Ứng dụng thuật toán di truyền tối ưu nhiều mục tiêu giải bài toán quản lý danh mục đầu tư

Trang 66 CHƯƠNG III ỨNG DỤNG THUẬT TOÁN DI TRUYỀN TỐI ƯU NHIỀU MỤC TIÊU GIẢI BÀI TOÁN QUẢN LÝ DANH MỤC ĐẦU TƯ 3.1 Mô hình quản lý danh mục đầu tư 3.1.1. Giới thiệu danh mục đầu tư Harry Markowitz đã mô hình hóa quá trình lựa chọn danh mục đầu tư dưới dạng một bài toán quy hoạch phi tuyến (bài toán Markowitz). Mục tiêu của bài toán Markowitz là tìm các tỉ trọng của các chứng khoán trong danh mục đầu tư sao cho giảm tới mức tối thiểu phương sai (rủi ro) của danh mục mà đạt được một mức thu nhập đã định. Giải liên tiếp bài toán với các mức thu nhập mong đợi người ta xác định được một tập hợp các danh mục đầu tư có hiệu quả. Từ đây nhà đầu tư sẽ lựa chọn một danh mục nằm trong tập hợp các danh mục dựa trên quan điểm của mình về việc “đánh đổi” giữa thu nhập và rủi ro. Lý thuyết của Markowitz cũng chỉ ra rằng việc đa dạng hóa danh mục đầu tư sẽ giảm thiểu rủi ro phi hệ thống đối với các nhà đầu tư. Những rủi ro phi hệ thống như: sự mất giá của tiền đồng so với đồng Dollar hay sự bất ổn về mặt chính trị của một quốc gia nơi mà các công ty có cổ phiếu niêm yết trên sàn giao dịch hoặc tình hình dịch bệnh cũng ảnh hưởng đến một nhóm cổ phiếu của các công ty thuộc các hngành liên quan có cổ phiếu niêm yết trên sàn giao dịch,… Hiện nay có rất nhiều mô hình toán học liên quan đến việc lựa chọn danh mục đầu tư đã được xây dựng và phát triển dựa trên mô hình của Markorwitz. Hầu hết các mô hình này cố gắng xây dựng theo hướng thực tiễn tức là phải đạt tối đa lợi nhuận có thể được, cực tiểu hóa rủi ro của các loại chứng khoán trong danh mục đầu tư và cực tiểu hóa chi phí giao dịch,…nhưng phải phù hợp với sự biến động và hành vi của nhà đầu tư trong thị trường chứng khoán. Trang 67 3.1.2. Mô hình toán học a) Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên ban đầu. Trong dạng cơ bản nhất, bài toán lựa chọn danh mục đầu tư được phát biểu như sau. Xét một lượng tiền cố định để đầu tư vào chứng khoán đã được lựa chọn từ tập hợp gồm n chứng khoán. Cho biết: - Thời kỳ bắt đầu và kết thúc việc nắm giữ cổ phiếu hay chứng khoán. - ݔ௜ là lượng tiền trong tổng số tiền ban đầu của nhà đầu tư để đầu tư vào chứng khoán thứ i. ෍ݔ௜ = 1௡ ௜ୀଵ - ܴ௜ = ܧ(ݎ௜) : Kỳ vọng vào lợi nhuận của chứng khoán thứ i. - ݎ௜ là biến ngẫu nhiên cho thu nhập từ chứng khoán thứ i trong suốt thời kỳ nắm giữ chứng khoán này. Khi đó giá trị thực của ݎ௜ vẫn chưa biết cho đến kết thúc thời kỳ nắm giữ cổ phiếu, hơn nữa giả sử rằng tất cả các kỳ vọng ߤ௜ phương sai ߪ௜ và hiệp phương sai ߪ௜௝ của ݎ௜ đã biết tại lúc đầu của thời kỳ nắm giữ chứng khoán. - ݎ௣ được xem như là biến ngẫu nhiên thu nhập trên danh mục đầu tư xác định bởi ݎ௜ và giá trị của xi trong suốt thời kỳ nắm giữ cổ phiếu. Chúng ta có: ݎ௣ =෍ݎ௜ݔ௜௡ ௜ୀଵ Giả sử rằng các nhà đầu tư chỉ quan tâm tối đa hóa các mục tiêu thu nhập dựa trên danh mục đầu tư. Sau đó bài toán lựa chọn danh mục đầu tư để cực đại ݎ௣ được phát biểu như sau: ܯܽݔ ൝ݎ௣ =෍ݎ௜ݔ௜௡ ௜ୀଵ ൡ (1) ݏܽ݋ ܿℎ݋ ݔ ∈ ܵ = {ݔ ∈ ܴ௡ | ෍ݔ௜௡ ௜ୀଵ = 1, ߙ௜ ≤ ݔ௜ ≤ ߱௜} Trang 68 Trong đó S là tập chấp nhận được. Trong khi (1) có thể trong giống như bài toán quy hoạch tuyến tính, nhưng thực ra không phải . Khi ݎ௜ chưa biết cho đến khi thời kỳ nắm giữ cổ phiếu kết thúc, nhưng ݔ௜ phải được xác định tại lúc đầu của thời kỳ nắm giữ cổ phiếu thì (1) là bài toán tuyến tính ngẫu nhiên. Như vậy kể từ bây giờ ta gọi (1) là bài toán quy hoạch ngẫu nhiên ban đầu. Nghiệm của bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên rất khó xác định vì chưa có một khái niệm phù hợp về nghiệm tối ưu cho bài toán quy hoạch ngẫu nhiên. Một cách tiếp cận cơ sở để giải bài toán (1) là chuyển bài toán ngẫu nhiên thành bài toán tương đương mà ta gọi là bài toán tất định tương đương. Bài toán tất định tương đương mặc nhiên có các đặc trưng thống kê hoặc tính chất đặc trưng của các biến ngẫu nhiên . Đối với bài toán ngẫu nhiên một mục tiêu như bài toán (1) có năm khả năng tất định tương đương là: (ܽ) max {ܧൣݎ௣൧ =෍ݎ௜ݔ௜௡ ௜ୀଵ } ݏܽ݋ ܿℎ݋ ݔ ∈ ܵ (ܾ) min {ܸൣݎ௣൧ =෍෍ߪ௜௝௡ ௝ୀଵ ௡ ௜ୀଵ ݔ௜ݔ௝} ݏܽ݋ ܿℎ݋ ݔ ∈ ܵ (ܿ) max {ܧൣݎ௣൧} min {ܸൣݎ௣൧} ݏܽ݋ ܿℎ݋ ݔ ∈ ܵ (d) max {ܲൣݎ௣൧ ≥ ݑ} ݏܽ݋ ܿℎ݋ ݔ ∈ ܵ (݁) max {ݑ} ݏܽ݋ ܿℎ݋ ܲ൫ݎ௣ ≥ ݑ൯ ≥ ߚ ݔ ∈ ܵ Ta hãy nhớ lại rằng ở phần trước tất cả các yếu tố kỳ vọng ߤ௜ phương sai ߪ௜ và hiệp phương sai ߪ௜௝ của ri được giả sử là đã biết vào thời kỳ bắt đầu nắm giữ cổ phiếu, nhưng với danh mục đầu tư đã chọn lựa, một nhà đầu tư phải làm cách nào để thay đổi danh mục đầu tư đã chọn. Điểm này sẽ được minh họa để nắm các bước giải và đào sâu nghiên cứu Trang 69 các yếu tố căn bản (đã đưa trong bài toán quy hoạch ngẫu nhiên đầu tiên) thành khả năng tất định tương ứng từ (a) đến (e). Các nhà toán học ở thế kỷ 17 giả sử rằng một người chơi bài thì không quan tâm đến một kết quả không chắc chắn của ván bài và giá trị tiền mặt thu được như mong đợi. Trong vai trò của việc lựa chọn danh mục đầu tư, thì những người chơi bài sẽ là một nhà đầu tư và hành động chọn lá bài trong cuộc khi chơi bài cũng giống như việc lựa chọn cổ phiếu trong danh mục đầu tư. Và ta có một biểu thức chắc chắn tương đương là: ܥܧ = ܧ[ݎ௣] Rõ ràng một nhà đầu tư sẽ muốn cực đại lượng tiền mặt nhận được một cách chắc chắn, đây là lý do căn bản trực tiếp dẫn đến khả năng tất định tương đương (a). Tung một đồng xu cho đến khi mặt của nó là: “xấp”. Các tay chơi cá cược sẽ nhận được 1 đồng nếu khi tung đồng xu lần đầu là mặt “xấp”. 2 đồng nếu qua 2 lần tung đồng xu thì được mặt “xấp”, 4 đồng nếu qua 3 lần tung đồng xu thì được mặt “xấp”, một cách tổng quát là sẽ được 2h-1 đồng nếu qua h lần tung đồng xu thì được mặt “xấp”. Giá trị kỳ vọng của cuộc cá cược là không xác định, nhưng trong thực tế nhiều tay cá cược sẽ sẵn lòng chấp nhận chỉ với một lượng nhỏ khi cá cược. Do đó, Bernoulli đề nghị không so sách kết quả bằng tiền mặt mà so sánh thông qua tính “lợi ích” của tiền mặt. Hàm lợi ích của tiền mặt được xác định như sau: ܷ ∶ ܴ  ܴ Do đó chúng ta có: ܷ(ܥܧ) = ܧ[ܷ(ݎ௣)] Điều này có nghĩa là lợi ích của CE bằng kỳ vọng lợi ích của danh mục đầu tư ngẫu nhiên. Nhà đầu tư hy vọng cực đại U(CE), điều này dẫn đến bài toán cơ sở Bernoulli nhằm cực đại lợi ích mong đợi như sau: ܯܽݔ {ܧൣܷ൫ݎ௣൯൧} (2) ݏܽ݋ ܿℎ݋ ݔ ∈ ܵ Hàm U rõ ràng tăng cùng với rp, điều này có nghĩa là với bất kỳ x nào là nghiệm của (2) thì là nghiệm của (1) và ngược lại. Mặc dù bài toán lợi ích kỳ vọng cực đại của Bernoulli- Trang 70 (2) được xác định là tương đương với (1), chúng ta vẫn gọi đây là một bài toán xác định “không tất định” tương đương bởi vì bài toán không xác định một cách đầy đủ các tham số hàm lợi ích chưa biết và không thể giải được ở dạng hiện tại. Tuy nhiên với những nhà đầu tư giả sử rằng có những rủi ro ngoài ý muốn. Trong bài toán (2) thì U là một hàm lõm và bất định nên ta cần phải tham số hóa hàm U và sau đó cố gắng giải bài toán (2). Markowitz để xuất hàm lợi ích bậc 2 đã tham số hóa như sau: ܷ(ݔ) = ݔ − ߣ2 ݔଶ (3) Kể từ khi U(x) ở trên đã được chuẩn hóa sao cho: U(0) = 0 và U’(0) = 1, điều này dẫn đến chính xác một tham số λ – hệ số rủi ro ngoài ý muốn. Với các tham số này Markowitz cho thấy một cách chính xác tất cả các phương án cực đại tiềm năng của bài toán không tất định (undetermined) tương ứng – (2) với rủi ro ngoài ý muốn, thì các nhà đầu tư có thể đạt được điều này bằng cách giải bài toán khả năng tất định tương đương (c) max {ܧൣݎ௣൧} min {ܸൣݎ௣൧} ݏܽ݋ ܿℎ݋ ݔ ∈ ܵ ∀ݔ ߳ ܵ thì việc tăng hay giảm thiểu rủi ro cũng không làm giảm lợi nhuận kỳ vọng đạt được từ danh mục đầu tư của nhà đầu tư. Như đã biết tập các vector x như vậy thay cho tập hữu hiệu (không gian thành phần đầu tư) và tập tất cả các ảnh của các điểm hữu hiệu thay cho tập không trội (trong không gian tiêu chuẩn). Do đó với U như trong (3), thì (c) là bài toán tất định tương đương thích hợp nhất của 5 bài toán nêu trên. Chú ý rằng ứng với giá trị cực biên ߣ = 0 ( rủi ro trung lập) hoặc ߣ  ∞ (rủi ro ngoài ý muốn), chúng ta đạt được khả năng (a) hoặc (b) một cách tương ứng, như trường hợp đặc biệt (c). Nên chú ý rằng kể từ khi hàm giới hạn U không tồn tại khi ߣ  ∞, (b) thì không đạt được một cách trực tiếp các phương án làm cực đại lợi ích kỳ vọng. Chỉ đạt được khi giới hạn của các phương án của lợi ích kỳ vọng đối với việc tăng rủi ro ngoài ý muốn. Ta xét một tình huống cực biên khác trong đó: Trang 71 ܷ(ݔ) = ൞ 1, ܿ + ߝ ≤ ݔ ݔ − ܿ ߝ , ܿ ≤ ݔ < ܿ + ߝ 0, ݔ < ܿ Với tham số chưa biết ܿ và ࣕ > 0 , ta thấy rằng: ܲ(ݎ ≥ ܿ) ≥ ܧ[ܷ(ݎ)] ≥ ܲ(ݎ ≥ ܿ + ߝ) Khi r là biến ngẫu nhiên liên tục, chúng ta đạt được: ܧ[ܷ(ݎ)] = ܲ(ݎ ≥ ܿ) Khi ߳  ∞, điều này dẫn đến bài toán (݀) và (݁). Thực tế, cho ܿ là mức rủi ro tự do của việc lợi nhuận. Sau đó (d) có ý nghĩa rằng khả năng để nhận ít mức rủi ro tự do của lợi nhuận nhất của danh mục đầu tư cần cực đại. Nếu r = (r1,…,rn ) là phân phối chuẩn nhiều chiều, trong trường hợp ܿ bằng với mức rủi ro tự do, sau đó lời giải (d) với danh mục đầu tư sẽ đạt được nhiều lợi tức. Lần nữa, cần phải chú ý rằng (d) và (e) không đạt được phương án tối ưu cực đại lợi ích kỳ vọng. Ngoài ra một khả năng tất định tương đương thứ 6 đưa vào (1) là: (f) max {ܧൣݎ௣൧ =෍ݎ௜ݔ௜௡ ௜ୀଵ } min {ܸൣݎ௣൧ =෍෍ߪ௜௝௡ ௝ୀଵ ௡ ௜ୀଵ ݔ௜ݔ௝} ݉ܽݔ{ܵ݇݁ݓൣݎ௣൧ =෍෍෍ߛ௜௝௞௡ ௞ୀଵ ௡ ௝ୀଵ ݔ௜ݔ௝ݔ௞ ௡ ௜ୀଵ } ݏܽ݋ ܿℎ݋: ݔ ∈ ܵ Trong đó: Skew là ký hiệu của đối xứng lệch. ߛ௜௝௞ = ܧൣ(ܴ௜ − ݎ௜)( ௝ܴ − ݎ௝)(ܴ௞ − ݎ௞)൧ Với các vector tiêu chuẩn độ dài 3, (f) là bài toán danh mục đầu tư đa mục tiêu. Công thức này có thể là công thức tiêu chuẩn đa mục tiêu duy nhất, không giống như lựa chọn danh mục đầu tư thông thường khi kết quả của lợi nhuận nằm trong đối xứng. Tuy nhiên, ta Trang 72 không chú trọng vào công thức (f) - như là một kết quả không tuyến tính của tiêu chuẩn thứ 3, không được ưa thích nhiều trong thực tế. Thay vào đó, ta tập trung vào các loại mới của bài toán lựa chọn danh mục đầu tư đa mục tiêu vì điều này đã xuất hiện như là một kết quả của nhiều mục đích phức tạp của các nhà đầu tư. Khi các công thức đa mục tiêu cho thấy nhiều tham vọng của nhà đầu tư hơn trong lựa chọn danh mục đầu tư thông thường thì các công thức tiêu chuẩn đa mục tiêu hầu như thích hợp khi cố gắng đáp ứng những nhu cầu mẫu mực của các nhà đầu tư với hàm lợi ích đa đối số. Trường hợp 2 trong các hàm lợi ích đa đối số sẽ không dễ xảy ra với lý do như sau:  Thứ 1: Việc tăng thêm lợi nhuận từ danh mục đầu tư, một nhà đầu tư có những suy xét khác nhau, chẳng hạn: để cực đại hóa trách nhiệm xã hội và cực tiểu số lượng cổ phần trong danh mục đầu tư. Như vậy thay vì quan tâm trong việc cực đại các mục tiêu ngẫu nhiên là lợi nhuận đạt được từ danh mục đầu tư, nhà đầu tư có thể tối ưu một số tổ hợp của một vài mục tiêu ngẫu nhiên và tất định.  Thứ 2 : trong đó hàm lợi ích đa đối số liên quan là khi một nhà đầu tư không sẵn lòng chấp nhận giả thiết rằng tất cả giá trị kỳ vọng ߤ௜ , phương sai ߪ௜ và hiệp phương sai ߪ௜௝ có thể coi như đã biết tại thời kỳ bắt đầu nắm giữ các loại cổ phiếu. Để phản ứng lại nhà đầu tư có thể muốn giám sát sự “hình thành” danh mục đầu tư của họ với sự trợ giúp của các tiêu chuẩn bổ sung, chẳng hạn như: cổ tức, sự tăng trưởng trong việc bán hàng, lượng đầu tư trong nghiên cứu và phát triển và những thứ khác có liên quan, để đảm bảo chống lại việc dựa vào các tiêu chuẩn đơn lẻ hoàn toàn không liên quan. Cho z1 là là một phương án của rp. Khi đó, danh sách của các giá trị tiêu chuẩn zi, từ những đối số có thể được lựa chọn để bố trí hàm lợi ích đa đối số của nhà đầu tư như sau: Max { Z1 = Lợi nhuận danh mục đầu tư } Max { Z2 = Tiền lãi cổ phần/cổ tức } Max { Z3 = Tăng trưởng trong bán hàng } Max { Z4 = Trách nhiệm xã hội } Trang 73 Max { Z5 = Khả năng thanh khoản bằng tiền mặt } Max { Z6 = Lợi nhuận đạt được từ các loại chứng khoán đã chọn từ danh mục } Max { Z7 = Lượng tiền đầu tư cho việc nghiên cứu và phát triển } Min { Z8 = Phần trăm của độ lệch trong việc phân phối tài sản } Min { Z9 = Số lượng chứng khoán trong danh mục đầu tư } Min { Z10 = doanh thu } Min { Z11 = cực đại tỉ trọng cân xứng đầu tư } Min { Z12 = Lượng tiền từ việc bán cổ phiếu trong thời gian ngắn hạn } Min { Z13 = Số lượng cổ phiếu bán trong thời gian ngắn hạn } Tất nhiên các zi có thể hình dung được. Chú ý sự khác biệt giữa z1 đến z6 và z8 đến z13. Đối với 6 hàm z đầu tiên, có thể không biết các giá trị thực tế của zi ( i =[1,6] ) cho đến khi kết thúc thời kỳ giữ cổ phiếu. Phụ thuộc vào việc tăng các biến ngẫu nhiên liên quan với cổ phần n, như z1,..,z6 là một biến ngẫu nhiên. Do đó sáu hàm z1 z6 là các hàm mục tiêu ngẫu nhiên. Từ z8 z13, giá trị thực của chúng đối với bất kỳ vector tỉ lệ đầu tư x thì có hiệu lực tại thời kỳ bắt đầu nắm giữa cổ phiếu. Ví dụ: bất kỳ vector tỉ lệ đầu tư x, z9 thì được đặc trưng bởi các thành phần khác 0 trong vector x. Với z8z13 nếu xét từ lúc nắm giữ cổ phiếu thì thì chúng là các hàm mục tiêu tất định. Và z7 là một ví dụ về chuẩn mực có thể được thảo luận theo cách khác nhau. Nó có thể được thảo luận nhắm vào số lượng đầu tư hiện tại trong việc nghiên cứu và phát triển (R&D) mà có liên quan đến tình huống tại thời kỳ kết thúc việc nắm giữ cổ phiếu do cho phép hàm mục tiêu được xem như là tất định. Thứ nhất có thể hỏi tại sao không thể tăng thêm hàm mục tiêu được hiểu theo nghĩa các ràng buộc? Điểm khó là việc thiết lập giá trị bên phía vế phải của ràng buộc. Tổng quát, mô hình để tạo biên kỳ vọng – phương sai không trội chứa các tiêu chuẩn của danh mục đầu tư tối ưu thì cần phải biết giá trị tối ưu của mỗi mục tiêu đã được mô hình hoá, trong nhiều trường hợp điều này là rất khó. Z1 hầu như chắc chắn là đối số của hàm mục lợi ích của nhà đầu tư, các đối số bổ sung phụ thuộc vào các nhà đầu tư. Ví dụ, tập các đối số của nhà đầu tư bao gồm {z1, z2, z10} Trang 74 và các tập khác bao gồm {z1, z5, z7, z8, z11}. Lưu ý là hành vi nhà đầu tư thường thì khác nhau. Nếu ta đặt k là số các mục tiêu đã được lựa chọn, trong trường hợp của nhà đầu tư thứ nhất, k = 3 và trong trường hợp nhà đầu tư thứ 2, k = 5. Tất nhiên, tập các đối số của nhà đầu tư kỳ vọng- phương sai thông thường chỉ là {z1} khi k = 1. Hình 21: Cấu trúc phân tầng của bài toán tuyến tính ngẫu nhiên, tương đương với bài toán tuyến tính tất định “không xác định” và bài toán tuyến tính bổ sung tất định tương ứng của việc lựa chọn danh mục đầu tư chuẩn. Hình 21 là mô hình để cực đại biến lợi nhuận ngẫu nhiên từ danh mục đầu tư. Mục tiêu ngẫu nhiên cần cực đại của danh mục đầu tư Bài toán ngẫu nhiên ban đầu Bài toán xác định không tất định Bài toán tất định 2 mục tiêu Trang 75 Hình 22: Cấu trúc bài toán tuyến tính ngẫu nhiên đa mục tiêu ban đầu, tương ứng với bài toán tuyến tính tất định. Hình 22 là mô hình để tối ưu một vài tổ hợp của mục tiêu ngẫu nhiên và tất định.  là ký hiệu số hàm mục tiêu ngẫu nhiên cần quan tâm và 1 ( )iD x  là hàm mục tiêu đầu tiên trong số k  hàm mục tiêu tất định mà ta quan tâm. Chẳng hạn như, nếu D13(x) nằm trong số k  hàm mục tiêu này thì D13(x) sẽ được xem như là hàm sẽ trả về giá trị của các xi có giá trị âm. Bài toán bất định tương đương với bài toán tuyến tính tất định bổ sung cho việc lựa chọn danh mục đầu tư đa mục tiêu. Trong bước 3 của hình 22 là bài toán tuyến tính tất định “không xác định” : Bài toán tất định đa mục tiêu Bài toán xác định không tất định Bài toán ngẫu nhiên ban đầu đa mục tiêu Các mục tiêu ngẫu nhiên và tất định cần tối ưu Trang 76 ܯܽݔ൛ܧൣܷ൫ݖ௜భ , … , ݖ௜೙ ,ݖ௜೙శభ, … , ݖ௜ೖ൯൧ൟ (4) ݏܽ݋ ܿℎ݋ ݔ ∈ ܵ Tận dụng cặp kỳ vọng và phương sai cho mỗi đối số ngẫu nhiên của hàm lợi ích, ta có bài toán tuyến tính tất định bổ sung tương đương – bước cuối cùng trong hình 22. Ta sử dụng nhóm từ “bổ sung” bởi vì đây là bài toán tất định thực tế được bổ sung. Chú ý rằng tất cả các mục tiêu tất định của bài toán tuyến tính ngẫu nhiên đa mục tiêu ban đầu được lặp lại không đổi trong bài toán tuyến tính bổ sung tất định tương đương. Như một vấn đề thực tế, đối với những mục tiêu tất định mà sự thay đổi/dao động là nhỏ hoặc không đáng để chú ý, thì có khả năng đặt nó trong bài toán tuyến tính bổ sung tất định tương đương trong bước cuối cùng của hình 22 bằng (a) thay vì (c). Điều này sẽ rất thuận lợi nếu có thể. Giả sử tập các nhà đầu tư là {z1, z2, z3}. Khi đó các mục tiêu này là tuyến tính. Bài toán tuyến tính ngẫu nhiên ban đầu của nhà đầu tư sẽ là: max{ܧ[ݖଵ]} (5) Min{V[zଵ]} max {ܧ[ݖଶ]} max {ܧ[ݖହ]} ݏܽ݋ ܿℎ݋ ݔ ∈ ܵ Thuận lợi trong việc sử dụng (a) thay vì (c) với mục tiêu ngẫu nhiên là lợi nhuận đạt được từ danh mục đầu tư với rủi ro được đánh giá qua phương sai_V đối với mỗi mục tiêu, như vậy có thể được loại bỏ từ bài toán tuyến tính bổ sung tất định. Điều này không chỉ đơn giản yêu cầu tập hợp dữ liệu mà còn giảm bớt gánh nặng tính toán tập chứa các nghiệm không trội. b) Tập nghiệm không trội của kỳ vọng - phương sai. Để thuận tiện bây giờ ta sử dụng ký hiệu ma trận. Để chuẩn bị cho việc áp dụng bốn bước giải pháp Markowitz nhằm tạo ra các bài toán lựa chọn danh mục đầu tư đa mục tiêu, điều này rất hữu ích cho việc nghiên cứu những chi tiết lớn về công thức kỳ vọng phương sai bước cuối ở hình 21: Trang 77 ܯܽݔ{ܧ[ݖଵ] = ߤ்x } (6) ܯ݅݊{ܸ[ݖଵ] = x୘Γx } ݏܽ݋ ܿℎ݋ ݔ ∈ ܵ Trong đó: ߤ ߳ ܴ : Vector giá trị kỳ vọng của ݎ௜ Γ ∈ ܴ௡୶௡ : Ma trận hiệp phương sai của ߪ௜௝. 3.2 Quản lý tối ưu danh mục đầu tư với chi phí giao dịch cố định 3.2.1 Giới thiệu mô hình. Mô hình tính toán giá trị kỳ vọng và phương sai đã được đề xuất trong việc lựa chọn danh mục đầu tư với chi phí giao dịch cố định và những chi phi giao dịch tối thiểu khác. Bài toán lựa chọn danh mục đầu tư là bài toán quy hoạch nguyên đa mục tiêu không tuyến tính và không trơn nên việc dùng các phương pháp truyền thống để giải mô hình bài toán này rất phức tạp và việc đề xuất dùng thuật toán di truyền để giải mô hình toán này là cách tiếp cận hợp lý vì nó cho phép xác định được biên Pareto rất tốt Phương pháp dựa trên phương sai và kỳ vọng được đề xuất bởi Mazkowitz đóng vai trò rất quan trọng trong lý thuyết lựa chọn danh mục đầu tư và được xem là một công cụ rất tốt cho việc phân tích đầu tư tài chính. Mô hình toán học của Markowitz đối với việc lựa chọn danh mục đầu tư chính là bài toán quy hoạch toàn phương với ma trận nửa xác định dương. Tuy nhiên mô hình toán này cũng mắc phải những khó khăn trong việc giải quyết một số trường hợp phát sinh từ thực tế như: chi phí giao dịch cố định hoặc các giao dịch tối thiểu khác vì mô hình này là một bài toán quy hoạch toán học với các biến là số nguyên và hàm mục tiêu không tuyến tính. Có rất nhiều mô hình toán học khác nhau được đề xuất để giải quyết những khó khăn trên, trong đó mô hình sử dụng phương pháp di truyền là một trong những phương pháp được đề cập nhiều nhất để giải bài toán quản lý danh mục đầu tư tối ưu đa mục tiêu. Trong phần này ta sẽ trình bày một mô hình toán học cho bài toán lựa chọn danh mục đầu tư với chi phí cố định và các số lượng tối thiểu của các loại cổ phiếu khác. Sau Trang 78 đó sẽ đề xuất thuật toán NSGA-II để giải quyết bài toán lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu như đã đề cập. 3.2.2 Mô hình toán học: Mô hình toán học cho bài toán lựa chọn danh mục đầu tư với chi phí cố định và số lượng tối thiểu của các loại cổ phiếu khác dựa trên giá trị kỳ vọng và phương sai: Một số ký hiệu: S : Tập các chứng khoán mà các nhà đầu tư định đầu tư vào với số vốn là C và giả sử ܥ ∈ [ܥ଴,ܥଵ] là cố định. Ta có thể xem [ܥ଴,ܥଵ] là số tiền lớn nhỏ nhất và lớn nhất mà nhà đầu tư có thể đầu tư. ݊ = |ܵ| ∶ Số lượng chứng khoán trong danh mục niêm yết. ݎ௜ : Tỷ lệ lợi nhuận ngẫu nhiên khi đầu tư vào loại chứng khoán thứ i, ݅ ∈ ܵ. giả thiết là tất cả các chứng khoán trong danh mục – S yêu cầu phải được nhân với số lượng tối thiểu của loại cổ phiếu. ௝ܰ : Số lượng tối thiểu của loại cổ phiếu t