Bài giảng Giải tích 1 - Phan Bá Trình

1 UBND TỈNH QUẢNG NGÃI TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Dành cho sinh viên ngành Kinh tế, Kỹ thuật Biên soạn: ThS. PHAN BÁ TRÌNH Quảng Ngãi, Tháng 7 - 2021 2 LỜI NÓI ĐẦU "Bài giảng Giải tích 1" có nội dung bao gồm các khái niệm nền tảng của toán học như: Giới hạn cuả hàm số; Hàm số liên tục; Phép tính vi phân, tích phân của hàm số một biến; Hàm số nhiều biến số; Ứng dụng phép tính vi phân vào hình học. Đây là phần kiến thức toán học cần thiết cho sinh các ngành: Kinh tế, Kỹ thuật,...của các trường Đại học. Với mục đích và ý nghĩa trên, chúng tôi biên soạn và giới thiệu tài liệu: "Bài giảng tích 1" nhằm giúp cho sinh viên, giáo viên giảng dạy và các bạn yêu thích bộ môn Toán làm tài liệu học tập hoặc tham khảo. Tài liệu này được chia làm 6 chương: Chương 1: Giới hạn và tính liên tục Chương 2: Đạo hàm và vi phân của hàm số một biến số. Chương 3: Nguyên hàm và tích phân bất định Chương 4: Tích phân xác định. Chương 5: Hàm số nhiều biến số Chương 6: Ứng dụng phép tính vi phân vào hình học Chương 1. Chúng tôi trình bày về hàm số một biến số thực; giới hạn của hàm số và hàm số liên tục. Chương 2. Chúng tôi trình bày về đạo hàm và vi phân của hàm số một biến; Đạo hàm và vi phân cấp cao. Khai triển Taylor; Sử dụng quy tắc L'Hôpital để tính giới hạn hàm số; Khảo sát hàm số, hàm số cho bởi phương trình tham số và phương trình cho bởi hệ tọa độ cực. Chương 3. Chúng tôi trình bày về nguyên hàm và tích phân bất định. Tích phân bất định của các hàm số hữu tỉ; Tích phân của các hàm số lượng giác; Tích phân của các hàm số vô tỉ. Chương 4. Chúng tôi trình bày về Tích phân xác định; Các phương pháp tính tích phân xác định; Ứng dụng của tích phân xác định. Tích phân suy rộng. Chương 5. Chúng tôi trình bày về Định nghĩa hàm số nhiều biến; Đạo hàm và vi phân; Cực trị hàm số nhiều biến số. 3 Chương 6. Chúng tôi trình bày về Ứng dụng phép tính vi phân vào hình học phẳng; Tiếp tuyến của đường cong; Độ cong của đường cong phẳng; Đường tròn chính khúc -Khúc tâm; Đường cong phụ thuộc tham số. Đường túc bế, thân khai. Hàm vectơ; Độ cong trong không gian; Mặt trong không gian. Sau mỗi chương chúng tôi có giới thiệu một hệ thống bài tập phù hợp với nội dung kiến thức vừa trình bày, nhằm giúp cho sinh viên luyện tập, củng cố và khắc sâu kiến thức. Chúng tôi hy vọng rằng, đây là một tài liệu học tập bổ ích cho sinh viên, là nguồn tư liệu phong phú cho quý Thầy, Cô giáo tham khảo, nghiên cứu. Đây là lần viết đầu tiên, chắc chắn tài liệu này còn nhiều thiếu sót. Chúng tôi hết sức chân thành cảm ơn sự góp ý, nhận xét của bạn đọc về mọi phương diện để nội dung tài liệu ngày càng được tốt hơn. ThS. Phan Bá Trình 4 MỤC LỤC Lời nói đầu .............................................................................................................2 Mục lục...................................................................................................................4 Chương 1.Giới hạn và tính liên Bài 1. Hàm số một biến số ....................................................................................6 Bài 2.Giới hạn hàm .............................................................................................17 Bài 3. Hàm số liên tục .........................................................................................25 Bài tập chương 1 .................................................................................................36 Chương 2. Đạo hàm và vi phân của hàm số một Bài 1. Khái niệm đạo hàm ...................................................................................39 Bài 2. Các quy tắc tính đạo hàm .........................................................................45 Bài 3. Vi phân ......................................................................................................49 Bài 4. Các định lý cơ bản về hàm khả vi ............................................................54 Bài 5. Công thức Taylor ......................................................................................58 Bài 6. Một số ứng dụng của đạo hàm và vi phân ................................................63 Bài tập chương 2. .................................................................................................90 Chương 3. Nguyên hàm và tích phân bất định Bài 1. Nguyên hàm và tích phân bất định ...........................................................93 Bài 2.Các phương pháp tính tích phân bất định ..................................................96 Bài tập chương 3 ...............................................................................................108 Chương 4. Tích phân xác định Bài 1. Khái niệm về tích phân xác định ............................................................109 Bài 2.Phương pháp tính tích phân xác định ......................................................117 Bài 3.Ứng dụng của tính tích phân xác định .....................................................123 Bài 4.Tích phân suy rộng ..................................................................................131 Bài tập chương 4. ...............................................................................................139 Chương 5. Hàm số nhiều biến số Bài 1. Định nghĩa hàm số nhiều biến số ...........................................................141 Bài 2. Giới hạn và sự liên tục hàm số nhiều biến số .........................................147 Bài 3. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần ......................................................151 Bài 4. Cực trị của hàm số nhiều biến số ............................................................163 Bài tập chương 5 ...............................................................................................169 5 Chương 6. Ứng dụng của phép tính vi phân vào hình học Bài 1. Ứng dụng của phép tính vi phân vào hình học phẳng ............................171 Bài 2. Ứng dụng của phép tính vi phân vào hình học không gian ....................177 Tài liệu tham khảo .............................................................................................181 Bài giảng Giải tích 1 ThS. Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng 6 Chương 1. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC Bài 1: HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ THỰC 1.1. ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ, ĐỒ THỊ HÀM SỐ. 1.1.1 ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ 1.1.1.1 ĐỊNH NGHĨA. Hàm số là một ánh xạ f đi từ tập RD  vào tập R. Người ta thường viết gọn một hàm số: )( : xfyx RDf    Trong đó: x được gọi là biến số (đối số). :)(xfy  được gọi là giá trị của hàm số tại x. D: được gọi là miền xác định của hàm số ).(xf (Tập tất cả các giá trị của x sao cho hàm số có nghĩa)   RxfyDxRyDf  )(;:)( là miền giá trị của hàm số. Nếu Dxx  0 thì )( 00 xfy  gọi là giá trị của hàm số tại 0x . Ví dụ 1.1 a. Hàm số x y 1  có miền xác định  0\RD  . b. Hàm số 132 2  xxy là hàm bậc hai, có miền xác định RD  . c. Hàm số 21 xy  có miền xác định    11:01: 2  xRxxRxD . d. Hàm số xxfy  )( là hàm đồng nhất, thường ký hiệu: id(x). e. Hàm số )()( xExfy  là hàm số phần nguyên của x. (nghĩa là E(x) là số nguyên lớn nhất không lớn hơn x. Chẳng hạn: 2......E(2,4) 3;E(3) 0;E(0) ;3)8,2( E Ví dụ 1.2 Cho hàm số )23ln(4)( 22  xxxxfy i. Tìm miền xác định của hàm số. ii. Tìm giá trị của hàm số tại 0 x;1 x . Giải. i. Hàm số xác định khi và chỉ khi: 12 2)(x )1( 22 023 04 2 2              x x x xx x . Bài giảng Giải tích 1 ThS. Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng 7 Vậy miền xác định của hàm số đã cho là tập:  1 ;2D . ii. Tại 1x , ta có   6ln32)1(3)1(ln)1(4)1( 22  fy . Tại 0x , ta có   2ln220.30ln04)0( 22  fy . 1.1.1.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHO HÀM SỐ (1) Phương pháp giải tích: Cho hàm số bởi biểu thức giải tích a. Cho bởi một biểu thức Ví dụ 1.3 i. 132)( 2  xxxfy ii. xxxfy cos.2sin)(  b. Cho bởi nhiều biểu thức Ví dụ 1.4 i. 0 xkhi ; 32 0 xkhi ; 1 )( 2       x x xfy ii.          0 xkhi ; 1 0 xkhi ; 0 0 xkhi ; 1 )(xfy Đây là hàm dấu của x (Hình 1.1). Ký hiệu: sign x. Đọc là: signum x. (2) Phương pháp cho theo bảng: Phương pháp giải tích thường được dùng trong những nghiên cứu lý thuyết, nhưng nhiều khi nó không tiện lợi trong thực hành vì phải tính đủ mọi phép toán khi tính giá trị của hàm số. Để tránh điều đó, người ta thường dùng phương pháp cho theo bảng như sau. Cho một dãy các giá trị tương ứng của x và một dãy các giá trị tương ứng của y. Ví dụ 1.5 Cho hàm số f(x) theo bảng giá trị sau: x 1 2 3 4 ........ f(x) 1 4 9 16 ........ (3) Phương pháp đồ thị. Đồ thị của hàm số cho ta có một hình ảnh hình học nhận biết dễ dàng nhiều tính chất của hàm số đó. Vì thế, trong kinh tế và kỹ thuật người ta cho hàm số bằng cách cho đồ thị của nó. Nhược điểm của phương pháp cho theo bảng và phương pháp cho hàm số bằng đồ thị là thiếu chính xác. 1.1.1.3 PHÉP TOÁN TRÊN CÁC HÀM SỐ. Cho hàm số )(xfy  có miền xác định là 1D và )(xgg  có miền xác định là 2D . Đặt 21 DDD  , hàm số F xác định trên D được gọi là tổng (hiệu, tích, thương) của các hàm số f và g nếu với mỗi Dx ta có: x y 1 -1 0 Hình 1.1 Bài giảng Giải tích 1 ThS. Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng 8 )( )( );().();()();()()( xg xf xgxfxgxfxgxfxF (  với )0)( xg . 1.1.2 ĐỒ THỊ HÀM SỐ Cho hàm số )(xfy  có miền xác định là D. Tập hợp các điểm );( yxM với Dx trong mặt phẳng Oxy thoả mãn đẳng thức )(xfy  được gọi là đồ thị của hàm số )(xfy  . Chú ý 1.1 Đồ thị của hàm số có thể là một tập điểm rời rạc hữu hạn hoặc vô hạn, có thể là tập những mảnh cung đứt đoạn và cũng có thể là một cung liền. Ví dụ 1.6 i. Đồ thị hàm số 1 xy là đường thẳng (Hình 1.2). ii. Đồ thị hàm số 12  xy là một parabol (Hình 1.3). 12  xy 1.2 HÀM SỐ HỢP - HÀM SỐ NGƯỢC. 1.2.1 Hàm số hợp: Giả sử RXfYRX  )(; và RZ  . Cho hàm số YXf : và ZYg : . Xét hàm số ZXh : được xác định   Xxxfgxh  ;)()( . Khi đó, h được gọi là hàm số hợp của hai hàm số f và g. Ký hiệu: fg0 hay fg. . Vậy:    )()()( 0 xfgxfgxh  . Ví dụ 1.7 Cho hai hàm số xxf 3)(  và xxg cos)(  . Khi đó: i.   xxgxfgxfg 3cos)3()()(0  ii.   xxfxgfxgf cos0 3)(cos)()(  iii.   )cos(cos)(cos)()(0 xxgxggxgg  . 1.2.2 Hàm số ngược: Cho hàm số: RYXf : )(xfyx  Nếu tồn tại hàm số: RXYg : xygy )( thì hàm số g là hàm số ngược của hàm số f. Ký hiệu: 1 fg . Ta có:   xxffyfyg   )()()( 11 . 0 x y 1 -1 1 Hình 1.3 x y 1 1 0 1 xy Hình 1.2 Bài giảng Giải tích 1 ThS. Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng 9 Đồ thị của hàm số ngược 1f đối xứng với đồ thị hàm số f qua đường phân giác thứ nhất. Ví dụ 1.8 i. Cho hàm số xxfyx RRf    )( :  f có hàm số ngược là: 21 1 )( : yyfxy RRf      (Thường viết lại là: 21 )( xxfy   ). ii. Cho hàm số:   1 3 )( 1\:    x x xfyx RRf  Ta có: )3(; 31 3 )(      y y y x x x yxfy . Vậy hàm ngược là: 3 )(1    x x xfy , có miền xác định là:  3\R . iii. Cho hàm số: )1;0(;  aaay x . Khi đó, thì hàm số là: xy alog . Vì xayf xa   )(log)(1 . 1.3 CÁC LOẠI HÀM ĐẶC BIỆT 1.3.1 Hàm số bị chặn (hàm giới nội). a. Hàm số )(xfy  được gọi là bị chặn trên (dưới) trong tập DX  (D là miền xác định), nếu tồn tại Rk  sao cho mọi Xx , ta có:  kxfkxf  )(;)( . b. Hàm số )(xfy  được gọi là bị chặn trong tập X nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới. Nghĩa là: tồn tại 0k sao cho Xxkxf  ;)( . Ví dụ 1.9 Hàm số xyxy cos;sin  là các hàm số bị chặn trong R. Vì Rxxx  ;1cos;1sin . 1.3.2 Hàm số đơn điệu (tăng: đồng biến; giảm: nghịch biến). a. Hàm số )(xfy  được gọi là đơn điệu tăng (giảm) trên miền xác định D, nếu 2121 :; xxDxx  thì  )()();()( 2121 xfxfxfxf  . b. Hàm số )(xfy  được gọi là tăng nghiêm ngặt (giảm nghiêm ngặt) trên miền xác định D, nếu 2121 :; xxDxx  thì  )()();()( 2121 xfxfxfxf  . Ví dụ 1.10 i. Hàm số x y 1  là đơn điệu giảm trên từng khoảng )0;( ; );0(  . Bài giảng Giải tích 1 ThS. Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng 10 ii. Hàm số 2xy  giảm trong khoảng )0;( và tăng trong khoảng );0(  . iii. Hàm số baxy  đơn điệu tăng với 0a ; đơn điệu giảm với 0a và bằng hằng số với 0a . 1.3.3 Hàm số chẵn, lẻ. Cho hàm số )(xfy  xác định trên tập D đối xứng, nghĩa là Dxx  , , Dx a. Hàm số )(xfy  được gọi là hàm số chẵn trên tập D đối xứng nếu: )()( xfxf  , Dx b. Hàm số )(xfy  được gọi là hàm số lẻ trên tập D đối xứng nếu: )()( xfxf  , Dx Nhận xét 1.2 i. Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. ii. Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. Ví dụ 1.11 i. Hàm số 1)( 2  xxfy là hàm số chẵn trên R. Vì Rx ta có: Rx và )(11)()( 22 xfxxxf  . ii. Hàm số 32)( xxfy  là hàm số lẻ trên R. Vì Rx ta có: Rx và )(2)(2)( 33 xfxxxf  . Tính chất của các hàm chẵn, lẻ. i. Tổng, hiệu của hai hàm số chẵn (lẻ) là một hàm số chẵn (lẻ). ii. Tích của hai hàm số cùng chẵn (hoặc cùng lẻ) là một hàm số chẵn. iii. Tích của một hàm số lẻ với một hàm số chẵn là một hàm số lẻ. iv. Mọi hàm số f(x) đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ. Cụ thể: 2 )()( 2 )()( )( xfxfxfxf xf     . 1.3.4 Hàm số tuần hoàn. a. Định nghĩa. Cho hàm số )(xfy  xác định trên tập D. Hàm số )(xfy  được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu 0;  LDx sao cho DLx  và )()( xfLxf  . b. Chu kỳ của hàm tuần hoàn. Giả sử )(xfy  là hàm số tuần hoàn. Nếu tồn tại số dương T nhỏ nhất sao cho: ZkXxxfkTxf  ;);()( thì được gọi là chu kỳ của hàm tuần hoàn )(xfy  . Ví dụ 1.12 i. Hàm số xxfy sin)(  là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2T . ii. Hàm số    xxxxfy  )( (phần thập phân của x), được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T=1. Đồ thị hàm số    xxxxfy  )( (Hình 1.4). Bài giảng Giải tích 1 ThS. Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng 11 1.4 CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN. 1.4.1 Hàm số hằng. Hàm số có dạng Cxfy  )( ; (C là hằng số) Rx . Đồ thị của hàm số hằng Cxfy  )( là đường thẳng song song với trục Ox và cắt trục Oy tại điểm (0; C). 1.4.2 Hàm số luỹ thừa. Hàm số có dạng 0R;   ;)( xxfy . Miền xác định của hàm số lũy thừa phụ thuộc vào  . Đồ thị của hàm số xy  luôn đi qua điểm (1;1) và qua gốc toạ độ O(0;0). Các công thức về hàm lũy thừa: i.   x x 1  ; ii.     xx  ; iii.   xxx . ; iv.  .)( xx  . 1.4.3 Hàm số mũ. Hàm số có dạng ).;10(;)( Raaaxfy x  Hàm số mũ có miền xác định RD  );( và có miền giá trị );0( V . Hàm số mũ xay  là hàm số tăng khi 1a và là hàm số giảm khi 10  a . Đồ thị của hàm số xay  luôn nằm về phía trên trục Ox và đi qua điểm (0;1) (Hình 1.5). 1.4.4 Hàm số logarit. Hàm số có dạng ).10(;log)(  axxfy a Hàm số logarit có miền xác định );0( D và có miền giá trị .RV  Hàm số logarit là hàm số ngược của hàm số mũ xay  . Nghĩa là: ya axxy  log với .10;0  ax Hàm số logarit là hàm số tăng khi 1a và là hàm số giảm khi 10  a . Đồ thị của hàm số xy alog luôn nằm bên phải trục Oy và đi qua điểm (1;0) (Hình 1.6). Đặc biệt: i. Nếu 10a thì ta viết xx lglog10  . Hình 1.5 y x 0 1 a>1 0<a<1 1 x y 0 a>1 Hình 1.6 0<a<1 y x (Hình 1.4) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Bài giảng Giải tích 1 ThS. Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng 12 ii. Nếu 71818,2 ea (cơ số Néper) thì ta viết xxe lnlog  . Các công thức về hàm logarit. Với 1cb,a,0  ;0, yx , ta có: i. yxxy aaa logloglog  ; yx y x aaa logloglog  . ii. xx aa loglog    ; xx aa log 1 log    . iii. xa xa log ; cbc baa log.loglog  . 1.4.5 Các hàm số lượng giác (hay hàm tròn). a. Hàm số xxfy sin)(  và hàm số xxfy cos)(  Miền xác định RD  và có miền giá trị  1;1V Hàm số xxfy sin)(  và xxfy cos)(  là các hàm bị chặn, tuần hoàn với chu kỳ 2T . Hàm số xxfy sin)(  là hàm lẻ; hàm số xxfy cos)(  là hàm chẵn. Đồ thị (Hình 1.7): xy cos xy sin . b. Hàm số xxfy tan)(  và hàm số xxfy cot)(  . Miền xác định:Hàm số xxfy tan)(  có miền xác định ZkkxD         ; 2   . Hàm số xxfy cot)(  có miền xác định   ZkkxD  ; . 0 2   y x y 2 3 2   2 3   Hình 1.7 2 3  2    x y Hình 1.8 2 3 2  0  Bài giảng Giải tích 1 ThS. Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng 13 Miền giá trị RV  . Hàm số xxfy tan)(  và xxfy cot)(  là các hàm không bị chặn, tuần hoàn với chu kỳ T , và đều là hàm số lẻ. Đồ thị (Hình 1.8). 1.4.6 Các hàm số lượng giác ngược (hay hàm tròn ngược). a. Hàm số xxfy arcsin)(  . Miền xác định  1;1D và có miền giá trị      2 ; 2  V . Hàm số xxfy arcsin)(  là hàm lẻ và bị chặn. Hàm số xxfy arcsin)(  là hàm ngược của hàm số xxfy sin)(  trên        2 ; 2  Tức là          2 ; 2 ;sinarcsin)(  y 1;1-x ;yxxxfy . Đồ thị hàm số xxfy arcsin)(  (Hình 1.9). b. Hàm số xxfy arccos)(  . Miền xác định  1;1D và có miền giá trị  ;0V . Hàm số xxfy arccos)(  là hàm bị chặn; không chẵn, không lẻ. Hàm số xxfy arccos)(  là hàm ngược của hàm số xxfy cos)(  trên  ;0 . Tức là    ;0;cosarccos)(  y 1;1-x ;yxxxfy . Đồ thị hàm số xxfy arccos)(  (Hình 1.10). Tính chất: 2 arccosarcsin   xx . c. Hàm số xxfy arctan)(  . Miền xác định RD  và có miền giá trị        2 ; 2  V . 2  2   y y 0 Hình 1.9 x y -1 1 y y=arcsinx 0 y -1 Hình 1.10 x y y y 2  1 y y=arccosx Bài giảng Giải tích 1 ThS. Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng 14 Hàm số xxfy arctan)(  là hàm lẻ và bị chặn. Hàm số xxfy arctan)(  là hàm ngược của hàm số xxfy tan)(  trên        2 ; 2  . Tức là        2 ; 2 y ;x ;tanarctan)(  Ryxxxfy . d. Hàm số xarcxfy cot)(  Miền xác định RD  và có miền giá trị  ;0V . Hàm số xarcxfy cot)(  là hàm bị chặn; không chẵn, không lẻ. Hàm số xarcxfy cot)(  là hàm ngược của hàm số xxfy cot)(  trên  ;0 . Tức là  ;0y ;x ;cotcot)(  Ryxxarcxfy . Đồ thị hàm số xxfy arctan)(  và xarcxfy cot)(  (Hình 1.11). Tính chất: Rx ; 2 cotarctan   anxarcx . 1.4.7 Các hàm hypebolic. a. Hàm 2 )( xx ee xfy   Hàm sin hypebolic. Ký hiệu: sinh(x). Miền xác định RD  và có miền giá trị RV  . Hàm số xy sinh là hàm lẻ và là hàm tăng trên R. Đồ thị hàm sin hypebolic (Hình 1.12). b. Hàm 2 )( xx ee xfy   Hàm cosin hypebolic. Ký hiệu: cosh(x). Miền xác định RD  và có miền giá trị   ;1V . Hàm số xy cosh là hàm chẵn. Đồ thị hàm cosin hypebolic (Hình 1.13). 2  2    y y x y=arctanx y=arccotx Hình 1.11 1 x y 0 y=coshx Hình 1.13 y=sinhx 0 y x Hình 1.12 Bài giảng Giải tích 1 ThS. Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng 15 c. Hàm xx xx ee ee xfy      )( Hàm tang hypebolic. Ký hiệu: tanh(x). Miền xác định RD  và có miền giá trị  1;1V . Hàm số xy tanh là hàm lẻ và và bị chặn; là hàm tăng trên R. Đồ thị hàm tang hypebolic (Hình 1.14). d. Hàm xx xx ee ee xfy      )( (Hàm cotanghypebolic. Ký hiệu: cothx). Miền xác định RD  và có miền giá trị     ;11;V . Hàm số xy coth là hàm lẻ, không bị chặn. Đồ thị hàm cotang hypebolic (Hình