Vật lý - Bài 3: Dao động mạng tinh thể

Baøi 3 1. Dao ñoäng cuûa chuoãi nguyeân töû Trong tinh theåcaùc nguyeân töûdao ñoäng quanh caùc nuùt maïng trong khoâng gian3chieàu. Baøi toaùn cuûa moät heähaït coùtöông taùc vôùi nhau vaødao ñoäng vôùi bieân ñoänhoûquanh vò trícaân baèng laømoät trong nhöõng baøi toaùn ñieån hình cuûa Cô hoïc coåñieån. Ñeåthaáy moät soátính chaát quan troïng cuûa caùc dao ñoäng ñoùta baét ñaàu töømoät chuoãi thaúng cuûa caùc nguyeân töû. a. Chuoãi thaúng daøi voâ haïn cuûa caùc nguyeân töû coùcuøng khoái löôïng m d2x m n = −f[(x − x ) − (x − x )] dt 2 n n−1 n+1 n xnlaøñoäleäch khoûi vò trícaân baèng cuûa nguyeân töûthöùn f laøhaèng soálöïc ñaøn hoàitöôngtaùcgiöõa2 nguyeântöû. Nghieäm coùdaïng xn = A exp i ( ωt +qna) q -soásoùng Thay nghieäm vaøo phöông trình chuyeån ñoäng ñöôïc f 1 ω = ±2 sin( qa) m 2 cho thaáy söïphuïthuoäc cuûa taàn soádao ñoäng ω vaøo soásoùng q : 2π ω laøhaøm tuaàn hoaøn cuûa q vôùi chu kyø a π π chæcaàn xeùt q trong khoaûng − ≤ q ≤ a a Vuøng Brillouin thöùnhaát moät chieàu à Chæcaàn caùc böôùc soùng lôùn hôn 2a . ÔÛ hìnhtreân, q = π/a töông öùng vôùi λ=2a. q > π/a khoâng coùyùnghóa vaät lyùvìkhoâng coùnguyeân töûdao ñoäng giöõa moät chu kyø. Nhövaäy vectôsoùngñöôïcpheùpchodaoñoängmaïngnaèmtrongvuøngBrillouin thöùnhaát( |q| < π/a ). Do ñoùtaátcaûcoùN giaùtròñöôïc pheùpcuûavectôsoùng( vaøböôùcsoùng) naèm trong khoaûng -π/a < q < π/a. Moãigiaùtròñoùtöôngöùngvôùimoät mode daoñoängcuûamaïng. Mode ñoùñöôïcgoïilaø mode chuaån qa Vaän toác pha cuûa soùng trong chuoãi : ω f sin v = = a ( ) 2 ( vaän toác truyeàn cuûa caùc maët ñaúng pha ) p q m qa 2 1/2 ªVôùiq nhoû( böôùc soùng daøi ) vaän toác pha vp = a(f/m) khoâng ñoåi vaøbaèng vaän toác truyeàn aâm trong tinh theå( ~ 3.105 cm/s ). ªKhi q taêng, vaän toác giaûm : hieän töôïng taùn saéc. Söïtaùn saéc laødo aöïaûnh höôûng laãn nhau giöõa caùc phaàn neùn vaødaõn cuûa soùng. Vôùi caùc böôùc soùng ngaén caùc phaàn ñoùraát gaàn nhau. ªKhi λ giaûm ñeán 2a caùc phaàn neùn vaødaõn buøtröølaãn nhau laøm soùng bieán maát --> vaän toác baèng 0. dω f qa Vaän toác truyeàn naêng löôïng - vaäntoácnhoùm:v = = a cos nhoùm dq m 2 ÔÛcaùc bieân q = π/2 ,vnhoùm = 0 : khoâng truyeàn naêng löôïng ω (4f / m)1/ 2 ω qa = sin (4f / m)1/ 2 2 Vuøng Brillouin thöùnhaát q q ≈ 0,,λ → ∞ π q = ,λ = 2a a f 1 ω = ±2 sin( qa) m 2 Vôùi q nhoû w f 2 m q Coùsöïphuïthuoäc tuyeán tính trong mieàn naøy b. Chuoãi thaúng daøi Lhöõu haïn goàm N nguyeân töûcoùcuøng khoái löôïng m f x(0) x(Na) x L = Na Ñieàu kieän bieân tuaàn hoaøn Ñieàu kieän bieân tuaàn hoaøn : xn = xn+N Born von Karman Töø xn = A exp i ( ωt +qna) expinqa= exp i(n+N)qa exp iNqa = 1 = exp i2πj 2π Nqa=2πj q = j na j laøcaùc soánguyeân döông hoaëc aâm. f x L = Na Ñieàu kieän bieân tuaàn hoaøn : xn = xn+N Caùc giaùtrò giaùn ñoaïn cuûaqxaùc ñònhN dao ñoäng rieâng cuûa chuoãi. Nghieäm toång quaùt thu ñöôïc töøsöïtoåhôïp tuyeán tính cuûa taát caûcaùc nghieäm rieâng 2πn xn = ∑As exp i(ωst + j) s N c. Chuoãi thaúng goàm2 loaïinguyeân töûcoùkhoái löôïng m vaøM d2x m 2n+1 = −f[(x − x ) − (x − x )] dt 2 2n+1 2n 2n+2 2n+1 d2x M 2n = −f[(x − x ) − (x − x )] dt 2 2n 2n−1 2n+1 2n Nghieäm cuûa chuùng coùdaïng x2n+1 = Am exp i [ ωt + (2n+1)qa] x2n = AM exp i [ ωt + (2n)qa] Thay caùc nghieäm naøy vaøo phöông trình chuyeån ñoäng töông öùng ñöôïc 2 phöông trình ñeåxaùc ñònh caùc bieân ñoäAmvaøAM. Töøñieàu kieän ñeåcho nghieäm cuûa heä2 phöông trình khoâng taàm thöôøng, ñònh thöùc cuûa caùc heäsoáAmvaøAMphaûi baèng 0. Töøñoù  2 qa  4sin 2  1 1 1 1 2 2 1/ 2  ω = f( + ) ± [( + ) − ]   m M m M mM   þ Nhövaäy vôùi cuøng moät soásoùng q coù2 taàn soákhaùc nhau ω- vaø ω+ tuøy theo vieäc laáy daáu tröøhaydaáu + trong bieåu thöùc cuûa ω. --> neáu bieåu dieãn ω theo q ñöôïc 2 nhaùnh taàn soá: * nhaùnh aâm : ω-(q) * nhaùnh quang: ω+(q) Chuoãi nguyeân töû Dao ñoäng quang  2 qa  4sin 2  1 1 1 1 2 2 1/ 2  ω = f( + ) ± [( + ) − ]   m M m M mM   þ 2f 2f µ Nhaùnh quang m 1 1 1 2f = + µ m M Nhaùnh aâm M q  2 qa  4sin 2  1 1 1 1 2 2 1/ 2  ω = f( + ) ± [( + ) − ]   m M m M mM   þ 1 1 1 = + µ m M 2 qa 1 1 1 1 4sin ω2 = f( + ) ± [( + )2 − 2 ]1/ 2 m M m M mM f ω2 = [(m + M) ± (m + M)2 − 2mM(1− cosqa)] mM Xeùt caùc tröôøng hôïp giôùi haïn sau : 1. q= π / a: coù2 nghieäm 2f 2f ω2 = ω2 = − M + m • • • • • • • • • • • • • q = π/a Taàn soáthaáp : nguyeân töûnheï ñöùng yeân, nguyeân töûnaëng dao ñoäng • • • • • • • • • • • • • q = π/a Taàn soáthaáp : nguyeân töûnheï dao ñoäng , nguyeân töûnaëng ñöùng yeân 2. Vôùi q nhoû, à hieäu pha nhoû: caùc oâ laân caän dao ñoäng gaàn nhönhau f ω2 = [(m + M) ± (m + M)2 − 2mM(1− cosqa)] mM Khi qa << 1 à cosqa ~ 1-q2a2/2 f (m + M) 2mM (qa)2 w 2 = [1± 1− ] mM (m + M)2 2 f (m + M) mM (qa)2 w 2 = {1± [1− ]} mM (m + M)2 2 Cuõng coù2 nghieäm : Nghieäm 1 : daáu + , boûqua soáhaïng q2a2 • • • • • • • • • • • • • Caùc nguyeân töûtrong cuøng oâ ngöôïc pha nhöng caùc oâ laân caän thìñoàng pha Nghieäm 2 : daáu -, qa nhoû à boûqua soáhaïng q2a2 f (m + M) mM (qa)2 w 2 = {1− [1− ]} mM (m + M)2 2 2 2 q a f f w 2 = w = qa 2 m + M 2(m + M) Nghieäm taàn soáthaáp coùñoädoác khoâng ñoåi vôùi qa nhoû π • • • q = • • • • • • • • • • 4a Caùc nguyeân töûtrong oâ ñôn vò chuyeån ñoäng ñoàng pha, caùc oâ laân caän cuõng ñoàng pha Nhaùnh aâm ngang vôùi q nhoû Nhaùnh quang ngang vôùi q = 0 Nhaùnh quang ngang vôùi q nhoû Nhaùnh quang ngang vôùi q = π/a ( nheï naëng ) • • • • • • • • • • • • • Nhaùnh aâm ngang vôùi q = π/a • • • • • • • • • • • • • Neáu 2 loaïi nguyeân töûcoùñieän tích traùi daáu, caùc soùng ñoù laøsoùng phaân cöïc Caùc haït dao ñoäng ñoàng pha vôùi bieân ñoäbaèng nhau coùtaàn soáthuoäc nhaùnh aâm vôùi q nhoû. Trong tröôøng hôïp naøy oâ maïng dòch chuyeån nhömoät toaøn boä. Do ñoùxuaát hieän caùc choã neùn vaødaõn trong tinh theåtöông töïnhösöïneùn vaødaõn cuûa tinh theåkhi coùsoùng aâm truyeàn qua. Vìvaäy dao ñoäng trong ñoùcaû2 nguyeân töûtrong oâ ñôn vò chuyeån ñoäng ñoàng pha ñöôïc goïi laø dao ñoäng “aâm”. Nhaùnh quang öùng vôùi tröôøng hôïp 2 nguyeân töûtrong oâ dao ñoäng ngöôïc pha nhau. Bieân ñoädao ñoäng tyûleängöôïc vôùi khoái löôïng cuûa haït. Troïng taâm cuûa oâ ñôn vò khoâng ñoåi. Neáu 2 loaïi nguyeân töûmang ñieän tích traùi daáu thìtrong oâ xuaát hieän moâmen löôõng cöïc ñieän nhôøñoùcoùtheåtöông taùc maïnh vôùi soùng ñieän töø--> loaïi dao ñoäng “quang “ A O LO LA TO TA Nhaùnh quang ω á n so à Ta Nhaùnh aâm Vectô soùng q 2f 2f µ Nhaùnh quang m 1 1 1 2f = + µ m M Nhaùnh aâm M q Khim = M : suybieán. Chuoãichæcoù1 loaïi nguyeân töûvôùi chukyøa/2 22.. DaDaoo ññooäänngg cucuûûaa mamaïïnngg ttiinhnh ttheheåå Ñeåtính toaùn duøng theáV cuûa tinh theålaøhaøm cuûa toïa ñoäcuûa taát caûcaùc nguyeân töûcoùtrong tinh theå. Khi maïng dao ñoäng, caùc nguyeân töûleäch khoûi vò trícaân baèng. Khai trieån V thaønh chuoãi quanh vò trícaân baèng 1 ∂2V ρ ρ V = Vo + ∑( ρ )o snsn' + caùc soáhaïng baäc cao hôn 2 n,n' ∂sn∂sn' Vo laøtheánaêng khi taát caûcaùc nguyeân ööûôûvò trícaân baèng sn laøvectô dòch chuyeån cuûa nguyeân töûthöùnkhoûi vò trícaân baèng Khi ñoädòch chuyeån cuûa caùc nguyeân töûlaønhoûcoùtheåboûqua caùc soáhaïng baäc cao Phöông trình chuyeån ñoäng cuûa nguyeân töûthöùm( khoái löôïng M ) ρ ∂2s ∂V ∂2V ρ M 2 = − ρ = −∑( ρ ρ )o sn ∂t ∂sm n ∂sn∂sm Giaûthöûchuyeån ñoäng laøtuaàn hoaøn ρ ρo ρρ sm = sm expi(ωt + qam ) ρ ρ ρ ρ am = n1a1 + n2a2 + n3a3 Thay nghieäm vaøo phöông trình chuyeån ñoäng 2 2 (o) ∂ V (o) ρ ρ ρ Mω sm − ∑( ρ ρ )osn exp iq(an − am ) = 0 n ∂sn∂sm Trong caùc tinh theåvôùi 1 nguyeân töûtrong oâ nguyeân toáta thu ñöôïc 3 phöông trình töông öùng vôùi 3 thaønh phaàn cuûa phöông trình chuyeån ñoäng. ∂2V Neáu bieát ( ρ ρ )o ∂sn∂sm thìveànguyeân taéc coùtheåxaùc ñònh caùc giaùtrò cuûa taàn soárieâng cuõng nhöbieân ñoäcuûa caùc dao ñoäng thaønh phaàn baèng caùch giaûi 3 phöông trình noùi treân. Ñieàu kieän ñeåcho 3 phöông trình coùnghieäm khoâng taàm thöôøng laø heäthöùc cuûa caùc heäsoáphaûi baèng 0 : 2 ∂ V ij ρ ρ ρ 2 ∑( ρ ρ )o exp iq(an − am ) − Mω δij = 0 n ∂sn∂sm Ñònh thöùc naøy coù9 yeáu toá. Töøñaây suy ñöôïc phöông trình baäc 3 2 ñoái vôùi ω . Giaûi ra ñöôïc 3 nghieäm ω1, ω2 , ω3. ω1(q), ω2 (q) vaø ω3(q) xaùc ñònh 3 nhaùnh aâm. Caùch laøm treân coùtheåtoång quaùt cho tröôøng hôïp tinh theåcoùnhieàu loaïi nguyeân töûhoaëc trong oâ chöùa nhieàu nguyeân töû. Keát quaûcho thaáy : Neáu trong oâ coùp nguyeân töûthìnoùi chung coù3p nhaùnh dao ñoäng ω1(q), ω2 (q) , ω3 (q) ………….ωp (q) trong ñoùcoù3 nhaùnh aâm vaø3p -3 nhaùnh quang. Caùc nhaùnh quang Ba nhaùnh aâm Caùc nhaùnh naøy tuøy theo söïñoái xöùng cuûa maïng tinh theå coùtheåtruøng nhau theo moät soáchieàu naøo ñoù(suy bieán) Vaøi minh hoïa Hz) 12 V) e ( ng ï ô ö (10 n ’ Naêng l Naêng n soâ à Ta Vectô soùng q ruùt goïn (q/qmax) n ’ oâ s n à Ta Vectô soùng q ruùt goïn (khoâng thöùnguyeân) 12 νLTO(Γ25') 15.5 10 Hz 12 Si: Taànsoáphonon νTA(X3) 4.5 10 Hz 12 12 νLAO(X1) 12.3 10 Hz ( ñônvò10 Hz ) 12 νTO(X4 ) 13.9 10 Hz T=300K 12 νTA (L3) 3.45 10 Hz 12 νLA(L2') 11.3 10 Hz 12 νLO(L1) 12.6 10 Hz 12 νTO(L3') 14.7 10 Hz n ’ oâ s n à Ta Vectô soùng q ruùt goïn (khoâng thöùnguyeân) 12 νLTO(Γ25') 9.02 10 Hz ν (X ) 2.385 1012 Hz Ge: Taànsoáphonon TA 3 ν (X ) 7.14 1012 Hz 12 LAO 1 ( ñônvò10 Hz ) 12 νTO(X4 ) 8.17 10 Hz 12 T=300K νTA (L3) 1.87 10 Hz 12 νLA(L2') 6.63 10 Hz 12 νLO(L1) 7.27 10 Hz 12 νTO(L3') 8.55 10 Hz Ø Tinh theåcoùN nguyeân töûcoùtheåxem laømoät heäñoäng hoïc . Chuyeån ñoäng cuûa noùcoùtheåmoâ taûbôûi N toïa ñoächuaån ñoäc laäp vôùi nhau. Moãi toïa ñoächuaån moâ taûcho moät caáu hình xaùc ñònh cuûa taát caûnguyeân töûcuûa tinh theådao ñoäng ñieàu hoøa. && 2 Qq + ωqQq = 0 Dao ñoäng taäp theåñoùcuûa taát caûcaùc nguyeân töûcuûa tinh theåñöôïc goïi laødao ñoäng chuaån cuûa maïng. Ø Trong toïa ñoächuaån, naêng löôïng toaøn phaàn cuûa dao ñoäng maïng coùdaïng raát ñôn giaûn : 3N m &2 2 2 E = ∑(Qi +wi Qi ) 2 i=1 trong ñoù ωi laøtaàn soádao ñoäng cuûa mode chuaån thöùi Vôùi toïa ñoächuaån, dao ñoäng cuûa maïng tröông ñöông vôùi 3N dao ñoäng ñieàu hoøa ñoäc laäp ( taát nhieân, moãi dao ñoäng töûtöông öùng vôùi moät mode chuaån khaùc nhau ). Moät dao ñoäng baát kyøcoùtheåbieåu dieãn baèng toåhôïp tuyeán tính cuûa caùc dao ñoäng chuaån. Lyùthuyeát löôïng töûcho chuyeån ñoäng cuûa N haït coùtöông taùc vôùi nhau trong chuoãi Giaûi phöông trình Schrodinger cho heäN haït töông taùc vôùi nhau raátkhoù. Neáu duøng toïa ñoäsuy roäng coùtheåñöa heäN haït töông taùc vôùi nhau veàN dao ñoäng töûñoäc laäp. Khi ñoùphöông trình Schrodinger taùch thaønh N phöông trình trong ñoùmoãi phöông trình moâ taûcho chuyeån ñoäng cuûa moät haït. Khi caùc haït khoâng töông taùc vôùi nhau, naêng löôïng cuûa heä N E = ∑En n=1 N vaøhaøm soùng ψ = ∏ψs (Qs ) s=1 Qs laøtoïa ñoäsuy roäng , Es vaø Ψs thoûa maõn phöông trình 2 2 η ∂ ψs 1 2 2 2 + (Es − mωs Qs )ψs = 0 2m ∂Qs 2 Phöông trình naøy coùdaïng phöông trình cuûa dao ñoäng töûñieàu hoøa ñaõ ñöôïc giaûi trong Cô hoïc löôïng töû. Trò rieâng cuûa noùlaø 1 E = (n + )ηω s s 2 s ns -soánguyeân döông hoaëc baèng 0. Khaùc vôùi coåñieån, theo lyùthuyeát löôïng töûnaêng löôïng chæcoùtheå laáy caùc giaùtrò giaùn ñoaïn. Naêng löôïng ηωs coùtheåxem laømoät löôïng töûnaêng löôïng cuûa dao ñoäng vôùi taàn soá ωs.--> phonon. Nghieäm Ψs(Qs) öùng vôùi naêng löôïng Es bieåu thò cho traïng thaùi coù ns phonon trong dao ñoäng chuaån thöùs. Theo Cô hoïc löôïng töû, quy taéc loïc löïa cho soálöôïng töûcuûa dao ñoäng töûcoùdaïng ∆ns = ±1 Khi ∆ns = -1 maïng chuyeån vaøo traïng thaùi coùnaêng löôïng thaáp hôn : naêng löôïng ηωs ñöôïc truyeàn cho caùc haït taûi ñieän hoaëc vaät xung quanh --> quaùtrình chuyeån traïng thaùi laø quaùtrình böùc xaïphonon. Quaùtrình chuyeån traïng thaùi vôùi ∆ns = +1laø quaùtrình haápthuïï phonon bôûimaïng. § Phonon ñöôïc moâ taûbôûi caùc boùsoùng chuyeån ñoäng trong maïng. Tính chaát cuûa caùc boùsoùng ñoùraát gioáng tính chaát cuûa caùc haït coå ñieån vìcoùtheågaùn cho noùnaêng löôïng, xung löôïng vaøvaän toác. Naêng löôïng cuûa phonon Ep = ηωs Chuaån xung löôïng cuûa phonon Pp = ηqs § Töông taùc giöõa 2 phonon hoaëc giöõa phonon vaøelectron ñöôïc xem nhösöïtaùn xaïgiöõa hai haït. § Phonontuaân theo phaân boáBose -Einstein