Bài giảng Đại số tuyến tính 1 - Bùi Thị Hoàng Phương

1 UBND TỈNH QUẢNG NGÃI TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG BÀI GIẢNG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 1 BÙI THỊ HOÀNG PHƯƠNG Bộ môn Toán – Khoa Sư Phạm Tự Nhiên Quảng Ngãi - 2018 2 MỤC LỤC Trang Lời nói đầu Chương1. ĐỊNH THỨC .5 1.1. Phép thế6 1.1.1.Định nghĩa phép thế...6 1.1.2. Nghịch thế..7 1.1.3. Dấu của phép thế...7 1.2 KHÁI NIỆM MA TRẬN..7 1.2.1 Định nghĩa...7 1.2.2. Ma trận chuyển vị..8 1.3. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC..9 1.3.1.Định nghĩa9 1.3.2. Tính chất của định thức....10 1.4. KHAI TRIỂN ĐỊNH THỨC..12 1.4.1. Định thức con và phần bù đại số.12 1.4.2. Khai triển định thức theo một dòng12 1.4.3. Khai triển định thức theo r dòng.16 1.5. Phương pháp tính định thức..19 1.5.1. Qui tắc Sarus tính định thức cấp 3..20 1.5.2. Khai triển định thức theo một dòng hoặc một cột..20 1.5.3. Đưa định thức về dạng tam giác rồi tính.21 1.5.4. Áp dụng các tính chất của định thức ..23 1.5.5. Phương pháp quy nạp và phương pháp truy hồi25 BÀI TẬP CHƯƠNG 129 CHƯƠNG 2. KHÔNG GIAN VÉC TƠ.31 2.1. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT ĐƠN GIẢN..32 2.1.1. Định nghĩa...32 3 2.1.2. Một số tính chất đơn giản.33 2.1.3. Hiệu của hai véc tơ34 2.2. KHÔNG GIAN CON..36 2.2.1. Định nghĩa..36 2.2.2. Tính chất đặc trưng36 2.2.3. Tổng của những không gian con36 2.2.4. Giao của những không gian con.37 2.2.5. Không gian sinh bởi một hệ véc tơ.37 2.3. SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH – SỰ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH..38 2.3.1.Định nghĩa.38 2.3.2. Các tính chất39 2.4. CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ...42 2.4.1. Định nghĩa42 2.4.2. Sự tồn tại của cơ sở..44 2.5. SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ46 2.5.1. Định nghĩa46 2.5.2. Số chiều của không gian con...47 2.6. TỌA ĐỘ CỦA MỘT VÉC TƠ.49 2.6.1. Định nghĩa49 2.6.2. Định lý..49 2.6.3. Ma trận chuyển49 2.6.3. Liên hệ giữa các tọa độ của một véc tơ đối với hai cơ sở khác nhau51 2.7. HẠNG CỦA HỆ VÉC TƠ – HẠNG CỦA MA TRẬN......53 2.7.1. Hạng của hệ véc tơ..53 2.7.2. Hạng của ma trận...54 2.7.3. Cách tìm hạng của ma trận...59 2.7.4. Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp61 BÀI TẬP CHƯƠNG 2.....63 4 CHƯƠNG 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH67 3.1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ...67 3.1.1. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát..67 3.1.2. Hệ phương trình Cramer67 3.1.3. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss (Khử dần ẩn số)69 3.2. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CÓ NGHIỆM..72 3.2.1. Điều kiện có nghiệm72 3.2.2. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng định thức.74 3.3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT78 3.3.1. Định nghĩa78 3.3.2. Không gian nghiệm của hệ thuần nhất..79 BÀI TẬP CHƯƠNG 3..............82 TÀI LIỆU THAM KHẢO85 5 LỜI NÓI ĐẦU Bài giảng “Đại số tuyến tính 1” được biên soạn theo chương trình Cao đẳng Sư Phạm ban hành tháng 10/ 2015 của trường Đại học Phạm văn Đồng dành cho sinh viên ngành Sư phạm Toán. Nội dung chủ yếu dựa vào giáo trình Đại số tuyến tính do Bộ Giáo dục xuất bản năm 2004 theo dự án đào tạo giáo viên trung học cơ sở. Nội dung bài giảng gồm ba chương: Chương 1. Trình bày định nghĩa, các tính chất của định thức và các phương pháp cơ bản tính định thức. Đó là một phương tiện để nghiên cứu không gian véc tơ và lý thuyết hệ phương trình tuyến tính. Chương 2. Nghiên cứu không gian véc tơ. Đây là cơ sở của đại số tuyến tính. Nó giúp cho việc hoàn thiện lý thuyết về hệ phương trình tuyến tính. Chương 3. Nghiên cứu về hệ phương trình tuyến tính. Đó là một trong những hướng mở rộng của hệ phương trình tuyến tính đã được học ở trường phổ thông. Với chương này, lý thuyết hệ phương trình tuyến tính được coi là hoàn thiện. Ở cuối mỗi chương đều có bài tập để sinh viên luyện tập. Bài giảng chắc chắn còn nhiều thiếu sót, kính mong quý Thầy Cô góp ý để bài giảng được hoàn chỉnh. Xin chân thành cảm ơn. 6 Chương 1. ĐỊNH THỨC 1.1. PHÉP THẾ 1.1.1. Định nghĩa phép thế i) Cho tập  1,2,...,nX n= . Một song ánh : n nX X → được gọi là một phép thế trên tập nX . ii) Song ánh đồng nhất được gọi là phép thế đồng nhất. iii) Một phép thế  trên tập nX được gọi là một chuyển trí hai phần tử i, j thuộc nX nếu ( ) , ( ) , ( ) , , ,ni j j i k k k X k i k j  = = =     . Nó được kí hiệu bởi (i, j). Tập hợp các phép thế trên tập nX ký hiệu bởi nS . Phép thế : n nX X → được biểu diễn: 1 2 3 ..... . (1) (2) (3) ...... ( ) n n        =     Ví dụ 1: 1 2 3 4 5 2 3 1 5 4    =     là một phép thế trên tập 5X xác định bởi: (1) 2, (2) 3, (3) 1, (4) 5, (5) 4.    = = = = = 1 2 3 4 5 3 2 1 4 5    =     là một chuyển trí hoán vị hai số 1 và 3. Nó được viết gọn là (1,3). = * Tập nS có n! phần tử. Ví dụ 2. 4S có 4! = 24 phần tử. Đó là những phép thế sau: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 , , , , , 1 2 3 4 1 2 4 3 1 3 4 2 1 3 2 4 1 4 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 , , , , , 1 4 3 2 2 1 3 4 2 1 4 3 2 3 1 4 2 3 4 1 1 2 3 4 , 2 4 1 3                      = = = = =                              = = = = =                      =     12 13 14 15 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 , , , , 2 4 3 1 3 1 2 4 3 1 4 2 3 2 1 4             = = = =                7 16 17 18 19 20 21 22 23 24 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 , , , , , 3 2 4 1 3 4 1 2 3 4 2 1 4 1 2 3 4 1 3 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 , , , . 4 2 1 3 4 2 3 1 4 3 2 1 4 3 1 2                    = = = = =                            = = = =                1.1.2. Nghịch thế Định nghĩa. Giả sử  là một phép thế trên tập nX . Với , ,ni j X i j  , ta nói cặp ( ( ), ( ))i j  là một nghịch thế của  nếu i j nhưng ( ) ( )i j  . Ví dụ. Trên 4X , phép thế 3 1 2 3 4 1 3 4 2    =     có 2 nghịch thế là: (3, 2), (4, 2). 1.1.3. Dấu của phép thế 1.1.3.1.Định nghĩa. Ta gọi phép thế  là một phép thế chẵn nếu nó có một số chẵn nghịch thế.  là một phép thế lẻ nếu nó có một số lẻ nghịch thế. Ta gán cho mỗi phép thế chẵn một giá trị bằng +1, mỗi phép thế lẻ một giá trị bằng -1.Giá trị này của phép thế  được gọi là dấu của  và ký hiệu: Sgn( ). Vậy: sgn( ) = 1 nếu  chẵn, sgn( ) = -1 nếu  lẻ. Ví dụ. Trong ví dụ 1.1.2 phép thế 3 1 2 3 4 1 3 4 2    =     là một phép thế chẵn vì nó có 2 nghịch thế. Vậy: sgn( 3 ) = 1. 1.1.3.2.Hệ quả 1:  , ( ) . ( ) ( )i j i j sgn i j    − = −  1.1.3.3.Hệ quả 2: Với hai phép thế ,  trên nX , ta có: ( ) ( ). ( ).sgn sgn sgn  = 1.1.3.4.Hệ quả 3: Mọi chuyển trí đều là phép thế lẻ. 1.2 KHÁI NIỆM MA TRẬN 1.2.1 Định nghĩa.. Một bảng gồm m.n số được viết thành m dòng n cột như sau: 8 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 ... ... ... ... ................................ ... ... ............................... ... ... j n j n i i ij in m m mj mn a a a a a a a a a a a a a a a a                     được gọi là một ma trận kiểu (m, n). + Mỗi số ija được gọi là một thành phần của ma trận. Nó nằm ở dòng i, cột j. + Ma trận thường được kí hiệu : A, B, C,... + Có thể viết ma trận một cách đơn giản là: ij ( , )( ) m nA a= . - Nếu ma trận chỉ có một dòng thì ta gọi nó là ma trận dòng ( )11 12 1 1... ...j na a a a - Nếu ma trận chỉ có một cột thì ta gọi nó là ma trận cột 11 21 1 .... m a a a             - Nếu m = n thì ma trận được gọi là ma trận vuông. Kí hiệu: ij( )nA a= Ví dụ. 1 2 3 4 4 5 8 9 0 1 9 8           là ma trận kiểu (3, 4). 1 2 3 2 3 4 5 4 1           là ma trận vuông cấp 3. 1.2.2. Ma trận chuyển vị Cho ma trận 9 A = 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 ... ... ... ... ................................ ... ... ............................... ... ... j n j n i i ij in m m mj mn a a a a a a a a a a a a a a a a                     Thì ma trận 11 21 1 1 12 22 2 2 1 2 1 2 ... ... ... ... ................................ ... ... ............................... ... ... i m i m j j ij mj n n jn mn a a a a a a a a a a a a a a a a                     Được gọi là ma trận chuyển vị của A. Kí hiệu: t A . Ví dụ. Cho 1 2 3 4 4 5 8 9 0 1 9 8 A     =       thì 1 4 0 2 5 1 3 8 9 4 9 8 t A      =       . 1.3. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC 1.3.1.Định nghĩa. Cho ma trận vuông 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 ... ... ... ... ................................ ... ... ............................... ... ... j n j n i i ij in n n nj nn a a a a a a a a A a a a a a a a a          =           Ta gọi tổng 1 (1) 2 (2) ( ) ( )sgn( ) ... ... n i i n n S D a a a a       =  là định thức của ma trận A và kí hiệu bởi 10 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 ... ... ... ... ................................ ... ... ............................... ... ... j n j n i i ij in n n nj nn a a a a a a a a a a a a a a a a hay A hay det( )A . Trong cách kí hiệu này ta cũng nói mỗi ija là một thành phần, các thành phần i1 i2 i3 in, , ,...,a a a a tạo thành dòng thứ i, các thành phần 1j 2j 3j nj, , ,...,a a a a tạo thành cột thứ j của định thức. Khi A là ma trận cấp n ta cũng nói A là định thức cấp n. Ví dụ 1. Cho ma trận 11 12 21 22 a a A a a   =     , khi đó định thức của A là: 1 1 2 21 1 (1) 2 (2) 2 1 (1) 2 (2) 11 22 12 21 sgn sgn .A a a a a a a a a    = + = − Ví dụ 2.Dùng định nghĩa viết tường minh định thức cấp ba 11 12 13 21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 11 23 32 13 22 31 12 21 33 31 32 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + − − − ., Để tìm được kết quả nay ta phaei tìm tất cả các phép thế trên X3 và xác định dấu của chúng. Công việc này khá vất vả. Muốn có những phương pháp tính toán thuận tiện hơn, hãy nghiên cứu các tính chất của định thức, 1.3.2. Tính chất của định thức 1.3.2.1. Tính chất 1. Nếu định thức 11 12 1 1 21 22 2 2 ' '' ' '' ' '' ' '' 1 1 2 2 ... ... ... ... ............................................................. ... ... ......................................................... j n j n i i i i ij ij in in a a a a a a a a a a a a a a a a+ + + + 1 2 .... ... ...n n nj nna a a a 11 Mà mọi thành phần ở dòng thứ i đều có dạng ' '' ij ij ija a a= + thì 11 12 1 1 11 12 1 1 21 22 2 2 21 22 2 2 ' ' ' 1 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ................................ ........................ ' ... ... ............................... ... ... j n j n j n j n i i ij in n n nj nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a + '' '' '' '' 1 2 1 2 ........ ... ... ............................... ... ... i i ij in n n nj nn a a a a a a a a . 1.3.2.2.Tính chất 2. Nếu mọi thành phần ở dòng thứ i của định thức có thừa số chung thì ta đưa thừa số chung ra ngoài đâu định thức 11 12 1 1 11 12 1 1 21 22 2 2 21 22 2 2 1 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ................................ ....................... ... ... ............................... ... ... j n j n j n j n i i ij in n n nj nn a a a a a a a a a a a a a a a a k ka ka ka ka a a a a = 1 2 1 2 ......... ... ... ............................... ... ... i i ij in n n nj nn a a a a a a a a . 1.3.2.3. Tính chất 3. Trong định thức nếu đổi chỗ hai dòng cho nhau thì định thức đổi dấu 11 12 1 1 11 12 1 1 1 2 1 2 1 2 ... ... ... ... ............................... .............. ... ... ................................ ... ... ............................... ... ... j n j n k k kj kn h h hj hn n n nj nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = − 1 2 1 2 1 2 ................. ... ... ................................ . ... ... ............................... ... ... h h hj hn k k kj kn n n nj nn a a a a a a a a a a a a 1.3.2.4. Tính chất 4. Nếu định thức có hai dòng giống nhau thì định thức bằng 0. 1.3.2.5. Tính chất 5. Nếu định thức có hai dòng mà các thành phần ( cùng cột) tương ứng tỉ lệ thì định thức ấy bằng 0. 1.3.2.6. Tính chất 6. Nếu nhân mỗi thành phần ở dòng thứ i với cùng một số rồi cộng vào thành phần cùng cột ở dòng thứ k thì được một định thức mới bằng định thức đã cho. 12 1.3.2.7. Tính chất 7. Với t A là ma trận chuyển vị của ma trận A thì t A A= . Chú ý. Từ tính chất 7 ta suy ra các tính chất từ 1 đến 6 đều đúng nếu ta thay từ “dòng” bởi từ “cột”. 1.4. KHAI TRIỂN ĐỊNH THỨC 1.4.1. Định thức con và phần bù đại số Định nghĩa. Cho định thức D cấp n. i)Nếu chọn r dòng 1 2, ,..., ri i i và r cột ( )1 2, ,..., rj j j r n thì các thành phần nằm ở giao của r dòng và r cột ấy lập thành một định thức con ký hiệu 1 2 1 2 , ,..., , ,..., r r j j j i i iM và gọi là một định thức con cấp r của D. ii)Nếu xóa đi r dòng và r cột ấy thì các thành phần còn lại lập thành một định thức ký hiệu 1 2 1 2 , ,..., , ,..., r r j j j i i iM và gọi là định thức con bù của định thức 1 2 1 2 , ,..., , ,..., r r j j j i i iM . iii) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , ,..., ... ... , ,..., , ,..., , ,...,( 1) r r r r r r j j j i i i j j j j j j i i i i i iA M + + + + + + += − được gọi là phần bù đại số của 1 2 1 2 , ,..., , ,..., r r j j j i i iM . *Chú ý. Mỗi thành phần của định thức D là một định thức con cấp một của D. Ví dụ. Cho định thức 1 3 5 9 4 0 2 7 0 1 2 3 5 9 6 1 D = . Nếu chọn dòng 2, dòng 4, cột 1, cột 3 ta được định thức con cấp 2 của D là 1,3 2,4 4 2 5 6 M = 1,3 2,4 3 9 1 3 M = là định thức con bù của 1,32,4 4 2 5 6 M = . 1,3 1,3 2 4 1 3 2 4 1 3 2,42,4 3 9 ( 1) ( 1) 1 3 A M+ + + + + += − = − là phần bù đại số của 1,32,4 4 2 5 6 M = . 1.4.2. Khai triển định thức theo một dòng 13 1.4.2.1. Định lý. Cho định thức D cấp n có các thành phần là ija . Với mỗi  1,2,...,i n , ta đều có: 1 1 2 2 1 ... n i i i i in in ij ij j D a A a A a A a A = = + + + = . Chứng minh *Trường hợp i = n và các  nj 0, 1,2,..., 1a j n=   − . Khi đó: 11 12 1 1 21 22 2 2 1 (1) 2 (2) ( ) 1 2 ... ... ... ... ................................ sgn( ) ... ... ... ............................... 0 0 ... 0 ... 0 n j n j n n n Si i ij in a a a a a a a a D a a a a a a a       = =  Nhưng n (n) ( ) 0 ( ) nna khi n n a khi n n    = =   Do đó trong tổng này chỉ còn các hạng tử ứng với những phép thế nS  mà ( )n n = , nghĩa là: 1 (1) 2 (2) ( ) 1 ( 1) 1 (1) 2 (2) ( ) 1 ( 1). sgn( ) ... ... sgn( ) ... ... n n i i n n nn S nn i i n n S D a a a a a a a a a a             − −  − −  = =   Thu hẹp của mỗi  ấy là một phép thế trên tập  1 1,2,..., 1 ;nX n− = − ngược lại, mỗi phép thế 1nS − lại sinh ra một phép thế  trên tập  1,2,..., 1,nX n n= − xác định bởi:  ( ) , ( ) ( ), 1,2,..., 1 .n n i i i n  = =   − Vì thế có thể viết 1 (1) 2 (2) ( ) 1 ( 1).sgn( ) ... ... n nn i i n n S D a a a a a      − −  =  Vì ~ 1 (1) 2 (2) ( ) 1 ( 1)sgn( ) ... ... n i i n n nn S a a a a M      − −  = , trong đó ~ nnM là định thức con bù của thành phần nna và ~ ~ ~ 2( 1) ( 1)n n nnn nn nn nnA M M M += − = − = nên nn nnD a A= . 14 * Trường hợp i n và trong dòng thứ i chỉ có một ij 0a  , còn mọi is 0a = với s j ; tức là: 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 ... ... ... ... ................................ . 0 0 ... ... 0 ............................... ... ... j n j n ij n n nj nn a a a a a a a a D a a a a a = Ta đổi chỗ liên tiếp (n-i ) lần hai dòng liền nhau để chuyển dòng thứ i xuống vị trí dòng thứ n và được 11 12 1 1 21 22 2 2 ' 1 2 ... ... ... ... ................................ ( 1) . ... ... ............................... 0 0 ... ... 0 j n j n n i n n nj nn ij a a a a a a a a D D a a a a a −= = − Tiếp tục đổi chỗ liên tiếp (n-j) lần hai cột liền nhau để chuyển cột thứ j đến vị trí cột thứ n, ta được 11 12 1 1 21 22 2 2 " ' 1 2 " ' ... ... ... ... ................................ ( 1) . ... ... ............................... 0 0 ... 0 ... ( 1) ( 1) .( 1) ( 1) ( 1) . j n j n n j n n nn nj ij n i n j n i n i n j i j a a a a a a a a D D a a a a a D D D D − − − − − + − + = = − = − = − − = − = − Hay "( 1) .i jD D+= − 15 Mặt khác, đặt ~ ijM là định thức con bù của ija , thì theo trường hợp 1, ta có: ~ " ij ij .D a M= Vậy: ~ " ij ij .D a M= *Trường hợp tổng quát Với i cố định, ta coi ij ij0 0 0 ... 0 ... 0a a= + + + + + + + , trong đó có n – 1 số 0 và ija là số hạng thứ j. Theo tính chất 1 của định thức, ta có thể viết: 11 12 1 1 11 12 1 1 21 22 2 2 21 22 2 2 1 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ................................ ............................ ... ... ............................... ... ... j n j n j n j n i i ij in n n nj nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = 11 12 1 1 21 22 2 2 1 1 1 2 1 2 ... ... ... ... .... ................................ ... 0 ... 0 ... 0 0 ... 0 ... 0 ............................... ............................... ... ... ... ... j n j n i i n n nj nn n n nj nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a + + + ...+ 11 12 1 1 11 12 1 1 21 22 2 2 21 22 2 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ................................ .............................. ... 0 0 ... ... 0 ............................... ... ... j n j n j n j n ij n n nj nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a + + 1 2 .. 0 0 ... 0 ... ............................... ... ... in n n nj nn a a a a a . Trong đó mỗi định thức có ở vế phải đều có dạng định thức ở trường hợp 2. Vậy 1 1 ij ij in in... ... .i iD a A a A a A= + + + + Chú ý. Nhờ tính chất 1.3.2.7 của định thức,định lý cũng đúng nếu ts thay từ “dòng” bởi từ ‘cột”, tức là: 1j 1j ij ij nj nj ij ij 1 ... ... . n i D a A a A a A a A = = + + + + =  1.4.2.2. Hệ quả. Cho định thức D với các thành phần ija , ta có: i1 k1 ij kj in in... ... 0D a A a A a A= + + + + = nếu k i . Ví dụ 1. Tính định thức 16 2 5 1 1 3 8 . 4 7 9 D = Giải. Khai triển định thức theo dòng 1 ta có: 11 12 132 5 1 .D A A A= + + Với 1 1 11 1 2 12 1 3 13 3 8 ( 1) 3.9 7.8 29. 7 9 1 8 ( 1) (1.9 4.8) 23. 4 9 1 3 ( 1) 1.7 4.3 5. 4 7 A A A + + + = − = − = − = − = − − = = − = − = − Vậy: D = 2.(-29) +5.23 +1.(-5) = 52. Ví dụ 2. Tính định thức 2 1 5 1 1 0 3 8 . 0 4 3 0 4 0 7 9 C = − Giải. Ta có: 32 334 ( 3) .C A A= + − Với 3 2 32 3 3 33 2 5 1 ( 1) 1 3 8 52. 4 7 9 2 1 1 ( 1) 1 0 8 23. 4 0 9 A A + + = − = − = − = Vậy: 4.(-52) + (-3).23 = -277. 1.4.3. Khai triển định thức theo r dòng 17 Định lý Laplace. Nếu trongđịnh thức D đã chọn r dòng cố định 1 2, ,..., ri i i 1 2, ,..., sM M M là tất cả các định thức con cấp r của D đã chọn trong r dòng này và 1 2, ,..., sA A A là những phần bù đại số tương ứng thì 1 . s j j j D M A = =  Chưng minh. Với n = 1. Định lý đúng. Giả sử n > 1 và điều khẳng định đúng với n – 1, ta chứng minh nó đúng với n. + Trường hợp đã chọn r dòng đầu Vì 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , ,..., , ,..., ... ... , ,...,, ,..., ( 1) r r r r r r j j j j j j i i i j j j i i ii i iA M + + + + + + += − nên ta sẽ chứng minh ( ) ( ) 1 1 1 1 1... 1 ... ... ... 1 11... 1...1 ... 1 1 1 r r r r nj j n r j j j j s sr rj j n s D a MM M + + + + + +     = = − = −  . Để đơn giản ta ký hiệu 1 1 1 1 ... ... ... ... 1... 1... , r r r r j j