Ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải và sáng tạo những bài toán afin

Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 7 Đại học Đà Nẵng năm 2010 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC XẠ ẢNH VÀO GIẢI VÀ SÁNG TẠO NHỮNG BÀI TOÁN AFIN THE APPLICATION OF PROJECTIVE GEOMETRY TO SOLVE AND CREATE AFFINE PROBLEMS SVTH: Bùi Thị Anh Đào Lớp 07ST, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm TÓM TẮT Mục đích của đề tài này là trình bày mối quan hệ giữa các bài toán xạ ảnh phẳng và các bài toán afin phẳng. Vận dụng mối quan hệ này để giải và sáng tạo những bài toán afin phẳng ABSTRACT The aim of this topic is to present the relation between plane projective problems and plane affine problems. Using this relation to solve and create plane affine problems. 1. Mở đầu Hình học xạ ảnh là một trong những môn học chuyên ngành dành cho sinh viên ngành Toán tại các trường Đại học Sư Phạm trong cả nước. Mục đích của môn học là cung cấp cho sinh viên cái nhìn tổng quan về các hình học và mối quan hệ giữa chúng. Đồng thời, hình học xạ ảnh giúp chúng ta có một phương pháp suy luận, phương pháp giải và sáng tạo một số bài toán thuộc chương trình phổ thông. Việc ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải và sáng tạo những bài toán hình học afin là một vấn đề cơ bản và cũng là một trong những mục đích, yêu cầu quan trọng dành cho các sinh viên khi học môn hình học xạ ảnh để hiểu rõ và vận dụng trong công tác giảng dạy sau này. Hiện nay, trong các giáo trình Hình học xạ ảnh đã đề cập đến mối quan hệ giữa hình học xạ ảnh và hình học afin tuy nhiên còn ở mức độ khiêm tốn, việc sáng tạo các bài toán mới cũng ít được quan tâm. Nhằm tìm hiểu sâu hơn về hình học xạ ảnh, đồng thời ứng dụng nó vào chương trình phổ thông, tôi chọn đề tài nghiên cứu khoa học cho mình là: “Ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải và sáng tạo những bài toán afin”. 2. Các mô hình 2.1. Mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh Trong không gian afin A3 , ta bổ sung thêm các phần tử mới như sau: - Mỗi đường thẳng bổ sung thêm một “điểm vô tận” sao cho hai đường thẳng song song cắt nhau tại “điểm vô tận”. Đường thẳng bổ sung thêm “điểm vô tận” được gọi là đường thẳng mở rộng. 438 Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 7 Đại học Đà Nẵng năm 2010 - Tập hợp các “điểm vô tận” của mặt phẳng cùng nằm trên một “đường thẳng vô tận”. Mặt phẳng được bổ sung thêm “đường thẳng vô tận” được gọi là mặt phẳng mở rộng. Như vậy, trong mặt phẳng mở rộng ta có: - Hai đường thẳng bất kì cùng thuộc một mặt phẳng thì luôn cắt nhau tại một điểm (hoặc là điểm afin thông thường, hoặc là điểm vô tận). - Hai mặt phẳng phân biệt luôn có một đường thẳng chung. - Một đường thẳng bất kì không nằm trong mặt phẳng luôn cắt mặt phẳng tại một điểm. Xét một mặt phẳng afin A2 trong không gian afin mở rộng A3 . Kí hiệu [V 2 ] là tập hợp các không gian vectơ con một chiều của V 2 Đặt P 2  A2 V 2  khi đó, P 2 là không gian xạ ảnh hai chiều (Mặt phẳng xạ ảnh). Mặt phẳng afin A2 có bổ sung thêm các điểm vô tận được gọi là mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh. 2.2. Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin Xét mặt phẳng xạ ảnh P 2 liên kết với không gian vectơ V 3 , chọn đường thẳng  làm đường thẳng vô tận. Khi đó, tập hợp A2  P 2 \  là mặt phẳng afin và được gọi là mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin. Trong mô hình này, các điểm thuộc  được gọi là các điểm vô tận, các điểm không thuộc  được gọi là các điểm thông thường. 2.3. Sự liên hệ giữa bài toán afin phẳng và bài toán xạ ảnh phẳng Từ sự liên hệ giữa mặt phẳng afin và mặt phẳng xạ ảnh ta suy ra được nhận xét sau về mối liên hệ giữa bài toán afin phẳng và bài toán xạ ảnh phẳng: - Từ bài toán afin M phẳng, bằng cách bổ sung vào mặt phẳng afin một A’ đường thẳng vô tận sao cho A hai đường thẳng song song I cắt nhau tại một điểm nằm B' trên đường thẳng vô tận ta B thu được một bài toán xạ ảnh phẳng. C’ - Ngược lại, từ một bài toán xạ ảnh phẳng, bằng C cách cố định một đường thẳng của mặt phẳng xạ ảnh P làm đường thẳng vô tận ta thu được một bài toán afin phẳng. Nói cách khác, ta có thể dùng kiến thức của hình N 439 Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 7 Đại học Đà Nẵng năm 2010 học xạ ảnh để giải các bài toán afin và ngược lại. Ví dụ: Dùng mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin để chứng minh định lý Desargues Định lý Desargues. Trong không gian xạ ảnh P2 , cho hai tam giác ABC và tam giác A'B'C'. Khi đó, các đường thẳng nối các cặp đỉnh tương ứng của hai tam giác đồng quy khi và chỉ khi giao điểm các cặp cạnh tương ứng cùng nằm trên một đường thẳng. Nhận xét: Nếu ta chọn đường thẳng chứa M, N, P làm đường thẳng vô tận khi đó trong mô hình A2  P2 \ MN các đường thẳng AB và A' B'; AC và A'C'; BC và B'C' song song với nhau. Ta thu được bài toán afin như sau: Cho hai tam giác ABC và A'B'C' có các đường thẳng nối các đỉnh tương ứng đồng quy tại một điểm. Chứng minh rằng nếu hai cặp cạnh tương ứng của tam giác song song với nhau thì cặp cạnh còn lại cũng song song. 3. Ứng dụng hình học xạ ảnh phẳng vào giải và sáng tạo những bài toán afin phẳng Vận dụng mối quan hệ giữa bài toán afin và bài toán xạ ảnh, ta có thể sáng tạo ra nhiều bài toán afin khác nhau từ một bài toán afin cho trước. Thật vậy, sau khi đã chuyển một bài toán afin sang bài toán xạ ảnh, với cách chọn các đường thẳng khác nhau làm đường thẳng vô tận, ta lại thu được nhiều bài toán afin khác nhau. Sau đây là một ví dụ minh họa Xét bài toán afin. Trong A2 , cho hình bình hành ABCD. Từ điểm M tuỳ ý trên cạnh AB , ta dựng đường thẳng a cắt cạnh BC tại N. Từ điểm Q tuỳ ý trên cạnh AD, ta dựng đường thẳng b//a, cắt cạnh CD tại P. Gọi O là giao điểm của MP và NQ. Chứng minh rằng O, B, D thẳng hàng. 3.1. Giải bài toán: Ta sẽ dùng mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh để giải bài toán trên Bổ sung thêm đường thẳng vô tận K  sao cho: AD  BC  I; AB  CD  J; MN  PQ  K. với I, J, K   . Ta thu được bài toán xạ ảnh như J sau: Trong P 2 , cho ba đường thẳng a, b, c phân biệt thuộc chùm tâm I . Trên a lấy hai điểm J, K. Trên c lấy hai điểm B, C. A Gọi D  JC  b; A  JB  b. M, Q lần lượt nằm trên AB và AD . Gọi M N  KM  BC; P  KQ  DC; Q D O  MP  NQ. Chứng minh rằng B, O, D O P thẳng hàng B N C I Ta giải bài toán như sau: Xét hai tam giác BMN và DPQ . BM  DP  J , 440 Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 7 Đại học Đà Nẵng năm 2010 MN  PQ  K , NB QD  I . Mà I, J,K   . Theo định lý Desargue  MP, NQ , BD đồng quy. Mà MP  NQ  O  O BD . Hay B, O, D thẳng hàng. 3.2. Sáng tạo những bài toán mới Chọn BD làm đường thẳng vô tận, ta thu được bài toán sau Bài toán 1: Trong mặt phẳng afin, cho hình thang MNIJ (MJ // NI ) có các cạnh bên cắt nhau tại K . Trên hai cạnh đáy lấy hai điểm A,C A MJ,C  NI  sao cho AI //CJ . Q là điểm bất kì thuộc AI , KQ cắt CJ tại P . Chứng minh rằng MP //NQ . Chọn BC làm đường thẳng vô tận, ta thu được bài toán Bài toán 2: Cho hình thang BOMJ BO // MJ  có các cạnh bên cắt nhau tại P . Lấy điểm A bất kì thuộc MJ .Trên AD lấy điểm Q . Đường thẳng qua M , song song với OQ cắt PQ tại K . Chứng minh rằng KJ // AD . Chọn BA làm đường thẳng vô tận, ta thu được bài toán Bài toán 3: Cho tứ giác KNQI , trên IQ lấy điểm D . Qua D vẽ đường thẳng song song với IN cắt NQ tại O . Qua O vẽ đường thẳng song song với KN cắt KQ tại P . Chứng minh rằng DP // IK . Bài toán 4: Chứng minh rằng nếu hai tam giác có các cặp cạnh tương ứng song song thì các đường thẳng nối các đỉnh tương ứng của chúng đồng quy. 4. Kết luận Đề tài “Ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải và sáng tạo những bài toán afin” đã giải quyết được các vấn đề sau: 1. Xây dựng mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh và mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin. 2. Trình bày mối quan hệ giữa bài toán afin phẳng và bài toán xạ ảnh phẳng. 3. Ứng dụng hình học xạ ảnh phẳng vào giải và sáng tạo những bài toán afin phẳng. 4. Nội dung đề tài là một tài liệu tham khảo tốt dành cho sinh viên khi học môn hình học xạ ảnh. Hình học xạ ảnh không những được ứng dụng để giải và sáng tạo các bài toán afin mà còn nhiều ứng dụng khác trong hình học sơ cấp. Hy vọng rằng nội dung đề tài còn tiếp tục được mở rộng và hoàn thiện hơn, nhằm phục vụ cho việc dạy và học toán thuộc chương trình phổ thông. 441 Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 7 Đại học Đà Nẵng năm 2010 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Khu Quốc Anh, Phạm Bình Đô, Tạ Mân (1984), Bài tập hình học cao cấp, (tập2), Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội. [2] Văn Như Cương (1999), Hình học xạ ảnh, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội. [3] Văn Như Cương, Kiều Huy Luân (1978), Hình học cao cấp, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội. [4] Văn Như Cương (chủ biên), Kiều Huy Luân, Hoàng Trọng Thái (2001), Hình học 2, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội. [5] Nguyễn Mộng Hy (2007), Hình học cao cấp, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội. [6] Nguyễn Mộng Hy (2008), Bài tập hình học cao cấp, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội. [7] Phạm Quý Mười (2006), Ứng dụng hình học xạ ảnh vào việc giải và sáng tạo các bài toán hình học sơ cấp, Đề tài nghiên cứu khoa học cấp Đại học Đà Nẵng. [8] Nguyễn Cảnh Toàn (1979), Hình học cao cấp, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội 442