Toán học - Ma trận - Định thức

MA TRẬN - ĐỊNH THỨC Nguyễn Văn Phong Toán cao cấp - MS: MAT1006 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 1 / 44 Nội dung 1 MA TRẬN 2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN 3 ĐỊNH THỨC 4 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 5 HẠNG CỦA MA TRẬN Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 1 / 44 Ma trận Định nghĩa Một bảng số (số thức, số phức) hình chữ nhật gồm m dòng n cột A =  a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · · · · · · · am1 am2 · · · amn  Hay A = (aij)m×n. Được gọi là một ma trận cấp m × n. Ký hiệu: - [A]ij phần tử nằm ở dòng i , cột j của A -Mm×n, tập tất cả các ma trận cấp m × n Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 2 / 44 Ví dụ. Cho ma trận A = ( 1 2 3 4 5 6 ) ∈M2×3 Khi đó, ta có [A]11 = 1; [A]12 = 2; [A]13 = 3 [A]21 = 4; [A]22 = 5; [A]23 = 6 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 3 / 44 Hai ma trận bằng nhau. Định nghĩa Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau nếu i) A và B cùng cấp ii) [A]ij = [B]ij ,∀i , j Ví dụ. Cho hai ma trận A = ( p q 4 1 0 2 ) ;B = ( 1 3 4 s 0 2 ) Ta có, A = B nếu và chỉ nếu p = 1; q = 3; s = 1 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 4 / 44 Một số ma trận đặc biệt Định nghĩa Ma trận không. Ma trận không cấp m × n, ký hiệu Om×n, là ma trận mà mọi phần tử của nó đều bằng 0. Ví dụ. O2×3 = ( 0 0 0 0 0 0 ) là ma trận không cấp 2× 3. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 5 / 44 Một số ma trận đặc biệt Định nghĩa Ma trận vuông. Là ma trận có số dòng bằng số cột. Ký hiệuMn là tập các ma trận vuông cấp n. i) Các phần tử a11, a22, . . . , ann: Tạo thành đường chéo (chính) của A. i) Các phần tử an1, an−1,2, . . . , a1n: Tạo thành đường chéo phụ của A. Ví dụ. Ma trận A =  1 −2 30 6 5 2 3 −5  là ma trận vuông cấp 3. Các phần tử 1, 6,−5 nằm trên đường chéo. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 6 / 44 Một số ma trận đặc biệt Định nghĩa Ma trận tam giác trên (dưới). Là ma trận vuông cấp n mà mọi phần tử nằm bên dưới (trên) đường chéo đều bằng 0. Ví dụ. Ma trận A =  1 −2 30 6 5 0 0 −5  là ma trận tam giác trên. Lưu ý: Trong ma trận tam giác các phần tử nằm trên đường chéo có thể bằng 0. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 7 / 44 Một số ma trận đặc biệt Định nghĩa Ma trận chéo. Là ma trận vuông cấp n mà mọi phần tử không nằm trên đường chéo đều bằng 0. Ví dụ. Ma trận A =  5 0 00 −7 0 0 0 0  là ma trận chéo cấp 3. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 8 / 44 Một số ma trận đặc biệt Định nghĩa Ma trận đơn vị cấp n. Là ma trận chéo cấp n, ký hiệu In, mà mọi phần tử trên đường chéo đều bằng 1. Ví dụ. Ma trận I3 =  1 0 00 1 0 0 0 1  là ma trận đơn vị cấp 3. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 9 / 44 Một số ma trận đặc biệt Định nghĩa Ma trận dòng (cột). Là ma trận chỉ có một dòng (cột). Lưu ý. Ma trận dòng (cột) còn được gọi là vector dòng (cột). Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 10 / 44 Các phép toán trên ma trận 1. Phép cộng hai ma trận và nhân một số với một ma trận Cho hai ma trận A,B ∈Mm×n; k ∈ R. Khi đó i) Ma trận tổng của A và B , ký hiệu A+ B , là ma trận cấp m × n và được xác định bởi [A+ B]ij = [A]ij + [B]ij ,∀i , j ii) Ma trận tích của k với A, ký hiệu kA, là ma trận cấp m × n và được xác định bởi [kA]ij = k [A]ij ,∀i , j Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 11 / 44 Các phép toán trên ma trận Ví dụ. Cho hai ma trận A = ( 1 2 3 4 5 6 ) ;B = ( 1 −1 1 −1 1 −1 ) . Ta có A+ B = ( 2 1 4 3 6 5 ) 2A = ( 2 4 6 8 10 12 ) −4B = ( −4 4 −4 4 −4 4 ) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 12 / 44 Các phép toán trên ma trận Với mọi ma trận A,B ,C ∈Mm×n và h, k ∈ R, ta có Định lý i) A+ B = B + A (Tính giao hoán) ii) (A+ B) + C = A+ (B + C ) (Tính kết hợp) iii) A+O = A iv) A+ (−A) = O v) h (kA) = (hk)A vi) h (A+ B) = hA+ hB vii) (h + k)A = hA+ kA viii) 1.A = A Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 13 / 44 Các phép toán trên ma trận 2. Phép nhân hai ma trận Cho hai ma trận A ∈Mm×n và B ∈Mn×p. Ta định nghĩa ma trận tích của hai ma trận A,B là ma trận cấp m × p, ký hiệu AB , xác định bởi [AB]ik = n∑ j=1 [A]ij [B]jk = [A]i1 [B]1k + [A]i2 [B]2k + ...+ [A]in [B]nk Nghĩa là, số hạng nằm ở dòng i cột k của ma trận tích được xác định bằng cách lấy dòng thứ i của ma trận A nhân vô hướng với cột thứ k của ma trận B . Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 14 / 44 Các phép toán trên ma trận Ví dụ. Cho hai ma trận A =  1 2−1 1 2 3  ∈ M3×2 , B = ( 2 3−2 1 ) ∈ M2×2 Khi đó, các số hạng của ma trận AB ∈M3×2 được xác định bởi [AB]11 = 1.2+ 2(−2) = −2; [AB]12 = 1.3+ 2.1 = 5 [AB]21 = −1.2+ 1(−2) = −4; [AB]22 = −1.3+ 1.1 = −2 [AB]31 = 2.2+ 3(−2) = −2; [AB]32 = 2.3+ 3.1 = 9 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 15 / 44 Các phép toán trên ma trận Ví dụ. Cho hai ma trận A = ( 0 1 0 0 ) , B = ( 0 0 1 0 ) Ta có, AB = ( 1 0 0 0 ) 6= BA = ( 0 0 0 1 ) Nghĩa là, tổng quát phép nhân hai ma trận không có tính giao hoán Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 16 / 44 Các phép toán trên ma trận Ví dụ. Cho ma trận A = ( 1 2 3 4 5 6 ) Ta có, I2A = ( 1 0 0 1 )( 1 2 3 4 5 6 ) = ( 1 2 3 4 5 6 ) AI3 = ( 1 2 3 4 5 6 ) 1 0 00 1 0 0 0 1  = ( 1 2 3 4 5 6 ) Nghĩa là: Nếu A ∈Mm×n thì ImA = AIn = A Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 17 / 44 Các phép toán trên ma trận Ví dụ. Cho ba ma trận A =  1 −1 12 1 −2 1 2 3  ;X =  x1x2 x3  ;B =  −26 2  Nếu AX = B thì  x1 − x2 + x3 = −2 2x1 + x2 − 2 x3 = 6 x1 + 2x2 + 3x3 = 2 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 18 / 44 Tính chất i) Với A ∈Mm×n,B ∈Mn×p và C ∈Mp×q, ta có A (BC ) = (AB)C . ii) Với A,B ∈Mm×n,C ∈Mn×p, ta có (A+ B)C = AC + BC . iii) Với A ∈Mm×n,B ∈Mn×p, và k ∈ R, ta có k (AB) = (kA)B = A (kB). Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 19 / 44 Các phép toán trên ma trận 3. Phép biến đổi sơ cấp trên dòng Cho A ∈Mmxn. Ta có thể coi A được tạo bởi m véc tơ dòng ([A] i1, [A]i2, . . . , [A]i n ) , i = 1, 2, . . . ,m Khi đó, ta có một số phép biến trên dòng như sau: i) Hoán vị hai dòng i và i ′, ký hiệu (i) ∼ (i ′) ii) Nhân dòng i với một số α 6= 0, ký hiệu (i) := α (i) iii) Thay dòng i bởi dòng i cộng với α lần dòng i ′, ký hiệu (i) := (i) + α (i ′) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 20 / 44 Ví dụ A =  2 1 −21 −1 1 1 2 3  (1)∼(2)−−−−→  1 −1 12 1 −2 1 2 3  (2):=(2)−2(1) (3):=(3)−(1)−−−−−−−→  1 −1 10 3 −4 0 3 2  (3):=(3)−(2)−−−−−−−→  1 −1 10 3 −4 0 0 6  Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 21 / 44 Thuật toán Chuyển ma trận vuông thành ma trận tam giác. Bước 1: Duyệt các cột từ 1 đến n. Trên mỗi cột chọn phần tử trục xoay (nằm trên đường chéo). Khả năng 1: Nếu phần tử trục xoay bằng 0 Trường hợp 1: Nếu mọi phần tử bên dưới nó bằng 0 thì chuyển sang cột kế. Trường hợp 2: Nếu tồn tại ít nhất một phần tử bên dưới nó khác 0 thì hoán vị hai dòng tương ứng và chuyển sang bước 2. Khả năng 2: Nếu phần tử trục xoay khác 0 thì chuyển sang bước 2 Bước 2: Biến các phần tử bên dưới phần tử trục xoay về 0 (bằng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng). Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 22 / 44 Ví dụ A =  1 −1 12 1 −2 1 2 3  (2):=(2)−2(1)(3):=(3)−(1)−−−−−−−→  1 −1 10 3 −4 0 3 2  (3):=(3)−(2)−−−−−−−→  1 −1 10 3 −4 0 0 6  (1):=3(1)+(2)−−−−−−−→  3 0 −10 3 −4 0 0 6  (1):=6(1)+(3) (2):=6(2)+4(3)−−−−−−−−→  18 0 00 18 0 0 0 6  (1):= 1 18 (1) (2):= 1 18 (2)−−−−−−→ (3):= 1 6 (3)  1 0 00 1 0 0 0 1  Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 23 / 44 Ma trận bậc thang Định nghĩa Ma trận bậc thang theo hàng là ma trận mà ứng với hai hàng bất kỳ, số hạng khác 0 đầu tiên của hàng dưới luôn luôn nằm bên phải số hạng khác 0 đầu tiên của hàng trên. Ví dụ. A =  0 1 3 3 5 7 0 0 0 2 −4 6 0 0 0 0 3 3 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0  Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 24 / 44 Ma trận bậc thang Nhận xét: i) Số bậc thang bằng với số dòng khác dòng 0. ii) Cho A ∈Mm×n và B ∈Mn×q . Nếu A D−→ A′ thì AB D−→ A′B . Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 25 / 44 Ma trận chuyển vị Định nghĩa Cho A ∈Mm×n, chuyển vị của A, ký hiệu AT , là ma trận cấp n ×m xác định bởi[ AT ] ij = [A]ji ,∀i = 1, n, j = 1,m Ví dụ. A = ( 1 2 3 4 5 6 ) ∈M2×3 → AT =  1 42 5 3 6  ∈M3×2 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 26 / 44 Ma trận chuyển vị Định lý i) ( AT )T = A ii) (A+ B)T = AT + BT iii) (AB)T = BTAT Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 27 / 44 Ma trận đối xứng Định nghĩa Ma trận A được gọi là ma trận đối xứng, nếu A = AT . Ví dụ. Ma trận A =  x 1 31 y 5 3 5 z  là ma trận đối xứng. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 28 / 44 Định thức ma trận vuông Định nghĩa Cho A ∈Mn, Định thức của A ký hiệu detA hay |A|, là một số thực được định nghĩa bằng quy nạp theo n như sau: Với n = 1, i.e., A = (a11), thì detA = a11. Với n > 2, i.e., A = (aij)n×n, thì detA = n∑ j=1 (−1)1+ja1j detA1j . (1) Trong đó, A1j là ma trận nhận từ A bằng cách bỏ đi dòng 1 cột j. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 29 / 44 Định thức ma trận vuông Chẳng hạn, khi n = 2, i.e., A = ( a11 a12 a21 a22 ) , áp dụng (1) ta có detA = (−1)1+1a11 det A11 + (−1)1+2a12 detA12 = a11a22 − a12a21 Nhận xét. Nếu A ∈M2 thì detA bằng tích các phần tử trên đường chéo chính trừ đi tích các phần tử trên đường chéo phụ. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 30 / 44 Định thức ma trận vuông Khi n = 3, i.e., A =  a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33 , áp dụng (1) ta có detA = n∑ j=1 (−1)1+ja1j detA1j = a11 (a22a33 − a23a32) − a12 (a21a33 − a23a31) + a13 (a21a32 − a22a31) = (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32) − (a11a23a32 + a12a21a33 + a13a22a31) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 31 / 44 Định thức ma trận vuông Quy tắc Sarrus.∣∣∣∣∣∣ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ∣∣∣∣∣∣ a11 a12 a21 a22 a31 a32 Khi đó detA = (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32) − (a11a23a32 + a12a21a33 + a13a22a31) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 32 / 44 Định thức ma trận vuông Định lý Cho A = ( ai j ) n×n. Khi đó i) detA = n∑ j=1 (−1)i0+jai0j detAi0j ii) detA = n∑ i=1 (−1)i+j0aij0 detAij0 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 33 / 44 Định thức ma trận vuông Cho A,B ,C ∈ Mn và k ∈ R. Khi đó Định lý i) Nếu { [C ]1j = [A]1j + [B]1j [A]ij = [B]ij = [C ]ij , ∀i 6= 1 thì detC = detA+ detB ii) Nếu { [B]1j = k[A]1j [B]ij = [A]ij , ∀i 6= 1 thì detB = k detA. Hơn nữa, ta có det (kA) = kn detA. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 34 / 44 Định thức ma trận vuông Định lý i) Nếu A (i)∼(i ′)−−−−→ B thì detB = − detA ii) Nếu A (i):=α(i ′)−−−−−→ B thì detB = α detA iii) Nếu A (i):=(i)+α(i ′)−−−−−−−→ B thì detB = detA iv) detA = det ( AT ) , ∀A ∈Mn v) Với A,B ∈Mn, ta có det (AB) = detA× detB vi) Nếu ma trận có 2 dòng hoặc 2 cột tỉ lệ thì định thức của nó bằng 0. vii) Nếu A là ma trận tam giác thì định thức của nó bằng tích các phần tử trên đường chéo Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 35 / 44 Ma trận nghịch đảo Định nghĩa Cho A,B ∈Mn. Ta nói A,B là hai ma trận nghịch đảo nhau nếu AB = BA = In, ta nói A và B là các ma trận khả nghịch. Ký hiệu B = A−1 hay A = B−1 Ví dụ. Cho hai ma trận A = ( 1 3 1 4 ) ;B = ( 4 −3 −1 1 ) Khi đó, ta có AB = BA = ( 1 0 0 1 ) Vậy A,B khả nghịch và B = A−1 hay A = B−1 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 36 / 44 Ma trận nghịch đảo Định lý Ma trận A ∈Mn khả nghịch nếu và chỉ nếu detA 6= 0. Khi đó, ta có công thức tìm ma trận nghịch đảo như sau A−1 = 1 detA BT = 1 detA  b11 b12 · · · b1n b21 b22 · · · b2n · · · · · · · · · · · · bn1 bn2 · · · bnn  T (2) trong đó, bij = (−1)i+j detAij , i , j = 1, 2, . . . , n và Aij là ma trận nhận được từ A bằng cách bỏ đi dòng i cột j . Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 37 / 44 Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của A =  1 3 72 1 2 −7 1 4  Ta có detA = −1, do đó A khả nghịch và A−1 được xác định bởi A−1 = 1 detA BT = 1 detA  b11 b12 b13b21 b22 b23 b31 b31 b33 T với bij = (−1)i+j detAij , cụ thể Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 38 / 44 Ví dụ. b11 = (−1)1+1 ∣∣∣∣ 1 21 4 ∣∣∣∣ = 2,b12 = −22, b13 = 9 b21 = (−1)2+1 ∣∣∣∣ 3 71 4 ∣∣∣∣ = −5, b22 = 53, b23 = −22 b31 = (−1)3+1 ∣∣∣∣ 3 71 2 ∣∣∣∣ = −1, b32 = 12, b33 = −5. Vậy A−1 = 1 −1  2 −22 9−5 53 −22 −1 12 −5 T =  −2 5 122 −53 −12 −9 22 5  Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 39 / 44 Ví dụ. Ngoài ra ta cũng còn có phương pháp thứ hai để tìm ma trận nghịch đảo như sau i) Lập ma trận (A |In ) ii) Biến đổi (A |In ) phép biến đổi sơ cấp−−−−−−−−−−→ (In |B ) Khi đó, nếu như bước thứ hai thực hiện được thì ta có B = A−1 . Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 40 / 44 Ví dụ. Xét lại ví dụ trên, ta có (A |I3 ) =  1 3 72 1 2 −7 1 4 ∣∣∣∣∣∣ 1 0 0 0 1 0 0 0 1  →  1 0 00 1 0 0 0 1 ∣∣∣∣∣∣ −2 5 1 22 −53 −12 −9 22 5  = ( I3 ∣∣A−1) Nghĩa là A−1 =  −2 5 122 −53 −12 −9 22 5  Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 41 / 44 Tính chất Định lý i) Nếu A khả nghịch thì A−1 tồn tại duy nhất. ii) ( A−1 )−1 = A iii) (AB)−1 = B−1A−1 iv) ( AT )−1 = ( A−1 )T v) (kA)−1 = 1kA −1 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 42 / 44 Hạng của ma trận Định nghĩa Cho ma trận A ∈Mm×n, ta gọi hạng của A bằng r nếu i) Mọi định thức con của A cấp lớn hơn r đều bằng 0. ii) Trong A tồn tại một định thức con cấp r khác 0. Ký hiệu: rank (A) hay r (A). Ví dụ. Ma trận A =  1 2 34 5 6 7 8 9 ,có r (A) = 2, vì detA = 0 và trong A có định thức con ∣∣∣∣ 1 24 5 ∣∣∣∣ 6= 0 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 43 / 44 Tính chất i) Hạng không thay đổi qua các phép biến đổi sơ cấp và qua chuyển vị. ii) Nếu A là bậc thang thì hạng của A bằng số bậc thang. Ví dụ. Ma trận A =  1 2 −1 00 4 3 2 0 0 0 0  có r (A) = 2. Nhận xét: Để tìm hạng của một ma trận, ta biến đổi ma trận đó về ma trận bậc thang. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 44 / 44