Bài giảng Giải tích 2 - Chương 3 - Nguyễn Văn Quang

1. Định nghĩa, cách tính tích phân kép 2. Tọa độ cực 3. Ứng dụng hình học 4. Ứng dụng cơ học Bài toán: Tìm diện tích. Nhắc lại 23-Feb-21 2 = lim n→∞ TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Cho hình trụ được giới hạn trên bởi mặt bậc hai , ( , ) 0f f x y  giới hạn dưới bởi miền D = [a,b]x[c,d] (đóng, bị chặn). giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song Oz, tựa trên biên D, Bài toán: Tìm thể tích hình trụ. Định nghĩa 23-Feb-21 3 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa 23-Feb-21 4 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa 23-Feb-21 5 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa 23-Feb-21 6 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa 23-Feb-21 7 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Cho hình trụ được giới hạn trên bởi mặt bậc hai , ( , ) 0f x y  giới hạn dưới bởi miền D = [a,b]x[c,d] (đóng, bị chặn). giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song Oz, tựa trên biên D. Bài toán: Tìm thể tích hình trụ. 1) Chia D một cách tùy ý ra thành n hình chữ nhật rời nhau: D1, D2, ..., Dn. Có diện tích tương ứng là 1 2 , ,..., . nD D D S S S 2) Trên mỗi miền lấy tùy ý một điểm ( , )i i i iM x y D 3) Thể tích của vật thể: (tổng Riemann) 1 ( ) i n i D n i V f M S V    lim n n V V  4) Định nghĩa 23-Feb-21 8 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Cho f = f (x,y) xác định trên miền đóng và bị chặn D (tổng quát). Định nghĩa 23-Feb-21 9 Do đó, D có thể được bao kín trong một miền chữ nhật C. D C x y Xác định hàm F(x,y) như sau: ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) f x y x y D F x y x y D     ( , ) D I f x y dxdy  1 lim ( ) i n i C n i I F M S          Nếu giới hạn: tồn tại hữu hạn, thì ta nói hàm f(x,y) khả tích trên miền D. Ký hiệu: TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 1) Hàm liên tục trên miền đóng, bị chặn thì khả tích trên miền này. 3) ( , ) ( , ) D D f x y dxdy f x y dxdy   2) D D S dxdy   4) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) D D D f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdy     5) Nếu D được chia làm hai miền D1 và D2 rời nhau: 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) D D D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy    6) ( , ) , ( , ) ( , ) D D x y D f x y g x y fdxdy gdxdy      Tính chất 23-Feb-21 10 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Cho vật thể được giới hạn trên bởi mặt bậc hai 2 2( , ) 16 2f x y x y   giới hạn dưới bởi hình vuông: [0,2] [0,2]R   giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song Oz, tựa trên biên R. Ước lượng thể tích của vật thể trong các trường hợp sau: a) Chia R thành 4 phần bằng nhau; b) Chia R thành 16 phần bằng nhau; c) Chia R thành 64 phần bằng nhau; d) Chia R thành 256 phần bằng nhau; e) Tính thể tích của vật thể. Ví dụ 23-Feb-21 11 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 41 ( ) in i D i V V f M S     1, 1,...,4.iD i S    (1,1) (1,2) (2,1) (2,2)V f f f f    13 7 10 4 34.V      23-Feb-21 12 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 23-Feb-21 13 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 23-Feb-21 14 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 23-Feb-21 15 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 21 ( ) ( ) ( , ) ( , ) b a xD y x y I f x y dxdy dx f x y dy    Cách tính (Định lý Fubini): tích phân lặp 1) Giả sử D xác định bởi: Cho f liên tục trên miền đóng và bị chặn D. a bx    y = y1(x) y = y2(x) a b 1 2( ) ( )y x y xy  23-Feb-21 16 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định lý Fubini: tích phân lặp 23-Feb-21 17 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 1 2( ) ( ) :      x R yx g x a g b 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , )    R xb a g g x I f x y dxdy dx f x y dy x y a b g2(x) g1(x) Cách tính (Định lý Fubini): tích phân lặp 2) Giả sử D xác định bởi: 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) d c yD x y x I f x y dxdy dy f x y dx    c dy    c d x = x1(y) x = x2(y) 1 2( ) ( )x y x yx  23-Feb-21 18 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định lý Fubini: tích phân lặp 23-Feb-21 19 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , )    R yd c h h y I f x y dxdy dy f x y dx 1 2( ) ( ) :      y R xy h y c h d x y c d h2(y) h1(y) Giải câu e) Tính thể tích của vật thể: 2 2 0 2x   0 2y   2 216 2 R V x y dxdy     2 2 2 0 2 0 16 2dx x y dy    0 32 2 2 0 (16 ) 2 3 x d y xy          2 2 0 16 32 2 3 x dx          48 23-Feb-21 20 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tính tích phân kép , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi: D I xydxdy  22 , .y x y x   2 1x    22x y x    D I xy dxdy    221 2 x x dx xy dy      2 21 2 2 2 x x x dx y           2 2 21 2 (2 ) 9 . 2 2 8 x x x x dx           23-Feb-21 21 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tính tích phân kép , trong đó D là tam giác OAB, với: ( ) D I x y dxdy  (0,0), (1,1), (2,0).O A B 0 2x   0 y  A B ? Cần chia D ra thành hai miền: D1 và D2 D1 D2 1 2D D D I      1 2 2 0 0 1 0 ( ) ( ) x x I dx x y dy dx x y dy          Nếu lấy cận x trước, y sau thì không cần chia D. 23-Feb-21 22 1 5 4 . 2 6 3    TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tính tích phân kép D là miền phẳng giới hạn bởi: 2 D I y x dxdy  2 D I y x dxdy      1 2 2 2 D D y x dxdy x y dxdy         2 2 1 1 1 2 2 1 1 0 x x dx y x dy dx x y dy          8 1 11 . 15 5 15 I    1 1,0 1.x y     D1 D2 D2 1 2 2 2 D D y x dxdy y x dxdy     23-Feb-21 23 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tính tích phân kép 21 1 0 x y I dy e dx   Tích phân không tính được (qua các hàm sơ cấp). 21 x y e dx Thay đổi thứ tự lấy tích phân: 1) Xác định miền D. 2) Vẽ miền D. 3) Thay đổi thứ tự. Ví dụ 23-Feb-21 24 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Thay đổi cận: 0 1 : 1 y D y x      0 1 : 0 x D y x      21 0 0 x xI dx e dy   21 0 0 xxe y dx  21 0 xxe dx  2 1 0 1 1 2 2 x ee    Ví dụ 23-Feb-21 25 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tính tích phân kép 1 1 3 0 sin( 1) y I dy x dx   Tích phân không tính được (qua các hàm sơ cấp). 1 3sin( 1) y x dx Thay đổi cận: 0 1 : 1 y D y x      2 0 1 : 0 x D y x      21 3 0 0 sin( 1) x I dx x dy   21 3 0 0 sin( 1) x x y dx   1 2 3 0 sin( 1)x x dx  cos(1) 1 3   23-Feb-21 26 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Thay đổi thứ tự lấy tích phân 2 1 0 0 ( , ) y y I dy f x y dx     Vẽ miền D: 2 0 1 : 0 y D x y y       0 2 : 1 1 4 1 2 x D x y          2 1 0 1 1 4 2 ( , ) x I dx f x y dy       Thay đổi cận: Ví dụ 23-Feb-21 27 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Thay đổi thứ tự lấy tích phân 2 2 2 43 3 12 ( , ) y y I dy f x y dx        Vẽ miền D: 2 2 3 3 : 12 2 4 y D y x y           1 2 2 3 2 3 : 12 4 x D x y x x         Thay đổi cận: Phải chia D làm 3 miền: D1 D2 D3 2 2 2 3 2 3 : 4 12 x D x x y x           3 2 2 2 3 4 : 4 4 x D x x y x x          1 2 3D D D I fdxdy fdxdy fdxdy      23-Feb-21 28 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Đổi biến tổng quát 23-Feb-21 29 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tổng quát, xét phép đổi biến T từ mặt Ouv sang mặt Oxy: 𝑇(𝑢, 𝑣) = (𝑥, 𝑦) với x và y liên hệ với u và v bởi: 𝑥 = 𝑔 𝑢, 𝑣 ; 𝑦 = ℎ(𝑢, 𝑣) Có thể viết: 𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣). Giả sử T là một phép biến thỏa mãn: g và h có đạo hàm riêng bậc nhất liên tục. Nếu 𝑇(𝑢1, 𝑣1) = (𝑥1, 𝑦1), thì (𝑥1, 𝑦1) được gọi là ảnh của điểm (𝑢1, 𝑣1). Nếu không có 2 điểm nào có cùng chung 1 ảnh và ngược lại, thì ta gọi T là đổi biến 1-1. Đổi biến tổng quát 23-Feb-21 30 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Nếu T là đổi biến 1-1, nó sẽ có một phép biến đổi ngược 𝑇−1 từ mặt Oxy sang mặt Ouv. Do đó, ta có thể tìm u và v theo x và y : 𝑢 = 𝐺(𝑥, 𝑦), 𝑣 = 𝐻(𝑥, 𝑦) Đổi biến tổng quát 23-Feb-21 31 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Xét một hình chữ nhật nhỏ S trong mặt Ouv: ảnh của S là miền R trong mặt Oxy. Một điểm trên cạnh biên của nó sẽ là: (𝑥0, 𝑦0) = 𝑇(𝑢0, 𝑣0) Đổi biến tổng quát 23-Feb-21 32 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ta có vector vị trí của điểm (u, v): 𝒓(𝑢, 𝑣) = 𝑥 𝒊 + 𝑦 𝒋 = 𝑔(𝑢, 𝑣) 𝒊 + ℎ(𝑢, 𝑣) 𝒋 Phương trình của cạnh dưới của S là: 𝑣 = 𝑣0 Ảnh của nó được cho bởi hàm vector 𝒓(𝑢, 𝑣0). Đổi biến tổng quát 23-Feb-21 33 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Nếu một đường cong trong mặt phẳng cho bởi hàm vector: 𝒓(𝑡) = 𝑥(𝑡) 𝒊 + 𝑦(𝑡) 𝒋 với 𝑡 là tham số thì vector tiếp tuyến tại 𝑡0 đối với đường cong không gian này sẽ là: jijir t y t x yx ttt       00 Đổi biến tổng quát 23-Feb-21 34 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Do đó vector tiếp tuyến tại (𝑥0, 𝑦0) đối với đường cong ảnh này sẽ là: 0 0 0 0( , ) ( , )         r i j i ju u u x y g u v h u v u u Đổi biến tổng quát 23-Feb-21 35 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tương tự, vector tiếp tuyến tại (𝑥0, 𝑦0) đối với đường cong ảnh của cạnh trái của (𝑢 = 𝑢0) là: 0 0 0 0( , ) ( , )         r i j i jv v v x y g u v h u v v v Đổi biến tổng quát 23-Feb-21 36 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ta có thể xấp xỉ miền ảnh 𝑅 = 𝑇(𝑆) bởi một hình bình hành xác định bởi các vector cát tuyến: 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )         a r r b r r u u v u v u v v u v Đổi biến tổng quát 23-Feb-21 37 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tuy nhiên, Nên, Tương tự, 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim        r r ru u u u v u v u 0 0 0 0( , ) ( , ) .    r r ruu u v u v u 0 0 0 0( , ) ( , ) .    r r rvu v v u v v Đổi biến tổng quát 23-Feb-21 38 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Điều này có nghĩa là ta có thể xấp xỉ R bởi một hình bình hành xác định bởi 2 vector ∆𝑢. 𝒓𝑢 và ∆𝑣. 𝒓𝑣 . Đổi biến tổng quát 23-Feb-21 39 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Vậy, có thể xấp xỉ diện tích của R bởi diện tích của hình bình hành này: |(∆𝑢 𝒓𝑢) × (∆𝑣 𝒓𝑣)| = |𝒓𝑢 × 𝒓𝑣| ∆𝑢 ∆𝑣 Tích có hướng của 2 vector: 0 0                            i j k r r k ku v x y x x x y u u u v x y y yu u x y v v u v v v Đổi biến tổng quát 23-Feb-21 40 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Jacobian của biến đổi T cho bởi 𝑥 = 𝑔(𝑢, 𝑣) và 𝑦 = ℎ(𝑢, 𝑣) là: Với ký hiệu này ta có thể xấp xỉ một diện tích ∆A của R: ( , ) ( , )                    x x x y x y x yu v y yu v u v v u u v ( , ) ( , )       x y A u v u v ở đây Jacobian được tính tại (u0, v0). Đổi biến tổng quát 23-Feb-21 41 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tiếp theo, ta chia miền S trong mặt Ouv thành các hình chữ nhật nhỏ 𝑆𝑖𝑗 và gọi ảnh của nó trong mặt Oxy là 𝑅𝑖𝑗. Đổi biến tổng quát 23-Feb-21 42 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Áp dụng công thức xấp xỉ đối với 𝑅𝑖𝑗 ở trên, ta có xấp xỉ của tích phân 2 lớp của f trên miền R như sau. ( , ) ( , ) ( , ) ( ( , ), ( , )) ( , )           R i j i j i j f x y dxdy f x y A x y f g u v h u v u v u v ở đây Jacobian được tính tại (𝑢𝑖 , 𝑣𝑗). ( , ) ( ( , ), ( , )) ( , )   S x y f g u v h u v du dv u v Chú ý đây chính là tổng Riemann của tích phân: Giả sử có phép đổi biến: 𝑥 = 𝑥 𝑢, 𝑣 , 𝑦 = 𝑦 𝑢, 𝑣 ; sao cho phép đổi biến này là 1-1 (có thể trừ trên biên), và 𝐽 ≠ 0 (có thể 𝐽 = 0 tại một số điểm hữu hạn), khi đó: 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷𝑥𝑦 = 𝑓(𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣)). 𝐽 . 𝑑𝑢𝑑𝑣 𝐷𝑢𝑣 Trong đó: 𝐽 = 𝜕(𝑥, 𝑦) 𝜕(𝑢, 𝑣) = 𝑥′𝑢 𝑥 ′ 𝑣 𝑦′𝑢 𝑦 ′ 𝑣 Đổi biến tổng quát 23-Feb-21 43 Định lý: TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN ( , )M x y x y x y r  cos , 0 2 sin x r y r         Mối liên hệ giữa tọa độ cực và tọa độ Descartes: 2 2 2x y r Chú ý: 2 2 4x y Ví dụ. Phương trình đường tròn tâm 0, bán kính bằng 2: Phương trình đường tròn này trong tọa độ cực là: 2.r  Định nghĩa 23-Feb-21 44 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Phương trình đường tròn này trong tọa độ cực là: 2 2 cos 2cosr r r    • Phương trình đường tròn tâm (1,0), bán kính bằng 1: 2 2 2x y x  Phương trình đường tròn này trong tọa độ cực là: 2 2 sin 2sinr r r    • Phương trình đường tròn tâm (0,1), bán kính bằng 1: 2 2 2x y y  Phương trình đường thẳng này trong tọa độ cực là: 2 cos 2 cos r r     • Phương trình đường thẳng x = 2 Ví dụ 23-Feb-21 45 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 23-Feb-21 46 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN cos sin x r y r      ( , ) R I f x y dxdy  Qua phép đổi biến: Chia [a,b] thành m phần. Chia thành n phần. [ , ]  23-Feb-21 47 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Miền 1 1 : i i ij j j r r r R           Trên Rij lấy một điểm * *( , )i jr  * * 1 1 1 1 ( ); ( ) 2 2 i i i i i ir r r        Diện tích miền Rij là: 2 2 1 1 1 1 ; 2 2 ( ) ij i i j j A r r                2 21 1 2 ij i iA r r         1 1 1 2 i i i ir r r r        * ir r    23-Feb-21 48 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tọa độ cực của điểm Rij là: * * * *( cos , sin )i j i jr r   Tổng Riemann: * * * * 1 1 ( cos , sin )          m n mn i j i j ij i j V f r r A * * * * * 1 1 ( cos , sin ) m n i j i j i i j f r r r r             ( , ) ( cos , sin )g r r f r r     Đặt * * 1 1 ( , ) m n mn i j i j V g r r        * * * * * , 1 1 ( , ) lim ( cos , sin )                  m n i j i j i ij m n i jR f x y dxdy f r r r A * * , 1 1 lim ( , ) m n i j m n i j g r r              ( , ) b a g r drd       ( , ) ( cos , sin ) b R a f x y dxdy d f r r dr r            23-Feb-21 49 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tính tích phân kép , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi: ( ) D I x y dxdy  2 2 2 21, 4, y 0, x y x y y x      cos sin x r y r      0 : 4rD        1 2r  Ví dụ 23-Feb-21 50 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN ( ) D I x y dxdy    / 4 2 0 1 cos sinI d r r drr           / 4 2 2 0 1 cos sind r dr           2 3/ 4 0 1 cos sin 3 r I d         / 4 0 8 1 cos sin 3 3 I d               7 3 I  Ví dụ 23-Feb-21 51 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN : 4 3rD          Tính , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 2 24 D I x y dxdy   2 2 4, , 3 (y x)x y y x y x     cos sin x r y r      0 2r  /3 2 2 /4 0 4I d r drr        2 9 I   23-Feb-21 52 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN : 2 4rD           Tính , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi: 2 2 D I x y dxdy  2 2 2 , .x y x y x    cos sin x r y r      0 2cosr   2cos/ 4 / 2 0 r drrI d          /4 3 /2 8 cos 3 I d         16 10 2 9   23-Feb-21 53 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN : 4 3rD          Tính , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi: ( 1) D I x dxdy  2 2 2 22 ; 4 ; ; 3x y x x y x y x y x       cos sin x r y r      2cos 4cosr   4cos/3 / 4 2cos ( cos 1)I d r drr            23-Feb-21 54 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 37 35 67 3 6 24    0 : 2D        Tính , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi ( ) D I x y dxdy  2 2 2 22 ; 2 .x y x x y y    cos sin x r y r      0 r  1 2 1 1 4 2 4 2D D I                     D2 D1 1 0 : 4D        2sin0 r   2 : 4 2D         2cos0 r   ? 23-Feb-21 55 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 00 cos sin x x r y y r        Trường hợp 1. Miền phẳng D là hình tròn: 2 2 2 0 0( ) ( )x x y y a    Dùng phép đổi biến: Khi đó định thức Jacobi: r r x x J y y        Khi lấy cận của ta coi như gốc tọa độ dời về tâm hình tròn. ,r  cos .sin sin .cos r r       r Tọa độ cực suy rộng 23-Feb-21 56 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Trường hợp 2. Miền phẳng D là Ellipse: 2 2 2 2 1; 0, 0    x y a b a b cos sin x r a y r b         Dùng phép đổi biến: Khi đó định thức Jacobi: r r x x J y y        .cos .sin .sin .cos a ar b br       . .a b r Khi đó cận của , :r  0 2 0 1r       Tọa độ cực suy rộng 23-Feb-21 57 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tính , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi (2 ) D I x y dxdy  2 2( 1) ( 2) 4; 1.x y x     1 cos 2 sin x r y r          / 2 2 / 2 0 2(1 cos ) (2 sin )I rd r r dr              : 2 2rD          0 2r   Gốc tọa độ dời về đây 23-Feb-21 58 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 32 8 3   Tính , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi ( 1) D I x dxdy  2 2 1; 0; 0 9 4 x y y x    cos 3 sin 2 x r y r           /2 1 0 0 cos 13 3 2I d r drr        0 : 2rD         0 1r   23-Feb-21 59 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 3 6 2    Tính , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi D I xdxdy  2 2 1; 0; 3 x y y y x    cos 3 sin x r y r        /3 1 0 0 c 3 1s3 oI d r drr        0 :rD     0 1r   sin tg cos     / /( 3) y r x r  Vì đường y = x nên tg 3  3    3  23-Feb-21 60 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 3 2  Tính diện tích miền D giới hạn bởi: 2 2 2 22 ; 6 ; 3; 0x y y x y y y x x      Diện tích miền D là: D D S dxdy  6sin/ 2 /3 2sin d rdr       6sin / 2 /3 2sin 2 2 D r S d       / 2 2 /3 16sin d      4 2 3 3 DS   23-Feb-21 61 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Diện tích miền D: xy D D S dxdy     2 1, , xyD V z x y z x y dxdy      Để tính thể tích khối : 1) Xác định mặt giới hạn bên trên: 2 ( , )z z x y 2) Xác định mặt giới hạn bên dưới: 1( , )z z x y 3) Xác định hình chiếu của xuống Oxy:  Prxy OxyD   Chú ý: 1) Có thể chiếu Ω xuống Oxz, hoặc Oyz. Khi đó mặt phía trên, mặt phía dưới phải theo hướng chiếu xuống. 2) Để tìm hình chiếu của Ω x