Xử lí tin hiệu số - Chương 2: Biến đổi z và ứng dụng

FITA- HUA Chương 2: BIẾN ĐỔI Z VÀ ỨNG DỤNG 2.1 BIẾN ĐỔI Z 2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z 2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC 2.4 HÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA HỆ LTI RỜI RẠC 2.5 GIẢI PTSP DÙNG BIẾN ĐỔI Z 1 PHÍA FITA- HUA • Nếu x(n) nhân quả thì : (*) (**) • Ký hiệu: x(n) X(z) hay X(z) = Z{x(n)} X(z) x(n) hay x(n) = Z-1{X(z)} 2.1 BIẾN ĐỔI Z 2.1.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI Z:     0n nznxzX )()(  Z  1Z  Biểu thức (*) còn gọi là biến đổi Z hai phía • Biến đổi Z của dãy x(n): Biến đổi Z 1 phía dãy x(n): (*) (**) Trong đó Z – biến số phức     n nznxzX )()( FITA- HUA 2.1.2 MIỀN HỘI TỤ CỦA BIẾN ĐỔI Z (ROC) • Miền hội tụ của biến đổi Z - ROC (Region Of Convergence) là tập hợp tất cả các giá trị Z nằm trong mặt phẳng phức sao cho X(z) hội tụ.    )2()1()0()( 0 xxxnx n 1)(lim 1   n n nx 00 Im(Z) Re(z) Rx+ Rx-• Để tìm ROC của X(z) ta áp dụng tiêu chuẩn Cauchy • Tiêu chuẩn Cauchy: Một chuỗi có dạng: hội tụ nếu: FITA- HUAVí dụ 2.1.1: Tìm biến đổi Z & ROC của: Giải: )()( nuanx n   n n az    0 1 11 1 )(   az zX azaz nn n        1lim 1 1     n nznxzX )()(      n nn znua )(     0 . n nn za 0 ROC Im(z) Re(z) /a/ Theo tiêu chuẩn Cauchy, X(z) sẽ hội tụ: Nếu: Vậy: a az zX     Z:ROC; 1 1 )( 1 FITA- HUA Ví dụ 2.1.2: Tìm biến đổi Z & ROC của: Giải: )1()(  nuanx n   m m za    1 1 az  1lim 1 1        n n n za     n nznxzX )()(      n nn znua )1(     1 . n nn za   1 0 1      m m za   1)( 0 1      n m zazX 11 1   az 0 ROC Im(z) Re(z) /a/Theo tiêu chuẩn Cauchy, X(z) sẽ hội tụ: Nếu: FITA- HUA 2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z a) Tuyến tính )1()()(  nubnuanx nn RROC : )()( 222  zXnx Z RROC : )()( 111  zXnx Z )()()()( 22112211 zXazXanxanxa Z  ba  Giải: • Nếu: • Thì: Ví dụ 2.2.1: Tìm biến đổi Z & ROC của: với ROC chứa R1 R2 FITA- HUA Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được: 11 1 )(   az nua Zn 11 1 )1(   bz nub Zn bzR :2  Znn nubnua )1()( 11 1 1 1 1     bzaz 0 ROC Im(z) Re(z)/a/ 0 ROC Im(z) Re(z) /b/ azR :1 bzaRRR  :21 0 ROC Im(z) Re(z) /b/ /a/ Theo ví dụ 2.1.1 và 2.1.2, ta có: FITA- HUA b) Dịch theo thời gian )1()(  nuanx n a az nua Zn     z:ROC; 1 1 )( 1 )1()(  nuanx n )1(. 1   nuaa n az az azZ      : 1 1 1 RROC : )()(  zXnx Z R'ROC : )()( 00   zXZnnx nZ R R R'     trừ giá trị z=0, khi n0>0 trừ giá trị z=∞, khi n0<0 Ví dụ 2.2.2: Tìm biến đổi Z & ROC của: Nếu: Thì: Với: Giải: Theo ví dụ 2.1.1: Vậy: 2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z FITA- HUA c) Nhân với hàm mũ an )()(1 nuanx n aR' az azXnuanxa Znn      z:; 1 1 1 1 )()()( RROC : )()(  zXnx Z RROC : )()( 1 azaXnxa Zn   )()(2 nunx  1)()()()(     znuzXnunx n Z Giải: Nếu: Thì: Ví dụ 2.2.3: Xét biến đổi Z & ROC của: và 1:; 1 1 1     zR z 2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z FITA- HUA d) Đạo hàm X(z) theo z )()( nunang n a az zXnuanx Zn     z:ROC; 1 1 )()()( 1 RROC : )()(  zXnx Z RROC : )(  dz dX(z) znxn Z dz zdX zzGnnxng Z )( )()()(  az az az      : )1( 21 1 Giải: Theo ví dụ 2.1.1: Nếu: Thì: Ví dụ 2.2.4: Tìm biến đổi Z & ROC của: 2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z FITA- HUA e) Đảo biến số Nếu: Thì:   )(1)( nuany n  a az zXnuanx Zn     z:ROC; 1 1 )()()( 1 RROC : )()(  zXnx Z RXnx Z 1ROC : )(z)( -1    )()()(1)( nxnuanuany nn     a/1z:ROC; az1 1 za1 1 )z(X)z(Y 11 1        • Ví dụ 2.2.5: Tìm biến đổi Z & ROC của: • Giải: Theo ví dụ 2.1.1: Áp dụng tính chất đảo biến số: 2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z FITA- HUA f) Liên hiệp phức RROC : )()(  zXnx Z RXnx Z  ROC : (z*)*)(* g) Tích 2 dãy RRROC : d )( 2 1 )()( 21 1 1121              c Z zXXnxnx h) Định lý giá trị đầu Nếu x(n) nhân quả thì: X(z) )0(   Z Limx RROC : )()( 222  zXnx Z RROC : )()( 111  zXnx Z Nếu: Thì: Nếu: Thì: 2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z FITA- HUA • Ví dụ 2.2.5: Tìm x(0), biết X(z)=e1/z và x(n) nhân quả • Giải: X(z) lim)0(   Z x i) Tích chập 2 dãy RROC : )()( 222  zXnx Z RROC : )()( 111  zXnx Z )()()(*)( 2121 zXzXnxnx Z ;ROC có chứa R1  R2 1e lim 1/z  Z Thì: Nếu: Theo định lý giá trị đầu: FITA- HUA 5.0:; 5.01 1 )()()5.0()( 1     zROC z zXnunx Zn 2:; 21 1 )()1(2)( 1     zROC z zHnunh Zn 25,0:; )21( 1 . )5.01( 1 )()()( 11     zROC zz zHzXzY 25,0:; )21( 1 . 3 4 )5.01( 1 . 3 1 11       zROC zz )1(2 3 4 )()5.0( 3 1 )(*)()(  nununhnxny nn Z-1 • Ví dụ 2.2.6: Tìm y(n) = x(n)*h(n), biết: )()5.0()( nunx n )1(2)(  nunh n • Giải: FITA- HUA TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z x(n) X(z) ROC a1x1(n)+a2x2(n) a1X1(z)+a2X2(z) Chứa R1  R2 x(n-n0) Z -n0 X(z) R’ an x(n) X(a-1z) R nx(n) -z dX(z)/dz R x(-n) X(z -1) 1/R x*(n) X*(z*) R x1(n)x2(n) R1  R2 x(n) nhân quả x(0)=lim X(z ->∞) x1(n)*x2(n) X1(z)X2(z) Chứa R1  R2 dvv v z XvX j C 1 21 )( 2 1         FITA- HUA BIẾN ĐỔI Z MỘT SỐ DÃY THÔNG DỤNG x(n) X(z) ROC (n) 1 z u(n) |z| >1 -u(-n-1) |z| <1 an u(n) |z| > |a| -an u(-n-1) |z| < |a| nan u(n) |z| > |a| -nan u(-n-1) |z| < |a| cos(on)u(n) (1-z -1coso)/(1-2z -1coso+z -2) |z| >1 sin(on)u(n) (z -1sino)/(1-2z -1coso+z -2) |z| >1 11 1  z 11 1  az 21 1 )1(    az az FITA- HUA 2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC 2.3.1 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC   C n dzz)z(X j )n(x 1 2 1  Với C - đường cong khép kín bao quanh gốc tọa độ trong mặt phẳng phức, nằm trong miền hội tụ của X(z), theo chiều (+) ngược chiều kim đồng hồ  Trên thực tế, biểu thức (*) ít được sử dụng do tính chất phức tạp của phép lấy tích phân vòng • Các phương pháp biến đổi Z ngược:  Thặng dư  Khai triển thành chuỗi luỹ thừa  Phân tích thành tổng các phân thức tối giản (*) FITA- HUA 2.3.2 PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN THÀNH CHUỖI LUỸ THỪA Giả thiết X(z) có thể khai triển:     n n nzazX )( Theo định nghĩa biến đổi Z     n nznxzX )()( (*) (**) Đồng nhất (*) & (**), rút ra: nanx )( Ví dụ: 2.3.1: Tìm x(n) biết: )321)(1()( 212   zzzzX Giải: Khai triển X(z) ta được:  zROC 0: 212 3242)(   zzzzzX    2 2 )( n nznx Suy ra: ,-2,3}4{1,-2,)(  nx FITA- HUA .............. 1 21 1 z Ví dụ: 2.3.2: Tìm x(n) biết: 2: 21 1 )( 1     z z zX Giải: Do ROC của X(z) là /z/>2, nên x(n) sẽ là dãy nhân quả và sẽ được khai triển thành chuỗi có dạng:     0 )( n n nzazX   2 2 1 10 zazaa Để có dạng (*), thực hiện phép chia đa thức dưới đây: (*) -12z-1 1 2 1z 12  z z2-2 -221z z2 -22 222  z      0 2)( n nn zzX )(20:2)( nunnx nn  FITA- HUA .............. 1111 2 21 zz   Ví dụ: 2.3.3: Tìm x(n) biết: 2: 21 1 )( 1     z z zX Giải: Do ROC của X(z) là /z/<2, nên x(n) sẽ là dãy phản nhân quả và sẽ được khai triển thành chuỗi có dạng:     1 )( n n nzazX   3 3 2 2 1 1 zazaza Để có dạng (**), thực hiện phép chia đa thức dưới đây: (**) 1z2- 1 -11  2 11 z 222 z z2-2 2-211 z z2 2-2 332 z      1 2)( n nn zzX )1(20:2)(  nunnx nn FITA- HUA 2.3.3 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH TỔNG CÁC PHÂN THỨC TỐI GIẢN Xét X(z) là phân thức hữu tỉ có dạng: )( )( )( zB zD zX  01 1 1 01 1 1 ... ... bzbzbzb dzdzdzd N N N N K K K K        0, NKvới: • Nếu K>N, thực hiện phép chia đa thức, ta được: )( )( )( zB zD zX  )( )( )( zB zA zC  01 1 1 01 1 1 ... ... )( bzbzbzb azazaza zC N N N N M M M M        Ta được C(z) là đa thức và phân thức A(z)/B(z) có bậc MN • Nếu KN, thì X(z) có dạng giống phân thức A(z)/B(z) Việc lấy biến đổi Z ngược đa thức C(z) là đơn giản, vấn đề phức tạp là tìm biến đổi Z ngược A(z)/B(z) có bậc MN FITA- HUA Xét X(z)/z là phân thức hữu tỉ có bậc MN : )( )()( zB zA z zX  Xét đén các điểm cực của X(z)/z, hay nghiệm của B(z) là đơn, bội và phức liên hiệp 01 1 1 01 1 1 ... ... bzbzbzb azazaza N N N N M M M M        a) Xét X(z)/z có các điểm cực đơn: Zc1, Zc2, Zc3,. ZcN, )( )()( zB zA z zX  )())(( )( 21 cNccN zzzzzzb zA    Theo lý thuyết hàm hữu tỉ, X(z)/z phân tích thành: )( )()( zB zA z zX  )()()( 2 2 1 1 cN N cc zz K zz K zz K            N i ci i zz K 1 )( Với hệ số Ki xác định bởi: ciZZ cii zz z zX K   )( )( hay ciZZ i zB zA K   )(' )( FITA- HUA Suy ra X(z) có biểu thức: )1()1()1( )( 11 2 2 1 1 1        zz K zz K zz K zX cN N cc      N 1i 1 ci i )zz1( K )1( )( 1  zz K zX ci i i • Nếu ROC: |z| > |zci| )()()( nuzKnx n ciii  • Nếu ROC: |z| < |zci| )1()()(  nuzKnx n ciii • Vậy:    N i i nxnx 1 )()( Xét: FITA- HUA Ví dụ: 2.3.3: Tìm x(n) biết: 65 52 )( 2    zz zz zX Giải: với các miền hội tụ: a) |z|>3, b) |z|<2, c) 2<|z|<3 )3)(2( 52    zz z )3()2( 21     z K z K 65 52)( 2    zz z z zX Với các hệ số được tính bởi: 2 1 )2( )(   Z z z zX K 1 )3( 52 2     Z z z 3 2 )3( )(   Z z z zX K 1 )2( 52 3     Z z z )3( 1 )2( 1)(     zzz zX )31( 1 )21( 1 )( 11      zz zX FITA- HUA Với các miền hội tụ: )31( 1 )21( 1 )( 11      zz zX a) |z|>3 : )(3)(2)( nununx nn  b) |z|> < 2 : )1(3)1(2)(  nununx nn c) 2<|z|<3 : )1n(u3)n(u2)n(x nn  FITA- HUA b) Xét X(z)/z có điểm cực Zc1 bội r và các điểm cực đơn: Zc(r+1),,ZcN, )( )()( zB zA z zX  )()()( )( )1(1 cNrc r cN zzzzzzb zA     Theo lý thuyết hàm hữu tỉ, X(z)/z phân tích thành:        r c r cc zz K zz K zz K z zX )()()( )( 1 2 1 2 1 1        N rl cl l r i i i zz K zz K 11 1 )()( Với hệ số Ki xác định bởi: 1cZZ r 1c)ir( )ir( i )zz( z )z(X dz d )!ir( 1 K           hay clZZ cll zz z zX K   )( )( )()( )1( 1 cN N rc r zz K zz K        FITA- HUA Vậy ta có biểu thức biến đổi Z ngược là: Với giả thiết ROC của X(z): |z|> max{ |zci| }: i=1N, biến đổi Z ngược của thành phần Ki/(z-zci) r sẽ là:   )( )!1( )2)...(1( 11 nu i ainnn az z inZ i       )()()( )!1( )2)...(1( )( 1 1 1 nuzKnu i ainnn Knx N rl n cll inr i i         Ví dụ: 2.3.4: Tìm x(n) biết: )1()2( 452 )( 2 23    zz zzz zX 2: zROC Giải: )1()2( 452)( 2 2    zz zz z zX )1()2()2( 3 2 21       z K z K z K FITA- HUA Vậy X(z)/z có biểu thức là: Với các hệ số được tính bởi: )1( 1 )2( 2 )2( 1)( 2       zzzz zX 1 )1( 452 2 2          Z z zz dz d 2 2 )12( )12( 1 )2( )( )!12( 1           Z z z zX dz d K 2 )1( 452 2 2     Z z zz 2 2 )22( )22( 2 )2( )( )!22( 1           Z z z zX dz d K 1 3 )1( )(   Z z z zX K 1 )2( 452 1 2 2     Z z zz )1( 1 )21( 2 )21( 1 )( 121 1 1          zz z z zX 2: zROC )()(2)(2)( nununnunx nn  FITA- HUA c) Xét X(z)/z có cặp điểm cực Zc1 và Z*c1 phức liên hiệp, các điểm cực còn lại đơn: Zc3,,ZcN, )( )()( zB zA z zX  )())()(( )( 3 * 11 cNcccN zzzzzzzzb zA    X(z)/z được phân tích thành: )()()()( )( 3 3 * 1 2 1 1 cN N ccc zz K zz K zz K zz K z zX                  N i ci i cc zz K zz K zz K z zX 3 * 1 2 1 1 )()()( )( Với các hệ số K1, Ki được tính giống điểm cực đơn: Ni:)zz( z )z(X K ciZZ cii   1 FITA- HUA Xét : Do các hệ số A(z), B(z) là thực, nên K2=K1 * )( * )( )( * 1 1 1 11 cc zz K zz K z zX     )1( * )1( )( 1* 1 1 1 1 1 1      zz K zz K zX cc Nếu gọi: jeKK 11  j cc ezz 11  Và giả thiết ROC: /z/>max{/zci/}:        )n(uzKzKnx n*c*nc 11111  )n(u)ncos(zK n c   112   )n(uzK)ncos(zK)n(x N i n cii n c         3 112 Vậy: FITA- HUA 2: )1)(22( )( 2     z zzz z zXVí dụ: 2.3.7: Tìm x(n) biết: Giải: )1)(22( 1)( 2    zzzz zX    )1()1()1( 1    zjzjz     )1()1()1( 3 * 11       z K jz K jz K   2 1 )1()1( 1 1 1      jZ zjz K )()() 4 cos()2()( nununnx n   1 )22( 1 1 23     Z zz K     )1( 1 )1(1 2/1 )1(1 2/1 )( 111         zzjzj zX 2z FITA- HUA 2.4 HÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA HỆ THỐNG TTBB    M r k N k k rnxbknya 00 )()( 2.4.1 Định nghĩa hàm truyền đạt h(n)x(n) y(n)=x(n)*h(n)Miền n: Miền Z: H(z)X(z) Y(z)=X(z)H(z) Z h(n) Z H(z): gọi là hàm truyền đạt H(z)=Y(z)/X(z) 2.4.2 Hàm truyền đạt được biểu diễn theo các hệ số PTSP       M r r k N k k k zbzXzazY 00 )()( Z )( )( )( zX zY zH       N k k k M r r r zazb 00 FITA- HUA Ví dụ: 2.4.1: Tìm H(z) và h(n) của hệ thống nhân quả cho bởi: Giải: y(n) - 5y(n-1) + 6y(n-2) = 2x(n) - 5x(n-1) 21 1 651 52 )( )( )(      zz z zX zY zH )3()2( 21     z K z K )31( 1 )21( 1 )( 11      zz zH Lấy biến đổi Z hai vế PTSP và áp dụng tính chất dịch theo t/g:    121 52)(651)(   zzXzzzY 65 52 2 2    zz zz )3)(2( 52)(    zz z z zH Do hệ thống nhân quả nên: h(n) = ( 2n + 3n ) u(n) 1 2)3( 52 1     zz z K 1 3)2( 52 2     zz z K FITA- HUA 2.4.3 Hàm truyền đạt của các hệ thống ghép nối a. Ghép nối tiếp  Miền Z: h2(n)x(n) y(n)h1(n) x(n) y(n)h(n)=h1(n)*h2(n)   Miền n: H2(z)X(z) Y(z)H1(z) X(z) Y(z)H(z)=H1(z)H2(z)  Theo tính chất tổng chập: h1(n)*h2(n) Z H1(z)H2(z) FITA- HUA 2.4.3 Hàm truyền đạt của các hệ thống ghép nối (tt) b. Ghép song song  Miền Z:  h2(n) x(n) y(n) h1(n) + x(n) y(n)h1(n)+h2(n)  Miền n:  H2(z) X(z) Y(z) H1(z) + X(z) Y(z)H1(z)+H2(z) FITA- HUA 2.4.4 Tính nhân quả và ổn định của hệ TTBB rời rạc a. Tính nhân quả Hệ thống TTBB là nhân quả h(n) = 0 : n<0 Miền n: Do h(n) là tín hiệu nhân quả, nên miền hội tụ H(z) sẽ là: )())(( )( )( 21 cNccN zzzzzzb zA zH     cNccc zzzzz ,,,max 21 max  Hệ thống TTBB là nhân quả  Miền Z:  cNccc zzzzz ,,,max 21 max  ROC của H(z) là: Re(z) 0 ROC Im(z) /zc/ max FITA- HUA Hệ thống TTBB là ổn định 2.4.4 Tính nhân quả và ổn định của hệ TTBB rời rạc (tt) b. Tính ổn định  Miền n:   n nh )(  Miền Z:     n nznhzH )()(     n nznh )( n n znh     )(     n nhzH )()( : khi 1z Hệ thống TTBB là ổn định ROC của H(z) có chứa /z/=1 Theo đ/k ổn định (*), nhận thấy H(z) cũng sẽ hội tụ với /z/=1 (*) FITA- HUA Re(z) 0 ROC Im(z) /zc/ max c. Tính nhân quả và ổn định Hệ thống TTBB là nhân quả  cNccc zzzzz ,,,max 21 max  ROC của H(z) là: Hệ thống TTBB là ổn định ROC của H(z) có chứa /z/=1 Hệ thống TTBB là nhân quả và ổn định và ROC của H(z) là: max czz  1 max cz /z/=1 FITA- HUA Ví dụ: 5.4.1: Tìm h(n) của hệ thống, biết: Giải: )2()2/1( 21     z K z K   )21( 1 )2/1(1 1 )( 11      zz zH 252 54 )( 2 2    zz zz zH )2)(2/1(2 54)(    zz z z zH a. Hệ thống nhân quả (/z/>2): h(n)=[(1/2)n + 2n] u(n) a. Để hệ thống là nhân quả b. Để hệ thống là ổn định c. Để hệ thống là nhân quả và ổn định )2( 1 )2/1( 1     zz b. Hệ thống ổn định (1/2</z/<2): h(n)=(1/2)n u(n) - 2n u(-n-1) c. Hệ thống nhân quả và ổn định: ROC: /z/>2 không thể chứa /z/=1  không tồn tại h(n) FITA- HUA 2.5 GIẢI PTSP DÙNG BIẾN ĐỔI Z 1 PHÍA )( kny  Tổng quát, biến đổi Z 1 phía của y(n-k):     k r krk zryzYz 1 )()( Z 1 phía )1( ny z 1 phía      21 0 )1()0()1()1( zyzyyzny n n    11 )1()0()1( zyyzy )()1( 1 zYzy  )2( ny z 1 phía      21 0 )0()1()2()2( zyzyyzny n n    121 )1()0()1()2( zyyzzyy )()1()2( 21 zYzzyy   FITA- HUA Ví dụ 5.5.1: Hãy giải PTSP dùng biến đổi Z 1 phía y(n) – 3y(n–1) +2 y(n-2) = x(n) : n0 biết: x(n)=3n-2u(n) và y(-1)=-1/3; y(-2)= -4/9 Giải: Lấy biến đổi Z 1 phía hai vế PTSP: Y(z) - 3[y(-1)+z-1Y(z)] + 2[y(-2)+y(-1)z-1+z-2Y(z)] = X(z) (*) Thay y(-1)=-1/3; y(-2)= -4/9 và X(z)=3-2/(1-3z-1) vào (*), rút ra: )3( 1 . 2 1 )1( 1 . 2 1 )3)(1( 1)(       zzzzz zY )31( 1 . 2 1 )1( 1 . 2 1 )( 11      zz zY   )(13 2 1 )( nuny n 