mãn các giả thiết của định lý Rolle. Bài toán 1. Cho hàm số ( )f x khả vi trên đoạn [ , ]a b . Giả sử rằng ( ) ( ) 0f a f b= = và ( ) 0f x ≠ với mọi ( , )x a b∈ . Chứng minh rằng tồn tại dãy { } 1n n x ∞ = trong khoảng ( , )a b sao cho: ( ) lim 2017 ( 1) ( ) n nn n f x e f x→∞ ′ = − . Để chứng minh bài toán này, chúng ta xét hàm số: 2017 ( ) ( ); ( , ) x n n H x e f x x a b − = ∈ . Đạo hàm của ( ) n H x là: 2017 2017 2017 ( ) ( ) ( ) x x n n n H x e f x e f x n − − ′ ′= − + 2017 2017 ( ) ( ) x ne f x f x n −   ′ = −    . Từ giả thiết ( )f x khả vi trên đoạn[ , ]a b và ( ) ( ) 0f a f b= = , chúng ta suy ra ( ) n H x thỏa mãn các điều kiện của định lý Rolle. Do đó, tồn tại dãy { } ( , )nx a b⊂ sao cho ( ) 0 n n H x′ = . Từ đó, ta có: ( ) 2017 ( ) n n f x f x n ′ = . Sử dụng giới hạn cơ bản 1 trong mục 2.1, chúng ta thu được: ( ) 2017 2017 lim lim lim 2017 ( 1) ( ) ( 1) 1 1 n n n nn n n n f x e f x e n e n →∞ →∞ →∞ ′ = = = − − − . 34 TRNG I HC TH  H NI Giữ nguyên hàm 2017 ( ) ( ) x n n H x e f x − = và sử dụng các giới hạn cơ bản khác, chúng ta nhận được các bài toán sau: Bài toán 2. Cho hàm ( )f x khả vi trên [ , ]a b và thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) 0f a f b= = . Chứng minh rằng, nếu ( )f x không đồng nhất bằng 0 trên khoảng ( , )a b thì tồn tại một dãy { }nx trong khoảng ( , )a b sao cho: 2017( )lim 1 ( ) n n n n f x e f x→∞  ′   + =   . Bài toán 3. Cho hàm ( )f x khả vi trên [ , ]a b và ( ) ( ) 0f a f b= = . Chứng minh rằng nếu ( )f x không đồng nhất bằng 0 trên khoảng ( , )a b thì tồn tại một dãy { }nx trong khoảng ( , )a b sao cho: ( ) lim ln 1 2017 ( ) n n n f x n f x→∞   ′   + =      . Bài toán 4. Cho hàm ( )f x khả vi trên [ , ]a b và ( ) ( ) 0f a f b= = . Chứng minh rằng nếu ( )f x không đồng nhất bằng 0 trên khoảng ( , )a b thì tồn tại một dãy { }nx trong khoảng ( , )a b sao cho: ( ) lim sin 2017 ( ) n n n f x n f x→∞  ′   =     . Bài toán 5. Cho hàm ( )f x khả vi trên [ , ]a b và ( ) ( ) 0f a f b= = . Chứng minh rằng nếu ( )f x không đồng nhất bằng 0 trên khoảng ( , )a b thì tồn tại một dãy { }nx trong khoảng ( , )a b sao cho: ( ) lim tan 2017 ( ) n n n f x n f x→∞  ′   =     . 2.3. Một số hàm khác Ngoài hàm ( ) n H x được xét trong bài toán mở đầu, ta có thể lập các hàm khác. Tương ứng với mỗi hàm cùng giới hạn cơ bản, ta được các bài toán mới như sau: TP CH KHOA HC − S 18/2017 35 2.3.1. Xét hàm 1( ) ( ). x n n D x e f x α − = Hàm này có đạo hàm là: ( ) 1 1( ) ( ) ( ) x x n n n x D x e f x e f x n α α α α − − −′ ′= − + 1 ( ) ( ) x n x e f x f x n α α α −−   ′= −     . Khi hàm 1( ) n D x thoả mãn các điều kiện của định lý Rolle nhận được từ giả thiết của hàm gốc cho ta khẳng định ( )1( ) 0n nD x ′ = . Điều đó, tương đương với: 1 ( ) ( ) n n n f x nx f xα α − ′ = . Từ đó, chúng ta có bài toán: Bài toán 7. Cho hàm ( )f x khả vi trên đoạn [ , ]a b và giá trị của hàm tại hai đầu mút đều bằng 0. Chứng minh rằng nếu ( )f x không đồng nhất bằng 0 trên khoảng ( , )a b thì tồn tại một dãy { }nx trong khoảng ( , )a b thỏa mãn: 1. 1 ( ) lim ( 1) ( ) n nn n n f x e x f xα α −→∞ ′ = − ; 2. 1 ( ) lim 1 ( ) n n n n n f x e x f x α α−→∞  ′   + =    ; 3. 1 ( ) lim ln 1 ( ) n n n n f x n x f xα α −→∞   ′   + =       ; 36 TRNG I HC TH  H NI 4. 1 ( ) lim sin ( ) n n n n f x n x f xα α −→∞  ′   =    ; 5. 1 ( ) lim tan ( ) n n n n f x n x f xα α −→∞  ′   =    . 2.3.2. Xét hàm 2( ) ( ). os . n x D x f x c n = Đạo hàm của hàm này là: ( )2 1( ) ( ) os ( )sinn x x H x f x c f x n n n ′ ′= − . Điều kiện ( )2( ) 0n nD x ′ = cho ta: ( ) 1 tan ( ) n n n f x x f x n n ′ = . Từ đó, ta nhận được bài toán: Bài toán 8. Cho hàm ( )f x khả vi trên 0; 4 pi       và (0) 0 4 f f pi  = =    . Khi đó, nếu ( )f x không đồng nhất bằng 0 trên khoảng 0; 4 pi      thì tồn tại một dãy { }nx trong khoảng đó sao cho: 2 ( ) lim 1 ( ) n n n n n f x x f x→∞ ′ = . Tương tự như vậy, đối với hàm: 3( ) ( )cot n x H x f x n = ; với 0; 4 x pi  ∈     , chúng ta nhận được: TP CH KHOA HC − S 18/2017 37 Bài toán 9. Cho hàm ( )f x khả vi trên 0; 4 pi       và (0) 0 4 f f pi  = =    . Khi đó nếu ( )f x không đồng nhất bằng 0 trên khoảng đó thì tồn tại dãy { } 0; 4n x pi  ⊂     sao cho: ( ) lim 1 ( ) n n n n x f x f x→∞ ′ = . Kết thúc phần này chúng ta trình bày lời giải đầy đủ của bài toán sau: Bài toán 10. Cho hàmsố ( )f x khả vi trên [ , ]a b và ( ) ( ) 0f a f b= = . Giả sử ( )f x không đồng nhất bằng 0 trên ( , )a b . Chứng minh rằng tồn tại dãy { } ( , )nx a b⊂ sao cho: ( ) lim 2017 ( ) n n n n x f x f x→∞ ′ = − . Trong bài toán này, chúng ta xét hàm phụ: 2017 4( ) ( )ln 1 n x D x f x n   = +     . Ta có: ( ) 2016 2017 4 2017 2017. ( ) ( )ln 1 ( ) 1 n x x nD x f x f x n x n  ′  ′ = + +    + . Từ các điều kiện của hàm ( )f x chúng ta thấy rằng hàm 4( ) n D x thỏa mãn điều kiện của định lý Rolle trên đoạn [ , ]a b . Từ đó, suy ra tồn tại dãy { } 1 ( , ) n n x a b ∞ = ⊂ sao cho: ( )4( ) 0n nD x ′ = , tức là: 2016 2017 2017 2017 ( ) ( ) 1 ln 1 n n n n n xf x n f x x x n n ′ = −        + +          . 38 TRNG I HC TH  H NI Do đó: 2017 2017 2017 2017 ( ) lim lim ( ) 1 ln 1 n n n n n n n n xx f x n f x x x n n →∞ →∞        ′  = −          + +             2017 2017 2017 2017 lim 1 ln 1 n n n n x n x x n n →∞          = − ⋅          + +             2017=− . 3. KẾT LUẬN Bằng việc sử dụng những tính chất đặc trưng của hàm sơ cấp và kỹ thuật tạo dựng hàm phụ, chúng ta cũng thấy được một phương pháp vận dụng kết hợp giữa giới hạn cơ bản với định lý giá trị trung bình để có được một lớp các bài toán giới hạn về dãy số khá đặc sắc. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn (2008), Giáo trình giải tích tập 2, - Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội. 2. P. Ahern, M. Flores and W. Rudin (1993), “An invariant volume-mean value property”, J. Funct. Anal. 111, pp.380-397. 3. W. A. Granville (2008), Elements of the Differential and Integral Calculus (revised edition). 4. W. J. Kaczor, M. T. Nowak (2001), Problems in Mathematical Analysis II:Continuity and Differentiation, Student mathematical library, Volume 12, pp.45-52. 5. K. Ramachandra (1995), Lectures on the Mean-Value and Omega-Theorems for the Riemann Zeta-Function, Springer-Verlag Berlin Heidelberg - New York-Tokyo. APPLICATION OF MEAN VALUE THEOREM IN PROBLEMS OF SEQUENCE LIMIT Abstract: In this paper, we presented some methods of construction of sequence limit problems by mean - value theorems with technics of creation aid functions. Keywords: volume-mean value theorem, sequence limit, continiuos function, differential function.