Xác suất thống kê - Biến ngẫu nhiên

Biến ngẫu nhiên XÁC SUẤT THỐNG KÊ Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM ĐT: 0989 969 057 E-mail: phungngoc.nguyen@gmail.com phungvl@yahoo.com 10-10-2010 Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Biến ngẫu nhiên Phân phối xác suất Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Biến ngẫu nhiên là một phépï tương ứng mỗi phần tử ω của Ω với một số thực. Tập giá trị của X được kí hiệu là X(Ω) Ví dụ: 1 Tung một con xúc xắc, gọi X là số chấm của con xúc xắc. Ta có X(Ω) = {1; 2; 3; 4; 5; 6} 2 Tung hai con xúc xắc, gọi X là tổng số chấm của hai con xúc xắc. Ta có X(Ω) = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12} Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Biến ngẫu nhiên Phân phối xác suất Phân loại biến ngẫu nhiên Dựa vào tập giá trị của biến ngẫu nhiên, ta chia biến ngẫu nhiên làm 2 loại: Định nghĩa (Biến ngẫu nhiên rời rạc) Biến ngẫu nhiên mà tập giá trị của nó là một tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được, được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc. X là bnn rời rạc ⇔ X(Ω) = {x1, x2, . . . , xn} hoặc X(Ω) = {x1, x2, . . . , xn, . . .}. Định nghĩa (Biến ngẫu nhiên liên tục) Biến ngẫu nhiên mà tập giá trị của nó là một tập vô hạn không đếm được, được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục. Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Biến ngẫu nhiên Phân phối xác suất Phân loại biến ngẫu nhiên Ví dụï: 1 Tung 3 con xúc xắc cân đối. Gọi X là tổng số chấm của 3 con xúc xắc. Ta có X(Ω) = {3..18}. 2 Một người ném bóng vào rổ từ vị trí cách rổ 5m đến khi nào vào rổ thì ghi nhận lại số lần ném bóng của mình (X). Ta có X(Ω) = N∗. 3 Đo mực nước biển ở một khu vực cho thấy nó chỉ dao động từ 1m đến 1,2m so với một mốc cố định. Gọi X là mực nước biển (m) ở khu vực đó tại một thời điểm ngẫu nhiên. Khi đó X(Ω) = [1; 1, 2]. Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Biến ngẫu nhiên Phân phối xác suất Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc Định nghĩa Phân phối xác suất của X còn được gọi là bảng phân phối xác suất của X, cho biết khả năng X nhận mỗi giá trị trong X(Ω) tương ứng. X x1 x2 · · · xn · · · P p1 p2 · · · pn · · · với P(X = xi) = pi Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Biến ngẫu nhiên Phân phối xác suất Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc Tính chất (1) ∑ i pi = p1 + · · ·+ pn + · · · = 1. Tính chất (2) P(a ≤ X < b) = ∑ a≤xi<b pi, xi ∈ X(Ω). Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Biến ngẫu nhiên Phân phối xác suất Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc Ví dụ: 1 Một hộp sản phẩm có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 2 sản phẩm để kiểm tra. Gọi X là số phế phẩm lấy được. a) Tìm phân phối xác suất của X. b) Tính P(1 ≤ X ≤ 2). 2 Một người ném bóng từ vị trí cách rổ 5m cho đến khi ném vào rổ thì dừng. Biết rằng các lần ném độc lập với nhau và khả năng ném bóng vào rổ ở mỗi lần ném là 0,3. Gọi X là số lần người đó đã ném. a) Tìm phân phối xác suất của X. b) Tính xác suất người đó phải ném ít nhất 3 lần. Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Biến ngẫu nhiên Phân phối xác suất Biến ngẫu nhiên Phân phối xác suất (Trường hợp liên tục) Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X được đặc trưng bởi hàm mật độ xác suất f(x) có các tính chất sau: f(x) ≥ 0,∀x ∈ R +∞∫ −∞ f(x)dx = 1. P(a ≤ X ≤ b) = b∫ a f(x)dx. Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Biến ngẫu nhiên Phân phối xác suất Biến ngẫu nhiên liên tục Phân phối xác suất Ví dụ: Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất: f(x) = { 0 , x /∈ [0; 1] cx , x ∈ [0; 1] a) Xác định c. b) Tìm P(−1 ≤ X ≤ 12 ). Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Biến ngẫu nhiên Phân phối xác suất Biến ngẫu nhiên Hàm phân phối xác suất Định nghĩa (Hàm phân phối xác suất) Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu là FX(x) hay F(x), là hàm được xác định bởi: F(x) = P(X < x), x ∈ R Hàm phân phối xác suất cho biết khả năng X nhận giá trị bên trái x. Nếu X là bnnrr thì F(x) = ∑ xi<x P(X = xi) = ∑ xi<x pi. Nếu X là bnnlt thì F(x) = x∫ −∞ f(t)dt. Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Biến ngẫu nhiên Phân phối xác suất Biến ngẫu nhiên Hàm phân phối xác suất Ví dụ: 1 Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất như sau: X 0 1 2 P 0, 2 0, 5 0, 3 a) Tìm hàm phân phối xác suất của X. b) Vẽ đồ thị của hàm phân phối xác suất vừa tìm được. 2 Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất là: f(x) = { 2x , x ∈ [0; 1] 0 , x /∈ [0; 1] . Tìm hàm phân phối xác suất của X. Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ Biến ngẫu nhiên Phân phối xác suất Biến ngẫu nhiên Hàm phân phối xác suất Tính chất (1) X là bnn liên tục ⇔ F(x) liên tục trên R. Tính chất (2) F(−∞) = 0,F(+∞) = 1. Tính chất (3) P(a ≤ X < b) = P(X < b)− P(X < a) = F(b)− F(a). Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ