Vật lý thống kê và nhiệt động lực

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH KHOA LÝ TS. ĐỖ XUÂN HỘI TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ 2003 LỜI NÓI ĐẦU Cuốn sách này được viết xuất phát từ giáo trình vật lý thống kê đã giảng cho các lớp sinh viên năm thứ tư khoa Vật lý, trường ĐHSP TP.HCM từ một vài năm qua. Tuy được soạn theo tinh thần của chương trình hiện hành tại khoa Vật lý, trường ĐHSP TP. HCM, nhưng nội dung sách cũng đã được mở rộng thêm, nhằm cung cấp tư liệu cho sinh viên. Sách được trình bày với nỗ lực lớn về mặt sư phạm: Ngoài phần bài tập kèm theo mỗi chương để củng cố cũng như để đào sâu thêm những kiến thức đã được phân tích trong phần lý thuyết, một số đề tài lớn hơn được soạn dưới dạng các “vấn đề” để sinh viên tập làm quen với việc nghiên cứu từng đề tài khoa học trọn vẹn và sinh viên thấy được các lĩnh vực áp dụng của vật lý thống kê, ví dụ như trong vật lý thiên văn. Phần này cũng có thể dùng để gợi ý cho các sinh viên làm seminar trong năm học, luận văn tốt nghiệp, hoặc có thể nâng cao thêm để chuẩn bị cho các luận văn Thạc sĩ vật lý. Nhận thức được rằng việc nắm vững ít nhất là một ngoại ngữ để được tự nâng cao trong quá trình đào tạo là điều nhất thiết phải có đối với mỗi sinh viên nên trong phần phụ lục có kèm theo một danh mục các từ ngữ đối chiếu Việt-Anh-Pháp thường được sử dụng trong môn vật lý thống kê. Hy vọng rằng phần này sẽ giúp ích cho các sinh viên khi sử dụng ngoại ngữ trong khi học tập. Cũng cần nhấn mạnh rằng theo ý kiến của một số nhà vật lý có uy tín trên thế giới thì phần nhiệt động lực học phải được xem như là hệ quả của môn cơ học thống kê, được trình bày như một môn vật lý lý thuyết thực sự, có nghĩa là phát xuất từ các tiên đề, cũng tương tự như môn cơ học lượng tử chẳng hạn. Phần khác, ta cũng nên nhớ rằng môn cơ học thống kê, cùng với cơ học lượng tử và lý thuyết tương đối, hiện đang tạo nên một trong các trụ cột của vật lý hiện đại. Cuốn sách này được xây dựng trên tinh thần đó. Một cách tóm tắt thì vật lý thống kê có thể được hiểu như là môn học khảo sát các tính chất vĩ mô của một hệ vật lý xuất phát từ các đặc tính vi mô của những hạt cấu tạo nên hệ. Nhưng các đặc tính vi mô này chỉ có thể được mô tả chính xác bởi cơ học lượng tử. Vì vậy, để hiểu được cơ sở của vật lý thống kê, điều tự nhiên là phải nắm vững các tính chất lượng tử của các hạt vi mô. Tuy nhiên, trong cuốn sách này, những kiến thức về cơ học lượng tử được yêu cầu ở mức tối thiểu. Những điều gì cần thiết sẽ được nhắc lại trong suốt giáo trình. Cũng nên nói thêm rằng rất đáng tiếc là một số phần quan trọng của vật lý thống kê như khảo sát từ tính của vật chất, hiện tượng chuyển pha, hiện tượng vận chuyển,... không được đề cập đến trong cuốn sách này. Tác giả hy vọng rằng trong lần tái bản sau sẽ có điều kiện trình bày các vấn đề trên. Do kinh nghiệm còn ít, thời gian lại rất hạn hẹp nên chắc chắn cuốn sách này còn nhiều thiếu sót, mong các bạn đọc vui lòng lượng thứ và chỉ dẫn để sách được hoàn thiện trong lần tái bản sau. Tác giả xin trân trọng ngỏ lời cảm tạ đến thầy Hoàng Lan, nguyên Trưởng khoa, và thầy Lý Vĩnh Bê, Trưởng khoa Vật lý, trường ĐHSP TP. HCM đã tạo tất cả các điều kiện thuận lợi để nội dung của cuốn sách này được truyền đạt đến các sinh viên trong vài năm vừa qua. Đồng thời, tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS-TS Nguyễn Khắc Nhạp và thầy Đặng Quang Phúc đã vui lòng để ra thì giờ quí báu đọc bản thảo sách và góp ý cho tác giả. Ngoài ra, tác giả cũng ghi lại ở đây lời cám ơn đến GV Nguyễn Lâm Duy và SV Nguyễn Trọng Khoa đã nỗ lực đánh máy vi tính bản thảo với lòng nhiệt tình và tận tụy nhất. Cuối cùng, tác giả bày tỏ lòng cám ơn đến Phòng Ấn bản trường ĐHSP TP.HCM đã làm việc tích cực để cuốn sách này mau chóng được in và đến tay bạn đọc. TÁC GIẢ Chương I MÔ TẢ THỐNG KÊ HỆ VĨ MÔ IA Những trạng thái vi mô khả dĩ IB Phương pháp thống kê cho hệ vĩ mô IC Tập hợp thống kê. Nguyên lý ergodic ID Entropi thống kê trong lý thuyết thông tin Vật lý thống kê có đối tượng nghiên cứu là những hệ vĩ mô, là những hệ chứa một số rất lớn những hạt (như electron, photon, nguyên tử, phân tử,…); những hệ này có thể tồn tại dưới những trạng thái vật lý khác nhau : khí, lỏng, rắn, plasma và bức xạ điện từ. Về phương diện đo lường, kích thước và năng lượng của một hệ vĩ mô được xác định bởi mét (và các bội số và ước số của mét) và Joule. Trong khi đó, hệ vi mô là hệ có kích thước so sánh được với kích thước của nguyên tử, phân tử, … tức là được đo lường bởi Å ( = 10-10 m ), và năng lượng của hệ vi mô sẽ được đo bằng đơn vị eV ( ≈ 1,6.10-19 Joule ). Một cách đơn giản nhất để thiết lập mối quan hệ giữa một hệ vĩ mô và một hệ vi mô là thông qua 23 -1 hằng số Avogadro NA≈6,023.10 hạt.mol . Độ lớn của hằng số NA này cho chúng ta thấy mức độ phức hợïp rất lớn của một hệ vĩ mô. Chính vì vậy mà để khảo sát các hệ vĩ mô, ta cần phải dùng phương pháp thống kê, để có được những đại lượng vĩ mô phát xuất từ các tính chất của các hệ vi mô. Trong chương thứ nhất này, ta sẽ gặp những khái niệm cơ bản nhất được sử dụng trong vật lý thống kê. Điều đầu tiên là sự phân biệt giữa trạng thái vĩ mô và các trạng thái vi mô khả dĩ đạt được (accessible microstates) của một hệ vĩ mô, ta sẽ thấy rõ sự khác biệt giữa hai khái niệm này qua thí dụ minh họa của một hệ chỉ có hai hạt. Với thí dụ này, ta cũng sẽ đưa vào khái niệm các hạt phân biệt được và các hạt không phân biệt được; hai khái niệm cơ bản cần phải nắm vững trong việc khảo sát hệ nhiều hạt. Sau đó, phương pháp thống kê sẽ được giới thiệu để đưa ra định nghĩa của hàm phân bố thống kê. Trong các phần tiếp theo, nguyên lý ergodic được trình bày và khái niệm entropi thống kê được đưa ra dựa trên lý thuyết thông tin trong trường hợp tổng quát nhất. I.A Những trạng thái vi mô khả dĩ I.A.1 Trạng thái vĩ mô của một hệ vật lý Trạng thái của một hệ vật lý mà ta có thể mô tả bởi các đại lượng vĩ mô, cảm nhận trực tiếp bởi con người được gọi là trạng thái vĩ mô của hệ. Ví dụ như nếu ta xét một khối khí thì các đại lượng vĩ mô này có thể là thể tích, nhiệt độ, … của khối khí. Như vậy, một trạng thái vĩ mô của hệ được xác định bởi các điều kiện mà hệ phụ thuộc. Chẳng hạn đối với một hệ không tương tác với môi trường bên ngoài (hệ cô lập), thì năng lượng và số hạt tạo thành hệ luôn có giá trị xác định. I.A.2 Trạng thái vi mô lượng tử của một hệ vật lý Theo quan điểm của cơ học lượng tử, trạng thái vật lý của một hạt tại một thời điểm t được biểu diễn bởi một vectơ trong không gian trạng thái, đó là vectơ trạng thái ket ψ(t) . Sự tiến hóa theo thời gian của một trạng thái vi mô được mô tả bởi phương trình Schrưdinger d i ψ(t) = Hˆ ψ(t) , (I.1) h dt trong đó Hˆ là toán tử Hamilton, toán tử liên kết với năng lượng, bằng tổng của toàn tử động năng Tˆ và toán tử thế năng tương tác Uˆ : Hˆ = Tˆ + Uˆ . (I.2) Nếu gọi r là vectơ riêng tương ứng với vị trí rr của hạt, tích vô hướng r ψ(t) = ψ(rr, t) (I.3) cho ta hàm sóng, đặc trưng đầy đủ cho trạng thái vật lý của hệ. ˆ Trong trường hợp hệ bảo toàn ( H độc lập đối với thời gian t), năng luợng El của hệ ở trạng thái l được xác định bởi phương trình trị riêng: Hˆ ϕi = E ϕi l l l với i = 1, 2, …, gl cho biết sự suy biến của hệ. Tổng quát hơn, khi đối tượng nghiên cứu là một hệ nhiều hạt thì hàm sóng Ψ( q1, q2, …, qf ) theo các biến số là tọa độ qi sẽ đặc trưng đầy đủ cho hệ hạt. Ở đây, f là số lượng tử của hệ. Chú ý rằng khi ta nói đến trạng thái vi mô của một hệ vĩ mô thì ta ngầm hiểu rằng đó chính là trạng thái vi mô lượng tử. Còn nếu ta nhấn mạnh đến trạng thái vi mô cổ điển thì có nghĩa là tính chất của hệ được khảo sát thông qua cơ học cổ điển Newton như ta sẽ thấy. Dĩ nhiên rằng khi này, kết quả của chúng ta thu được chỉ là gần đúng mà thôi. Thông thường thì một hệ vĩ mô luôn được đặt dưới một số điều kiện (vĩ mô) nào đó gọi là hạn chế (constraint), chẳng hạn như đối với một khối khí cô lập, không tương tác với môi trường bên ngoài thì năng lượng và số hạt của hệ xem như là những điều kiện do môi trường bên ngoài áp đặt cho hệ, và dĩ nhiên là hai đại lượng này là không đổi. Khi đó sẽ tồn tại một số những trạng thái vi mô khác nhau của hệ tương ứng với cùng một trạng thái vĩ mô này. Số trạng thái vi mô này thường được kí hiệu là Ω, đóng vai trò trọng yếu trong việc nghiên cứu vật lý thống kê. Ví dụ: Để dễ hiểu vấn đề, ta sẽ xét một hệ nhiều hạt đơn giản gồm chỉ hai hạt phân biệt được, tức là có thể đánh dấu được là hạt A và hạt B. Hai hạt này được phân bố trên ba mức năng lượng cách đều nhau là ε0 = 0 , ε1 = ε , và ε2 = 2ε. Giả sử năng lượng toàn phần của hệ được ấn định bằng: E = 2ε. Ta hãy xét những trạng thái vi mô khả dĩ của hệ tương ứng với trạng thái vĩ mô này. ε2 = 2ε B A ε ε1 = ε AB ε ε0 = 0 A B (1) (2) (3) H.I.1 Ta có thể đếm số trạng thái vi mô bằng cách dùng sơ đồ như hình trên: các hạt A và B được sắp xếp trên các mức năng lượng sao cho tổng năng lượng của hai hạt bằng 2ε. Vậy, có tất cả là 3 trạng thái vi mô khả dĩ: (1), (2), và (3); Ω = 3. Vì hai hạt A và B phân biệt được nên hai trạng thái vi mô (1) và (2) phải được xem là khác nhau. Nếu ta giả sử hai hạt tạo thành hệ là không phân biệt được thì ta sẽ có sơ đồ sau: ε2 = 2ε • ε ε1 = ε •• ε ε = 0 • 0 (1’) (2’) H.I.2 Vậy khi này ta có Ω = 2, nhỏ hơn so với trường hợp hệ các hạt phân biệt được. Bây giờ ta giả sử rằng mức năng lượng ε1 suy biến bậc 2 (tức là ở mức năng lượng ε1, sẽ có hai trạng thái lượng tử khác nhau). Khi hai hạt là phân biệt được, ta có Ω = 6 như được biểu diễn trong sơ đồ sau: ε2 = 2ε A B ε ε1 = ε A B B A AB AB ε ε0 = 0 B A (1) (2) (3) (4) (5) (6) H.I.3 (Ở đây, ta giả thiết rằng hai hạt có thể cùng ở một trạng thái lượng tử). Còn khi hai hạt là không phân biệt được, ta sẽ có Ω =4. ε2 = 2ε • ε ε1 = ε • • • • •• ε ε0 = 0 • (1’) (2’) (3’) (4’) H.I.4 I.A.3 Trạng thái vi mô cổ điển Ở một mức độ gần đúng nào đó, trạng thái vi mô của một hệ vĩ mô có thể được mô tả bởi cơ học cổ điển. Ta sẽ xét trường hợp đơn giản nhất là trường hợp một hạt chuyển động một chiều và sẽ mở rộng cho trường hợp tổng quát hơn. a) Một hạt chuyển động một chiều Với khái niệm bậc tự do là số tọa độ cần thiết để xác định vị trí của hạt thì trường hợp đơn giản này là hệ có một bậc tự do. Ta biết rằng trong cơ học cổ điển, trạng thái cơ học của một hạt được mô tả bởi tọa độ suy rộng q và động lượng suy rộng p, là nghiệm của hệ phương trình Hamilton: ⎧ ∂H (I.5a) ⎪q& = ⎪ ∂p ⎨ ∂H ⎪p& = − ⎩⎪ ∂q (I.5b) với H là hàm Hamilton của hệ. Như vậy, ta có thể nói rằng trạng thái cơ học (cổ điển) của hạt tại mỗi thời điểm t được biểu diễn bằng một điểm có tọa độ (q, p) gọi là điểm pha trong không gian tạo bởi hai trục tọa độ Oq và Op gọi là không gian pha μ, là không gian hai chiều. Vì các đại lượng q và p biến thiên theo thời gian nên điểm pha (q, p) vạch thành một đường trong không gian pha; đó là quĩ đạo pha. p2 1 Ví dụ: Xét một dao động tử điều hòa tuyến tính có động năng T = và thế năng U = mω2q2 , 2m 2 với m và ω là khối lượng và tần số góc của dao động tử. Ta có hàm Hamilton: p2 1 H = T + U = + mω2q2 , 2m 2 ∂H p q& = = , ∂p m ∂H 2 p& = − = −mω q , ∂q p& 2 q&& = = −ω q . m Ta có phương trình vi phân theo q: 2 q&& + ω q = 0 . ⇒ q = q0 sin(ωt + ϕ), với q0, φ là hai hằng số phụ thuộc điều kiện đầu. ⇒ p = mq& = p0 cos(ωt + ϕ), p0 = mωq0 . Để tìm quĩ đạo pha, ta thiết lập hệ thức giữa q và p độc lập với t: q2 p2 + = 1. 2 2 q0 p0 Vậy quĩ đạo pha là một ellip có các bán trục là q0 và p0 = mωq0 . quĩ đạïo pha p p σ = 2π • p0 h • (q,p): điểm pha δp -q 0 q0 q -p0 O δq q H.I.5 H.I.6 Để đếm số trạng thái vi mô khả dĩ của hạt khi trạng thái cơ học của hạt được biểu diễn trong không gian pha, ta chia đều các trục Oq và Op thành những lượng nhỏ δq và δp. Như vậy, không gian pha trong trường hợp này là mặt phẳng được phân thành những ô chữ nhật nhỏ, mỗi ô có diện tích bằng σ = δqδp . Một trạng thái cơ học của hạt tương ứng với một điểm pha nằm trong ô này. Cách mô tả càng chính xác khi σ càng nhỏ: trong cơ học cổ điển, σ được chọn nhỏ tùy ý, tức là một ô sẽ trở thành một điểm chính là điểm pha. Chú ý rằng theo cơ học lượng tử, nguyên lý bất định Heisenberg cho ta hệ thức: δq.δp ≥ 2πh , với h h = (h là hằng số Planck). Tức là không tồn tại một trạng thái cơ học với các đại lượng q và p cùng 2π được xác định với độ chính xác tùy ý. Vậy mỗi trạng thái vi mô của hạt phải được biểu diễn bởi một ô có diện tích bằng σ0 = δqδp = 2πh , chứ không phải bởi một điểm pha như trong cơ học cổ điển. b) Trường hợp hệ có f bậc tự do Tức là khi này, hệ được mô tả bởi f tọa độ suy rộng (q1, q2, …, qf ) và f động lượng suy rộng ( p1, p2, …, pf ). Ví dụ: - Hệ gồm một hạt chuyển động trong không gian ba chiều có vị trí xác định bởi ba tọa độ ( q1 ≡ x , q2 ≡ y , q3 ≡ z ), vậy hệ này có ba bậc tự do: f = 3. Không gian pha tương ứng sẽ là không gian pha 6 3 chiều: ( q1, q2, q3, p1, p2, p3 ). Mỗi ô đặc trưng cho một trạng thái vi mô có thể tích ()δqδp . - Hệ có N hạt: vì mỗi hạt có ba bậc tự do nên hệ có số bậc tự do là: f = 3N. Hệ này tương ứng với không gian pha 6N chiều. Vậy tập hợp các đại lượng (q1, q2, …, qf, p1, p2, …, pf) tương ứng với một điểm pha trong không gian pha 2f chiều, gọi là không gian K, để phân biệt với không gian pha μ có hai chiều. Tương tự trên, mỗi trạng thái cơ học của hệ có f bậc tự do được biểu diễn bởi một “ô” có thể tích f thỏa điều kiện: δq1δq2...δqf .δp1δp2...δpf = σ vớiσ nhỏ tùy ý theo cơ học cổ điển. Nhưng theo cơ học lượng tử, mỗi trạng thái vi mô của hệ trên được biểu diễn bởi một “ô” có thể f tích thỏa điều kiện: δq1δq2 ...δqf .δp1δp2 ...δpf ≥ (2πh) tuân theo nguyên lý bất định Heisenberg. Vậy, đối với hệ N hạt chẳng hạn, thì mỗi trạng thái tương ứng với một ô trong không gian pha có thể 3N 3N tích ()2πh = h . I.A.4 Mật độ trạng thái Xét trường hợp năng lượng E của hệ vĩ mô có phổ liên tục. Ta chia năng lượng E ra từng phần nhỏ δE sao cho δE vẫn chứa một số lớn những trạng thái vi mô khả dĩ. Gọi Ω(E) là số trạng thái vi mô khả dĩ có năng lượng ở trong khoảng E và E + δE . Khi δE đủ nhỏ mà Ω(E) có thể được viết: Ω(E) = ρ(E).δE , (I.6) (với δE đủ nhỏ, ta chỉ giữ lại số hạng đầu) trong đó ρ(E) độc lập với độ lớn δE , thì ρ(E) được gọi là mật độ trạng thái, vì thực chất thì theo công thức trên, ρ(E) là số trạng thái vi mô có được trong một đơn vị năng lượng. I.A.5 Sự phụ thuộc của số trạng thái vi mô khả dĩ theo năng lượng Xét trường hợp một khối khí gồm N phân tử giống nhau chứa trong một bình có thể tích V. Năng lượng toàn phần của khối khí là E = K + U + Eint , trong đó, K là động năng của chuyển động tịnh tiến của các phân tử khí được tính theo động lượng pi của khối tâm mỗi phân tử; K chỉ phụ thuộc các động lượng này: N r r r 1 r 2 K = K(p1, p2 ,..., p N ) = ∑ pi . 2m i=1 r r r Đại lượng U = U(r1, r2 ,..., rN ) biểu thị thế năng tương tác giữa các phân tử, phụ thuộc khoảng cách tương đối giữa các phân tử, tức là chỉ phụ thuộc vào vị trí khối tâm của các phân tử. Cuối cùng nếu các phân tử không phải là đơn nguyên tử, các nguyên tử của mỗi phân tử có thể quay hoặc dao động đối với khối tâm, các chuyển động nội tại này được đặc trưng bởi các tọa độ nội tại Q1, Q2, …, QM và động lượng nội tại P1, P2, …, PM. Như vậy, Eint là năng lượng của các chuyển động nội tại này và chỉ phụ thuộc vào Qi và Pi (nếu là phân tử đơn nguyên tử thì Eint = 0). Trường hợp đặc biệt đơn giản là U ≅ 0 : tương tác giữa các phân tử rất nhỏ so với các số hạng khác, có thể bỏ qua. Khi đó, ta có hệ khí lý tưởng. Trường hợp này xảy ra khi mật độ phân tử N/V rất nhỏ làm cho khoảng cách trung bình giữa các phân tử trở nên rất lớn. Giả sử rằng ta xét khối khí lý tưởng ở giới hạn cổ điển. Khi này, số trạng thái vi mô khả dĩ Ω(E) có năng lượng trong khoảng ( E , E + δE ) sẽ bằng số điểm pha trong không gian pha giới hạn bởi E và E + δE : E+δE r r r r r r r Ω(E) ∝ ∫∫... dr1dr2...drN .dp1dp2...dpN .dQ1dQ2...dQ M .dP1dP2...dPM , trong đó: dri = dx idyidz i và E r dpi = dpixdpiydpiz . r Vì ∫ dri = V nên: N Ω(E) ∝ V Ω1(E) , (I.7a) với: E+δE r r r Ωi (E) ∝ ∫∫... dp1dp2...dpN .dQ1dQ2...dQ M .dP1dP2...dPM . độc lập đối với V. E Hơn nữa, trong trường hợp khí đơn nguyên tử: Eint = 0, và N 3 1 2 E = ∑∑piα , 2m i==1 α 1 gồm 3N = f số hạng toàn phương. Vậy trong không gian f-chiều của động lượng, phương trình E = const biểu diễn một mặt cầu bán kính R(E) = (2mE)1/ 2 . Số trạng thái như vậy bằng số điểm pha nằm giữa hai mặt cầu có bán kính R(E) và R(E+δE). Mà số trạng thái Φ chứa trong khối cầu bán kính R(E) được tính: Φ(E) ∝ R f = (2mE)f / 2 , nên ∂Φ Ω(E) = Φ(E + δE) − Φ(E) = dE . ∂E Vậy: Ω(E) ∝ Ef 2−1 = E3N 2−1 ≅ E3N 2 . Phối hợp kết quả trên với (I.7a), ta có: Ω ( E ) = AV N E 3 N 2 , (I.7b) với N có độ lớn khoảng bằng hằng số Avogadro. Tức là Ω(E) tăng rất nhanh theo N. Tổng quát hơn trường hợp đặc biệt trên, ta có thể chứng minh rằng: . (I.7c) Ω(E) ∝ Ef Tức là số trạng thái vi mô khả dĩ là hàm tăng rất nhanh theo năng lươ