Bài giảng Xác suất thống kê - Phạm Quang Khoái

TS. PHẠM QUANG KHOÁI (chủ biên) THS. VŨ NGỌC TRÌU, THS. NGUYỄN THỊ VÂN HÕA THS. ĐẶNG THỊ NGỌC ÁNH BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ TRƢỜNG ĐẠI HỌC LÂM NGHIỆP - 2017 2 3 LỜI NÓI ĐẦU Xác suất thống kê là môn học đƣợc giảng dạy cho các lớp hầu hết ngành học ở Trƣờng Đại học Lâm nghiệp. Đặc biệt là hệ đào tạo Tín chỉ với thời lƣợng 3 tín chỉ. Do vậy cần có tài liệu học tập phù hợp với chƣơng trình của môn học để cho sinh viên có thể tự học. Chúng tôi biên soạn bài giảng này dựa trên chƣơng trình môn học nhằm đáp ứng nhu cầu học tập của sinh viên. Bài giảng do các giảng viên thuộc Bộ môn Toán, Khoa Cơ điện và Công trình biên soạn theo trình tự khoa học, chặt trẽ. Mỗi phần đều có ví dụ minh họa liên quan đến thực tế để tạo hứng thú cho ngƣời học. Cuối mỗi chƣơng đều có bài tập để củng cố và nâng cao kiến thức môn học. Sau đây là nội dung chính của bài giảng: Chƣơng 1 Biến cố ngẫu nhiên và phép tính xác suất Chƣơng 2 Biến ngẫu nhiên Chƣơng 3 Mẫu thống kê và thống kê mô tả Chƣơng 4 Ƣớc lƣợng tham số Chƣơng 5 Kiểm định giả thuyết thống kê Chƣơng 6 Sơ lƣợc về lý thuyết tƣơng quan và hồi quy tuyến tính Chƣơng 7 Phân tích phƣơng sai Mặc dù đã cố gắng nhƣng cuốn sách khó tránh khỏi những khiếm khuyết. Chúng tôi mong nhận đƣợc những góp ý quý báu của độc giả. Hà Nội, tháng 11 năm 2017 Các tác giả 4 5 Chƣơng 1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÁC SUẤT 1.1. Các khái niệm mở đầu 1.1.1. Phép thử ngẫu nhiên Phép thử ngẫu nhiên (hay gọi tắt là phép thử) là một hành động hay một thí nghiệm hoặc một quan sát mà kết quả của nó không thể dự báo trƣớc đƣợc. Ví dụ 1:  Một vật đƣợc thả từ trên cao chắc chắn sẽ rơi xuống đất;  Mặt trời mọc ở hƣớng Đông và lặn ở hƣớng Tây;  Nƣớc đóng băng ở điều kiện nhiệt độ dƣới 00C và áp suất 1 atm Đó là hiện tƣợng diễn ra có tính quy luật, tất định. => Những hành động này không phải là phép thử ngẫu nhiên. Ví dụ 2:  Gieo 1 đồng xu cân đối và đồng chất;  Gieo 1 con xúc xắc cân đối và đồng chất;  Rút 1 quân bài từ bộ bài tú lơ khơ. => Những hành động này là các phép thử ngẫu nhiên. 1.1.2. Không gian mẫu Khi thực hiện một phép thử ngẫu nhiên, ta không thể dự báo trƣớc đƣợc kết quả tuy vậy ta có thể liệt kê đƣợc cụ thể hoặc biểu diễn đƣợc tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử ngẫu nhiên. Tập hợp tất cả các kết quả của một phép thử ngẫu nhiên đƣợc gọi là không gian mẫu của phép thử đó. Kí hiệu là  . Mỗi phần tử của không gian mẫu  cũng tức là mỗi kết quả của phép thử ngẫu nhiên đƣợc gọi là một phần tử mẫu.  Ta có dạng bài tập tìm không gian mẫu của một phép thử. Ví dụ 3: Tìm không gian mẫu cho phép thử gieo 1 lần một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Các trƣờng hợp có thể xảy ra: Xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm, 2 chấm, 3 chấm, 4 chấm, 5 chấm, 6 chấm. Hay ta viết dƣới dạng tập hợp:  1,2,3,4,5,6  . 6 Ví dụ 4: Tìm không gian mẫu cho phép thử gieo liên tiếp 1 con xúc xắc cân đối và đồng chất cho tới khi xuất hiện mặt 6 chấm thì dừng lại. Các kết quả có thể có của phép thử này là 1 lần, 2 lần, 3 lần Hay ta viết dƣới dạng tập hợp số lần gieo là các số nguyên dƣơng {1, 2, 3}. Ví dụ 5: Tìm không gian mẫu cho phép thử đo thời gian sống của một con chip điện tử. Các kết quả có thể của phép thử là số thực không âm.  Có 2 loại không gian mẫu: - Không gian mẫu rời rạc: Gồm một số hữu hạn (ví dụ 1) hay vô hạn đếm đƣợc (ví dụ 2) các phần tử mẫu; - Không gian mẫu liên tục: Gồm một số vô hạn không đếm đƣợc các phần tử mẫu (ví dụ 3). Tƣơng ứng với các loại không gian mẫu này ta sẽ có các khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên liên tục sẽ học ở chƣơng sau.  Chú ý rằng một phép thử có thể có nhiều không gian mẫu khác nhau tùy thuộc vào việc quan sát của chúng ta. 1.1.3. Biến cố Xét một phép thử. Chẳng hạn gieo một đồng xu trên một mặt phẳng. Các kết quả có thể xảy ra là: “Xuất hiện mặt sấp” hoặc “xuất hiện mặt ngửa”. Việc “xuất hiện mặt sấp” hay “xuất hiện mặt ngửa” là một sự kiện gắn với phép thử phép thử. Ta có khái niệm biến cố: Một sự kiện có thể xảy ra hay không tùy thuộc vào kết quả của phép thử đƣợc gọi là một biến cố của phép thử đó. Kí hiệu biến cố bằng các chữ cái in hoa A, B, C Những kết quả làm cho biến cố xảy ra đƣợc gọi là kết quả thuận lợi của biến cố đó. 7 Nhƣ vậy, ta cũng có thể nói biến cố A là một tập con của không gian mẫu bao gồm các kết quả thuận lợi cho A. Ví dụ 6: Xét phép thử tung một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi A là biến cố “Mặt trên của con xúc xắc xuất hiện số chấm lẻ”. => Các kết quả thuận lợi của biến cố A là 1 chấm, 3 chấm, 5 chấm và các kết quả này nằm trong không gian mẫu của phép thử. * Cách cho biến cố: Ngƣời ta có thể cho biến cố dƣới dạng 1 mệnh đề hoặc 1 tập hợp. Lưu ý: Một mệnh đề phải có đầy đủ chủ ngữ và vị ngữ. Mọi biến cố đều có thể biểu diễn dƣới dạng các tập hợp, thƣờng ở dƣới dạng liệt kê và có thể dùng sơ đồ Venn để minh họa. Hình 1: Sơ đồ Venn của một biến cố A trong không gian mẫu Ω (Tính theo tỉ lệ diện tích, xác suất của A xấp xỉ bằng 0,2) * Phân loại biến cố: - Biến cố sơ cấp: Là biến cố không thể phân tích đƣợc nữa. Ví dụ 7: Tung một đồng tiền, biến cố đồng tiền xuất hiện mặt sấp hoặc mặt ngửa là các biến cố sơ cấp. Vì vậy không gian mẫu còn đƣợc gọi là không gian các biến cố sơ cấp. - Biến cố không thể: Là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiệp phép thử. Biến cố không thể đồng nhất với tập rỗng của không gian mẫu. Ví dụ 8: Tung 1 con xúc xắc, gọi U là biến cố “Xúc xắc xuất hiện mặt có 7 chấm”. Khi đó U là biến cố không thể. - Biến cố chắc chắn: Là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử. Biến cố chắc chắn đồng nhất với tập không gian mẫu Ω. 8 Ví dụ 9: Tung 1 con xúc xắc, gọi S là biến cố “Xúc xắc xuất hiện số chấm nhỏ hơn hoặc bằng 6” => S là biến cố chắc chắn. - Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện phép thử. Ví dụ 10: Gieo 1 con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi A là biến cố con xúc xắc xuất hiện chấm chẵn. => Các kết quả thuận lợi có thể xảy ra là A = {2,4,6}. 1.1.4. Quan hệ giữa các biến cố Trong lý thuyết xác suất, ngƣời ta xét các quan hệ sau đây của các biến cố:  Quan hệ kéo theo: Biến cố A gọi là kéo theo biến cố B nếu khi A xảy ra thì B cũng xảy ra. Kí hiệu A B .  Quan hệ tương đương: Hai biến cố A và B đƣợc gọi là tƣơng đƣơng nếu A B và B A . Kí hiệu A = B.  Phép hợp: Hợp của 2 biến cố A và B là một biến cố xảy ra nếu ít nhất một trong hai biến cố trên xảy ra. Kí hiệu là A B . Hợp của một dãy hữu hạn biến cố  1 2, ,..., nA A A là biến cố 1 n i i A  . Biến cố này xảy ra khi có ít nhất một trong các biến cố Ai xảy ra.  Phép giao: Giao của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra khi cả hai biến cố trên xảy ra. Kí hiệu: A B hay AB. Giao của một dãy hữu hạn n biến cố  1 2, ,..., nA A A là biến cố 1 n i i A  . Biến cố này xảy ra khi tất cả các biến cố Ai cùng xảy ra.  Quan hệ đối lập: Biến cố đối của biến cố A là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra. Kí hiệu là A .  Quan hệ xung khắc: Hai biến cố A và B đƣợc gọi là xung khắc với nhau nếu chúng không đồng thời xảy ra trong một phép thử. Kí hiệu AB  .  Hiệu của hai biến cố: Hiệu của biến cố A và biến cố B là một biến cố 9 xảy ra khi A xảy ra nhƣng B không xảy ra. Kí hiệu A\B. Ta có bảng so sánh giữa lý thuyết tập hợp và lý thuyết xác suất nhƣ sau: Lý thuyết tập hợp Lý thuyết xác suất Mô tả bằng hình vẽ Tập  -  là không gian các biến cố sơ cấp (không gian mẫu). -  là biến cố chắc chắn. Tập rỗng   là biến cố không thể. A B x  A B nghĩa là: x A thì x B Biến cố A kéo theo biến cố B. A B là hợp của hai tập hợp. x  A B nghĩa là: x A hoặc x B A B là biến cố ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. A B là giao của hai tập hợp x  A B nghĩa là: x A và x B A B (hoặc kí hiệu là AB) là biến cố cả hai biến cố A và B cùng xảy ra. A B  A B  thì A và B là hai biến cố xung khắc. \A B là hiệu của hai tập hợp x  \A B nghĩa là: x A và x B \A B là hiệu của hai biến cố, tức là A xảy ra nhƣng B không xảy ra. \A A \A A là biến cố đối của biến cố A, tức là A xảy ra nếu A không xảy ra.  Nguyên lý xác suất lớn, xác suất nhỏ: Qua thực nghiệm và quan sát thực tế, ngƣời ta thấy rằng các biến cố có xác suất nhỏ sẽ không xảy ra khi ta chỉ thực hiện một phép thử hay một vài phép thử. Từ đó ta thừa nhận nguyên lý sau đây, gọi là “Nguyên lý xác suất nhỏ”: Nếu một biến cố có xác suất rất nhỏ thì thực tế có thể cho rằng biến cố đó sẽ không xảy ra trong một lần thực hiện phép thử. Ví dụ: Mỗi chiếc máy bay đều có một xác suất rất nhỏ bị xảy ra tai nạn. 10 Nhƣng trên thực tế ta vẫn không từ chối đi máy bay vì tin tƣởng rằng trong chuyến bay ta đi biến cố máy bay bị rơi không xảy ra. Việc quy định một mức xác suất thế nào đƣợc gọi là nhỏ sẽ phụ thuộc vào từng bài toán cụ thể. Chẳng hạn nếu xác suất để máy bay rơi là 0,01 thì xác suất đó chƣa thể đƣợc coi là nhỏ. Nhƣng nếu xác suất một chuyến tàu khởi hành chậm là 0,01 thì có thể chấp nhận là nhỏ. Mức xác suất nhỏ này đƣợc gọi là mức ý nghĩa. Nếu  là mức ý nghĩa thì số 1   đƣợc gọi là độ tin cậy. Khi dựa trên nguyên lý xác suất nhỏ ta có thể phát biểu “Biến cố A có xác suất nhỏ (tức là (A)P  ) sẽ không xảy ra trên thực tế” thì độ tin cậy của phát biểu trên là  . Tƣơng tự nhƣ vậy, ta có thể đƣa ra “Nguyên lý xác suất lớn”: Nếu biến cố A có xác suất gần bằng 1 thì trên thực tế có thể cho rằng biến cố đó sẽ xảy ra trong một phép thử. BÀI TẬP Bài 1: Cho 3 biến cố A, B, C. Hãy biểu diễn các biến cố sau theo A, B, C. a) Cả 3 biến cố trên đều xảy ra. b) Cả 3 biến cố trên đều không xảy ra. c) Chỉ có A xảy ra. d) A, B xảy ra nhƣng C không xảy ra. e) Có ít nhất 2 biến cố xảy ra. f) Có đúng 2 biến cố xảy ra. g) Có ít nhất một biến cố xảy ra. Bài 2: Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. a) Xây dựng không gian mẫu. b) Xác định các biến cố sau: A: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc sắc là một số chẵn”. B: “Ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt một chấm”. C: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 5”. c) Miêu tả các biến cố , ,A B B C AB  và ABC. Bài 3: Gieo một đồng xu hai lần. Hãy mô tả không gian mẫu (Không gian các biến cố sơ cấp). Mô tả biến cố: 11 A: Mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần. B: Lần gieo thứ hai xuất hiện mặt sấp. Bài 4: Gieo một lần một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Mô tả không gian các biến cố sơ cấp. Mô tả biến cố A: Mặt trên con xúc xắc xuất hiện số chấm chia hết cho 3. Bài 5: Gieo một đồng xu sau đó gieo một con xúc xắc. Mô tả không gian các biến cố sơ cấp. Bài 6: Gieo liên tiếp 1 đồng xu đến khi xuất hiện mặt ngửa thì dừng. Mô tả không gian các biến cố sơ cấp. Bài 7: Một xạ thủ bắn ba lần, mỗi lần một viên đạn vào cùng một mục tiêu. Gọi Ai là biến cố viên đạn thứ i trúng mục tiêu, i = 1, 2, 3. Hãy biểu diễn các biến cố sau theo Ai. a) Cả ba viên đạn đều trúng mục tiêu. b) Không có viên đạn nào trúng mục tiêu. c) Có đúng 1 viên đạn trúng mục tiêu. d) Có ít nhất hai viên đạn trúng mục tiêu. Bài 8: Hãy mô tả biến cố đối của các biến cố sau đây: A: Xuất hiện hai mặt ngửa khi gieo một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần. B: Cả ba viên đạn đều trúng đích khi bắn độc lập ba lần, mỗi lần một viên đạn vào một mục tiêu. C: Có ít nhất một viên đạn trúng đích khi bắn độc lập ba lần, mỗi lần một viên đạn vào một mục tiêu. Bài 9: Bắn độc lập bốn viên đạn vào mục tiêu. Gọi Ai là biến cố viên đạn thứ i trúng mục tiêu (i = 1, 2, 3, 4). Hãy biểu diễn các biến cố sau theo Ai và iA : a) Có đúng một viên trúng mục tiêu. b) Có ít nhất hai viên trúng mục tiêu. c) Có ít nhất một viên trúng mục tiêu. Bài 10: Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần. Mô tả không gian các biến cố sơ cấp. Mô tả biến cố: 12 A: Tổng số chấm xuất hiện ở mặt trên con xúc xắc là 8. B: Mặt 6 chấm xuất hiện ít nhất một lần. 1.2. Các định nghĩa về xác suất 1.2.1. Định nghĩa xác suất cổ điển Xét một phép thử. Giả sử không gian mẫu của phép thử đó gồm n (hữu hạn) trƣờng hợp đồng khả năng. Nếu biến cố A liên quan đến phép thử gồm có m trƣờng hợp thuận lợi thì tỷ số m n đƣợc gọi là xác suất của biến cố A. Kí hiệu: P(A) = m n . Các bƣớc để tính xác suất của một biến cố theo định nghĩa cổ điển nếu xem biến cố A nhƣ là tập con của không gian mẫu  thì: + Xác định không gian mẫu  , rồi tính số phần tử n( ) của  ; + Xác định các trƣờng hợp thuận lợi của biến cố A, rồi tính số trƣờng hợp thuận lợi để xảy ra biến cố A là n(A); + Tính P(A) theo công thức ( ) (A) ( ) n A P n   . Phƣơng pháp tính số phần tử của không gian mẫu và số trƣờng hợp thuận lợi của biến cố A. 1.2.1.1. Phương pháp liệt kê các phần tử Ví dụ 1: Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tìm xác suất để: a) Mặt trên của con xúc xắc xuất hiện một chấm. b) Mặt trên của con xúc xắc có số chấm chẵn. c) Mặt trên của con xúc xắc có số chấm nhỏ hơn 7. d) Mặt trên của con xúc xắc xuất hiện 7 chấm. Giải: a) Gọi A là biến cố mặt trên của con xúc xắc có một chấm. Khi đó: - Không gian mẫu  gồm 6 trƣờng hợp => Số phần tử của không gian mẫu  là n( ) = 6; - Các kết quả thuận lợi của biến cố A có một trƣờng hợp.  P(A) = 1 6 . 13 b) Gọi B là biến cố mặt trên của con xúc xắc có số chấm chẵn. Khi đó: - Không gian mẫu  gồm 6 trƣờng hợp; - Các kết quả thuận lợi của biến cố B là 3 trƣờng hợp {2, 4, 6}.  P(A) = 3 6 . c) Gọi C là biến cố mặt trên của con xúc xắc xuất hiện số chấm nhỏ hơn 7. Khi đó: - Không gian mẫu  gồm 6 trƣờng hợp; - Các kết quả thuận lợi của biến cố C là 6 trƣờng hợp (bằng số trƣờng hợp thuận lợi của không gian mẫu).  P(A) = 6 1 6  . d) Gọi D là biến cố mặt trên của con xúc xắc xuất hiện 7 chấm. Khi đó: - Không gian mẫu  gồm 6 trƣờng hợp; - Các kết quả thuận lợi của biến cố D là 0 (không có mặt 7 chấm).  P(A) = 0 0 6  . 1.2.1.2. Phương pháp dùng quy tắc đếm Nhắc lại: Số cách lấy k phần tử từ n phần tử không quan tâm đến thứ tự là knC .  Quy tắc cộng: Giả sử để thực hiện một công việc A ta có k phƣơng án thực hiện: - Phƣơng án 1 có n1 cách hoàn thành; - Phƣơng án 2 có n2 cách hoàn thành; - Phƣơng án k có nk cách hoàn thành. Khi đó số cách thực hiện công việc A là n1 + n2 ++ nk.  Quy tắc nhân: Giả sử để thực hiện một công việc A ta phải thực hiện qua k giai đoạn khác nhau: - Giai đoạn 1 có n1 cách hoàn thành; - Giai đoạn 2 có n2 cách hoàn thành; 14 - Giai đoạn k có nk cách hoàn thành. Khi đó số cách thực hiện công việc A là n1.n2nk. Nhận xét:  Điều quan trọng ở đây là làm sao khi đọc đề bài chúng ta biết đƣợc phải sử dụng quy tắc cộng hay quy tắc nhân. Thông thƣờng, nếu một bài toán mà công việc có thể giải quyết theo nhiều phƣơng án hay có nhiều trƣờng hợp xảy ra thì ta thƣờng dùng quy tắc cộng, còn nếu bài toán mà công việc đƣợc thực hiện bằng những công việc nhỏ liên tiếp, nhiều công đoạn hay là trƣờng hợp nhỏ này liên kết với trƣờng hợp nhỏ kia thì ta thƣờng dùng quy tắc nhân.  Trong nhiều trƣờng hợp chúng ta cần kết hợp cả hai quy tắc để giải bài toán. Ví dụ 2: Chọn ngẫu nhiên 3 quân bài trong một bộ bài tú lơ khơ gồm 52 quân. Tính xác suất để trong 3 quân chọn ra đó: a) Có đúng một quân bài mầu đỏ. b) Có ít nhất một quân át. Giải: Số phần tử của không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 quân bài trong một bộ bài tú lơ khơ 52 quân => Số phần tử của không gian mẫu là 3 52( ) 22510n C   . a) Gọi A là biến cố trong 3 quân bài chọn ra có đúng một quân bài mầu đỏ. Để A xảy ra ta phải thực hiện 2 giai đoạn: - Giai đoạn 1: Lấy ra 2 quân bài khác màu đỏ trong số 26 quân bài khác màu đỏ của bộ bài => Có 226C cách lấy. - Giai đoạn 2: Lấy ra 1 quân bài màu đỏ trong số 26 quân bài màu đỏ của bộ bài => Có 126C cách lấy.  Áp dụng công thức nhân xác suất, số trƣờng hợp thuận lợi của biến cố A là 2 126 26(A)n C C = 325. Vậy xác suất P(A) ( ) 325 0,0147 ( ) 22150 n A n     . b) Gọi B là biến cố trong 3 quân bài chọn ra có ít nhất một quân át. Để B xảy ra ta có các phƣơng án (cách) thực hiện: 15 Phƣơng án 1: Có 1 quân át và 2 quân khác át => Số cách chọn ra 1 quân át trong 4 quân át của bộ bài là 14C , số cách chọn 2 quân còn lại trong 48 quân bài khác át là 248C => Tổng số cách thực hiện phƣơng án 1 là 1 2 4 48C C . Phƣơng án 2: Có 2 quân át và 1 quân khác át. Lập luận tƣơng tự phƣơng án 1 ta có số cách thực hiện phƣơng án 2 là 2 14 48C C . Phƣơng án 3: Có 3 quân át. Lập luận tƣơng tự nhƣ trên ta có số cách thực hiện phƣơng án 3 là 3 04 48C C . Áp dụng công thức cộng ta tính đƣợc số trƣờng hợp thuận lợi của biến cố B là 1 24 48C C + 2 1 4 48C C + 3 0 4 48C C = 4512 + 288 + 4 = 4804.  P(B) ( ) 4804 0,217 ( ) 22150 n B n     . Tính chất của xác suất: 1. Nếu A là biến cố bất kỳ thì 0 ( ) 1;P A  2. Xác suất của biến cố chắc chắn là ( ) 1;P   3. Xác suất của biến cố không thể là P( ) 0  ; 4. Nếu A là biến cố đối của biến cố A thì P( ) 1 ( )A P A  ; 5. Nếu A B thì ( ) P(B)P A  ; 6. Nếu A và B là hai biến cố bất kỳ thì (A\ B) P(A) P(AB).P   Ƣu điểm: - Để tìm xác suất của biến cố ta không phải thực hiện phép thử (phép thử chỉ cần giả định); - Xác suất của biến cố tìm đƣợc chính xác. Nhƣợc điểm: - Các kết quả của phép thử phải đồng khả năng; - Số trƣờng hợp đồng khả năng phải hữu hạn. 1.2.2. Định nghĩa xác suất thống kê Trong các phép thử ngẫu nhiên, khi số kết quả có thể là vô hạn hoặc kết quả có thể là hữu hạn nhƣng không đồng khả năng thì cách tính xác suất theo cổ điển không áp dụng đƣợc, ngƣời ta định nghĩa xác suất theo tần suất. Chẳng hạn khi gieo một con xúc xắc không cân đối thì các trƣờng hợp của phép thử không đồng khả năng. Vì vậy, không thể dùng định nghĩa xác suất cổ điển ở trên. Khái niệm tần suất: Giả sử trong thực tế ta đã lặp đi lặp lại nhiều lần một 16 phép thử trong những điều kiện giống hệt nhau. Nếu trong n lần thực hiện phép thử đó biến cố A xuất hiện k lần thì tỷ số (A)n k f n  đƣợc gọi là tần suất xuất hiện biến cố A. Định nghĩa thống kê của xác suất: Ngƣời ta nhận thấy khi số phép thử tăng lên vô hạn thì fn(A) luôn dần tới một giới hạn xác định. Giới hạn đó gọi là xác suất của biến cố A. Nhƣ vậy: ( ) lim (A).n n P A f   Trong thực tế ta không thể tiến hành phép thử vô hạn lần, do đó với n đủ lớn ta có thể dùng tần suất thay cho xác suất. Tức là: ( ) (A) .n k P A f n   Ƣu điểm: Định nghĩa thống kê về xác suất có ƣu điểm lớn là nó không đòi hỏi những điều kiện áp dụng nhƣ đối với định nghĩa cổ điển. Nó hoàn toàn dựa trên các quan sát thực tế để làm cơ sở kết luận về xác suất xảy ra của một biến cố. Ví dụ 3: Để nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi tung một đồng xu, ngƣời ta tiến hành tung một đồng xu nhiều lần (đồng xu không cần cân đối đồng chất nhƣng các lần tung phải giống nhau) và thu đƣợc kết quả sau đây: Ng-êi lµm thÝ nghiÖm Sè lÇn tung (n) Sè lÇn xuÊt hiÖn mÆt sÊp (k) TÇn suÊt k n Buffon Pearson Pearson 4040 12000 24000 2048 6019 12012 0,5069 0,5016 0,5005 Qua ví dụ trên ta thấy khi số phép thử tăng lên thì tần suất xuất hiện mặt sấp dao động quanh giá trị 0,5. Điều này cho phép ta hy vọng rằng khi số phép thử tăng lên vô hạn thì tần suất xuất hiện mặt sấp hội tụ về 0,5. Chú ý: Từ định nghĩa này trong thống kê ngƣời ta hay dùng khái niệm tỷ lệ thay cho xác suất. Chẳng hạn tỷ lệ hạt thóc nảy mầm trong cùng một điều kiện về môi trƣờng là 60% nghĩa là khi chọn một hạt thóc ngẫu nhiên thì xác suất của biến cố A hạt thóc nảy mầm là 0,6 hay P(A) = 0,6. 1.2.3. Định nghĩa xác suất theo hệ tiên đề (Đọc thêm) Các đị