Vật lý - Chương III: Những khái niệm cơ bản về Quang phi tuyến - SHG

Chương III: Những khái niệm cơ bản về Quang phi tuyến - SHG 3.1 Sự phân cực điện môi trong trường Điện từ • 3.1.1 Hệ phương trình Maxwell trong môi trường phi tuyến t B Erot      t D jHrot      0Bdiv  Ddiv  • Hệ phương trình vật chất • Độ phân cực vĩ mô của môi trường PED   0 )(0 MHB    Ej   EEP  )(00 EEED    )](1[0 )](1[0 E    3.1.2 Mẫu dao động điện tử phi tuyến • Pt chuyển động của e trong nguyên tử dưới tác dụng của điện trường • eE là lực do điện trường của á.s t/d lên e • là lực do các hạt nhân t/d lên e, tương đương lực đàn hồi, liên kết thế năng: V(x) = ½(m0 2x2) E m e x t x    2 02 2  xm 20 Đối với tinh thể bất đối xứng, thế năng của e trong tinh thể có dạng • Khai triển thế năng V(x) theo chuỗi Taylor: ... 2 1 )( 43220  BxAxxmxV  ... !3 1 !2 1 )0()( 0 3 3 3 0 2 2 2 0                     xxx dx Vd x dx Vd x dx dV xVxV • Lực thế F tương ứng có dạng: • Phương trình chuyển động của e: ...43 3220  BxAxxm dx dV F  )(... 43 322 0 tE m e x m B x m A xx  Lời giải nhiễu loạn của pt dao động phi tuyến • Thông thường 3(A/m)x2 << • Số hạng phi tuyến chỉ đáng kể khi x (độ dịch chuyển của điện tử) đủ lớn, tức là cường độ điện trường áp vào đủ lớn. • Khảo sát pt dđ đt phi tuyến • Trong đó và x20 tE m e axxx  cos0 22 0  mAa /3 tEtE cos)( 0 • Số hạng là nhỏ, có thể xem là nhiễu loạn nhỏ của pt tuyến tính. Gọi là gần đúng bậc nhất của x, ta có: • Lời giải có dạng • Lời giải gần đúng hơn của x(t) gọi là )()1( tx tE m e xx  cos0 )1(2 0 )1(  tE me tx   cos / )( 022 0 )1(   )()2( tx 2ax • Lời giải gần đúng hơn của x(t) gọi là nhận được từ pt • Ta có • Từ pt trên trở thành )()2( tx       2102202 )(cos)()( txatE m e txtx      tEmetx   22 0 2 22 0 21 cos / )(          xx 2cos12/1cos2  • Từ pt trên trở thành • Lời giải của pt là • Nếu viết điện trường dưới dạng phức:  xx 2cos12/1cos2      tE mea E mea tE m e txtx    2cos / 2 / 2 cos)()( 20 2 22 0 2 0 2 22 0 0 22 0 2                      tE mea E mea tE me tx     2cos / 4 1 2 / 2 cos / )( 20 2 22 0 22 0 2 0 2 22 0 2 0 022 0 2                   tititi eEeEeEtE    2/1)Re()( • Pt có dạng • Tương tự, ta có lời giải:  titi eEeE m e axxx      2 22 0       titititi eeeetx   222202 2 1 2 1 )(   • Trong đó: 2 2 22 0 2 0 0 / 2    E mea            E me 22 0 /   2 2 22 0 22 0 2 / 4 1 2    E mea           3.1.3. Độ phân cực phi tuyến • Độ phân cực P của moment lưỡng cực trên một đơn vị thể tích: P = Nex Với độ phân cực tương ứng là )2(xx  )2()2( NexP  • So sánh với (2.2.9), ta có: (2.3.3) • Do đó (2.2.12) có dạng: • (2.3.4a) • (2.3.4b) • (2.3.4c) zikezEE  )( 2 2 22 0 2 0 0 )( / 2 zE mea            zikezE me     )( / 22 0   zikezE mea     2 2 22 0 22 0 2 )( / 4 1 2          • Do đó độ phân cực trở thành: • Trong đó:  )()()()()(0)2( 2 1 ),( zktiLzktiLNL ePePPtzP        )(2)(2)(2)(2 2 1 zktiNLzktiNL ePeP       2 22 0 2 0 2 3 )( 0 )( )(2 zE m Nae P NL      )( 22 0 3 )( zE Nae P L     )( ))(4(2 2 2222 0 22 0 2 3 )( 2 zE m Nae P NL      3.2. Sự tương tác phi tuyến của trường điện từ • Từ pt Maxwell: • Trong đó, độ phân cực P có số hạng phi tuyến bậc hai tác động như một nguồn phát xạ sóng có tần số 2 . Điện trường của sóng này có thể viết dưới dạng: • Với và  )2(2)2(2 22 )()( 2 1 zktizkti ezEezEE       cnk /2).2(2   2/1 02 )/()2(  n 2 2 02 2 0 2 t P t E E        • Giả sử E2(z) biến đổi chậm theo trục z, ta có thể bỏ qua đạo hàm bậc hai của E2 (z), khi đó: • • Mặt khác: • • Thay vào pt Maxwell, rút gọn và tách thành các pt riêng cho mỗi tần số ta được hệ 2 pt )2( 2 2 2 2 22 2 2 2)2( 2 1 zktieEk dz dE ik z E E        )2( 2 2 2 2 2 2)2( 2 1 zktieEk dz dE ik        )2(2)2(2202 2 0 22 )()(2 zktizkti ezEezE t E          • Pt đối với tần số 2 có dạng: • Với là hệ số phi tuyến bậc hai • Và giả sử E giảm không đáng kể (=hằng), tích phân * ta có: kziezEdi dz dE  )(2 2 02       d     222 002 nnkkk             1 1 )0(')0()( 2 2 0'2 2 0 2 kzi z kzi e ki EdidzeEdizE            • Trong đó • Nên    2/2/ 2/ 1 1 kzikzi kzi kzi ee ki e e ki        kz ki e kzi     2 1 sin 1 2 2/                 kz kz ze kzi 2 1 2 1 sin 2/                 kz kz zeEdizE kzi 2 1 2 1 sin )0()( 2/2 2 0 2       3.3 Phát sóng hài bậc hai - SHG (Second harmonic gernegation ) • Thực nghiệm SHG được Franken và cộng sự công bố lần đầu tiên vào năm 1961: dùng bức xạ laser Ruby ( = 6943 Ao) chiếu vào tinh thể quartz, chùm tia ra có bức xạ  = 3471 Ao • Nếu chiều dài tinh thể là L (z=L), ta có: Cường độ của sóng  và 2 là: • Do đó: 2 24 2 22 02 2 2 1 2 1 sin )0()(                kL kL LE d LE      2 0 )( 2 1 zEI       2 2 0 2 2 )( 2 1 zEI       2 22 2 22 2/3 0 0 2 2222 2 2/3 0 2 2 1 2 1 sin )0( )2()( 2 2 1 2 1 sin )0( 2                                     kL kL LI nn d kL kL LIdI           • Hiệu suất biến đổi SHG: • • Hiệu suất đạt cực đại và có giá trị: • • Khi • Ví dụ L=1cm; d=4.10-24; n=1,5; I(0)=108W/cm2; eSHG=37% 2 2 2 22 2/3 0 02 2 1 2 1 sin )0( )2()( 2 )0( )(                      kL kL LI nn d I LI eSHG        2 3 22 2/3 0 0 )0(2 LI n d eSHG            1 sin lim 2 1 2 1 sin 2 2 0 2                 x x kL kL x 3.4 Điều kiện đồng bộ không gian (Sự hợp pha) • Điều kiện cực đại của hàm sin2x/x2: Là nghiệm của của phương trình siêu việt x = tgx và Chọn n=1 0 sin 2 2       x x dx d k n LnkL kkL c      00 k Lc    Zn • Bảng giá trị và vị trí các cực đại của hàm sin2x/x2. • Xét điều kiện: 2 2sin x x x 0 4,49 7,73 10,10 1 0,047 0,016 0,008   0)()2(422      nnkkk   0)()2(422      nnkkk  Do đó điều kiện trên không thỏa mãn trong môi trường tán sắc bình thường (có chiết suất n() tăng khi  tăng)  Trong môi trường tinh thể lưỡng chiết, điều kiện trên có thể thỏa mãn • Xét tinh thể đơn trục âm KDP: • Trong đó ne() và no() là chiết suất của tinh thể ứng với tia bất thường và tia thường đối với sóng có tần số . • Dựa vào ellipsoid chiết suất ta tìm được hướng truyền của tia tới lập với trục quang học một góc θ thỏa mãn công thức: )()(  oe nn  • Gọi θ là góc của hướng truyền hợp với quang trục, ta có công thức: • Góc thỏa mãn điều kiện hợp pha θd, ta có: 2 2 2 2 2 sincos )( 1 eoe nnn            220 22 22 0 2 02sin         nn nn E d 2 2 2 max 2 2 1 2 1 sin          kL kL P Pc      2max2 2 2 sin)( PP    3.5. SHG với chùm Gauss • Trong thực tế, chùm laser có dạng chùm Gauss: • Công suất của chùm tia: 2 0 2 /)( wroeErE          42 1 202 0 0 2 0 w EdxdyEP S        • Thay vào trên, ta có: • Trong đó 3 = 2 1 2 2 2 0 )( 3 222 3 2/3 0 0 )( )( 2 2 sin 2 1 1 3                      kL kL w P n Ld P P       