Xác suất thống kê - Các phân phối xác suất thông dụng

Các phân phối xác suất thông dụng XÁC SUẤT THỐNG KÊ Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM ĐT: 0989 969 057 E-mail: phungngoc.nguyen@gmail.com phungvl@yahoo.com 10-10-2010 Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định nghĩa (Normal Distribution) Bnn X có phân phối chuẩn, được kí hiệu X ∼ N(µ;σ2), có hàm mđxs f(x, µ, σ) = 1 σ √ 2pie − (x−µ)2 2σ2 1 X(Ω) = R 2 ModX = EX = µ 3 VarX = σ2 Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Đồ thị hàm f(x,4,1) Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định nghĩa (Standard Normal Distribution) Trường hợp µ = 0, σ = 1 ta được X ∼ N(0; 1). Khi đó X có phân phối chuẩn chuẩn tắc với hàm mđxs f(x) = 1√2pie − x22 (Hàm Gauss) Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Đồ thị của hàm Gauss Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Hàm ϕ(x) = x∫ 0 f(t)dt (Hàm Laplace). Đồ thị của hàm Laplace Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Nếu X ∼ N(0; 1) : P(a ≤ X ≤ b) = b∫ a f(x)dx = ϕ(b)− ϕ(a) Nếu X ∼ N(µ;σ2) : P(a ≤ X ≤ b) = P( a−µσ ≤ X−µσ ≤ b−µσ ) = ϕ( b−µσ )− ϕ( a−µσ ) Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Một số lưu ý: 1 f(x) ≈ 0, x ≥ 4, 8 2 f(−x) = f(x), ∀x 3 ϕ(x) ≈ 0, 5, x ≥ 4, 5 4 ϕ(−x) = −ϕ(x), ∀x 5 ϕ(+∞) = 0, 5, ϕ(−∞) = −0, 5 Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Ví dụ: Một trang trại trồng thử nghiệm 2 giống táo A và B cho thấy táo thu hoạch của 2 giống này có đường kính tối đa lần lượt tuân theo phân phối chuẩn N(8,35;48,65)(cm) và N(8,21;12,26)(cm). Táo loại I là táo có đường kính tối đa không nhỏ hơn là 8cm. Hãy cho biết giống táo nào cho tỉ lệ táo loại I cao hơn? Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Quy tắc nσ Cho bnn X ∼ N(µ;σ2) n=2: P(|X− µ| ≤ 2σ) = 2ϕ(2) ≈ 0, 9545% n=3: P(|X− µ| ≤ 3σ) = 2ϕ(3) ≈ 0, 9973% n=6: P(|X− µ| ≤ 6σ) = 2ϕ(6) ≈ 0, 99999999803% Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Phân phối nhị thức Định nghĩa (Binomial Distribution) Thực hiện n phép thử độc lập, cho biết biến cố A xảy ra ở mỗi phép thử với xác suất không đổi là p. Gọi X là số lần biến cố A xảy ra trong số n phép thử. Khi đó X có phân phân phối nhị thức, kí hiệu X ∼ B(n; p). Trường hợp n=1, ta được phân phối Bernoulli. Ta có 1 X(Ω) = {0..n} 2 P(X = k) = Cknpkqn−k với k ∈ X{Ω}, q = 1− p 3 EX = np 4 VarX = npq 5 ModX = n0 với (n+ 1)p− 1 ≤ n0 ≤ (n+ 1)p Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Phân phối nhị thức Ví dụï: Một người mỗi ngày đi bán hàng ở 5 nơi khác nhau. Xác suất bán được hàng ở mỗi nơi là 0,3. a. Tính xác suất người đó bán được hàng trong một ngày. b. Trung bình mỗi năm người đó đi bán hàng 300 ngày. Tìm số ngày bán được hàng nhiều khả năng nhất trong một năm của người đó. Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Phân phối Poisson Định lý (Poisson) Xét một dãy biến ngẫu nhiên độc lập {Xn} : Xn ∼ B(n; p(n)),np(n) = λ. Khi đó Xn F→P(λ). Trong đó P(λ) là phân phối Poisson với thông số λ. X ∼ P(λ) thỏa 1 X(Ω) = N 2 P(X = k) = e−λ.λ k k! 3 EX = λ 4 VarX = λ 5 ModX = n0 với λ− 1 ≤ n0 ≤ λ Điều này có nghĩa trong thực hành khi X ∼ B(n; p) với n đủ lớn và p khá nhỏ sao cho np < 5 thì ta có thể xấp xỉ X ∼ P(λ) với λ = np Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối Poisson Ví dụï: Một máy sản xuất sản phẩm tự động với khả năng sản xuất ra một phế phẩm ở mỗi lần sản xuất là 0, 1%. Cho máy này sản xuất 1000 sản phẩm. Tính xác suất a. Có đúng 2 phế phẩm trong số đó. b. Có ít nhất 5 phế phẩm trong số đó. Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định lý (Moivre-Laplace) Xét một dãy biến ngẫu nhiên độc lập {Xn} : Xn ∼ B(n; p). Khi đó X F→N(µ;σ2) với µ = np, σ = √npq Điều này có nghĩa trong thực hành khi X ∼ B(n; p) với n đủ lớn sao cho np ≥ 5, nq ≥ 5 thì ta có thể xấp xỉ X ∼ N(µ;σ2) 1 P(X = k) ≈ 1σ f( k−µσ ) 2 P(k1 ≤ X < k2) ≈ ϕ( k2−µσ )− ϕ( k1−µσ ) Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Các phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ