Vật lý - Sự nhiễm xạ tia X bởi tinh thể chất rắn

Một cách trực tiếp nhất để biết dạng của các vật thể là nhìn chúng. Nếu chúng quá nhỏ ta dùng kính hiển vi. Tuy nhiên với kính hiển vi thông thường có một giới hạn khi nhìn các vật nhỏ. Giới hạn đó ( “ giới hạn nhiễu xạ “ ) làm cho ta không thể thấy các vật có kích thước rất nhỏ hơn bước sóng được dùng để nhìn chúng. Bước sóng của ánh sáng nhìn thấy được khoảng 1 mm trong khi khoảng cách giữa các nguyên tử trong tinh thể vào khoảng vài A. Bước sóng của tia X : ~ vài , chục A. Ta có thể dùng các loại sóng khác có bước sóng nằm trong khoảng vài Ao đến vài chục Ao. Từ Cơ học lượng tử : các hạt có bản chất sóng. Hạt chuyển động càng nhanh thì bước sóng càng ngắn . Hai loại hạt có thể gia tốc đến vận tốc đủ tạo ra sóng có bước sóng ngắn đó là : nơtron và electron. Không thể phân biệt được các chi tiết bé hơn bước sóng của bức xạ mà ta dùng để quan sát chúng. Khoảng cách của các nguyên tử trong tinh thể chỉ vào khoảng Å . Muốn quan sát được cấu trúc bên trong tinh thể cần dùng những bức xạ có bước sóng cỡ Å. )eV(E 28,0 Tia X : l(A0) = Với chùm neutron l(A0) = Với chùm electron l(A0) = )( , keVE 412 )( , eVE 280 )(eVE 12 Khối lượng nơtron = 1,675x10-27 kg Bước sóng điển hình 1- 0,01 nm Vận tốc điển hình 400 – 40000 ms-1 Năng lượng điển hình 0,8 – 8000 meV Nhiệt độ điển hình 9 – 90000 K (nơtron nhiệt ) Nơtron Hạt đơn Để hiểu được hiện tượng nhiễu xạ ta hãy xét điều gì xẩy ra khi một sóng tương tác với một hạt. Hạt tán xạ sóng tới đồng nhất theo mọi hướng. Vật liệu rắn  Nếu các nguyên tử sắp xếp không có trật tự, khi có sóng tới, các chùm tán xạ tăng cường và triệt nhau một cách hỗn loạn. Chúng không thể tăng cường lẫn nhau theo một chiều nào đó để cho chùm tia nhiễu xạ.  Trong vật liệu kết tinh, các nguyên tử hay phân tử sắp xếp có trật tự, tuần hoàn trong không gian, các chùm tán xạ cộng vào nhau theo một số chiều và tăng cường nhau để cho các chùm nhiễu xạ. W.L. and W.H. Bragg Năm 1915 hai cha con nhà họ Bragg được giải thưởng Nobel về những đóng góp trong lĩnh vực phân tích cấu trúc tinh thể bằng phương pháp nhiễu xạ tia X. Năm đó W.L. Bragg mới 25 tuổi, là người trẻ nhất được giải thưởng lớn này. Khi góc tới bằng góc phản xạ nếu các tia đến mặt gương đồng pha thì khi phản xạ vẫn đồng pha cho dù chúng đập vào gương ở điểm nào. Khi góc tới và góc phản xạ bằng nhau : bc = ad , các tia phản xạ từ hai điểm của mặt có quang lộ như nhau nên hiệu pha giữa chúng không đổi. Định luật Bragg Giao thoa tăng cường khi Định luật Bragg Công thức Bragg là hệ quả của tính chất cơ bản của tinh thể là tính tuần hoàn mà không liên quan gì đến thành phần hóa học của tinh thể cũng như cách sắp xếp của các nguyên tử trong những mặt phẳng phản xạ. Sự nhiễu xạ từ một họ mặt của mạng tinh thể 3 điềm quan trọng có thể rút ra từ phương trình Bragg : (1) sin(q) tỷ lệ với 1/d : khoảng cách giữa các nguyên tử càng lớn thì góc nhiễu xạ càng nhỏ và ngược lại. Điều này cho thấy mối quan hệ nghịch đảo giữa sự sắp xếp thực của các nguyên tử và các vết nhiễu xạ dẫn tới khái niệm về không gian đảo. (2) sin(q) tỷ lệ với l : góc nhiễu xạ nhỏ khi bước sóng tia X nhỏ (3) Nhiễu xạ có cùng xác suất với n=1 và n= -1 : các vết nhiễu xạ phân bố với một sự đối xứng nào đó. : = 0o : các tia không thay đổi chiều, quang lộ như nhau với các hạt ( không phụ thuộc vị trí của chúng ).  Không cho thông tin về sự sắp xếp trong không gian của các nguyên tử. q= 90o : tia phản xạ quay ngược lại nguồn. Hiệu quang lộ bằng 2d -> chỉ thu được thông tin về khoảng cách bằng nửa bước sóng sử dụng. Muốn có độ phân giải cao cần dùng bước sóng ngắn ( để phân tích cấu trúc tinh thể phải dùng tia X mà không dùng ánh sáng ) Hai góc nhiễu xạ giới hạn  Với 2 nguyên tử : cường độ nhiễu xạ thay đổi dần dần từ 0 khi hiệu quang lộ = (n+1/2) l đến cực đại khi hiệu quang lộ = n l  Với nhiều nguyên tử cách đều nhau: cường độ nhiễu xạ gần như bằng 0 với mọi góc trừ góc mà theo đó hiệu quang lộ bằng một số nguyên lần bước sóng. Sự nhiễu xạ trên tinh thể Phương trình Bragg cho ta biết điều kiện xuất hiện và chiều của chùm tia phản xạ trên 1 họ mặt nào đó của một tinh thể đơn giản P dựa trên giả thiết hạt tán xạ là 1 điểm đứng yên ở các nút mạng. Định luật Bragg (1) không cho biết về cường độ và độ rộng của các đỉnh nhiễu xạ (2) bỏ qua sự tán xạ khác nhau từ các nguyên tử khác nhau (3) bỏ qua sự phân bố của điện tích quanh hạt nhân. Sau đây ta sẽ xét sự nhiễu xạ tia X trong những điều kiện gần với thực tế hơn. Nếu sóng tới dọc theo chiều Ox và electron ở điểm O, cường độ bức xạ tán xạ do electron ở điểm P ( được xác định bởi góc q và khoảng cách r ) bằng : Tán xạ Thomson (suy được từ lý thuyết bức xạ cổ điển của electron dao động) Re = = 2,81.10 -15 m được gọi là bán kính cổ điển của electron Tỷ số (Ie / Io) phụ thuộc vào góc tán xạ q . Góc tán xạ càng nhỏ thì tỷ số đó càng lớn . Cường độ tán xạ mạnh nhất theo và ngược chiều của chùm tia tới nhưng vẫn rất nhỏ so với cường độ Io của sóng tới. Sự tán xạ tia X bởi electron 0 2 2 2 211 I r RI ee ) cos )(( q  422 0 4 4 cm e )(  Pr 2q x y z O Sự tán xạ tia X bởi nguyên tử Công thức Thompon cũng đúng cho tán xạ trên proton . Vì cường độ tán xạ tỷ lệ ngược với khối lượng của hạt nên tán xạ trên proton yếu hơn 1840 lần so với tán xạ trên electron và có thể bỏ qua. Từ đó ta đi đến kết luận : sự tán xạ của tia rơn-ghen trên các nguyên tử chủ yếu do các electron. Sự tán xạ tia X bởi electron trong nguyên tử  tán xạ kết hợp ( không thay đổi bước sóng ) Nói chung có 2 loại tán xạ trên electron :  tán xạ không kết hợp với sự thay đổi của bước sóng ( tán xạ Compton ) . Theo chiều tia tới, q = 0, Dl = 0 : tán xạ là kết hợp. Ngược chiều tia tới, 2q = 1800, Dl = 0,05 A0. Bức xạ bị thay đổi do hiệu ứng Compton là không kết hợp vì pha của nó không có quan hệ với pha của bức xạ tới. Sự tán xạ tia X bởi electron trong nguyên tử Với electron tự do hoặc liên kết yếu , photon có thể truyền xung lượng cho nó và năng lượng của photon tán xạ giảm, dẫn đến sự thay đổi bước sóng Tán xạ của các electron liên kết khác tán xạ của các electron tự do. Trước va chạm Sau va chạm )cos( ql  1 mc h Với electron liên kết có đồng thời tán xạ kết hợp và không kết hợp. Khi gần bằng 0 thì tán xạ kết hợp là chính. Khi tỷ số đó tăng lên, tán xạ không kết hợp mạnh lên và tán xạ kết hợp giảm. Vì trong giao thoa chỉ có tán xạ kết hợp tham gia nên biên độ tán xạ giảm rất nhanh khi tăng . Tán xạ không kết hợp đóng góp vào bức xạ nền, làm giảm tỷ số tín hiệu-trên-tạp ở bộ thu. Tán xạ kết hợp tạo ra chùm tia phản xạ từ tinh thể khi thỏa mãn điều kiện Bragg. Sự tán xạ tia X bởi electron trong nguyên tử l qsin l qsin Sự tán xạ tia X bởi một nguyên tử Nguyên tử có Z electron Electron của nguyên tử không tập trung ở một điểm mà phân bố quanh hạt nhân, giảm dần từ trong ra ngoài. Kích thước của nguyên tử vào cỡ bước sóng của tia X, nên tất cả Z electron của nguyên tử không phát ra các sóng có cùng pha. ª Cường độ tán xạ về phía trước (q = 0o) đúng bằng Z lần cường độ tán xạ từ 1 electron. Chùm tia tán xạ về phía trước của hai electron A và B đi cùng một khoảng cách nên hiệu pha của chúng không đổi. ª Ở các góc khác (q  0o) hiệu quang lộ thay đổi , xuất hiện sự giao thoa triệt tiêu một phần. Sự tán xạ tia X bởi một nguyên tử Thừa số tán xạ nguyên tử Thừa số tán xạ nguyên tử F = tỷ số biên độ sóng tán xạ bởi một nguyên tử ( có Z electron ) trên biên độ sóng tán xạ bởi một electron theo một chiều nào đó. Hiệu quang lộ CB - AD càng lớn khi  bước sóng càng ngắn  góc tán xạ càng lớn Trong phép gần đúng phi tương đối tính, thừa số tán xạ nguyên tử f được cho bởi yyF d)r()r.siexp()r()s( i * f   l q  sin s 4  s   l 2 Vectơ biểu thị sự thay đổi xung lượng của tia X 2q ko k s Y laø haøm soùng cuûa nguyeân töû, caùc chæ soá i vaø f bieåu thò cho traïng thaùi ñaàu vaø cuoái vaø y*y laø söï phaân boá ñieän tích. Vectô s höôùng theo ñöôøng phaân giaùc cuûa goùc 180o – 2q giöõa vectô soùng cuûa soùng tôùi ko vaø vectô soùng cuûa soùng taùn xaï k vaø coù ñoä lôùn Nếu mật độ điện tích của nguyên tử có đối xứng cầu dr rs rssin )r(r)s(   F 2 0 4   dr)r(r  2 0 4  là tổng điện tích của Z electron trong nguyên tử F baèng Z chæ khi q = 0o vaø nhoû hôn Z döôùi caùc goùc taùn xaï khaùc Don Cromer và Mann cho phương trình tính thừa số tán xạ nguyên tử c]) sin (bexp[a) sin ( i ii    2 4 1 2 l q l q F Biết 9 hệ số a(i), b(i) và c của một nguyên tử và bước sóng l có thể tính thừa số tán xạ của nguyên tử dưới góc tán xạ bất kỳ q. Biểu thức trên cho kết quả rất phù hợp trong khoảng 2 l qsin F giaûm ñôn ñieäu khi tyû soá taêng. l qsin Thừa số tán xạ nguyên tử của Cu : Đường biểu diễn bắt đầu từ nguyên tử số Z ( = 29) và đạt giá trị rất nhỏ khi tán xạ ngược ( q = 900 ) F baèng Z chæ khi q = 0o vaø nhoû hôn Z döôùi caùc goùc taùn xaï khaùc FCu Cường độ tán xạ tổng cộng của tất cả nguyên tử trong tinh thể bằng N2 lần ( N là số nguyên tử có trong mẫu ) cường độ tán xạ bởi một nguyên tử : Sự tán xạ tia X bởi N nguyên tử 0 2 2 22 2 2 21 I) cos )( r N (RINI eA qF   Cường độ của bức xạ tán xạ bởi nguyên tử tỷ lệ với bình phương biên độ nên phụ thuộc vào F2 : 0 2 2 2 2 21 I) cos )( r (RI eA qF   Sự tán xạ tia X bởi một nguyên tử Tất cả phản xạ hkl của mạng đơn giản đều được phép nếu thỏa mãn điều kiện Bragg. Mạng đơn giản                        a) OÂ P (110) (111) (111) (100) Mạng phức tạp có cùng một loại nguyên tử 1. nếu các nguyên tử thuộc phân mạng II AII cũng nằm trong các mặt (hkl) có các nguyên tử AI của phân mạng I thì các biên độ tán xạ từ 2 loại nguyên tử cộng với nhau và do đó cường độ phản xạ từ họ mặt (hkl) tăng lên I   (FAI , FAII ) Có thể xẩy ra 2 trường hợp :                      b) OÂ I    (222)  (200)  (110) 2. nếu các mặt (hkl) của các nguyên tử AII song song với các mặt (hkl) của các nguyên tử AI ở một khoảng cách nào đó thì về nguyên tắc các sóng phản xạ từ các họ mặt đó có pha khác nhau : chúng có thể dập tắt nhau một phần hoặc toàn phần . Mạng phức tạp có cùng một loại nguyên tử                            c) OÂ F           (200) (220) (111) (111) Mạng lập phương I                         (222)  (200)  (110) Phản xạ 100 . Giữa các mặt (100) chứa nguyên tử AI xuất hiện các mặt mới ( so với mạng đơn giản ) chứa nguyên tử AII song song và nằm đúng ở giữa các mặt (100) . Nếu khoảng cách d100 trong mạng xuất phát P thỏa mãn điều kiện Bragg, nghĩa là 2d100 sinq = l thì trong mạng I sóng phản xạ từ các mặt nằm giữa các mặt đó cũng thỏa mãn điều kiện Bragg : bây giờ xuất hiện hai họ phản xạ với cùng cường độ  (FAI ) =  (FAII) nhưng khác nhau nửa sóng l/2 = 2.0,5 d sinq nên hoàn toàn triệt tiêu nhau : phản xạ 100 bị cấm . Hiệu pha Phản xạ 110 . Các nguyên tử AII nằm trong cùng các mặt (110) như các nguyên tử AI. Sóng phản xạ từ họ mặt này sẽ tăng lên so với mạng P : phản xạ 110 mạnh. Phản xạ 111 . Các nguyên tử AII tạo nên trong mạng I các mặt song song với các mặt (111) của các nguyên tử AI. Nếu không có các nguyên tử AII mạng P cho phản xạ mạnh. Còn trong mạng I, các sóng phản xạ từ hai họ mặt song song sẽ triệt tiêu lẫn nhau do chúng ngược pha nhau. Phản xạ 111 bị cấm. Phản xạ 200 . Giữa các mặt (200) không có các mặt nằm ở giữa. Phản xạ 200 được phép. Các phản xạ 220 và 222 cũng được phép theo cùng nguyên nhân như trên. Mạng lập phương I                 (222)  (110) Mạng lập phương F Phản xạ 100 . Cũng như với mạng I, phản xạ này cũng bị cấm vì giữa các mặt (100) xuất hiện các mặt mới với cùng mật độ nguyên tử . Phản xạ 110 bị cấm Phản xạ 111, 200, 220 , 222 được phép                                        (200) (220) (111) (111) Các mạng phức tạp gồm các nguyên tử khác loại  Nếu các mặt của một họ mặt nào đó đồng thời chứa các nguyên tử A và B , các sóng tán xạ từ hai loại nguyên tử tăng cường nhau làm xuất hiện phản xạ mạnh.  Nếu các nguyên tử A và B riêng rẻ tạo nên các họ mặt song song và cách nhau 0,5d thì các sóng triệt lẫn nhau, nhiều hay ít tùy vào nguyên tử số của các nguyên tử A và B. Nếu biên độ của các sóng gần bằng nhau thì không còn chùm phản xạ. Cấu trúc loại CsCl Số electron của Cs Z = 54 và số electron của Cl Z = 18. Khi = 0 , biên độ tán xạ nguyên tử có thể lấy bằng Z. l qsin Phản xạ 100. Nếu với mạng lập phương tâm khối I F100 (I) =  (FA) -  (FA) = 0 phản xạ hoàn toàn bị dập tắt, thì với mạng CsCl , F100 (CsCl) =  (FCs+) -  (FCl-) và khi = 0 , F100 (CsCl) =  ( 54 -18 ) =  ( 36 ). Vì sự khác nhau này là đáng kể nên phản xạ 100 là mạnh. Phản xạ 110 rất mạnh vì các nguyên tử Cs và Cl nằm trong cùng mặt phẳng F110 (CsCl) =  (FCs+) +  (FCl-) Nếu ta lấy cường độ phản xạ 110 là 1 thì cường độ phản xạ 100 bằng 0,45. Phản xạ 111 không bị dập tắt hoàn toàn cũng vì lý do như phản xạ 100. Cường độ phản xạ của nó bằng 0,13. Cấu trúc loại CsCl Tinh thể CuZn Cấu trúc loại CsCl. Nguyên tử số của kẽm Z = 30 rất gần với Z của đồng ( Z = 29 ). Phản xạ 100 : biên độ cấu trúc F100 (CuZn) =  (FZn) -  (FCu) rất nhỏ . Nếu lấy cường độ của phản xạ 110 là 1 thì cường độ của phản xạ 100 chỉ bằng 0,06 , nghĩa là yếu hơn gần 8 lần so với phản xạ tương ứng của CsCl. Phản xạ 110 : mạnh do có sự cộng của các tổng biên độ nguyên tử . Phản xạ 111 : biên độ cấu trúc gần bằng 0. Cấu trúc tinh thể loại NaCl Khả năng tán xạ của các nguyên tử A và B khác nhau không nhiều lắm . Phản xạ 100 : bị dập tắt hoàn toàn do giữa các mặt chứa A và B có các mặt nằm ở khoảng cách 0,5d , đồng thời mật độ của mỗi loại nguyên tử trong cả 2 loại mặt đó bằng nhau. Kết quả là F100 (NaCl) =  (FA fB) -  (FA fB) = 0 Phản xạ 110 cũng bị dập tắt theo cùng nguyên nhân. ClNa ClNa Họ mặt (111) vuông góc với trục 3 Cấu trúc tinh thể loại NaCl Phản xạ 111 : Họ mặt (111) vuông góc với trục 3 lần lượt chứa các nguyên tử kim loại A và các nguyên tử phi kim loại B ... Các mặt chứa B nằm đúng giữa các mặt chứa A : sự phản xạ từ hai loại mặt đó triệt nhau. Mức độ làm yếu nhau tùy thuộc vào mật độ nguyên tử trong các mặt và vào hệ thức giữa FA và FB . Vì số nguyên tử A và B trong mạng bằng nhau, nên nếu FA = FB sự phản xạ bị triệt tiêu . nếu FA  FB thì mức độ triệt càng ít nếu FA và FB khác nhau càng nhiều . Biên độ cấu trúc F111 (NaCl) =  (FCl-) -  (FNa+) khá lớn vì với = 0, ZCl - ZNa = 18 -10 = 8. Kết quả là, nếu lấy cường độ phản xạ 200 là 1 , cường độ phản xạ 111 bằng 0,13. Trong khi đó, với Al ( mạng lập phương F ), nếu cường độ phản xạ 200 bằng 0,4 thì cường độ phản xạ 111 bằng 1. Như vậy, nếu với Al tỷ số I111 / I200 = 100 / 40 = 2,5 thì với NaCl, tỷ số đó bằng 13/100 = 0,13 , nghĩa là nhỏ hơn 15 lần ( sự nhỏ này có thể còn do nguyên nhân khác ) . l qsin Tinh thể KCl Kết tinh theo mạng NaCl. Các phản xạ 100, 110 bị triệt tiêu. Các phản xạ có chỉ số lẻ cũng bị triệt tiêu. Ví dụ, phản xạ 111 , vì ZCl ~ ZK . Như vậy, ảnh nhiễu xạ tia X của tinh thể KCl có thể xem của một mạng lập phương đơn P với chu kỳ bằng một nửa chu kỳ thực tế của mạng. Cường độ phản xạ 200 bằng 1, của phản xạ 220 bằng 0,6, của phản xạ 222 chỉ bằng 0,14. Các phản xạ đó có thể lần lượt gán cho phản xạ 100, 110, 111, ... Khoảng cách giữa các mặt của phản xạ thứ nhất bằng 3,13 Å có thể lấy làm chu kỳ của mạng P ( chu kỳ thực tế của mạng KCl a = 6,26 Å ). Mạng lập phương đơn giản P cho phép tất cả phản xạ từ các mặt (hkl). Mạng lập phương tâm khối I ( cấu trúc loại W ) chỉ cho phép các phản xạ từ các mặt có tổng các chỉ số Miller là một số chẵn , nghĩa là h + k + l = 2n. Mạng lập phương tâm mặt F ( cấu trúc loại Cu) cho phép các phản xạ từ các mặt có chỉ số Miller hoặc là đều chẵn hoặc là đều lẻ ( 0 được xem là số chẵn ). Mạng có cấu trúc loại kim cương D cho phép các phản xạ từ các mặt có chỉ số Miller hoặc là tất cả đều lẻ hoặc là tất cả đều chẵn và tổng của chúng chia hết cho 4 ( ví dụ, (220) chứ không phải (200) ). MAX THEODOR FELIX VON LAUE (1879-1960), được giải thưởng Nobel về Vật lý năm 1914 do sự phát hiện sự nhiễu xạ của tia X bởi tinh thể. Von Lauer đã đưa ra một cách tiếp cận mới cho sự nhiễu xạ tia X : ª Tinh thể gồm có các nguyên tử như nhau nằm ở các nút mạng ª mỗi nguyên tử có thể bức xạ trở lại bức xạ tới theo mọi hướng ª các đỉnh nhọn chỉ xuất hiện theo các chiều và với các bước sóng mà các tia X tán xạ từ tất cả các nút mạng giao thoa tăng cường nhau. )s.r( 2 )s,rcos(r 2 OA 2 ononn  l   l   l   Các phương trình Laue Cực đại của nhiễu xạ tia X trong mạng đơn giản Sóng phẳng tới Sóng tổng cộng tại M do sự phát xạ từ các nguyên tử trong tinh thể 332211 anananrn   với Cường độ I ~ | A |2 = A.A*     1 0321 2 j j N n jj ,,j inexp)Rt(iexp R A  l   F )ss,a( ojj   l   2 1 2 2  |)Rt(iexp| l   u1 = 1 và q = ijj f(1, 2, 3) : hàm giao thoa Laue Cường độ của các cực đại chính m1, m2, m3 là các số nguyên ( có thể có thừa số chung ) được gọi là bậc giao thoa . Ba phương trình trên là các phương trình Laue. Xác định chiều của các cực đại chính vec-tơ sóng của sóng tới và sóng tán xạ ứng với cực đại giao thoa Các phương trình Laue cho các cực đại nhiễu xạ hay Nghiệm của phương trình Laue Các nút hkl của mạng đảo được xác định bởi vectơ phương trình Laue , ứng với 1 cực đại nhiễu xạ, được thỏa mãn. Trong tán xạ đàn hồi, năng lượng của photon được bảo toàn nên độ lớn của các vectơ k và ko bằng nhau. Do đó k2 = ko 2 Điều kiện nhiễu xạ viết với vectơ mạng đảo Gkkk o   22 )kG(k o   GkG o  20 2  Rút ra cách biểu diễn hình học của Ewald cho điều kiện nhiễu xạ Cầu Ewald Gốc Mạng đảo Phương pháp đồ thị để xác định vectơ sóng k thỏa mãn điều kiện Bragg: 1) Vẽ mạng đảo 2) Vẽ vectơ ko sao cho nó kết thúc tại một nút của mạng đảo 3) Vẽ vòng tròn bán kính ko với tâm nằm ở gốc vectơ ko 4) Sự nhiễu xạ xuất hiện nếu mặt cầu đi qua các nút mạng đảo khác okGk   Mạng đảo của Lập phương P và cầu Ewald Khoảng cách dhkl giữa họ mặt (hkl) cho các hệ tinh thể  Chiều của hướng từ gốc tọa độ đến điểm hkl của mạng đảo vuông góc với họ mặt (hkl) của tinh thể  Độ lớn hklG  hkl hkl d G 2  hklmhmkml d m d  1 hkl hkl mhmkml mG d mG  2 q l  sin d mG hkl mhmkml 2 2 2  lq msindhkl 2 Công thức Bragg Sự nhiễu xạ của tia X dưới góc q có thể được giải thích như là sự nhiễu xạ bậc m từ họ mặt (hkl) hoặc sự nhiễu xạ bậc nhất từ họ mặt (mhmkml) lq sin m dhkl2 lq sindmhmkml2 Để gán chỉ số cho các vết nhiễu xạ dùng cách giải thích thứ hai (020) không phải là nhiễu xạ bậc hai từ họ mặt (010) mà là nhiễu xạ bậc nhất từ họ mặt (020) n1 , n2 và n3 là các số nguyên Biên độ tổng cộng do tất cả các nguyên tử có trong mẫu tinh thể Mạng phức tạp l1 , l2 và l3 là các phân số ]R)sr(t[iexpA R E jno j noj n j jM l  l   F 22   )sr(RR jn j n   ]R))ss(r(t[iexp R A A o j n n j j o l  l  F 22     F j jjn n ssrissrRti R AA )],(exp)],([exp 000 2221  l  l  l   Cường độ I ở điểm M I = | A |2 = (1/R2) f ( 1,2,3 ) F 2 m1 m2 m3 trong đó f ( 1,2,3 ) là hàm giao thoa Laue )](,[exp 03 2 21 ssriF j j jmmm  F  l  được gọi là biên độ cấu trúc F2m1 m2 m3 được gọi là thừa số