Bài giảng Lý thiết điều khiển tự động - Chương 5: Đánh giá chất lượng hệ thống

BÀI GIẢNG LÝ THIẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG Thạc sĩ VÕ THANH VIỆT NĂM 2009 CHƯƠNG 5: ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG HỆ THỐNG 5.1 Các tiêu chuẩn chất lượng 5.2 Sai số xác lập 5.3 Đáp ứng quá độ 5.4 Các tiêu chuẩn tối ưu hóa đáp ứng quá độ 5.5 Đánh giá chất lượng quá trình quá độ theo đặc tính tần số của hệ thống 5.1 CÁC TIÊU CHUẨN CHẤT LƯỢNG Ổn định là điều kiện cần đối với một hệ thống ĐKTĐ, nhưng chưa phải là đủ để hệ thống được sử dụng trong thực tế. Nhiều yêu cầu đòi hỏi hệ thống phải thỏa mãn được cùng lúc các tiêu chuẩn chất lượng khác nhau như: - Độ chính xác. - Độ ổn định. - Đáp ứng quá độ. - Độ nhậy - Khã năng chống nhiễu Sau đây là một số tiêu chuẩn thường dùng để đánh giá chất lượng hệ thống điều khiển. 1- Sai số xác lập Sai số là hiệu số giữa tín hiệu vào và tín hiệu hồi tiếp. Mục đích muốn tín hiệu ra qua vòng hồi tiếp luôn luôn bám được tín hiệu vào mong muốn. Điều đó có nghĩa là sai số xác lập bằng không. 5.1 CÁC TIÊU CHUẨN CHẤT LƯỢNG (5.1) )(lim)(lim 0 ssEtec st xl   )()()( tctrte  2- Độ vọt lố (độ quá điều chỉnh) 5.1 CÁC TIÊU CHUẨN CHẤT LƯỢNG (5.2) 100%POT% max xl xl c cc   3- Thời gian đáp ứng - Thời gian lên đỉnh là thời gian đáp ứng ra đạt giá trị cực đại tp = tpeak - Thời gian quá độ ts = tset xác định bởi thời gian đáp ứng ra từ sau đó trở đi không vượt ra khỏi miền giới hạn sai số  quanh giá trị xác lập, ví dụ:  có thể là 2%, 5%... 4- Độ dự trữ ổn định 5.1 CÁC TIÊU CHUẨN CHẤT LƯỢNG Định nghĩa: Khoản các từ trục ảo đến nghiệm cực gần nhất (nghiệm thực hoặc phức) gọi là độ dự trữ ổn định của hệ. Ký hiệu khoản cách ngắn nhất đó là 0, nếu 0 càng lớn thì quá trình quá độ càng nhanh vầ xác lập. Đáp ứng quá độ của hệ bậc n: (5.3) 1 )( 1 00 eeec(t) n i tp i t n i tp i ii        Trong đó: Re(pi + 0)  0 5- Tiêu chuẩn phân tích 5.1 CÁC TIÊU CHUẨN CHẤT LƯỢNG Trong thực tế một hệ thống ĐKTĐ được thiết kế phải thỏa mãn yêu cầu ở cả hai chế độ xác lập và quá độ. Quá trình quá độ có thể được đánh giá thông qua giá trị tích phân của sai lệch giữa giá trị đặt và giá trị tức thời đo dược của đại lượng cần điều chỉnh. 5.2 SAI SỐ XÁC LẬP Xét hệ thống hồi tiếp âm có sơ đồ khối như hình vẽ: G(s) R(s) H(s) C(s)E(s) Sai số của hệ thống là: )( )()(1 )( )()()().()()( sH sHsG sG sRsRsHsCsRsE         )()(1 )( )( sHsG sR sE   5.2 SAI SỐ XÁC LẬP Sai số xác lập: )(lim)(lim 0 ssEtee st xl   (5.4) )()(1 )( lim 0 sHsG ssR e s xl    Sai số xác lập không những phụ thuộc vào cấu trúc và thông số của hệ thống mà còn phụ thuộc vào tín hiệu vào. 5.2 SAI SỐ XÁC LẬP s sRtutr 1 )()()(  )()(lim1 1 )()(1 1 lim 0 0 sHsGsHsG s s e s s xl       Đặt 1- Tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị hệ số vị trí: )()(lim 0 sHsGK s p   (5.5) 1 1 p xl K e   5.2 SAI SỐ XÁC LẬP 2 1 )()()( s sRttutr  )()(lim 1 )()( 1 lim )()(1 1 lim 0 0 2 0 sHssGsHssGssHsG s s e s ss xl        Đặt 2- Tín hiệu vào là hàm dốc đơn vị hệ số vận tốc: )()(lim 0 sHssGK s v   (5.6) 1 v xl K e  5.2 SAI SỐ XÁC LẬP 3 2 1 )()( 2 )( s sRtu t tr  )()(lim 1 )()( 1 lim )()(1 1 lim 2 0 220 3 0 sHsGssHsGsssHsG s s e s ss xl        Đặt 3- Tín hiệu vào là hàm parapol hệ số gia tốc: )()(lim 2 0 sHsGsK s a   (5.6) 1 a xl K e  5.2 SAI SỐ XÁC LẬP Nhận xét: Tùy theo số khâu tích phân lý tưởng có trong hàm truyền hở G(s)H(s) mà Kp, Kv, Ka có giá trị như bảng sau: Số khâu tích phân trong G(s)H(s) Hệ số vị trí KP Hệ số vận tốc Kv Hệ số Ka 0 Kp <  0 0 1  Kv <  0 2   Ka <  > 3    5.2 SAI SỐ XÁC LẬP Nhận xét: - Nếu G(s)H(s) không có khâu tích phân lý tưởng thì hệ thống kín theo kịp sự thay đổi của tín hiệu vào là hàm nấc với sai số: p xl K e   1 1 và không theo kịp sự thay đổi của tín hiệu vào là hàm dốc và hàm parapol. 5.2 SAI SỐ XÁC LẬP Nhận xét: - Nếu G(s)H(s) có một khâu tích phân lý tưởng thì hệ thống kín theo kịp sự thay đổi của tín hiệu vào là hàm nấc với sai số exl = 0 và theo kịp sự thay đổi của tín hiệu vào là hàm dốc với sai số: v xl K e 1  và không theo kịp sự thay đổi của tín hiệu vào là parapol  hệ thống có một khâu tích phân lý tưởng gọi là hệ vô sai bậc một. 5.2 SAI SỐ XÁC LẬP Nhận xét: - Nếu G(s)H(s) có hai khâu tích phân lý tưởng thì hệ thống kín theo kịp sự thay đổi của tín hiệu vào là hàm nấc và hàm dốc với sai số exl = 0 và theo kịp sự thay đổi của tín hiệu vào là hàm parapol với sai số: a xl K e 1   hệ thống có hai khâu tích phân lý tưởng gọi là hệ vô sai bậc hai. 5.2 SAI SỐ XÁC LẬP Nhận xét: - Nếu G(s)H(s) có ba khâu tích phân lý tưởng thì hệ thống kín theo kịp sự thay đổi của tín hiệu vào là hàm nấc, hàm dốc và hàm parapol với sai số exl = 0 và theo kịp sự thay đổi của tín hiệu vào là hàm parapol với sai số:  hệ thống có ba khâu tích phân lý tưởng gọi là hệ vô sai bậc ba.  hệ thống có n khâu tích phân lý tưởng gọi là hệ vô sai bậc n. 5.3.1 Hệ quán tính bậc một Hệ thống có sơ đồ khối như sau: 1 1 1 1 1 )(     Ts Ts TssGk 5.3 ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ R(s) C(s) Ts 1 Hệ thống kín chỉ có một cực: T s 1  5.3.1 Hệ quán tính bậc một Đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm nấc TssTs T sTss sC 1 11 1 1 1 1 . 1 )(       5.3 ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ 1 Tc(t) 1 e     c(t) t 0 t1T 1 1- 1+ 0,63 Đáp ứng quá độ của hệ quán tính bậc nhất Giảng đồ cực - zero của hệ quán tính bậc nhất 0 Res Ims -1/T 5.3.1 Hệ quán tính bậc một Nhận xét: 5.3 ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ - Đáp ứng quá độ của khâu quán tính bậc nhất không có vịt lố. - Thời hằng T là thời điểm c(t) đạt 63,2% giá trị xác lập, T càng nhỏ đáp ứng càng nhanh. - Thời gian xác lập ts (setting time) là thời gian để sai số giữa c(t) và giá trị xác lập nhỏ hơn  ( = 5% hay  = 2% ) - Sai số xác lập bằng không. 5.3.2 Hệ dao động bậc hai 5.3 ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ Hàm truyền R(s) C(s) ss n n   22 2  Hệ thống có sơ đồ khối như sau: 12 1 2 2 1 2 )( 2222 2 2 2 2 2         TssTss ss ss sG nn n n n n n k       Trong đó: n T  1  5.3.2 Hệ dao động bậc hai 5.3 ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ Hệ thống có cặp nghiệm phức liên hợp: 2 2,1 1   nn js Giảng đồ cực - zero của hệ dao động bậc hai 0 Re s Im s n 21   nj 21   nj Đáp ứng quá độ của hệ dao động bậc hai c(t) t 0 ts 1 cmax Đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm nấc 12 1 . 1 )()()( 22   TssTs sGsRsC k  5.3 ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ           t e tc n tn )(sin 1 1)( 21 2 Trong độ lệch pha xác định bởi:  cos 5.3.2 Hệ dao động bậc hai 5.3 ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ Nhận xét: • Đáp ứng quá độ của khâu dao động bậc hai có dạng dao động với biên độ giảm dần: - Nếu  = 0: c(t) = 1- sinnt, đáp ứng của hệ là dao động không suy giảm với tần số n  n gọi là tần số dao động tự nhiên. - Nếu 0 <  <1: đáp ứng của hệ là dao động với biên độ giảm dần   gọi là hệ số tắt (hay hệ số suy giảm),  càng lớn dao động suy giảm càng nhanh. 5.3.2 Hệ dao động bậc hai 5.3 ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ Nhận xét: • Đáp ứng của khâu dao động bậc hai có vọt lố: Tổng quát, độ vọt lố (POT – Persent of Overshoot) được định nghĩa là: (5.8) %100max xl xl c cc POT   cmax - giá trị cực đại của c(t); cxl - giá trị xác lập c(t) Đối với hệ dao động bậc hai, độ vọt lố POT được tính bởi công thức: (5.9) %100. 1 exp 2             POT 5.3.2 Hệ dao động bậc hai 5.3 ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ Nhận xét: • Thời gian xác lập ts là thời gian để sai số giữa c(t) và giá trị xác lập nhỏ hơn  ( = 5% hay  = 2%) Đối với hệ bậc hai: - Theo tiêu chuẩn 5%: - Theo tiêu chuẩn 2%: (5.10) 3 n xlt   (5.11) 4 n xlt   5.3.2 Hệ dao động bậc hai 5.3 ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ Nhận xét: • Theo thời gian lên tr (rise time): là thời gian đề c(t) tăng từ 10% đến 90% giá trị xác lập Đối với hệ bậc hai: (5.12) 1,014100,9240,1562 -(1,589 1 23   n rt Chú ý: Nếu   1 ta không gọi là dao động bậc hai vì trong trường hợp này đáp ứng của hệ thống không có dao động. 5.3.2 Hệ dao động bậc hai 5.3 ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ Nhận xét: • Nếu  = 1 hệ thống kín có một nghiệm kép (thực): 21 1    n pt 0 Res Ims -n Đáp ứng của hệ thống t n t nn etesC     .1)( 5.3.2 Hệ dao động bậc hai 5.3 ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ Nhận xét: • Nếu  > 1 hệ thống kín có hai nghiệm thực phân biệt: Đáp ứng của hệ thống 21 )( ps C ps B s A sC     tptp CeBeAtc 21)(   0 Res Ims -P2 -P1 5.3.2 Hệ dao động bậc hai 5.3 ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ Hệ bậc cao có nhiều hơn hai cực. Đáp ứng tương ứng với các cực nằm càng xa trục ảo suy giảm càng nhanh. Do đó xấp xỉ hệ bậc cao về hệ bậc hai với cặp cực là hai cực nằm gần trục ảo nhất. Cặp cực nằm gần trục ảo nhất của hệ bậc cao gọi là cặp cực quyết định. 5.3.3 Hệ bậc cao 0 Res Ims -P2 -P1 Cặp cực quyết định Cặp cực quyết định của hệ bậc cao 5.4 CÁC TIÊU CHUẨN TỐI ƯU HÓA ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ 1- Tiêu chuẩn tích phân sai lệch IE (Integrated Error) Mindtte    0 )(EI Tiêu chuẩn IE và IAE c(t) 0 (1) (2) 0 t t 5.4 CÁC TIÊU CHUẨN TỐI ƯU HÓA ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ Đối với hệ có đáp ứng quá độ không dao động (đường 1 như hình vẽ) thì tiêu chuẩn IE chính là diện tích của hàm sai lệch e(t) tạo với trục thời gian t cần đạt giá trị cực tiểu thì chất lượng đạt tốt nhất. 1- Tiêu chuẩn tích phân sai lệch IE (Integrated Error) Song đối với đáp ứng quá độ dao động ổn định (đường 2) thì tiêu chuẩn IE không phản ánh đúng chất lượng của hệ thống do có miền diện tích âm đã được trừ bớt đi. Kết quả giá trị tích phân nhỏ nhưng quá trình quá độ xấu . Vì vậy phải sử dụng tiêu chuẩn tích phân trị tuyệt đối của sai lệch. 5.4 CÁC TIÊU CHUẨN TỐI ƯU HÓA ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ 2- Tiêu chuẩn tích phân trị tuyệt đối biên độ sai lệch IAE (Integrated of The Adsolute Magnitude of the Error) Đối với hệ bậc hai: J1  min khi  = 0,707 (5.13) )( 0 1    dtteJ 3- Tiêu cuẩn tích phân của bình phương sai số ISE (Integrated of The Square of the Error) Đối với hệ bậc hai: J1  min khi  = 0,707 (5.14) )( 0 2 2    dtteJ 5.4 CÁC TIÊU CHUẨN TỐI ƯU HÓA ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ ISE xem nhẹ những diện tích bé vì bình phương một số nhỏ hơn 1 bé hơn trị số tuyệt đối của số ấy. Một trong những lý do khiến tiêu chuẩn ISE thường được sử dụng là công việc tính toán và thực hiện đơn giản. Có thể tính ước lượng ISE theo biến đổi Fuorier 3- Tiêu chuẩn tích phân của bình phương sai số ISE (Integrated of The Square of the Error)    0 2 )( 1   djEISE 5.4 CÁC TIÊU CHUẨN TỐI ƯU HÓA ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ 4- Tiêu chuẩn tích phân của thời gian nhân với trị tuyệt đối ITAE (Integrated of Time Multiplied by the Adsolute Value of the Error) Đối với hệ bậc hai: J3  min khi  = 0,707 (5.15) )( 0 3    dttetJ Trong các tiêu chuẩn tối ưu hóa đáp ứng vừa trình bày ở trên, tiêu chuẩn ITAE được sử dụng nhiều. Để đáp ứng quá độ của hệ thống bậc n là tối ưu theo tiêu chuẩn ITAE thì mẫu số hàm truyền kín hệ bậc n phải có dạng như bảng sau: 5.4 CÁC TIÊU CHUẨN TỐI ƯU HÓA ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ Hệ số hàm truyền hệ kín có dạng như trên và tử số hàm truyền hệ kín của hệ bậc n là nn thì đáp ứng quá độ của hệ thống là tối ưu và sai số và sai số xác lập bằng 0. Bậc Mẫu số hàm truyền 1 s + n 2 s2 + 1,414ns +  2 n 3 s3 + 1,75ns 2 + 2.152ns +  3 n 4 s4 + 2.1ns 3 + 3,42ns 2 + 2,73ns +  4 n 5.4 CÁC TIÊU CHUẨN TỐI ƯU HÓA ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ 4- Tiêu chuẩn tích phân có tính đến ảnh hưởng của tốc độ thay đổi của sai lệch e(t) Với  là hằng số được chọn thích hợp cho từng trường hợp                  0 2 2 )( dt dt de teJ  Ví dụ:  lớn không cho phép dao động lớn. Ngược lại,  nhỏ cho phép quá độ dao động lớn. 5.5 ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ THEO ĐẶC TÍNH TẦN SỐ CỦA HỆ THỐNG 1- Đánh theo phân bố cực zero của hàm truyền hệ thống kin hoặc theo nghiệm phương trình đặc tính và theo điều kiện ban đầu. 2- Đánh giá theo tiêu chuẩn tích phân. 3- Đánh giá quá trình quá độ theo đặc tính tần số của hệ thống. 4- Tiêu chuẩn tích phân thời gian nhân với trị tuyệt đối của sai số ITAE (Integral of Time Multiplied by the Adsolute Value of error)    0 )( dttetITAE 5.5 ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ THEO ĐẶC TÍNH TẦN SỐ CỦA HỆ THỐNG ITAE rút ngắn thời gian quá độ (tính tra bảng) Tần số cắt L( c) = 0 Hoặc G(j) = 1 với độ nghiên c là -20dB/dec. Độ dự trữ pha M = 30o  60o Thời gian quá độ: Xây dựng phần thực đặc tính tần số hệ kín theo đặc tính biên độ pha của hệ hở (Biểu đồ Nychols) 5.5 ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ THEO ĐẶC TÍNH TẦN SỐ CỦA HỆ THỐNG Xét hệ hồi tiếp – một đơn vị có đường cong Nyquyst vẽ trên hình sau: 2 1 A B C -1  = 0 Re Im 0 G(j) Phần thực: )()( )(1 )( )(  jQP sG sG sGk    )( )(1 )( Re)( 21     COS AB OB sG sG P AB CB COS AB OB P  )( 5.5 ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ THEO ĐẶC TÍNH TẦN SỐ CỦA HỆ THỐNG Trong đó CB là hình chiếu của vectơ lên vectơ trong mặt phẳng phức G(j) OB AB Đường cong P() = 0 là đường tròn đường kính bằng một tâm nằm trên trục thực có tâm (-1/2, j0) P(a) = 1 P(a) = 0 P(a) < 0 -1/2, j0 0 Im Re -1 P(a) > 1 0 < P(a) < 1 5.5 ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ THEO ĐẶC TÍNH TẦN SỐ CỦA HỆ THỐNG Phương trình đường cong P() = const = C dễ dàng nhận được bằng cách: )(1 )( Re)(    jG jG P   Trong đó: jYXjG )(  Từ đó: 22 2 )1( )1( 1 Re)( YX YXX jYX jYX P       Với P() = C ta có phương trình: C YX YXX    22 2 )1( )1( 5.5 ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ THEO ĐẶC TÍNH TẦN SỐ CỦA HỆ THỐNG Đây là phương trình của đường tròn có tâm nằm trên trục thực và tâm điểm có tọa độ và bán kính như sau:          0, 1 21 2 1 j C C Tâm: Bán kính: )1(2 1 C Re Im P(a) = 1P(a) = 1,1 P(a) = 0,9 P(a) = 0,8 P(a) = 0,7 0 5.5 ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ THEO ĐẶC TÍNH TẦN SỐ CỦA HỆ THỐNG Cách xây dựng vòng trong P() = const Re Im -1 0 a a a aP   1 )( Re Im -1 0-0,5 G(j) 0 5.5 ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ THEO ĐẶC TÍNH TẦN SỐ CỦA HỆ THỐNG 0 Re Im 0 Thời gian quá độ được tính gần đúng: 0 là tần số nhỏ nhất mà đường tròn tâm (-1/2,j0) bán kính ½ cắt đường cong Nyquyst G(j) 0 4   st Hoặc 0 có thể xác định là dao điểm đầu tiên của đường cong P() với trục hoành .