Xử lí tín hiệu số - Biểu diễn tín hiệu và hệ thống trong miền tần số liên tục

FITA- HUA BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC 3.1 BIẾN ĐỔI FOURIER 3.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER 3.3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI Z & F 3.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ 3.5 LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU FITA- HUA • Ký hiệu: x(n) X() hay X() = F{x(n)} X() x(n) hay x(n) = F-1{X()} 3.1 BIẾN ĐỔI FOURIER 3.1.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI FOURIER:  F  1F Trong đó:  - tần số của tín hiệu rời rạc,  =  Ts  - tần số của tín hiệu liên tục Ts - chu kỳ lấy mẫu • Biến đổi Fourirer của x(n):     n njenxX  )()( FITA- HUA• X() biểu diễn dưới dạng modun & argument: • Nhận thấy X() tuần hoàn với chu kỳ 2, thật vậy: )()()(  jeXX  Trong đó: )(X - phổ biên độ của x(n) )](arg[)(  X - phổ pha của x(n)     n njenxX )2()()2(  )()(  Xenx n nj      Áp dụng kết quả:        0 :0 0:2 k k dke jk   Biểu thức biến đổi F ngược:         deXnx nj)( 2 1 )( FITA- HUA Ví dụ 3.1.1: Tìm biến đổi F của các dãy: 1:)()(1  anuanx n Giải: nj n n enuaX      )()(1      0n njae  jae  1 1 1:)1()(2  anuanx n nj n n enuaX       )1()(2      1 1 n njea       1 1 m mjea    1 0 1      m mjea  jea 11 1 1   jae  1 1 FITA- HUA     n njenxX  )()( 3.1.2 ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI BIẾN ĐỔI FOURIER     n njenx )(     n nx )( Vậy, để X() hội tụ thì điều kiện cần là:   n nx )( • Các tín hiệu thỏa điều kiện hội tụ là tín hiệu năng lượng, thậy vậy:     n x nxE 2 )( 2 )(          n nx Nếu:   n nx )(    n x nxE 2 )( FITA- HUA Ví dụ 3.1.2: Xét sự tồn tại biến đổi F của các dãy: )()5.0()(1 nunx n Giải:   n nx )(1 )(2)(2 nunx n )()(3 nunx  )()(4 nrectnx N     n n nu )()5.0(     0 )5.0( n n 2 5.01 1      n nx )(2     n n nu )(2    0 2 n n   n nx )(3     n nu )(   n nx )(4     n N nrect )(    0 )( n nu     1 0 )( N n N nrect N X2() không tồn tại X3() không tồn tại FITA- HUA 3.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER a) Tuyến tính )()( 11 Xnx F )()()()( 22112211  XaXanxanxa F  Nếu: Thì: )()( 22 Xnx F b) Dịch theo thời gian )()( Xnx FNếu: Thì: )()( 0 n-j 0   Xennx F FITA- HUA c) Liên hiệp phức )2();( nn Ví dụ 3.2.1: Tìm biến đổi F của dãy: Giải: 1)()()()(      n njF enXnnx  )()( Xnx FNếu: )(*)(*  Xnx FThì: Áp dụng tính chất dịch theo thời gian:   22 1)()2()2( jjF eXenxn   FITA- HUA d) Đảo biến số )()( Xnx F )()(  Xnx F Giải: Nếu: Thì: Ví dụ 3.2.2: Tìm biến đổi F của dãy: )(2)( nuny n  )( 2 1 )( nunx n          )(2)()( nunxny n  Theo ví dụ 3.1.1, có kết quả: suy ra: j F e X   )2/1(1 1 )(   j F e X )2/1(1 1 )(   FITA- HUA e) Vi phân trong miền tần số 1);()(  anunang n 1a; 1 1 )()()(       j Fn ae Xnuanx )()( Xnx F )(   d )dX( jnxn F )()( nnxng    1; 1 )( )( 2      a ae ae d dX jG j j F      Giải: Theo ví dụ 3.1.1: Nếu: Ví dụ 3.2.3: Tìm biến đổi F của: Suy ra: Thì: FITA- HUA f) Dịch theo tần số 1);()cos()( 0  anunany n  1a; 1 1 )()()(       j Fn ae Xnuanx )()( Xnx F )-()( 0 0  Xnxe Fnj  Giải: Theo ví dụ 3.1.1: Nếu: Ví dụ 3.2.4: Tìm biến đổi F của: Thì: )cos()()( 0nnuany n   njnjn eenua 00 2 1 )(    njnj eenx 00)( 2 1   FITA- HUA g) Tích 2 dãy )()( 11 Xnx F       ')'()'( 2 1 )(.)( 2121 dXXnxnx FThì: Nếu:  )()( 2 1 )( 00   XXY            )1( 1 )1( 1 2 1 )( )()( 00   jj aeae Y )()( 22 Xnx F       ')'()'( 2 1 12 dXX F FITA- HUAg) Tích chập 2 dãy )()( 11 Xnx F )()()(*)( 2121  XXnxnx FThì: Nếu: )()( 22 Xnx F Ví dụ 3.2.4: Tìm y(n)=x(n)*h(n), biết: x(n)=h(n)=(n+2)+(n-2) Giải:  22 )()( jj eeHX  Theo ví dụ 6.2.1, có kết quả: 222 )( )()()(  jj eeHXY   44 2 jj ee  )]([)(*)()( 1 YFnhnxny  )4()(2)4()(  nnnny  FITA- HUA - gọi là phổ mật độ năng lượng g) Quan hệ Parseval )()( 11 Xnx F     dXXnxnx n      )()( 2 1 )()( *21 * 21 Thì: Nếu: )()( 22 Xnx F (*) Biểu thức (*) còn gọi là quan hệ Parseval Nhận xét: Nếu: )()()( 21 nxnxnx  Theo quan hệ Parseval, ta có:     dXnx n      22 )( 2 1 )( Với: 2 )()(  XSxx  FITA- HUA TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI F x(n) X() a1x1(n)+a2x2(n) a1X1()+a2X2() x(n-n0) e -jn0 X() ej0n x(n) X(- 0) nx(n) jdX()/d x(-n) X(- ) x*(n) X*(- ) x1(n)x2(n) x1(n)*x2(n) X1()X2()     dXXnxnx n      )()( 2 1 )()( *21 * 21   ''2'1 )( 2 1   dXX j C  FITA- HUA 3.3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI FOURIER & Z     n njF e)n(x)(X)n(x Hay biến đổi Fourier chính là biến đổi Z được lấy trên vòng tròn đơn vị theo biến số      n nZ znxzXnx )()()(  jezzXX  )()( /z/= 1 Re(z) ROC X(z) Im(z) /z/=1  • Nếu ROC[X(z)] có chứa /z/=1 X()=X(z) với z=ej • Nếu ROC[X(z)] không chứa /z/=1 X() không hội tụ FITA- HUA Ví dụ 3.3.1: Tìm biến đổi Z & F của các dãy: Giải: )(2)(2 nunx n 5.0; 5.01 1 )( 11     z z zX )()5.0()(1 nunx n Do ROC[X1(z)] có chứa /z/=1, nên:   jez e zXX j    5.01 1 )()( 11 2; 21 1 )( 12     z z zX Do ROC[X2(z)] không chứa /z/=1, nên X2() không tồn tại FITA- HUA 3.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TTBB RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ 3.4.1 Định nghĩa đáp ứng tần số h(n)x(n) y(n)=x(n)*h(n)Miền n: Miền : H()X() Y()=X()H() F h(n) F H()=Y()/X(): gọi là đáp ứng tần số hệ thống )(je)(H)(H  Nếu H() biểu diễn dạng môdun và pha: )(H )( - Đáp ứng biên độ - Đáp ứng pha FITA- HUA Ví dụ: 3.4.1: Tìm H(), vẽ đáp ứng biên độ & pha, biết: Giải: Biến đổi Fourier của h(n): h(n)=rect3(n) nj n enrectH      )()( 3    j j n nj e e e         1 1 32 0 )( )( 2/2/2/ 2/32/32/3   jjj jjj eee eee         je )2/sin( )2/3sin( )2/sin( )2/3sin( )(    A )2/sin( )2/3sin( )(    H       0 0 )(A: )(A: )( Với FITA- HUA - -2/3 0 2/3   /2 argH() -/2 - -2/3 0 2/3   1 /H()/ FITA- HUA 3.4.2 Đáp ứng tấn số của các hệ thống ghép nối a. Ghép nối tiếp  Miền  : h2(n)x(n) y(n)h1(n) x(n) y(n)h(n)=h1(n)*h2(n)   Miền n: H2()X() Y()H1() X() Y()H()=H1()H2()  Theo tính chất tổng chập: h1(n)*h2(n) F H1()H2() FITA- HUAb. Ghép song song  Miền :  h2(n) x(n) y(n) h1(n) + x(n) y(n)h1(n)+h2(n)  Miền n:  H2() X() Y() H1() + X() Y()H1()+H2() FITA- HUA 3.4.3 Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm mũ phức )()()(*)()(*)()( mnxmhnxnhnhnxny m     )()()( mnj m Aemhny      )(H)n(xe)m(hAe mj m nj       Ví dụ: 3.4.3: Tìm y(n) biết: nj enx 32  )( )()( nunh n        2 1 3 2 1 1 1 2)()()( 3                     j nj e eHnxny 3 3 2 1 1 2   j nj e e    Xét tín hiệu vào có dạng mũ phức: x(n)=Aejn FITA- HUA 3.4.4 Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm cos,sin  njnj eeA)ncos(A)n(x 00 2 0    njnj e)(He)(HA)(H)n(x)n(y 00 000 2      njnjnj e)(HRe.Ae)(*He)(HA)n(y 000 000 2   Xét tín hiệu vào có dạng hàm cos: Biểu diễn đáp ứng tần số dưới dạng môđun & pha: )(je)(H)(H  FITA- HUA    )(ncos)(HAe)(HRe.A)n(y nj 0000 0    njnj ee j A )nsin(A)n(x 00 2 0   Tương tự với tín hiệu vào có dạng hàm sin: Ta cũng được kết quả:    )(nsin)(HAe)(HIm.A)n(y nj 0000 0   FITA- HUA3.5 LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HiỆU 3.5.1 Khái niệm lấy mẫu tín hiệu Mã hóa xd(n) Rời rạc hóa xa(t) x(n) Lượng tử hóa xq(n) Chuyển xung -> mẫu xa(nTs) = x(n) xa(t) X sa(t) xs(t) Quá trình lấy mẫu tín hiệu FITA- HUA Tín hiệu tương tự xa(t) t 0 xa(nTs) n 0 Ts 2Ts Tín hiệu rời rạcTín hiệu được lấy mẫu xs(t) n 0 Ts 2Ts t 0 Chuỗi xung lấy mẫu Ts 2Ts     n sa nTtts )()(  Tốc độ lấy mẫu càng lớn -> khôi phục tín hiệu càng chính xác FITA- HUA3.5.2 Quan hệ giữa tần số tín hiệu rời rạc và tương tự   tAtxa  cos   )cos( ssa TnAnTx  Lấy mẫu t = nTs   )cos()cos()( nATnAnTxnx ssa  sT Trong đó:  - tần số của tín hiệu rời rạc  - tần số của tín hiệu tương tự Ts - chu kỳ lấy mẫu FITA- HUA 3.5.3 Quan hệ giữa phổ tín hiệu rời rạc và phổ tín hiệu tương tự             m sas s )mFF(XF F F XfX Ví dụ: 3.5.1: Hãy vẽ phổ biên độ tín hiệu rời rạc, biết phổ biên độ tín hiệu tương tự cho như hình vẽ, với các tốc độ lấy mẫu: a)Fs>2FM b) Fs=2FM c) Fs<2FM Trong đó: X(f) – phổ của tín hiệu rời rạc Xa(F) – phổ của tín hiệu tương tự /Xa(F)/ F 0-FM FM 1 FITA- HUA /X(F/Fs)/ F 0-FM FM-Fs Fs Fs a) F 0-FM FM-Fs Fs /X(F/Fs)/ Fs b) F 0-FM FM-Fs Fs /X(F/Fs)/ Fs 2Fs-2Fs c) FITA- HUA3.5.4 Định lý lấy mẫu “Tín hiệu tương tự xa(t) có dải phổ hữu hạn (-FM ,FM) chỉ có thể khôi phục 1 cách chính xác từ các mẫu xa(nTs) nếu tốc độ lấy mẫu thỏa Fs ≥ 2FM” Ví dụ 3.5.2: Xác định tốc độ Nyquist của tín hiệu tương tự: • Fs =2FM=FN: Tốc độ (tần số) Nyquist ttttxa  12000cos106000sin52000cos3)(  ttttxa  12000cos106000sin52000cos3)(  Giải: Tín hiệu có các tần số: F1=1 kHz, F2=3 kHz, F3=6 kHz FM=max{F1, F2, F3}=6 kHz  FN =2FM = 12 kHz FITA- HUA3.5.5 Khôi phục lại tín hiệu tương tự • Để khôi phục lại tín hiệu tương tự xa(t) thì phổ của tín hiệu được khôi phục phải giống với phổ ban đầu của xa(t). • Vì phổ của tín hiệu lấy mẫu là sự lặp lại vô hạn của phổ tín hiệu tương tự, nên cần phải giới hạn lại bằng cách người ta cho các mẫu xa(nTs) đi qua mạch lọc thông thấp lý tưởng trong điều kiện thỏa định lý lấy mẫu có đáp ứng tần số:       laïi coøn soá taàn caùc ôû : 2 f 2 f - : ss 0 )( fT fH slp FITA- HUA )( ])(sin[ )()()()( ss ss n salpsaa nTtF nTtF nTxthnTxtx         Low pass Filter hlp(t) xa(nTs) xa(t)=xa(nTs)*hlp(t)   tf tf dfefHdeHth s sftj lp tj lplp     sin)()( 2 1 )( 2        Công thức nội suy, cho phép khôi phục xa(t) từ xa(nTs)