Xây dựng câu hỏi trắc nghiệm khách quan từ bài toán tự luận - Chủ đề: Thể tích khối đa diện - Trương Vũ Minh Triết

Trường Đại học Sư Phạm Huế Khoa Toán XÂY DỰNG CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN TỪ BÀI TOÁN TỰ LUẬN CHỦ ĐỀ: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN GVHD: Nguyễn Đăng Minh Phúc SVTT: Trương Vũ Minh Triết Mã SV: 13S1011167 Lớp: Toán 4T Huế, ngày 12 tháng 04 năm 2017 * Bài toán 1: Người ta cắt một tờ giấy hình vuông cạnh bằng 20cm để gấp thành một hình chóp tứ giác đều sao cho bốn đỉnh của hình vuông dán lại thành đỉnh của hình chóp (như hình vẽ bên dưới). Tính thể tích lớn nhất maxV của hình chóp tứ giác đều đó? Giải: Đặt cạnh đáy hình chóp là x ,  0 10 2x  . Suy ra, diện tích đáy là 2S x . Và, chiều cao của hình chóp là 2 2 10 2 200 10 2 2 2 x x h x                 . Do đó, 2 1 ( ) 200 10 2 3 V f x x x   . Ta có: ' ' 5 5 (8 2 ) ( ) ; ( ) 0 8 2 3 20 2 x x f x f x x x       (do 0 10 2x  ). Do max 256 10 256 10 (0) (10 2) 0, (8 2) 3 3 f f f f     . Vậy, max 256 10 3 V  . Nhiệm vụ đầu tiên của HS là các em phải nắm được kiến thức và thuật ngữ “hình chóp tứ giác đều”. Nếu các em thất bại ngay ở bước đầu, câu hỏi tự luận không thể cho ta biết điều gì về khả năng của HS trong các khía cạnh khác mà câu hỏi yêu cầu. Giả sử chúng ta đang kiểm tra thuật ngữ “hình chóp tứ giác đều”, một câu hỏi phù hợp có thể được sử dụng để kiểm tra kiến thức này như sau: O A B D C E G H F Câu 1: Cho các phát biểu sau đây về hình chóp tứ giác đều: I. Hình chóp có tất cả các cạnh bằng nhau. II. Hình chóp có đáy là hình vuông. III. Hình chóp có tất cả các góc tạo bởi các cạnh bên và mặt đáy bằng nhau. IV. Hình chóp có tất cả các góc tạo bởi các mặt bên và mặt đáy bằng nhau. V. Hình chóp có hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của mặt đáy. Chọn số phát biểu đúng? A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 (* Phương án nhiễu: “I. Hình chóp có tất cả các cạnh bằng nhau”. Nếu như HS không nắm chắc các tính chất của hình chóp tứ giác đều, cụ thể ở đây là, hình chóp tứ giác đều là hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau, HS sẽ chọn phương án A (5 phát biểu đúng). Ngoài ra, đối với phát biểu III và IV, HS nào còn mơ hồ chưa phân biệt rõ hai định nghĩa góc giữa đường thẳng với mặt phẳng và góc giữa hai mặt phẳng sẽ lúng túng trong việc lựa chọn phương án chính xác của câu hỏi trắc nghiệm.) Tiếp theo, ta thấy yêu cầu cụ thể mà bài toán đặt ra ở đây là tính thể tích lớn nhất của hình chóp tứ giác đều được tạo ra. Vì vậy, HS chắc chắn phải nắm được công thức tính thể tích của một hình chóp tứ giác đều thì bài toán mới được giải quyết. Ta có thể kiểm tra kiến thức này thông qua câu hỏi như sau: Câu 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy 2AB a , góc 2ASB   0 00 90  . Gọi V là thể tích của khối chóp. Kết quả nào sau đây sai? A. V  34 sin 2 . 3 sin a   B. V  34 cos 2 . 3 sin a   C. V  3 24 cot 1 3 a   D. V  3 2 4 1 2 3 sin a   (* Phương án nhiễu: Phương án C và D. Ở câu hỏi này, HS dễ dàng thấy được đáp án A và B là hoàn toàn khác nhau. Vì vậy, suy nghĩ của HS phương án đúng là A hoặc B và hai phương án C, D sau quá trình biến đổi sẽ đưa về phương án A hoặc B. Đối với câu hỏi này, nếu như HS không nắm vững các công thức biến đổi lượng giác cơ bản, HS sẽ không thể chọn được phương án chính xác, tâm lý phân vân giữa phương án A và B.) Tương tự như vậy, chúng ta có thể viết những câu hỏi TNKQ liên quan đến những khía cạnh khác được kiểm tra trong bài toán gốc. Câu 3: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB AC a  , M trung điểm BC. Trong miền trong tam giác ABM, lấy điểm E sao cho EB EA . F là điểm đối xứng với E qua trục AM (xem hình). Giả sử EF x . Tìm khoảng giá trị của x ? A. 2 0 2 a x  B. 2 0 2 a x  C. 0 x a  D. 0 x a  (* Phương án nhiễu: Phương án A. Đối với câu hỏi này, HS không nắm rõ khái niệm miền trong tam giác sẽ lựa chọn phương án A. Ngoài ra, đối với đối tượng học sinh “sợ” hình học phẳng, HS sẽ chọn phương án C hoặc D vì nhìn trực quan EF nhỏ hơn AB AC a  .) Câu 4: Từ một miếng bìa hình vuông có cạnh bằng 5cm, người ta cắt bốn góc bìa bốn tứ giác bằng nhau và gập phần còn lại của miếng bìa để được khối chóp tứ giác đều có các cạnh đáy bằng x (xem hình). Giả sử chiều cao của khối chóp tứ giác đều này bằng 5 2 . Tính x ? A. 1x  B. 2x  C. 3x  D. 4x  (* Phương án nhiễu: Câu hỏi này không đặt nặng phương án nhiễu mà đòi hỏi HS nhiều hơn về trí tượng tượng hình học không gian. HS phải thiết lập được công thức tính x bằng định lý Pythagoras thông qua trí tưởng tượng không gian của mình. Từ đó, HS tính toán tìm x . Trong quá trình tính toán, HS không cẩn thận chuyển vế sai sẽ tính ra phương án C.) Câu 5: Cho hàm số 2 2 21 1 ln 1 2 2 x y x x x x      . Hệ thức nào đúng trong các hệ thức sau đây? A. ' ln 'y xy y  B. ' ln ' 2 2 xy y y   C. ' ln 'y xy y  D. ' ln ' 2 2 xy y y   (* Phương án nhiễu: Đối với những câu hỏi tính toán đòi hỏi độ chính xác và kiên trì như thế này, HS thường nhầm lẫn hoặc không đủ kiên trì trong các bước tính toán của mình dẫn đến việc chọn các phương án nhiễu A-B-C (đáp án đúng là D). Các phương án A-B-C tạo ra từ các sai lầm nhỏ trong tính toán của HS như lộn dấu, cộng trừ sai) aa F M B A C E Câu 6: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2 2 1 3 ( ) 2 1 x x f x x     trên khoảng (0; ) ? A. (0; ) max ( ) 1f x   B. (0; ) max ( ) 6f x   C. (0; ) 6 max ( ) 2 f x   D. (0; ) 6 max ( ) 6 f x   (* Phương án nhiễu: Các phương án A-B-D. Cũng như Câu 5, các phương án này tạo ra từ các sai lầm trong tính toán của HS, cụ thể ở đây là đạo hàm hàm căn thức và phân thức. Trong câu hỏi này, HS tinh ý có thể giảm tải quá trình tính toán của mình bằng cách biến đổi ( )f x về dạng 2 2 2 1 3 1 ( ) 2 1 1 3 x x f x x x x        (nhân lượng liên hợp). HS nào nhận thấy được điều này sẽ tránh được các phương án nhiễu A và B.) * Bài toán 2: Cho hình chóp S.ABC, gọi G là trọng tâm tam giác SBC. Mặt phẳng quay quanh AG cắt cạnh SB, SC theo thứ tự tại M, N. Gọi 1V là thể tích tứ diện SAMN; V là thể tích tứ diện SABC. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của tỉ số 1 V V ? Giải: Gọi E là trung điểm BC. Đặt , SM SN x y SB SC   (0 1)x  . Ta có: 1 . . V SM SN xy V SB SC   . 2 2 SMN SMG SNG SMG SNG SBC SBC SBE SCE S S S S S S S S S              . . 1 ( ) 2 . 2 . 3 SMN SBC S SM SG SN SG x y S SB SE SC SE       (1) Lại có: . . SMN SBC S SM SN xy S SA SB     (2) Từ (1) và (2) suy ra: 1 ( ) (3 1) 3 3 1 x xy x y x y x y x         1 3 x       . Vậy 2 1 ( ) 3 1 V x xy f x V x     . Từ 0 1 1 1 3 2 x x x y xy        . Xét hàm số: 2 1 ( ) , ;1 3 1 2 x f x x x          2 2 2 0 3 2 '( ) ; '( ) 0 3 2 0 2 3 1 3 x x x f x f x x x xx              1 1 2 4 1 ; 2 2 3 9 f f f               Do đó: 1 ;1 2 1 max ( ) 2x f x        khi 1 2 x  hoặc 1x  ; 1 ;1 2 4 min ( ) 9x f x        khi 2 3 x  . Vậy 1 1 4 1 min ;max 9 2 V V V V   G E A S B C M N Bài toán 2 nằm trong chùm “Các bài toán tính thể tích khối đa diện dựa vào phân tích khối cần tính thành tổng hoặc hiệu của các khối cơ bản hoặc bằng cách so sánh thể tích với một khối đa diện khác”. Với loại bài toán này, cụ thể là Bài toán 2, người ta rất hay sử dụng kết quả sau đây. Bài toán cơ bản: Cho hình chóp S.ABC. Lấy ', ', 'A B C tương ứng trên cạnh SA, SB, SC. Khi đó: . ' ' ' . ' ' ' . .S A B C S ABC V SA SB SC V SA SB SC  . Chú ý: Kết quả trên vẫn đúng nếu như trong các điểm ', ', 'A B C có thể có điểm '; '; 'A A B B C C   . Nhiệm vụ đầu tiên của HS là các em phải nắm được bài toán cơ bản trên. Nếu các em thất bại ngay ở bước đầu, câu hỏi tự luận không thể cho ta biết điều gì về khả năng của HS trong các khía cạnh khác mà câu hỏi yêu cầu. Giả sử chúng ta đang kiểm tra kiến thức về bài toán cơ bản trên, một câu hỏi phù hợp có thể được sử dụng để kiểm tra kiến thức này như sau: Câu 1: Cho hình chóp S.ABC. Lấy ', ', 'A B C tương ứng trên cạnh SA, SB, SC. Hệ thức nào đúng trong các hệ thức sau đây? A. . ' ' ' . ' ' . . ' S A B C S ABC V SA SB SC V SA SB SC  B. . ' ' ' . ' ' . . ' S A B C S ABC V SA SB SC V SA SB SC  C. . ' ' ' . ' ' . . ' S A B C S ABC V SA SB SC V SA SB SC  D. . ' ' ' . ' ' ' . .S A B C S ABC V SA SB SC V SA SB SC  (* Phương án nhiễu: Câu hỏi này chỉ đòi hỏi khả năng ghi nhớ của HS. Vì vậy, các phương án nhiễu được tạo ra bằng cách đảo trật tự các tỉ số.) Ngoài ra, đối với Bài toán 2, để thiết lập mối quan hệ giữa x và y , HS phải biết được công thức tính diện tích tam giác theo sin: 1 1 1 sin sin sin 2 2 2 S ab C ac B bc A    và tính chất trọng tâm tam giác. Chúng ta có thể kiểm tra các kiến thức này thông qua hai câu hỏi sau. A S B C A' B' C' Câu 2: Trong các tam giác I, II, III, IV, tam giác nào có đủ thông tin để tính diện tích? Câu 3: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Hệ thức nào đúng trong các hệ thức sau đây? A. 2 AB AC AG   B. 3 AB AC AG   C. 3( ) 2 AB AC AG   D. 2( ) 3 AB AC AG   (* Phương án nhiễu: Khi gặp các câu hỏi liên quan đến tính chất trọng tâm của một tam giác, HS thường chú ý đến các tỉ số 1 2 3 ; ; ;3 3 3 2 . Đối với câu hỏi này, HS có thể chọn phương án D hay phương án A hoặc C do sai sót trong quá trình biến đổi, tính toán.) Tương tự như vậy, chúng ta có thể viết những câu hỏi TNKQ liên quan đến các khía cạnh khác được kiểm tra trong bài toán gốc. Y IV)III) II)I) 600 5cm 7cm 5cm 600 700700 3cm5cm X Y Z X Z X Y Z X Y Z Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số 1 ln x y x   ? A. 2 ln 1 ' ln x x x y x x    B. 2 ln 1 ' ln x x x y x x    C. 2 ln 1 ' ln x x x y x    D. 2 ln 1 ' ln x x x y x    (* Phương án nhiễu: Các phương án A-C-D. HS vội vàng sẽ chọn phương án C hoặc D vì thấy mẫu số là 2ln x ' 2 ' 'u u v uv v v          . Phương án A được lựa chọn nếu như HS nhớ sai dấu công thức tính đạo hàm hàm phân thức.) Câu 5: Cho 2 2 ( 1) 2 ( ) 1 x f x x     . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ). (1 )y f x f x  trên đoạn  1;1 . A.    1;1 1;1 1 min 4 34;max 25 y y      B.    1;1 1;1 7 min 4 34;max 5 y y       C.    1;1 1;1 2 34 1 min ;max 5 4 y y      D.    1;1 1;1 7 2 34 min ;max 5 5 y y       (* Phương án nhiễu: Các phương án B-C-D. Ta xem xét các phương án nhiễu như sau: Ta có: 2 2 2 2 (1 ) 8 (1 ) 2 ( ). (1 ) (1 ) 2 (1 ) 2 x x x x y f x f x x x x x            . Đặt   1 (1 ) 2; , 1;1 4 t x x x             , khi đó 2 2 8 2 2 2 t t y t t      . Sau quá trình tính toán, 2 34 ' 0 5 y t     . Do đọc không kĩ đề, HS có thể nhầm lẫn yêu cầu bài toán là hàm số ( ). (1 )y f x f x  đạt cực trị tại điểm nào? nên HS phân vân giữa phương án C và D. Tiếp theo, ta có: 7 1 1 2 34 ( 2) ; ( ) ; ( ) 4 34 5 4 25 5 y y y        . HS có thể nhầm lẫn giữa ba giá trị này dẫn đến việc lựa chọn phương án A.) * Bài toán 3: Cho khối lăng trụ tam giác đều . ' ' 'ABC A B C . Các mặt phẳng ( '), ( ' ' )ABC A B C chia lăng trụ thành bốn phần. Tính tỷ số thể tích của bốn phần đó? Giải: Gọi 1 . ' 2 '. ' ';C MNC C MNB AV V V V  3 . 4 ' ';C MNBA MNABB AV V V V  V là thể tích của lăng trụ. Ta có: . ' ' ' 1 2C A B CV V V  Mặt khác: 1 1 2 . ' ' ' . . ' 1 1 1 . ; . '. '. ' 4 4 3 12 3 12 4C A B C V CM CN CC V V V V V V V V CA CB CC         3 '. . ' . ' ' ' . ' 2C ABC C MNC C A B C C MNCV V V V V V     4 1 2 3 5 12 V V V V V V     Vậy 1 2 3 4: : : 1:3:3:5V V V V  . Tương tự như Bài toán 2, nhiệm vụ đầu tiên của HS là các em phải nắm được bài toán cơ bản đã được đề cập trong Bài toán 2. Nếu các em thất bại ngay ở bước đầu, câu hỏi tự luận không thể cho ta biết điều gì về khả năng của HS trong các khía cạnh khác mà câu hỏi yêu cầu. Giả sử chúng ta đang kiểm tra kiến thức về bài toán cơ bản, ta có thể sử dụng một câu hỏi khác để kiểm tra kiến thức này. Câu 1: Cho hình chóp S.ABC. Lấy ', ', 'A B C lần lượt là trung điểm SA, SB, SC (xem hình). Tính tỷ số thể tích ' ' ' . A B C ABC S ABC V V ? A. ' ' ' . 1 2 A B C ABC S ABC V V  B. ' ' ' . 3 4 A B C ABC S ABC V V  C. ' ' ' . 5 8 A B C ABC S ABC V V  D. ' ' ' . 7 8 A B C ABC S ABC V V  C' B' A' S A B C N M A B B' A' C C' (* Phương án nhiễu: Các phương án A-B-C. Đối với phương án A, HS nhận xét chủ quan rằng hai khối đa diện có chung đáy ABC và chiều cao của khối ' ' 'A B C ABC bằng một nửa chiều cao khối chóp S.ABC nên lựa chọn phương án A. Ngoài ra, HS có thể chọn phương án B hoặc C dựa trên cách nhìn chủ quan của mình.) Trở lại Bài toán 3, thay vì câu hỏi Tính tỷ số thể tích của bốn phần đó?, chúng ta có thể tách ra thành các các câu hỏi TNKQ nhỏ, tức là so sánh thể tích của từng phần so với thể tích hình lăng trụ gốc. Việc so sánh thể tích từng phần nhỏ so với hình lăng trụ gốc sẽ gây nhiều khó khăn, nhầm lẫn cho HS hơn. Cụ thể, ta có câu hỏi TNKQ sau. Câu 2: Cho khối lăng trụ tam giác đều . ' ' 'ABC A B C Các mặt phẳng ( '), ( ' ' )ABC A B C chia lăng trụ thành bốn phần. Tính tỷ số ' ' ' ' ' MNABB A ABCA B C V V ? A. ' ' ' ' ' 1 2 MNABB A ABCA B C V V  B. ' ' ' ' ' 1 4 MNABB A ABCA B C V V  C. ' ' ' ' ' 5 12 MNABB A ABCA B C V V  D. ' ' ' ' ' 1 3 MNABB A ABCA B C V V  (* Phương án nhiễu: Các phương án A-B-D. Đối với phương A, HS nhận xét chủ quan rằng khối đa diện ' 'MNABB A và khối lăng trụ có chung đáy ' 'ABA B và chiều cao khối ' 'MNABB A bằng một nửa chiều cao khối lăng trụ nên lựa chọn phương án A. Đối với phương án D, HS tính được thể tích khối . ' 'C ABB A bằng 2 3 thể tích khối lăng trụ nhưng chủ quan trong việc nhận xét thể tích khối ' 'MNABB A bằng một nửa thể tích khối . ' 'C ABB A dẫn đến việc lựa chọn phương án D. Ngoài ra, phần lớn HS với cách nhìn chủ quan cho rằng thể tích khối ' 'MNABB A bằng 1 4 thể tích khối lăng trụ nên lựa chọn phương án B.) N M A B B' A' C C'