Vật lý - Chương 5: Lý thuyết lượng tử của nguyên tử hydro

1 Chương 5 Lý thuyết lượng tử của nguyên tử hydro 2 PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER • Năm 1926, nhà vật lý người Áo Erwin Schrödinger đã đưa ra một phương trình cho phép xác định được hàm sóng mô tả trạng thái của một hệ lượng tử. • Tìm được hàm sóng  và từ đó ta có thể tính được xác suất để hệ có các tọa độ, động lượng, v.v.. nào đó. 3 PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER • Xét một hạt có khối lượng m, di chuyển trong một trường lực (chẳng hạn trong trường hấp dẫn của quả đất hay trong một trường điện từ). • Từ cơ học Newton ta biết rằng, ở mỗi thời điểm và ứng với mỗi vị trí hạt có một thế năng nào đó, U = U(x, y, z, t). • Phương trình Schrödinger cho phép ta tìm được hàm sóng khi biết hàm thế năng này 4 PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER – Khác với phương trình Newton, đây là một phương trình vi phân theo cả tọa độ không – thời gian. – Đây là một phương trình đạo hàm riêng, tuyến tính đối với . – Trong trường hợp một chiều, khi hàm sóng chỉ phụ thuộc vào tọa độ x và thời gian t, phương trình có dạng:      2 2m x y z t U x y z t i x y z t t  ( , , , ) . ( , , , ) ( , , , )       2 2 22m x t x U x t x t i x t t       ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 5 PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER – Hữu hạn, nếu không thì điều kiện chuẩn hóa không được thỏa mãn, – Đơn trị, vì ứng với mỗi trạng thái, tại một vị trí và tại một thời điểm chỉ có một xác suất tìm thấy hạt, –  và đạo hàm bậc nhất của nó theo các tọa độ không gian phải liên tục. Điều kiện này là do phương trình Schrödinger có chứa các đạo hàm bậc hai của  theo các tọa độ không gian. Để phương trình có nghĩa, đạo hàm bậc hai của  phải hữu hạn, muốn vậy thì  và đạo hàm bậc nhất của nó theo tọa độ phải liên tục. 6 PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER – Nếu trường lực mà trong đó hạt chuyển động là dừng, tức là thế năng U của hạt không phụ thuộc tường minh vào t, thì có thể viết thế năng dưới dạng U = U(x, y, z). – Khi đó ta tách hàm (x, y, z, t) thành hai thành phần, một thành phần là hàm sóng phụ thuộc không gian (x, y, z) và thành phần còn lại là hàm phụ thuộc thời gian             iEt exp.z,y,xt,z,y,x    2 2m x y z U x y z E x y z( , , ) . ( , , ) ( , , )  và phương trình đối với hàm chỉ phụ thuộc tọa độ (x, y, z) có dạng 7 PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER PT Schodinger không phụ thuộc t Giải được:- Trị riêng là mức năng lượng - Hàm riêng mô tả trạng thái 2 [ U(x, y,z)] (x, y,z) E. (x, y,z) 2m     2 2 2 2 2 2x y z           8 Phổ nguyên tử Hydro ©The McGraw-Hill Companies. Permission required for reproduction or display 9 Phương trình Schrodinger • Mục tiêu: Giải phương trình Schrodinger để tìm ra hàm , xác định trạng thái của hạt vi mô • Mỗi  ứng với một ORBITAL — vùng không gian tìm thấy electron. •  không mô tả chính xác vị trí của electron. • 2 cho biết xác suất tìm thấy electron tại một vị trí xác định. 10 PHÖÔNG TRÌNH SCHROEDINGER • Phương trình Schrödinger đối với electron năng lượng E chuyển động trong nguyên tử hydro theo không gian 3 chiều:   2 2 2 2 2 2 2 2 0e m E U x y z                r4 e U 0 2   11   0 z y x z x y r P x = r sin cos y = r sin sin z = r cos Hình 5.1 r = chiều dài vectơ bán kính từ O đến điểm P  = góc giữa vectơ bán kính và trục +z = góc không gian, = góc giữa hình chiếu của vectơ bán kính trên mặt phẳng (Oxy) và trục +x = góc phương vị, 12 PHÖÔNG TRÌNH SCHROEDINGER • Phương trình Schrödinger đối với electron năng lượng E trong hệ tọa độ cầu. 2 2 2 2 2 2 2 0 1 1 1 sin 2 sin sin 4e e H r m r r r r                                   Thay hàm sóng )()()r(R),,r(  2 2 2 2 2 2 2 0 1 1 1 sin 2 sin sin 4e e r R ER m r r r r                                        13 PHÖÔNG TRÌNH SCHROEDINGER • Sử dụng phương pháp tách biến ta thu được 3 phương trình vi phân theo 3 thành phần: 2 2 2 (5.7) d m d     2 2 1 sin ( 1) (5.10) sin sin md d d d                     22 2 2 21 ( ) ( 1) (5.11)e md dR R r E U r R r dr dr r          14 PHÖÔNG TRÌNH SCHROEDINGER • Dựa vào các kết quả trong cơ lượng tử ta có thể so sánh mômen động lượng quỹ đạo với phần góc trong phương trình Schrödinger : 2 2 2 (5.7) d m d     22 2 2 2 ˆ zL i                    với 0, 1, 2,.....m    ml được gọi là số lượng tử quỹ đạo, là những số nguyên có thể âm, dương hay bằng không 1 ( ) 2 im m e     15 PHÖÔNG TRÌNH SCHROEDINGER • Phương trình (5.10) là phương trình trị riêng của bình phương toán tử mômen động lượng quỹ đạo : 2 2 1 sin ( 1) (5.10) sin sin md d d d                    Đặt: z = cos. Khi đó phương trình (5.10) trở thành 2 2(1 ) ( 1) 0 md d z dz dz z                Nghiệm của phương trình vi phân thỏa mãn hàm Legendre 2 2 2 (1 ) 2 ( 1) 0 d P dP z z P dz dz      l = 0, 1, 2, 3,.. 16 PHÖÔNG TRÌNH SCHROEDINGER • Hàm riêng  của phần góc  và  đối với lực xuyên tâm là hàm cầu điều hòa ( , ) m Y    ( , ) ( ) ( ) m m mY      ( , ) (cos ) m m im Y NP e     với N là hằng số chuẩn hóa Hàm riêng của phần góc đối với lực xuyên tâm được chuẩn hóa trongphương trình Schrödinger như sau (2 1)( )! ( , ) ( 1) (cos ) 4 ( 1)! m m im mm Y e P          17 PHÖÔNG TRÌNH SCHROEDINGER • Một số giá trị của hàm cầu điều hòa đối với các giá trị l và ml như sau   4 1 Y 00    i11 e.sin 8 3 Y    cos 4 3 Y 01     i11 e.sin 8 3 Y )1cos3( 16 5 Y 222        i22 e.cossin 8 15 Y 18 PHÖÔNG TRÌNH SCHROEDINGER • Phương trình Schrödinger đối với bán kính xuyên tâm của hạt chuyển động trong trường thế xuyên tâm có dạng như sau :  22 2 2 21 ( ) ( 1) (5.11)e md dR R r E U r R r dr dr r          2 2 2 1 1 ( 1) 1 0 4 d dR R d d                         r2 2 2 2 em E  2 2 04 em Ze    19 PHÖÔNG TRÌNH SCHROEDINGER • Khi  chỉ có thành phần thứ 3 trong ngoặc vuông) là có ý nghĩa, còn thành phần thứ nhất và thứ hai trong ngoặc vuông có thể bỏ qua được 2 2 1 1 0 4 d dR R d d                   )(He)(R 2/   2 2 2 1 ( 1) 1 0 d H dH H d d                        Tất cả các đạo hàm của R trong phương trình vi phân được biểu diễn dưới dạng đạo hàm của H 20 PHÖÔNG TRÌNH SCHROEDINGER • nghĩa là sau khi khai triển đến chuỗi bậc nr nếu  là một số nguyên n và nr là lũy thừa cao nhất trong đa thức H(), sao cho thỏa mãn 1rn n     1, 2, 3,.....( 0,1,2,3,....)n      với n được gọi là số lượng tử toàn phần hay số lượng tử chính, và nr là số lượng tử xuyên tâm 0/ 2 1 1 0 0 2 2 ( ) Zr na n n n Zr Zr R r N e L na na                  2 1 1nL    đa thức Laguerre 21 PHÖÔNG TRÌNH SCHROEDINGER • Một số hàm xuyên tâm Rnl ứng với các số lượng tử n và l được tính như sau 0a/r 2/3 0 10 e a 2 R  0a2/r 0 2/3 0 20 e a r 2 a22 1 R           0a2/r 0 2/3 0 21 e a r a62 1 R  0a3/r 2 0 2 0 2/3 0 30 e a r 2 a r 2827 a381 2 R           Trị riêng của năng lượng E kết hợp với hàm sóng n m 2 4 2 2 2 0(4 ) 2 e n m Z e E n   n = 1, 2, 3,.. Đối với nguyên tử hydro Z = 1 với R = 3,27.1015s-1 cũng được gọi là hằng số Rydberg 4 1 2 2 2 2 2 2 0 1 ( 1,2,3,....) 32 e n m e ERh E n n n n             22 HÀM SÓNG TOÀN PHẦN Hàm sóng toàn phần của nguyên tử hydro được cho bởi ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) m m n m n m nR r R r Y        ( )m  zL m: hàm riêng của mômen động lượng quỹ đạo trên trục z, với trị riêng: ( ) m  2 2( 1)L  : hàm riêng của bình phương mômen quỹ đạo, với trị riêng: ( )nR r 2 2 2 0/ 2n eE m a n : hàm riêng của năng lượng, với trị riêng: 2 1 / 2 3 0 2 ( 1)! 2 2 ( , ) [( )! mn n m n n L e Y n n a n n                        Hàm sóng của nguyên tử hydro có thể biểu diễn dưới dạng tổng quát như sau (2 1)( )! ( , ) ( 1) (cos ) 4 ( 1)! m m im mm Y e P          23 HÀM SÓNG TOÀN PHẦN • Ứng với mỗi bộ 3 số lượng tử sẽ có một hàm sóng mô tả trạng thái của vi hạt . – Đó là số lượng tử chính n (xác định năng lượng của trạng thái) nhận giá trị – Số lượng tử quỹ đạo l (xác định bình phương mô men động lượng quỹ đạo) nhận giá trị – Số lượng tử từ ml (xác định hình chiếu của môn men động lượng quỹ đạo theo phương z)  0, 1, 2,..., 1n  0, 1, 2,.....,m     n = 1, 2, 3,.,  24 CÁC KẾT LUẬN • Mức năng lượng của electron trong nguyên tử hydro chỉ phụ thuộc vào số nguyên n K L M N O P E1 = -13,6 eV E2 = -3,4 eV E3 = -1,51 eV E4 = -0,85 eV E5 = -0,54 eV E6 = -0,38 eV E = 0 Dãy Lyman Dãy Balmer Dãy Paschen Dãy Brackett Dãy Pfund Ứng với mỗi số nguyên n sẽ có một mức năng lượng hoàn toàn xác định. Như vậy, năng lượng biến thiên gián đoạn, ta nói rằng năng lượng bị lượng tử hóa E = E - E1 = 0 – (- Rh) = 13,6 eV. Giá trị này phù hợp với giá trị thực nghiệm! 22mnnm m Rh n Rh EEh  25 CÁC KẾT LUẬN • Trạng thái lượng tử của electron    1 2 0 1 (2 1) 2 1 2 n n n n        Như vậy ứng với một số lượng tử n, tức là ứng với mỗi mức năng lượng En, ta có n 2 trạng thái lượng tử. 100 200  21 1 210 211 n l ml Số trạng thái Hàm sóng 1 0 0 1 2 0 0 4 1 -1 0 1 Trạng thái lượng tử được kí hiệu theo các số lượng tử, cụ thể bằng nx, n là số lượng tử chính và x tùy thuộc vào số lượng tử quỹ đạo l 26 NGUYÊN TỬ KIM LOẠI KIỀM • Năng lượng của electron hóa trị trong nguyên tử kim loại kiềm Hình 5.5: Mẫu vỏ nguyên tử của hidro và kim loại kiềm (Li).   H Li e- e-     4 2 22 2 0 1 2(4 ) n me Rh E n n       spdf Z Nguyên tố kim loại kiềm (l = 0) (l = 1) (l = 2) (l = 3) 3 11 19 37 55 Li Na K Rb Cs -0,412 -1,373 -2,230 -3,195 -4,131 -0,041 -0,883 -1,776 -2,711 -3,649 -0,002 -0,010 -0,146 -1,233 -2,448 -0,000 -0,001 -0,007 -0,012 -0,022 27 NGUYÊN TỬ KIM LOẠI KIỀM • Việc chuyển mức năng lượng phải tuân theo qui tắc lựa chọn 1, 0n     2S (= 0), thì mức cao hơn chỉ có thể là mức nP ( l= 1, n = 2, 3, 4,...) 2P (= 1), thì mức cao hơn chỉ có thể là mức nS (l = 0, n = 3,4...) hay mức nD (l =2, n = 3, 4...) hν = nP (En,1) – 2S (E2,0) (n  2): các vạch này tạo thành dãy chính. Vạch hν = 2P (E2,1) – 2S (E2,0): là vạch cộng hưởng chính. hν = nS (En,0) – 2P (E2,1) (n > 2): các vạch này tạo thành dãy phụ II hν =nD (En,2) – 2P (E2,1) (n > 2): các vạch này tạo thành dãy phụ I 28 MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG VÀ MÔMEN TỪ CỦA ELECTRON Mômen động lượng quĩ đạo ( 1)L   Mômen động lượng quĩ đạo theo phương z zL m cos ( 1) zL m L     Góc không gian 29 MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG VÀ MÔMEN TỪ CỦA ELECTRON Electron quay quanh hạt nhân tạo thành một dòng điện i có chiều ngược với chiều chuyển động của electron Hình 5.8: Mômen từ và mômen động lượng.  L B( 1) ( 1)2m Be e m      2 m e e L m    249,274.10 / 2 B e e J T m    gọi là Manhêtôn Bohr Hình chiếu của mômen từ lên phương z bất kì bằng z e mz L m2 e  2 mz B e e m m m      30 Hiệu ứng Zeeman Hiện tượng tách vạch quang phổ khi nguyên tử phát sáng đặt trong từ trường được gọi là hiệu ứng Zeeman 2 1( )' B B m m B B m h h           2 1E E h   Với              h B h B ' B B Nghĩa là một vạch quang phổ (khi không có từ trường) được tách thành ba vạch quang phổ (khi có từ trường), trong đó vạch giữa trùng với vạch cũ; tức là, khi nguyên tử đặt trong từ trường thì vạch phổ bị tách thành ba vạch phổ, phù hợp với kết quả thí nghiệm của Zeeman 31 SPIN CỦA ELECTRON Năm 1925, Uhlenbeck và Goudsmit cho rằng, ngoài mômen từ quĩ đạo đã biết, electron còn có mômen từ riêng gọi là mômen spin, Vectơ spin có tính chất giống như vectơ mômen góc quĩ đạo ( 1)S s s  hình chiếu của vectơ spin lên trục không gian z bất kỳ z sS m 2 1 s2)1s2(  32 Trạng thái và năng lượng của electron trong nguyên tử Đứng về phương diện xem electron chuyển động trong nguyên tử bao gồm hai dạng: chuyển động theo quỹ đạo và chuyển động nội tại J L S  ( 1)J j j  1 2 j s    Do có xét đến spin nên trạng thái lượng tử của electron phụ thuộc vào bốn số lượng tử n,l, ml,ms hay n,l, ml, j. Do ms có hai giá trị ( 1/2) nên ứng với một giá trị n sẽ có 2n2 trạng thái lượng tử khác nhau 1 2 0 2 (2 1) 2 n n     Sự có mặt mômen từ spin của electron cho phép giải thích vạch kép đôi trong quang phổ của kim loại kiềm. 3P 2S 32P1/2 32P3/2 22S1/2 2 2 1 1/2 1/23 2 ( 1, 0)h P S j       2 2 2 3/2 1/23 2 ( 1, 1)h P S j       33 Yù nghóa caùc soá löôïng töû 34 Yù nghóa caùc soá löôïng töû 35 Yù nghóa caùc soá löôïng töû 36 37 38 Yù nghóa caùc soá löôïng töû 39 BAÛNG PHAÂN LOAÏI TUAÀN HOAØN • Năm 1869, Mendeleev đã xây dựng nên hệ thống tuần hoàn của các nguyên tố hóa học và đã thiết lập bảng tuần hoàn trước khi cơ học lượng tử ra đời. • Hệ thống tuần hoàn này cho phép rút ra các tính chất vật lí và hóa học cơ bản của các nguyên tố, đồng thời cũng giúp Mendeleev tiên đoán ra nhiều nguyên tố mà sau này thực nghiệm mới phát hiện được. 40 BAÛNG PHAÂN LOAÏI TUAÀN HOAØN • Sự phân bố electron trong bảng tuần toàn dựa trên hai nguyên lí: nguyên lí cực tiểu năng lượng và nguyên lí loại trừ Pauli. • Nguyên lí cực tiểu năng lượng: Mọi hệ vật lí đều có xu hướng chiếm trạng thái có năng lượng cực tiểu, trạng thái đó là trạng thái bền. • Nguyên lí loại trừ Pauli: Mỗi trạng thái lượng tử được xác định bởi bốn số lượng tử n, , , ms chỉ có tối đa một electron. 41 Quy taéc Kleshkowski 42 Quy tắc Kleshkowski Nhóm 1: ns2 (n-1)d9 Nhóm 2: ns2 (n-1)d10 Nhóm 3: ns2 (n-1)d1 Nhóm 4: ns2 (n-1)d2 Nhóm 5: ns2 (n-1)d3 Nhóm 6: ns2 (n-1)d4 Nhóm 7: ns2 (n-1)d5 Nhóm 8: ns2 (n-1)d6,7,8 Nhóm 1: ns1 (n-1)d10 Nhóm 2: ns2 (n-1)d10 Nhóm 3: ns2 (n-1)d1 Nhóm 4: ns2 (n-1)d2 Nhóm 5: ns2 (n-1)d3 Nhóm 6: ns1 (n-1)d5 Nhóm 7: ns2 (n-1)d5 Nhóm 8: ns2 (n-1)d6,7,8 Hay 43 44 Bài tập chương 5 2, 3, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 16, 17, 20, 21, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 40