Xác suất và thống kê - Biến cố và xác suất của biến cố (tiếp) (buổi 2)

XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ (Buổi 2) BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ (Tiếp)  Xác suất điều kiện  Công thức nhân xác suất  Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes 5. XÁC SUẤT ĐIỀU KIỆN . Ví dụ mở đầu: Tung hai lần một đồng xu cân đối và đồng chất. Không gian mẫu của phép thử là {SS, SN, NS, NN}. + Đặt B = “có ít nhất một mặt sấp xuất hiện” P(B) = ? + Nếu đã biết lần một mặt ngửa xuất hiện, tức là A = {NS, NN} đã xuất hiện, thì xác suất của B là bao nhiêu? Định nghĩa: Cho A, B là hai biến cố của phép thử và P(A) > 0. Xác suất của B trong điều kiện A đã xảy ra được ký hiệu bởi P(B/A) và xác định như sau ( ) ( / ) ( ) P AB P B A P A  Ta gọi P(B/A) là xác suất của B với điều kiện A đã xảy ra hoặc xác suất điều kiện của B khi A đã xảy ra. 5. XÁC SUẤT ĐIỀU KIỆN . Ví dụ 1.13 Con xúc xắc được chế tạo sao cho khả năng xuất hiện mặt có số chấm là chẵn gấp hai lần khả năng xuất hiện mặt có số chấm là số lẻ. Gieo con xúc xắc đó một lần. Đặt B = “nhận được số chính phương”, A = {4, 5, 6}. Tính P(B/A). Ví dụ 1.14 Tung một con xúc sắc cân đối và đồng chất, có mặt chẵn sơn xanh còn mặt lẻ sơn đỏ. Tính xác suất của biến cố B = “mặt có số chấm xuất hiện nhỏ hơn 4” khi đã biết A =“mặt có sơn màu xanh” xuất hiện? 5. XÁC SUẤT ĐIỀU KIỆN . Ví dụ 1.15 Xác suất để một chuyến bay khởi hành đúng giờ là P(D) = 0,83, xác suất để một chuyến bay đến đúng giờ là P(A) = 0,82, xác suất để nó khởi hành và đến đều đúng giờ là 0,78. Tính xác suất để một chiếc máy bay: (a) đến đúng giờ biết rằng nó đã khởi hành đúng giờ; (b) khởi hành đúng giờ biết rằng nó đã đến đúng giờ; (c) đến đúng giờ khi biết rằng nó đã khởi hành không đúng giờ. Lưu ý: P(A) = P(AB) + P(AB’) vì AB⋃ AB’ = A, AB⋂ AB’ = XÁC SUẤT ĐIỀU KIỆN . Các biến cố độc lập Có những tình huống lại xảy ra P(B/A) = P(B)! Rút ngẫu nhiên theo phương thức có hoàn lại lần lượt hai sản phẩm từ một lô hàng gồm 4 phế phẩm và 13 chính phẩm. A = “sản phẩm thứ nhất là phế phẩm” B =“sản phẩm thứ hai là chính phẩm”. Định nghĩa: Cho A và B là hai biến cố của một phép thử. Khi P(A/B) = P(A) hoặc P(B/A) = P(B) ta nói A và B là hai biến cố độc lập. Ngược lại thì gọi A và B là hai biến cố phụ thuộc nhau. Định lý. Hai biến cố A và B là độc lập khi và chỉ khi P(AB) = P(A)P(B). XÁC SUẤT ĐIỀU KIỆN . • Từ định nghĩa, ta dễ dàng chứng minh được các khẳng định sau đây là tương đương: + A, B độc lập; + A, B’ độc lập; + A’, B độc lập; + A’, B’ độc lập. Ví dụ 1.16 Có hai túi đựng các quả cầu. Túi thứ nhất đựng 3 quả trắng, 7 quả xanh. Túi thứ hai đựng 10 quả trắng và 15 quả xanh. Từ mỗi túi ta chọn ngẫu nhiên một quả cầu. Tính xác suất để hai quả cầu lấy ra là cùng màu. Ví dụ 1.17 Một đồng xu được tạo ra sao cho khả năng xuất hiện mặt ngửa gấp hai lần khả năng xuất hiện mặt sấp. Tung đồng tiền đó 3 lần. Tính xác suất để nhận được hai lần sấp và một lần ngửa. Tổng quát, các biến cố A1, A2,, An (n > 2) độc lập thì ta có: P(AiAjAk) = P(Ai )P(Aj)P(Ak), trong đó {i, j,.., k} là một tập con bất kỳ của {1, 2,, n}. 6. QUY TẮC NHÂN XÁC SUẤT . Quy tắc nhân xác suất: Cho A và B là hai biến cố của một phép thử với P(A) > 0, ta có P(AB) = P(A) P(B/A). Ví dụ 1.18 Một thủ kho có một chùm chìa khoá gồm 8 chiếc với bề ngoài giống hệt nhau trong đó có đúng hai chìa mở được cửa kho. Do đãng trí, người này không còn nhớ chìa nào có thể mở được khoá cửa kho. Ông ta thử ngẫu nhiên từng chìa, chìa nào không mở được thì bỏ ra. Tính xác suất để chỉ sau hai lần thử, ông ta mở được cửa kho? QUY TẮC NHÂN XÁC SUẤT Quy tắc nhân tổng quát: Nếu các biến cố A1, A2,, Ak (k > 2) thỏa mãn P(A1 A2Ak-1) > 0 thì P(A1A2Ak) = P(A1 )P(A2 / A1)P(Ak / A1 A2Ak-1 ). Đặc biệt: các biến cố A1, A2,, Ak độc lập, thì P(A1A2Ak) = P(A1 )P(A2 )P(Ak). Ví dụ 1.19 Lấy liên tiếp 3 con bài từ một bộ bài theo phương thức không hoàn lại. Tìm xác suất để biến cố tích ABC, trong đó A = “con đầu tiên là át đỏ”, B=“con thứ hai là 10 hoặc J’’ và C = “con thứ ba có số bé hơn 7 và lớn hơn 3”. 7. CÔNG THỨC ĐẦY ĐỦ VÀ CÔNG THỨC BAYES . Bài toán: Cho phép thử với không gian mẫu S và các biến cố B1 , B2 ,, Bk là một phân hoạch của không gian mẫu(hay còn gọi là hệ đầy đủ các biến cố). A là một biến cố nào đó của phép thử. Hãy tìm P(A) theo P(Bi ) và P(A/Bi ) với i = 1, 2, .., k. Ví dụ 1.20 Trong một dây chuyền sản xuất, ba máy B1, B2, và B3 tạo ra 30%, 45%, và 25% sản phẩm tương ứng. Biết rằng tỷ lệ phế phẩm của mỗi máy tương ứng là 2%, 3% và 2%. Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm. Tính xác suất để nó là phế phẩm. CÔNG THỨC ĐẦY ĐỦ VÀ CÔNG THỨC BAYES . Công thức Bayes Ví dụ 1.21 Quay về Ví dụ 1.20, trong một dây chuyền sản xuất, ba máy B1, B2, và B3 tạo ra 30%, 45%, và 25% sản phẩm tương ứng. Biết rằng tỷ lệ phế phẩm của mỗi máy tương ứng là 2%, 3% và 2%. Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm và thấy nó bị lỗi, thì xác suất để sản phẩm đó do B3 sản xuất bằng bao nhiêu? 6 chính phẩm 4 phế phẩm 10 chính phẩm 5 phế phẩm 15 chính phẩm 5 phế phẩm HỘP 1 HỘP 2 HỘP 3 Ví dụ 1.22 Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm. Tìm xác suất để lấy được chính phẩm. Giả sử đã lấy được chính phẩm, xác suất để chính phẩm ấy thuộc hộp 1 là bao nhiêu? CÔNG THỨC ĐẦY ĐỦ VÀ CÔNG THỨC BAYES CÁC Ý CHÍNH TRONG BÀI GIẢNG BUỔI 2 . • Xác suất điều kiện: P(B/A) = P(AB):P(A), với P(A) > 0. • Quy tắc nhân xác suất: P(AB) = P(A)P(B/A) với P(A)> 0. • Công thức xác suất đầy đủ: P(A) = P(B1)P(A/B1) + P(B2)P(A/B2) + + P(Bk)P(A/Bk) với B1, B2,, Bk là phân hoạch của không gian mẫu và P(Bi) > 0 1,k  Công thức Bayes: P(Bk/A) = P(Bk)P(A/Bk): [ P(B1)P(A/B1) + P(B2)P(A/B2) + + (Bk)P(A/Bk)] với P(A) > 0.