Xác suất thống kê - Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên XÁC SUẤT THỐNG KÊ Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM ĐT: 0989 969 057 E-mail: phungngoc.nguyen@gmail.com phungvl@yahoo.com 10-10-2010 Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên 1 Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Mode Median Kỳ vọng Phương sai Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Mode Median Kỳ vọng Phương sai Mode Định nghĩa Định nghĩa (Mode) Mode của bnn X, kí hiệu là Mod(X). Nếu X là bnnrr: ModX là giá trị mà X có khả năng nhận được cao nhất trong 1 phép thử. ModX = xk ⇔ pk = maxi∈I pi Nếu X là bnnlt: ModX là giá trị mà hàm mật độ xác suất ở đó đạt cực đại. Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Mode Median Kỳ vọng Phương sai Mode Ví dụ Ví dụ: 1 Cho bnnrr X có ppxs: X 1 2 3 4 P 0, 25 0, 15 0, 5 0, 1 Xác định ModX. 2 Cho bnnlt X có đồ thị của hàm mật độ xác suất như sau: Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Mode Median Kỳ vọng Phương sai Mode Ví dụ Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Mode Median Kỳ vọng Phương sai Median Định nghĩa Định nghĩa (Median) Median của bnn X, kí hiệu là Med(X), là giá trị trung vị của bnn X, là giá trị chia đôi phân phối xác suất của X. Nếu X là bnnrr: MedX = x0 ⇔ P(X x0) ≤ 0, 5 Nếu X là bnnlt: MedX = x0 ⇔ P(X < x0) = 0, 5 Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Mode Median Kỳ vọng Phương sai Kỳ vọng Định nghĩa Định nghĩa (Kỳ vọng) Kỳ vọng của bnn X, kí hiệu là E(X), là giá trị trung bình theo xác suất của bnn X. Thực hiện n phép thử độc lập. Gọi X1, . . . ,Xn là kết quả của X ở phép thử thứ n. Khi đó EX = lim n→∞ X1+X2+···+Xn n Nếu X là bnnrr: E(X) = ∑ i∈I xi.pi = x1.p1 + x2.p2 + . . .+ xi.pi + . . . Nếu X là bnnlt: E(X) = +∞∫ −∞ xf(x)dx Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Mode Median Kỳ vọng Phương sai Kỳ vọng Ví dụ Ví dụ: 1 Cho bnnrr X có bảng ppxs như sau: X 0 1 2 P 0, 2 0, 5 0, 3 Xác định EX. 2 Cho bnn X có hàm mật độ xác suất f(x) = { 2x , x ∈ [0; 1] 0 , x /∈ [0; 1] Xác định EX. Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Mode Median Kỳ vọng Phương sai Kỳ vọng Ví dụ 1 2 3 Một người đánh số đề bỏ ra t (đồng) đánh một số có 2 chữ số ab mà người đó dự đoán sẽ ra ở Giải tám của đài X ngày hôm đó (đánh số đầu). Nếu chiều hôm đó đài X xổ số ab cho Giải tám thì người đó sẽ nhận lại được 70.t (đồng), nếu không thì người đó sẽ mất số tiền đã chơi. Tính kỳ vọng số tiền người đó ăn được, giả sử không có gian lận trong quá trình quay số. 4 Cho biết trò chơi Roulette trong Casino như sau: Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Mode Median Kỳ vọng Phương sai Kỳ vọng Ví dụ Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Mode Median Kỳ vọng Phương sai Kỳ vọng Tính chất Tính chất (1) E(C) = C;∀C ∈ R Tính chất (2) E(X+ Y) = E(X) + E(Y) Tính chất (3) E(k.X) = k.E(X);∀k ∈ R. ⇒ E(aX+ bY) = aEX+ bEY,∀a, b ∈ R Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Mode Median Kỳ vọng Phương sai Kỳ vọng Tính chất Tính chất (4) Nếu X, Y là 2 bnn độc lập thì E(X.Y) = E(X).E(Y). Tính chất (5) Nếu X, Y là 2 bnn với X ≥ Y thì E(X) ≥ E(Y). Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Mode Median Kỳ vọng Phương sai Kỳ vọng Tính chất Tính chất (6) Nếu X là bnnrr thì E(ϕ(X)) = ∑ i∈I ϕ(xi)pi = ϕ(x1)p1 + . . .+ ϕ(xi)pi + . . . Từ đó ta được E(X2) = ∑ i∈I x2i pi = x21p1 + x22p2 + . . .+ x2i pi + . . . Tính chất (7) Nếu X là bnnlt thì E(ϕ(X)) = +∞∫ −∞ ϕ(x)f(x)dx Từ đó ta được E(X2) = +∞∫ −∞ x2f(x)dx Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Mode Median Kỳ vọng Phương sai Kỳ vọng Ví dụ Ví dụ: 1 Cho X là bnnrr có ppxs như sau: X 0 1 2 P 0, 2 0, 5 0, 3 a) Tính E(X2 − X+ 1). b) Cho biết Y là bnn độc lập với X và EY = 10. Tính E(2XY−3Y+5). 2 Cho bnnlt X có hàm mật độ xác suất f(x) = { 2x , x ∈ [0; 1] 0 , x /∈ [0; 1] . Xác định E(X2 − X+ 1). Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Mode Median Kỳ vọng Phương sai Phương sai Định nghĩa Định nghĩa (Phương sai) Phương sai của bnn X, kí hiệu là Var(X): VarX = E(X− EX)2. Là giá trị trung bình theo xác suất của bình phương độ lệch của X so với EX. Phương sai của X cho biết mức độ phân tán các giá trị của X so với kỳ vọng của nó. Trong kinh tế, phương sai dùng để đánh giá độ rủi ro của các quyết định. Trong kỹ thuật, phương sai dùng để đánh giá sai số của các thiết bị. Trong tính toán ta sử dụng công thức: VarX = E(X2)− (EX)2. Tuy nhiên, do phương sai không cùng thứ nguyên với X nên ta đặt σ(X) = √ VarX, được gọi là độ lệch chuẩn của X. Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Mode Median Kỳ vọng Phương sai Phương sai Minh họa Cho biết bnn X có hàm mật độ xác suất f(x) = 1 σ √ 2pie − (x−µ)2 2σ2 có EX = µ và VarX = σ2. Hình vẽ sau đây sẽ minh họa về sự phân bố giá trị của X với các giá trị phương sai khác nhau. Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Mode Median Kỳ vọng Phương sai Phương sai Minh họa Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Mode Median Kỳ vọng Phương sai Phương sai Ví dụ Ví dụ: 1 Cho bnnrr X có bảng ppxs như sau: X 0 1 2P 0, 2 0, 5 0, 3 . Xác định VarX. 2 Cho bnnlt X có hàm mật độ xác suất f(x) = { 2x , x ∈ [0; 1] 0 , x /∈ [0; 1] . Xác định VarX. Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Mode Median Kỳ vọng Phương sai Phương sai Tính chất Tính chất (1) Var(C) = 0,∀C ∈ R Tính chất (2) Var(k.X) = k2.Var(X),∀k ∈ R Tính chất (3) Nếu X, Y là 2 bnn độc lập thì Var(X+ Y) = Var(X) + Var(Y) ⇒ Var(X+ C) = VarX,∀C ∈ R Var(aX+ bY) = a2.VarX+ b2VarY,∀a, b ∈ R Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Mode Median Kỳ vọng Phương sai Phương sai Ví dụ Ví dụ: 1 Cho 2 bnn độc lập X, Y với VarX=5 và VarY=2. Tính Var(2X-3Y+5). 2 Cho 2 bnn độc lập X,Y với EX=1, EY=2, EX2 = 2,EY2 = 3. Tính Var(XY). 3 Năng suất của 2 máy tương ứng là bnn X, Y (sp/phút) có ppxs như sau X 1 2 3 4 P 0, 1 0, 2 0, 5 0, 2 Y 2 3 4 5 P 0, 3 0, 3 0, 2 0, 1 Nếu phải chọn mua một trong hai máy này, ta nên chọn mua máy nào? Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ