Bài giảng Ứng dụng các phương pháp tính số - Chương 6: Phương trình vi phân - Ngô Văn Thanh

TS. Ngô Văn Thanh, Viện Vật lý. Cao học vật lý – chuyên ngành Vật lý lý thuyết. Chương 6. Phương trình vi phân. 6.1. Các bài toán giá trị đầu (Initial value problems) 6.1.1. Phương pháp Euler. 6.1.2. Phương pháp Runge-Kutta. 6.2. Giải hệ các phương trình vi phân. 6.2.1. Phương pháp Euler. 6.2.2. Phương pháp Runge-Kutta. 6.3. Các bài toán giá trị biên. 6.3.1. Phương pháp shooting. 6.3.2. Phương pháp sai phân xác định. @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý Giới thiệu.  Dạng tổng quát phương trình vi phân bậc nhất:  điều kiện đầu  Hệ phương trình vi phân bậc nhất:  trong đó  Dạng tổng quát phương trình vi phân bậc n :  điều kiện đầu @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý 6.1.1. Phương pháp Euler.  Phương trình vi phân bậc nhất:  điều kiện đầu  Chia biến t thành N + 1 điểm  mặt khác  suy ra: @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý  Phương pháp Euler: tính  Điều kiện đầu  Cuối cùng: @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý  Phương pháp Taylor bậc n.  Điều kiện đầu  Chuỗi Taylor  Mặt khác  Cuối cùng ta có @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý 6.1.2. Phương pháp Runge-Kutta.  Định lý Taylor cho hàm 2 biến: Phương pháp Runge-Kutta bậc 2:  sử dụng biểu thức Taylor bậc 2: sử dụng ta có: @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý Phương pháp MidPoint:  điều kiện đầu Phương pháp Euler bổ sung:  điều kiện đầu Phương pháp Heun:  điều kiện đầu @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý Phương pháp Runge-Kutta bậc 4:  điều kiện đầu  trong đó: @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý 6.2.1. Phương pháp Runge-Kutta.  Hệ phương trình vi phân bậc 1:  với  Chia t thành N + 1 điểm  Điều kiện ban đầu:  trong đó @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý Tổng quan:  Xét phương trình đạo hàm riêng bậc 2:  Các điều kiện biên  Để phương trình có nghiệm duy nhất thì:  Hàm f và đạo hàm riêng của nó theo y và y’ phải liên tục.  Đạo hàm riêng của f theo y phải lớn hơn 0 (dương).  Đạo hàm riêng của f theo y’ phải giới nội. 6.3.1. Phương pháp shooting cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính.  Dạng bài toán giá trị biên tuyến tính:  Đây là dạng phương trình đạo hàm riêng không thuần nhất  Nghiệm của nó được tính từ nghiệm của phương trình thuần nhất @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý  Để giải phương trình này, người ta tách thành hệ hai phương trình với điều kiện đầu: với điều kiện đầu  Và với điều kiện đầu  Cả hai phương trình trên đều có nghiệm duy nhất.  Giả sử là hai nghiệm của hai phương trình trên.  Đây chính là nghiệm duy nhất của phương trình với điều kiện biên @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý  Giải phương trình hai điều kiện đầu: với điều kiện đầu  Chuyển về giải hệ hai phương trình: với điều kiện đầu Giải hệ phương trình trên bằng phương pháp Runge-Kutta (6.2.1). @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý 6.3.2. Phương pháp sai phân xác định.  Dạng bài toán giá trị biên tuyến tính:  Chia đoạn [a, b] thành N + 1 khoảng.  Xét khoảng phương trình vi phân có dạng:  Sử dụng dạng Centered-Difference ta có: @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý  Định nghĩa các nghiệm gần đúng:  Ta có với  Viết lại phương trình trên dưới dạng  Đây là hệ phương trình dạng ma trận chéo bậc 3 @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý  Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp khử Gauss @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý