Xác suất và thống kê - Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo chính [1] Ronald E. Walpole, Raymond H.Myers và Sharon L.Myers, Xác suất và thống kê dành cho kỹ sư và nhà khoa học(Bản dịch của Bộ môn Toán ĐHTL). [2] Morris H. DeGroot, Mark J. Schervish, Probability and Statistics(Third edition). [3] Đặng Hùng Thắng, Mở đầu về lí thuyết xác suất và các ứng dụng,Nhà XBGD,1997. [4] Trần Mạnh Tuấn, Xác suất & Thống kê lý thuyết và thực hành tính toán, Nhà xuất bản ĐHQGHN, 2004. [5] Nguyễn Văn Đắc, Bài giảng toán V. GIỚI THIỆU MÔN HỌC GIỚI THIỆU MÔN HỌC Nội dung gồm 8 chương • Chương I Biến cố và xác suất của biến cố • Chương II Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất • Chương III Kỳ vọng toán • Chương IV Một số phân phối xác suất thường gặp • Chương V Mẫu ngẫu nhiên và phân phối của một số thống kê cơ bản • Chương VI Ước lượng tham số • Chương VII Kiểm định giả thiết • Chương VIII Hồi quy và tương quan tuyến tính XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ (Buổi 1) BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ  Phép thử và không gian mẫu  Biến cố và các phép toán biến cố  Định nghĩa xác suất của biến cố  Quy tắc cộng xác suất 1. PHÉP THỬ VÀ KHÔNG GIAN MẪU Định nghĩa. Phép thử ngẫu nhiên: Là một thí nghiệm hoặc hành động xác định có thể quan sát được mà các kết quả của nó không thể dự đoán trước. Điểm mẫu: Là mỗi kết quả (phần tử) của không gian mẫu. . Tập hợp gồm tất cả các kết quả của phép thử được gọi là không gian mẫu(sample space) và ký hiệu bởi S hoặc . 1. PHÉP THỬ VÀ KHÔNG GIAN MẪU . Ví dụ 1.1 Tung một đồng xu. Không gian mẫu là: = {S, N}. Ví dụ 1.2 Lấy ngẫu nhiên hai số x, y trong [0, 2]. Không gian mẫu là:S = { (x, y) | 0 ≤ x ≤ 2 và 0 ≤ y ≤ 2}. Ví dụ 1.3 Tung một con xúc xắc. Không gian mẫu là : S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Hoặc : S2 = {C, L}. Ví dụ 1.4 Tung một đồng xu, nếu mặt ngửa xuất hiện ta tung đồng xu đó lần thứ hai còn mặt sấp xuất hiện ta tung một con xúc xắc. Hãy xác định không gian mẫu? 2. BIẾN CỐ VÀ CÁC PHÉP TOÁN BIẾN CỐ Định nghĩa: Mỗi tập con của không gian mẫu được gọi là một biến cố. • Dùng các chữ cái in hoa như A, B, C, A1, A2, để ký hiệu cho biến cố. • Đặc biệt: Sự kiện không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử thì được đồng nhất với tập rỗng nên ký hiệu bởi  và gọi là biến cố không. Sự kiện chắc chắn sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử thì được ký hiệu bởi S và gọi là biến cố chắc chắn. • Mỗi phần tử trong không gian mẫu cũng là một biến cố, gọi là biến cố sơ cấp. BIẾN CỐ VÀ CÁC PHÉP TOÁN BIẾN CỐ Định nghĩa: Cho A và B là hai biến cố của một phép thử với không gian mẫu là S. + A ⊂ B thì ta nói biến cố A kéo theo biến cố B. + A = B thì ta nói A tương đương với B. + Phần bù của A trong S được gọi là biến cố đối của A, ký hiệu là A’. + Hợp của A và B, ký hiệu A⋃ B hoặc bởi A+B, là biến cố gồm các điểm mẫu hoặc thuộc A hoặc thuộc B. Tương tự, ta có thể định nghĩa hợp của nhiều biến cố. + Giao của A và B, ký hiệu A⋂ B hoặc bởi AB, là biến cố gồm các điểm mẫu thuộc cả A và B. Đặc biệt, khi A B = , ta gọi A và B là hai biến cố xung khắc. Tương tự, ta có thể định nghĩa giao của nhiều biến cố. BIẾN CỐ VÀ CÁC PHÉP TOÁN BIẾN CỐ Ví dụ 1.5 Gieo một đồng xu hai lần. Không gian mẫu là = {SS, SN, NS, NN}. Đặt A = {SS, SN, NS}, B = {NN}, C = {SN, NS, NN}. (a) Biến cố nào kéo theo biến cố nào? Biến cố nào tương đương với biến cố “có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”? (b) Tìm biến cố đối của B? (c) Hãy phát biểu bằng lời biến cố giao của A và B. Hai biến cố A và B có xung khắc? (d) Xác định biến cố A⋃B. BIẾN CỐ VÀ CÁC PHÉP TOÁN BIẾN CỐ Ví dụ 1.6 Ba xạ thủ A, B, C bắn mỗi người một viên đạn vào một mục tiêu. Gọi A, B, C lần lượt là các biến cố “ xạ thủ A bắn trúng”, “xạ thủ B bắn trúng”, “xạ thủ C bắn trúng”. ( i) Hãy diễn tả bằng lời các biến cố sau ABC, A’B’C’, A+B+C. (ii) Xét các biến cố sau D = “ Có ít nhất hai xạ thủ bắn trúng” E = “Có nhiều nhất một xạ thủ bắn trúng” F = “Chỉ có một xạ thủ bắn trúng” G = “chỉ có xạ thủ C bắn trúng”. Hãy biểu diễn các biến cố này theo các biến cố A, B, C. BIẾN CỐ VÀ CÁC PHÉP TOÁN BIẾN CỐ Tích chất : (a) Giao hoán A +B = B + A; AB=BA. (b) Kết hợp A + B +C = (A + B) +C = A +(B +C ) ABC = (AB)C = A(BC). (c) Phân phối A(B + C) = AB +AC A +(BC) = (A +B)(A +C). (d) Công thức De Morgan (A B)’ = A’ + B’ (A + B)’=A’ B’. Ngoài ra (A’)’ = A A + A’=S A A’ = . 3. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ Dựa vào đặc điểm của không gian mẫu mà người ta đưa ra định nghĩa xác suất của biến cố cho phù hợp. • Không gian mẫu gồm đếm được các điểm mẫu KGM là S = {s1, s2, s3,}. + Gán cho mỗi điểm mẫu si số thực pi với điều kiện pithuộc [0; 1] và tổng các pi bằng 1, gọi pi là xác suất của si. + Tổng xác suất của các điểm mẫu trong A được gọi là xác suất của A (the probability of A), ký hiệu P(A). Như vậy: 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(S) = 1 và P() = 0. Ví dụ 1.7 Một con xúc xắc được đổ chì sao cho khả năng xuất hiện mặt chẵn chấm gấp đôi khả năng xuất hiện mặt lẻ chấm. Gieo con xúc xắc đó một lần. Đặt A = “số chấm xuất hiện nhỏ hơn 4” B = “số chấm xuất hiện là chẵn” C = “số chấm xuất hiện chia hết cho 3”. (a) Tính xác suất của biến cố A? (b) Tính P(A+B), P(AC)? ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ Ví dụ 1.8 Gieo một đồng xu cân đối hai lần. Tính xác suất để ít nhất một lần mặt ngửa xuất hiện? Nếu một phép thử có N biến cố sơ cấp đồng khả năng và có đúng k biến cố sơ cấp trong biến cố A, thì P(A) = k/N Ví dụ 1.9 Một đống kẹo trộn lẫn 6 chiếc bạc hà, 4 chiếc kẹo bơ, và 3 chiếc chocolate. Nếu một người chọn ngẫu nhiên một trong những chiếc kẹo này, hãy tìm xác suất để được (a) một chiếc bạc hà; (b)một chiếc kẹo bơ hoặc một chocolate. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ Ví dụ 1.10 Rút ngẫu nhiên 5 cây bài từ bộ bài 52 quân, hãy tìm xác suất để được 2 cây Át và 3 cây J. • Nếu không gian mẫu gồm vô hạn không đếm được các phần tử, các phần tử đồng khả năng xuất hiện và có thể biểu diễn hình học không gian mẫu bởi miền S còn biến cố A được biểu diễn bởi miền D nằm trong S, thì tỉ số giữa số đo miền hình học D và S được gọi là xác suất của A. P(A) = số đo miền D/số đo miền S. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ Người làm thí nghiệm Số lần gieo Số lần xuất hiện mặt sấp Tần suất Buffon 4040 2048 0.5080 Pearson 12 000 6010 0.5016 Pearson 24 000 12012 0.5005 • Nếu không gian mẫu không thuộc hai loại trên, thì ta thực hiện phép thử n lần và gọi k là số lần biến cố A xuất hiện. Tỉ số k/n được gọi là tần suất của A. Số phép thử tăng dần mà tần suất của A dần đến số cố định p0 thì ta gọi p0 là xác suất của A. (Đây là phương thức xác định xác suất được sử dụng rộng rãi và dùng nhiều trong khoa học kĩ thuật, y học, xã hội học) Một số thí nghiệm nổi tiếng về gieo một đồng xu nhiều lần 4. QUY TẮC CỘNG XÁC SUẤT P(A + B) = P(A) +P(B) P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB). QUY TẮC CỘNG XÁC SUẤT Quy tắc cộng Nếu A và B là hai biến cố bất kỳ của cùng một phép thử, thì P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB). Hệ quả • Nếu A, B, C là ba biến cố bất kỳ của cùng một phép thử, thì P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) - P(BC) - P(CA) + P(ABC). • P(A) + P(A’) = 1. • Nếu A1, A2, , An là các biến cố đôi một xung khắc thì P(A1 + A2 +⋯+ An ) = P(A1 ) + P( A2 ) + + P( An ). • Nếu A1, A2, , An là các biến cố đôi một xung khắc và tổng bằng S (thường gọi là một phân hoạch của S), thì P(A1 ) +P( A2 ) +⋯ + P( An ) = 1. QUY TẮC CỘNG XÁC SUẤT Ví dụ 1.11 Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 54 sinh viên học toán IV, 69 sinh viên học toán V và 35 sinh viên học cả toán IV và toán V. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên. Tính xác suất để: a) Sinh viên đó học cả toán IV và toán V. b) Sinh viên đó không học toán IV và không học toán V. Ví dụ 1.12 Cho A, B, C là các biến cố sao cho P(A) = 0.5 P(B) = 0.7 P(C) = 0.6 P(AB) = 0.3 P(BC) = 0.4 P(CA) = 0.2 và P(ABC) = 0.1. a) Tính xác suất để cả ba biến cố đều không xảy ra; b) Tính xác suất để có đúng hai biến cố trong ba biến cố xảy ra; c) Tính xác suất để có đúng một trong ba biến cố xảy ra. QUY TẮC CỘNG XÁC SUẤT Bài tập tuần 1và đáp số * Bài tập: 2.1 Không gian mẫu, 2.2 Biến cố 1.1 (1.t25) 1.2 (4.t26) 1.3 (6.t26) 1.4 (17.t28) * Bài tập: 2.3 Đếm các điểm mẫu 1.5 (5.t35) (ĐS: 20) 1.6 (6.t35) (ĐS: (a) 21, (b) 15 1.7 (9.t35) (ĐS: 210) * Bài tập: 2.4 Xác suất của một biến cố 1.8 (3.t43) (ĐS: 0,85) 1.9 (11.t44) (ĐS: 65/663) 1.10 (9.t44) (ĐS:10/117) 1.11 (10.t44) (ĐS: (a) 5/36 (b) 10/36) 1.12 (12.t44) (ĐS: (a) 1/3 (b) 5/42). * Bài tập: 2.5 Quy tắc cộng 1.13 (5.t43) (ĐS: (a) 0,3 (b) 0,2) 1.14 (6.t43) (ĐS: (a) 0,75 (b) 0,25). 1.15 (8.t43) (ĐS: (a) 0,22 (b) 0,8) 1.16 (15.t44) (ĐS: (a) 0,35 (b) Những ý chính trong bài giảng tuần 1 • Khái niệm phép thử, không gian mẫu và biến cố. Mối quan hệ giữa các biến cố và phép toán biến cố. • Định nghĩa xác suất của một biến cố. • Quy tắc cộng xác suất P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB).