Xác suất thống kê - Các công thức tính xác suất

Các công thức tính xác suất XÁC SUẤT THỐNG KÊ Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM ĐT: 0989 969 057 E-mail: phungngoc.nguyen@gmail.com phungvl@yahoo.com 10-10-2010 Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các công thức tính xác suất 1 Các công thức tính xác suất Công thức cộng Công thức xác suất có điều kiện Công thức nhân Công thức Bernoulli Công thức xác suất đầy đủ Công thức Bayes Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các công thức tính xác suất Công thức cộng Công thức xác suất có điều kiện Công thức nhân Công thức Bernoulli Công thức xác suất đầy đủ Công thức Bayes Công thức cộng Định nghĩa (Với 2 biến cố bất kỳ) P(A+ B) = µ(A∪B)µ(Ω) = µ(A)+µ(B)−µ(AB) µ(Ω) = P(A) + P(B)− P(AB) Định nghĩa (Với 2 biến cố xung khắc) A, B xung khắc ⇔ A, B không thể đồng thời xảy ra ⇔ A.B = ∅ Khi đó: P(A+ B) = P(A) + P(B)− P(∅)⇔ P(A+ B) = P(A) + P(B) Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các công thức tính xác suất Công thức cộng Công thức xác suất có điều kiện Công thức nhân Công thức Bernoulli Công thức xác suất đầy đủ Công thức Bayes Công thức cộng Định nghĩa (Với n biến cố xung khắc từng đôi) A1,A2, . . . ,An xung khắc từng đôi⇔ Ai.Aj = ∅ (i 6= j) Khi đó: P(A1 + A2 + · · ·+ An) = P(A1) + P(A2) + · · ·+ P(An) Định nghĩa (Công thức bù) A là bc bù của A. Ta có:{ A+ A = Ω A.A = ∅ Khi đó:P(A+ A) = P(A) + P(A) ⇔ P(Ω) = P(A) + P(A) Vậy: P(A) + P(A) = 1 Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các công thức tính xác suất Công thức cộng Công thức xác suất có điều kiện Công thức nhân Công thức Bernoulli Công thức xác suất đầy đủ Công thức Bayes Công thức cộng Ví dụ: Một hộp có 4 bi đỏ và 6 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 bi từ hộp. Tính xác suất: a. Lấy được 2 bi đỏ. b. Lấy được ít nhất 1 bi đỏ. Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các công thức tính xác suất Công thức cộng Công thức xác suất có điều kiện Công thức nhân Công thức Bernoulli Công thức xác suất đầy đủ Công thức Bayes Công thức xác suất có điều kiện Định nghĩa P(B/A) là xác suất để bc B xảy ra, biết rằng bc A đã xảy ra. Ta có: P(B/A) = µ(A ∩ B) µ(A) = P(AB) P(A) Tương tự: P(A/B) = P(AB)P(B) Ví dụ: Một hộp có 10 phiếu trong đó có 3 phiếu trúng thưởng. Hai người rút ngẫu nhiên lần lượt mỗi người một phiếu không hoàn lại từ hộp. Tính xác suất để người thứ hai rút được phiếu trúng thưởng, biết rằng người thứ nhất rút được phiếu trúng thưởng. Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các công thức tính xác suất Công thức cộng Công thức xác suất có điều kiện Công thức nhân Công thức Bernoulli Công thức xác suất đầy đủ Công thức Bayes Công thức nhân Định nghĩa (Với 2 biến cố bất kỳ) P(AB) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B) Định nghĩa (Với 2 biến cố độc lập) Hai bc độc lập ⇔ Một trong hai bc xảy ra không làm ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của bc còn lại. A,B độc lập nhau ⇔ P(B/A) = P(B), P(A/B) = P(A) Khi đó: P(AB) = P(A).P(B) Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các công thức tính xác suất Công thức cộng Công thức xác suất có điều kiện Công thức nhân Công thức Bernoulli Công thức xác suất đầy đủ Công thức Bayes Công thức nhân Định nghĩa (Với n biến cố độc lập) Cho A1,A2, . . . ,An độc lập với nhau. Khi đó: P(A1.A2 . . .An) = P(A1).P(A2) . . .P(An) Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các công thức tính xác suất Công thức cộng Công thức xác suất có điều kiện Công thức nhân Công thức Bernoulli Công thức xác suất đầy đủ Công thức Bayes Công thức nhân Ví dụ: Một phân xưởng có 2 máy hoạt động độc lập. Trong một ngày làm việc xác suất để các máy này bị hỏng tương ứng là 0,1 và 0,05. Tính xác suất trong một ngày làm việc: a. Phân xưởng có 2 máy hỏng. b. Phân xưởng có ít nhất 1 máy hỏng. Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các công thức tính xác suất Công thức cộng Công thức xác suất có điều kiện Công thức nhân Công thức Bernoulli Công thức xác suất đầy đủ Công thức Bayes Công thức Bernoulli Định nghĩa Xét n phép thử độc lập, ở mỗi phép thử bc A xảy ra với xác suất bằng p là hằng số. Khi đó, xác suất để bc A xảy ra k lần trong số n lần thử được kí hiệu là B(k;n; p) (0 ≤ k ≤ n) B(k;n; p) = Cknpkqn−k, q = 1− p Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các công thức tính xác suất Công thức cộng Công thức xác suất có điều kiện Công thức nhân Công thức Bernoulli Công thức xác suất đầy đủ Công thức Bayes Công thức nhân Ví dụ: Trong trò chơi Tài Xỉu, xác suất để người chơi trúng ở mỗi lần chơi là 3572 . Tính xác suất: a. Trong 8 lần chơi có 4 lần trúng. b. Trong n lần chơi có ít nhất 1 lần trúng. c. Cần chơi ít nhất bao nhiêu lần để xác suất có ít nhất 1 lần trúng không dưới 99%. Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các công thức tính xác suất Công thức cộng Công thức xác suất có điều kiện Công thức nhân Công thức Bernoulli Công thức xác suất đầy đủ Công thức Bayes Công thức xác suất đầy đủ Định nghĩa A1,A2, . . . ,An được gọi là một phép phân hoạch của Ω ⇔ { A1 + A2 + . . .+ An = Ω Ai.Aj = ∅ (i 6= j) Khi đó, với B là một bc bất kỳ, ta có: P(B) = P(B.Ω) = P(B.(A1 + A2 + . . .+ An)) = P(BA1 + BA2 + . . .+ BAn) = P(BA1) + P(BA2) + . . .+ P(BAn) Vậy: P(B) = P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/A2) + . . .+ P(An)P(B/An) Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các công thức tính xác suất Công thức cộng Công thức xác suất có điều kiện Công thức nhân Công thức Bernoulli Công thức xác suất đầy đủ Công thức Bayes Công thức xác suất đầy đủ Ví dụ: 1 Có 2 hộp sản phẩm, mỗi hộp có 10 sản phẩm trong đó hộp thứ i có 2i phế phẩm (i=1;2). Chọn ngẫu nhiên 1 hộp từ đó lấy ra 2 sản phẩm. Tính xác suất: a. Lấy được 2 chính phẩm. b. Lấy được ít nhất 1 chính phẩm. 2 Một hộp có 10 phiếu trong đó có 3 phiếu trúng thưởng. Hai người rút ngẫu nhiên lần lượt mỗi người một phiếu không hoàn lại từ hộp. Tính xác suất để người thứ nhất rút được phiếu trúng thưởng, biết rằng người thứ hai rút được phiếu trúng thưởng. Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các công thức tính xác suất Công thức cộng Công thức xác suất có điều kiện Công thức nhân Công thức Bernoulli Công thức xác suất đầy đủ Công thức Bayes Công thức Bayes Định nghĩa Xét một phép phân hoạch n bc A1,A2, . . . ,An của Ω. Giả sử bc B đã xảy ra, khi đó xác suất để bc Ai xảy ra là: P(Ai/B) = P(AiB) P(B) = P(Ai).P(B/Ai) P(B) với P(B) = P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/A2) + . . .+ P(An)P(B/An) Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các công thức tính xác suất Công thức cộng Công thức xác suất có điều kiện Công thức nhân Công thức Bernoulli Công thức xác suất đầy đủ Công thức Bayes Công thức xác suất đầy đủ-Công thức Bayes Ví dụ: 1 Một nhà máy có 3 dây chuyền sản xuất, cung ứng lần lượt 40%, 35% và 25% tổng sản phẩm. Tỉ lệ phế phẩm của các dây chuyền tương ứng là 1%, 1,25% và 1,5%. Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy. a. Tính xác suất để sản phẩm đó là phế phẩm. b. Biết rằng đó là một phế phẩm, hỏi khả năng phế phẩm này được sản xuất từ dây chuyền nào là cao nhất? Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ