Vấn đề tính tích phân khi giải bài toán Côsi đối với phương trình truyền sóng trong mặt phẳng và trong không gian

TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 44, tháng 1 năm 2021| 83 VẤN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN KHI GIẢI BÀI TOÁN CÔSI ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHÔNG GIAN Đỗ Thị Hoài Khoa Toán và Khoa học Tự nhiên Email: [email protected] Ngày nhận bài: 26/10/2020 Ngày PB đánh giá: 16/11/2020 Ngày duyệt đăng: 19/11/2020 TÓM TẮT: Giải bài toán Côsi đối với phương trình truyền sóng đòi hỏi phải tìm được phương pháp tính các tích phân bội, tích phân mặt có trong công thức nghiệm. Nhưng vấn đề tính các tích phân đó gặp nhiều khó khăn. Bài báo đưa ra cách xây dựng công thức tính tích phân bội với phép đổi biến số thích hợp, tính tích phân mặt bằng cách đưa về tích phân kép dựa vào yếu tố diện tích của mặt, từ đó tính được các tích phân trong công thức nghiệm và do đó giải quyết được bài toán. Từ khóa: Bài toán Côsi, tích phân bội, tích phân mặt, yếu tố diện tích của mặt. INTEGRALITY PROBLEM WHEN SOLVING THE CAUCHY PROBLEM FOR WAVE EQUATIONS IN PLANES AND SPACES ABSTRACT: Solving the Cauchy problem for wave equations requires finding methods to calculate the multiple and surface integrals included in the solution formulae. Because calculating these integrals is difficult, the paper deals with formulating multiple integral formulas with appropriate transformations, calculating surface integrals by bringing about the double integral based on the area factor of the surface, so one can calculate the integrals in the solution formulae and thus solve the problem. Keywords: Cauchy problem, multiple integral, surface integral, the area factor of the surface. 1. MỞ ĐẦU Để giải các bài toán Côsi, bài toán hỗn hợp đối với phương trình đạo hàm riêng hầu hết đều phải đưa về tính các tích phân xác định, tích phân bội, tích phân mặt Tuy nhiên, các công thức tích phân trong dạng toán này tương đối phức tạp. Hơn nữa, chưa có tài liệu nào đưa ra cách giải chi tiết. Việc đưa ra phương pháp tính các tích phân bội, tích phân mặt trong công thức nghiệm, giúp giải quyết bài toán đối với phương trình đạo hàm riêng được dễ dàng hơn. 2. BÀI TOÁN CÔSI ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHÔNG GIAN 2.1. Bài toán Côsi đối với phương trình truyền sóng trong mặt phẳng 2 2 2 2 2 2 2 1 ; ( , , 0 ) ( , ) ; u u ua t x y u x y x y           2( , , 0 ) ( , ) .u x y x yt    Trong đó a là vận tốc truyền sóng và là một hằng số, 3 2 2 21 2( ); ( )C C    . Công thức nghiệm của bài toán là công thức Poatxông ([1, tr 252]): 84 | Tạp chí khoa học, Số 44, tháng 1 năm 2021 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) ( , )1( , , ) ;2 ( ) ( ) ( ) ( )at atK K d d d du x y t a t a t x y a t x y                              trong đó atK là hình tròn tâm  ,x y , bán kính at . Để giải bài toán Côsi theo công thức Poatxông ta cần tính các tích phân kép trong hình tròn, nhưng hàm dưới dấu tích phân phức tạp, chứa nhiều biến: , , , ,x y t   nên việc tính tích phân đòi hỏi đưa ra công thức đổi biến thích hợp. Trong dạng bài này ta sử dụng công thức tích phân suy rộng với phép đổi biến trong tọa độ cực suy rộng. Ví dụ 1. Tìm nghiệm của bài toán Côsi: 2 2 2 2 2 2 0 0 ; ; . t t t u u u t x y u x u y           Giải. Theo công thức Poatxông, nghiệm của bài toán Côsi có dạng 1 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) ( , )1( , , ) .2 ( ) ( ) ( ) ( )t tK K d d d du x y t t t x y t x y                              Trong đó 1 2( , ) ; ( , ) .         Tính tích phân: 1 1 2 2 2 ( , ) . ( ) ( )tK d dI t x y            Thực hiện phép đổi biến:  ; 0 ,0 2 .; x rcos r t y rcos              Suy ra: sin .sin cos r J r rcos       Vậy: 2 2 2 1 2 2 2 2 0 0 0 0 ( ). t tx rcos xr r cosI dr r d dr d t r t r           TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 44, tháng 1 năm 2021| 85 = 2 2 2 2 2 2 0 0 .t xr r cos d dr t r t r             = 2 20 2t rx dr t r   2 2 2 0 ( )t d rx t r     = 2 2 0 2 lim( ) t r t x t r   2 .xt Tương tự ta tính 2I : 22 2 2 2 ( , ) ( ) ( )tK d dI t x y            2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 ( sin ) sin. t ty r yr rdr r d dr d t r t r           = 2 2 2 2 2 2 0 0 .sint yr r d dr t r t r             = 2 20 2t ry dr t r   2 2 2 0 ( )t d ry t r     = 2 2 02 lim( ) t r t y t r   2 .yt Vậy nghiệm của bài toán:  1( , , ) 2 2 .2u x y t xt yt x ytt          Thử lại: Thỏa mãn. 2.2. Bài toán Côsi đối với phương trình truyền sóng trong không gian. Tìm nghiệm ( , , , )u x y z t của phương trình truyền sóng: 2 2 ( , , , ), 0; u u f x y z t t t      thỏa mãn các điều kiện sau: 1( , , ,0) ( , , );u x y z x y z 2( , , ,0) ( , , );u x y z x y zt    3 3 2 31 2( ), ( ).C C    86 | Tạp chí khoa học, Số 44, tháng 1 năm 2021 Ta giải bài toán bằng phương pháp chồng chất nghiệm: Giả sử ( , , , )v x y z t là nghiệm của bài toán:   2( , , ,0) 0, ( , , ,0) tt t v v I v x y z v x y z      w (x,y,z,t) là nghiệm của bài toán:   1( , , ,0) ; ( , , ,0) 0 tt t w w II w x y z w x y z     u (x,y,z,t) là nghiệm của bài toán:  ( , , , )( , , ,0) ( , , ,0) 0 tt t u u f x y z t III u x y z u x y z           Ta có nghiệm của bài toán ban đầu ([1, tr 256]), ([2, tr 230]): 2 1( , , ) ( , , )1 1( , , , ) 4 4 t tS S u x y z t dS dS t t t               0 1 ( , , , ) 4 t t S fd dS t          (công thức Kiêcsốp) Để giải được bài toán Côsi sử dụng công thức Kiêcsốp, ta cần tính các tích phân mặt loại I, nhưng việc tính các tích phân này sẽ khó khăn khi ta sử dụng định nghĩa. Do đó ta đưa về tính tích phân kép bằng cách xây dựng công thức tính tích phân mặt dựa vào yếu tố diện tích trên một mặt cầu [3, tr 302]: Giả sử 3:F D   là một lớp tham số hóa thuộc lớp C1;   ( , ) : ,S F u v u v D  . Khi đó yếu tố diện tích của S, kí hiệu    , , dud .F FdS u v u v v u v       Ta xét một biểu diễn tham số của mặt cầu S, tâm O, bán kính t     3: , cos os , cos sin , sin ; F D t c t t          TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 44, tháng 1 năm 2021| 87 Trong đó  , , .2 2D           Ta có     cos sin , cos os ,0 ; sin os , sin sin , cos . F t t c F t c t t                   Suy ra         2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 4 2 cos os , cos sin , sin os ; cos os cos sin sin os ; os . F F t c t t c F F t c t t c F F t c                                     Vậy     2 2 os ; , , cos os , cos sin , sin os . S D dS t c d d f x y z dS f t c t t t c d d               Ví dụ 2. Tìm nghiệm của bài toán Côsi: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 ; 2 ; 1. t t t u u u u xyz t x y z u x y z u                 Giải. Theo công thức Kiêcsốp, nghiệm của bài toán Côsi có dạng 2 1( , , ) ( , , )1 1( , , , ) 4 4 t tS S u x y z t dS dS t t t               0 1 ( , , , ) .4 t t S fd dS t           Trong đó 2 2 2 1 2 ( , , ) 2 ; ( , , ) 1; ( , , , ) 2 .f r                     88 | Tạp chí khoa học, Số 44, tháng 1 năm 2021 Thực hiện phép đổi biến cos os cos sin sin . x t c y t z t               Tính tích phân 2 1 ( , , ) 1 . t tS S J dS dS t t       Ta xét một biểu diễn tham số của mặt cầu St, tâm O, bán kính t     3: , cos os , cos sin , sin ; F D t c t t          Trong đó  , , .2 2D           Khi đó 2 2 2 1 2 1 1os os 4 . D J t c d d d t c d t t t                  Tính tích phân 1 2 ( , , ) . tS J dS t      Ta xét một biểu diễn tham số của mặt cầu St, tâm O, bán kính t     3: , cos os , cos sin , sin ; F D t c t t          Trong đó  , , .2 2D           Khi đó TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 44, tháng 1 năm 2021| 89  2 2 2 2 2 2 2 22 1 2 2 cos cos sin 2 sin os 2 sin os ; D J x y z t x coc y z t c t t c d d t                     2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 cos cos sin 2 sin os 2 sin os ;J d x y z t x coc y z t c t tc d                             2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 ( 2 ) os 8 sin os + 2 os 6 sin os ; J t x y z c t z c d t c t z c d                              2 2 22 = 4 t 2 .J x y z   Để tính tích phân tiếp theo, ta xét một biểu diễn tham số của mặt cầu St-r , tâm O, bán kính t - r     3: , ( )cos os ,( )cos sin ,( )sin ; F D t r c t r t r              Ta có 3 0 ( , , , ) ; t r t S f rJ dr dS t r           23 0 2 2 2 ( )cos os ( )cos sin ( )sin ( )cos ; t J dr d x t r c y t r z t r t r d                                  2 3 0 2 3 0 2 3 2 sin ; 2 4 ; = 4xyzt . t t J t r dr xyz xy t r d J xyz t r dr J                      Thay vào công thức Kiêcsốp , ta có nghiệm của bài toán đã cho là  2 2 2 2 2 2 2 2 1( , , , ) 4 2 4 4 ;4 ( , , , ) 2 . u x y z t t x y z t xyzt u x y z t x y z t xyzt                90 | Tạp chí khoa học, Số 44, tháng 1 năm 2021 Thử lại: Thỏa mãn. 3. KẾT LUẬN Giải các bài toán Côsi đối với phương trình truyền sóng dựa vào các công thức Poatxông và công thức Kiêcsốp là vấn đề phức tạp và khó khăn. Bằng cách xây dựng được các công thức tích phân bội, tích phân mặt một cách thích hợp bài báo đã đưa ra cách tính tích phân tổng quát, và đưa ra cách giải chi tiết trong các ví dụ cụ thể, từ đó tìm được nghiệm của bài toán Côsi. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Nguyễn Thừa Hợp (2001). Giáo trình phương trình đạo hàm riêng. NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. 2. Vũ Tuấn, Đoàn Văn Ngọc (1992). Phương trình vi phân. NXB Giáo dục. 3. Jean - Marie. Monier (2006). Giáo trình toán tập 4. NXB Giáo dục.