Xác suất và thống kê - Chương IV: Một số dạng phân phối xác suất thường gặp (buổi 7)

(Buổi 7) XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ Chương IV MỘT SỐ DẠNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP IV.1 MỘT SỐ DẠNG PHÂN PHỐI RỜI RẠC THƯỜNG GẶP: PP đều, PP nhị thức và đa thức, PP siêu bội, PP hình học, PP Poisson. IV.2 MỘT SỐ DẠNG PHÂN PHỐI LIÊN TỤC THƯỜNG GẶP: PP đều, PP chuẩn, PP mũ, PP gamma, PP khi bình phương. Slide Bài giảng Toán V MỘT SỐ DẠNG PHÂN PHỐI RỜI RẠC THƯỜNG GẶP . Phân phối siêu bội Cho một tập hợp gồm N phần tử, biết rằng trong đó có k phần tử được đặt tên là thành công và N – k phần tử còn lại được đặt tên là thất bại. Lấy ngẫu nhiên lần lượt n phần tử theo phương thức không hoàn lại từ tập hợp đó. Phép thử dạng này được gọi là phép thử siêu bội, Định nghĩa: Số phần tử thành công trong phép thử siêu bội được gọi là biến ngẫu nhiên siêu bội. Theo đó, phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên siêu bội được gọi là phân phối siêu bội. Gọi X là số phần tử thành công trong n phần tử được lấy ra. Phân phối của X ? MỘT SỐ DẠNG PHÂN PHỐI RỜI RẠC THƯỜNG GẶP .           nx nx C CC knNxh n N xn kN x k 2,...,1,0,khi0 2,...,1,0,khi ),,;( Hàm xác suất của phân phối siêu bội Định lý: Trung bình và phương sai của phân phối siêu bội h(x; N, n, k) lần lượt là: n k N   2 1 . 1 N n k k n N N N           Ví dụ 4.5 Một lô gồm 40 sản phẩm có chứa đúng 3 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên 5 sản phẩm trong lô để kiểm tra và loại lô hàng nếu có một phế phẩm trong 5 sản phẩm chọn ra. a) Tính xác suất để có đúng 1 phế phẩm được tìm thấy trong mẫu? b) Tính xác suất để lô hàng bị loại. c) Tính kỳ vọng và phương sai của số phế phẩm được chọn. MỘT SỐ DẠNG PHÂN PHỐI RỜI RẠC THƯỜNG GẶP . Phân phối Hình học Định nghĩa: Nếu một phép thử được lặp đi lặp lại một cách độc lập và xác suất xuất hiện biến cố thành công trong mỗi phép thử là p, thì phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X, biểu thị số phép thử phải thực hiện đến khi một biến cố thành công xuất hiện, được gọi là phân phối hình học. Hàm xác suất của phân phối hình học 1( ; ) , 1,2,3,...xg x p pq x  Giá trị trung bình và phương sai của biến ngẫu nhiên hình học lần lượt là: 2 2 1; 1 p p p    MỘT SỐ DẠNG PHÂN PHỐI RỜI RẠC THƯỜNG GẶP . Phân phối Nhị thức âm Định nghĩa: Nếu một phép thử được lặp đi lặp lại một cách độc lập và xác suất xuất hiện biến cố thành công trong mỗi phép thử là p, thì phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X, biểu thị số phép thử phải thực hiện đến khi có được k lần biến cố thành công xuất hiện, được gọi là phân phối nhị thức âm. Hàm xác suất của phân phối nhị thức âm * 1 1( ; , ) , , 1, 2,... k k x k xb x k p C p q x k k k       MỘT SỐ DẠNG PHÂN PHỐI RỜI RẠC THƯỜNG GẶP . Ví dụ 4.6 Một quy trình sản xuất, người ta biết rằng trung bình cứ 100 sản phẩm có 1 phế phẩm, tính xác suất để kiểm tra ngẫu nhiên lần lượt từng sản phẩm thì thấy phế phẩm ở lần kiểm tra thứ năm. Ví dụ 4.7 Vào lúc “cao điểm”, một cuộc gọi điện thoại thành công là rất khó, mỗi người gọi đều gặp khó khăn trong việc thông máy. Do đó, ta quan tâm đến số lần gọi để có được một cuộc gọi thành công. Giả sử rằng p = 0.05 là xác suất để một cuộc gọi thành công trong giờ cao điểm. Tính xác suất để đến lần thứ năm bấm số ta sẽ có cuộc gọi thành công. Số cuộc gọi cần thiết để hy vọng có được cuộc gọi thành công là bao nhiêu? MỘT SỐ DẠNG PHÂN PHỐI RỜI RẠC THƯỜNG GẶP . Quá trình Poisson và Phân phối Poisson (1838) Quá trình Poisson là một quá trình có những tính chất sau đây: 1. Số biến cố sơ cấp xuất hiện trong một khoảng thời gian hoặc một vùng nào đó là độc lập với số biến cố sơ cấp xuất hiện trong bất kì khoảng thời gian nào hoặc vùng nào không có phần chung với khoảng thời gian hay vùng đang xét. 2. Xác suất để một biến cố sơ cấp xuất hiện trong mỗi khoảng thời gian hoặc trong một vùng thì tỉ lệ với chiều dài của khoảng thời gian hoặc cỡ của vùng và không phụ thuộc vào số biến cố sơ cấp đang xuất hiện ngoài khoảng thời gian này hoặc vùng này. 3. Xác suất để có nhiều hơn một biến cố sơ cấp sẽ xuất hiện trong một khoảng thời gian ngắn hoặc một vùng nhỏ là không đáng kể. MỘT SỐ DẠNG PHÂN PHỐI RỜI RẠC THƯỜNG GẶP . Định nghĩa: Số biến cố sơ cấp X xuất hiện trong quá trình Poisson được gọi là biến ngẫu nhiên Poisson và phân phối xác suất của nó được gọi là phân phối Poisson. Gọi λ là số biến cố sơ cấp xuất hiện trung bình trong một khoảng thời gian có độ dài L hoặc một vùng đơn vị, , thì μ = tλ là số bcsc xuất hiện trung bình trong khoảng thời gian tL hoặc vùng có cỡ là t đơn vị. Khi đó, hàm xác suất của b.n.n X là: ( , 0,1,2,... ! ) ( ; ) t xe x x t p x t      Định lý MỘT SỐ DẠNG PHÂN PHỐI RỜI RẠC THƯỜNG GẶP . Ví dụ 4.8 Trong một thí nghiệm, trung bình số hạt phóng xạ đi qua một máy đếm trong một phần nghìn giây là 4. Xác suất để 6 hạt đi vào máy đếm trong vòng một phần nghìn giây cho trước là bao nhiêu? MỘT SỐ DẠNG PHÂN PHỐI RỜI RẠC THƯỜNG GẶP . Phân phối Poisson là dạng giới hạn của phân phối nhị thức Định lý: So sánh giữa phân phối Poisson (Các dấu chấm đen) với phân phối nhị thức khi n =10(đường màu đỏ), n = 20 (đường màu xanh da trời) và n = 1000 (đường màu xanh lá cây). Các phân phối đều có trung bình là 5. MỘT SỐ DẠNG PHÂN PHỐI RỜI RẠC THƯỜNG GẶP . Ví dụ 4.9 Trong một quy trình sản xuất kính, khi sản xuất ra những sản phẩm bị sủi bọt, người ta vẫn phải đưa những sản phẩm không mong muốn này cho bộ phận tiếp thị. Biết rằng, trung bình trong 1000 sản phẩm có 1 sản phẩm bị sủi bọt. Xác suất để một mẫu ngẫu nhiên gồm 8000 sản phẩm có chứa ít hơn 7 sản phẩm bị sủi bọt, là bao nhiêu? MỘT SỐ DẠNG PHÂN PHỐI L.TỤC THƯỜNG GẶP . Phân phối đều liên tục Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối đều trên [A; B] nếu hàm mật độ của X là:        BxAx BxA ABBAxf ;0 1 ),;( khi khi Ví dụ4.10 Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có phân phối đều trên khoảng [0, 4]. a) Tìm hàm mật độ xác suất của X . b) Tính xác suất để X nhận giá trị lớn hơn hoặc bằng 3. MỘT SỐ DẠNG PHÂN PHỐI L.TỤC THƯỜNG GẶP . Phân phối chuẩn MỘT SỐ DẠNG PHÂN PHỐI L.TỤC THƯỜNG GẶP . The IQ scoring system makes 100 the average value with different individuals' scores following a Gaussian distribution. MỘT SỐ DẠNG PHÂN PHỐI L.TỤC THƯỜNG GẶP . Định nghĩa: MỘT SỐ DẠNG PHÂN PHỐI L.TỤC THƯỜNG GẶP . Biến ngẫu nhiên tiêu chuẩn và bảng xác suất A.3 + Biến ngẫu nhiên chuẩn có kỳ vọng μ = 0 và phương sai σ2 = 1 được gọi là biến ngẫu nhiên tiêu chuẩn. Ký hiệu là Z. Đồ thị hàm mật độ: + Bảng A.3, cho ta giá trị của P(Z < z), với z chạy từ -3,49 đến 3,49. MỘT SỐ DẠNG PHÂN PHỐI L.TỤC THƯỜNG GẶP . Tra bảng để tìm các giá trị sau: P(Z < -1,9) = ; P( Z 1,96) = 1 – P(Z <1,96) =.? P(Z < -1,964) = P(Z < -1,965) = . MỘT SỐ DẠNG PHÂN PHỐI L.TỤC THƯỜNG GẶP . Ví dụ 4.11 Cho phân phối tiêu chuẩn, tìm diện tích phần nằm bên dưới đường cong chuẩn (a) ở bên phải số z = 1.84. (b) giữa hai số z = - 1.97 và z = 0.86. Ví dụ 4.12 Cho phân phối tiêu chuẩn, tìm k? (a) P(Z > k) =0,3015 (b) P( k < Z < -0,18) = 0,4197. MỘT SỐ DẠNG PHÂN PHỐI L.TỤC THƯỜNG GẶP . Ví dụ 4.13 : Cho một phân phối chuẩn có μ = 50, σ = 10. Tìm xác suất để X nhận giá trị trong khoảng 45 và 62. Ví dụ 4.14 Cho một phân phối chuẩn với μ = 40, σ = 6 tìm giá trị của x tương ứng với: A, phần hình nằm ở bên trái có diện tích 45%; B, phần hình nằm ở bên phải có diện tích 14%. Xác suất để bnn phân phối chuẩn với kỳ vọng μ, và phương sai σ2 nhận giá trị trong một khoảng? .    X ZTa có: ( ) a P X a P Z           MỘT SỐ DẠNG PHÂN PHỐI L.TỤC THƯỜNG GẶP . Xấp xỉ chuẩn của phân phối nhị thức Phần này trình bày về việc dùng phân phối chuẩn để làm xấp xỉ cho phân phối nhị thức khi p gần 0.5. MỘT SỐ DẠNG PHÂN PHỐI L.TỤC THƯỜNG GẶP . Ví dụ 4.15 Xác suất bình phục của một bệnh nhân mắc bệnh máu hiếm là 0.4. Nếu 100 người mắc bệnh này thì khả năng có ít hơn 30 người được cứu sống là bao nhiêu? Ví dụ 4.16 Một kì thi trắc nghiệm có 200 câu hỏi với 4 phương án trả lời cho mỗi câu trong đó chỉ có một phương án đúng. Với xác suất bằng bao nhiêu thì một sinh viên không có kiến thức về phần đó có thể trả lời đúng từ 25 đến 30 câu hỏi trong 80 câu hỏi lấy từ 200 câu hỏi trên. MỘT SỐ DẠNG PHÂN PHỐI L.TỤC THƯỜNG GẶP . Phân phối mũ và phân phối Gamma Phân phối Khi bình phương