Xác suất và thống kê - Chương VI: Ước lượng tham số (buổi 9)

Chương VI ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ  Giới thiệu  Ước lượng điểm  Ước lượng khoảng - ước lượng khoảng cho kỳ vọng Slide Bài giảng Toán V XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ (Buổi 9) 1. GIỚI THIỆU . Cho tổng thể , lấy ngẫu nhiên một cá thể từ tổng thể. Đặt X là số đo đặc tính mà ta đang quan tâm của cá thể, thì X là một biến ngẫu nhiên. Ta không biết phân phối của X. Ta gọi mỗi tham số (kỳ vọng, phương sai) của X là tham số của tổng thể. Vấn đề: Tìm giá trị của tham số của tổng thể? Một cách giải quyết là: Dùng suy luận thống kê. 2. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM . Định nghĩa: Mỗi thống kê được gọi là một ước lượng điểm tổng quát của tham số . Từ một mẫu, ta thay vào thì được một giá trị cụ thể, ta gọi nó là một ước lượng điểm cụ thể của . Thống kê được gọi là ước lượng không chệch của tham số nếu E() = . Ngược lại, thì gọi là ước lượng chệch. Ví dụ 6.1: Chứng minh rằng + Trung bình mẫu là ước lượng không chệch cho trung bình của tổng thể. + Phương sai mẫu là ước lượng không chêch cho phương sai của tổng thể. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM . Trong số tất cả các ước lượng không chệch của tham số , ước lượng có phương sai nhỏ nhất được gọi là ước lượng hiệu quả cho . Người ta chứng minh được rằng: Trung bình mẫu, phương sai mẫu lần lượt là ước lượng hiệu quả cho trung bình của tổng thể và phương sai của tổng thể. Ví dụ: Tìm ước lượng hiệu quả của kỳ vọng và độ lệch chuẩn của X, biết rằng một mẫu về X là: 9, 8, 5, 10, 7, 9, 8, 8, 10, 7, 8, 11. 2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG . Nếu ta chỉ ra được rằng Tổng quan ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG . Khoảng ước lượng cho một kỳ vọng Trường hợp đã biết σ: Khoảng tin cậy (1 – α)100% cho μ là Ví dụ 6.2: Hàm lượng kẽm trung bình thu được khi đo ở 36 địa điểm khác nhau trên một dòng sông là 2.6 gam/mi-li-lít. Biết rằng độ lệch chuẩn của tổng thể là 0.3, tổng thể là tổng thể chuẩn. Hãy tìm các khoảng tin cậy 95% cho hàm lượng kẽm trung bình trong dòng sông đó. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG Chú ý: + Nếu tổng thể là tổng thể chuẩn, thì cỡ mẫu là bất kỳ thì khoảng ước lượng cho trung bình đều tốt. +Nếu tổng thể không là tổng thể chuẩn, thì phải cần cỡ mẫu ≥, thì cho kết quả tốt. Định lý: + Nếu dùng trung bình mẫu làm ước lượng điểm cho μ, thì với độ tin cậy (1 – α)100% ta cho rằng: Sai số tuyệt đối không vượt quá + Nếu dùng trung bình mẫu làm ước lượng điểm cho μ, thì với độ tin cậy (1 – α)100% ta cho rằng: sai số tuyệt đối không vượt quá ε cho trước khi cỡ mẫu được xác định bởi (theo nguyên tắc làm tròn đến số nguyên liền sau) n z   2/ 2 2/         zn ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG . Ví dụ 6.3: Hàm lượng kẽm trung bình thu được khi đo ở 36 địa điểm khác nhau trên một dòng sông là 2.6 gam/mi-li-lít. Biết rằng độ lệch chuẩn của tổng thể là 0.3, tổng thể là tổng thể chuẩn. + Nếu dùng trung bình mẫu để ước lượng cho μ, thì sai số tuyệt đối không vượt quá bao nhiêu, với độ tin cậy 95%. + Nếu dùng dùng trung bình mẫu để ước lượng cho μ và muốn sai số tuyệt đối không vượt quá 0.05, thì phải cần cỡ mẫu là bao nhiêu. Biết độ tin cậy là 95%. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG Trường hợp chưa biết σ và tổng thể là tổng thể chuẩn: Khoảng tin cậy (1 – α)100% cho μ là Ví dụ 6.4: Một mẫu được lấy từ tổng thể có phân phối chuẩn với số liệu như sau 9.8 10.2 10.4 9.8 10.0 10.2 và 9.6 Hãy tìm khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình của tổng thể. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG . Chú ý : +Kết quả trên có giả thiết là tổng thể có phân phối chuẩn, tuy nhiên nếu tổng thể có phân phối xấp xỉ chuẩn thì sử dụng kết quả trên cũng khá tốt + Khi không biết dạng phân phối của tổng thể thì đòi hỏi cỡ mẫu phải lớn hơn hoặc bằng 30, khi đó ta nói kết quả trên là khoảng tin cậy với cỡ mẫu lớn. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG Trường hợp chưa biết σ và cỡ mẫu lớn: Khoảng tin cậy (1 – α)100% cho μ là: /2 /2; s s X z X z n n          Cỡ mẫu lớn: n ≥ 30. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG . Khoảng ước lượng cho hiệu hai kỳ vọng ? ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG .